ALGEBRA DE FUNCIONES Y COMBINACION DE FUNCIONES                2

Funciones de grado mayor o igual a dos
FUNCIONES POLINOM...
ALGEBRA DE FUNCIONES Y COMBINACION DE FUNCIONES




Algebra de funciones

Si dos funciones f y g están definidas para todo...
(f     g )( x )    f ( g ( x ))

donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:

                  ...
FUNCIONES POLINOMICAS
                        Funciones de grado mayor o igual a dos



Introducción

Anteriormente estudi...
12
                                           10
                                           8
                            ...
Ejemplos para discusión:

1) Si P(x) = 2x3 - 5x2 + 4x - 6, halla P(3).
2) Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, halla P(-3).

Es...
1
1) f ( x )
             x
                 2
2) g ( x )
           x1
           2x 3
3)h( x )
           x2 4
         ...
1
1) f ( x )
             x
                 2
2) g ( x )
           x1
           2x 3
3)h( x )
           3x 1
         ...
Donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una
asíntota oblicua para la gráfica de f.

E...
1) f(x) = 2x

                                                  8

                                                  6

  ...
a )(a x )(a y )         ax   y


          ax
                   ax    y
     b)
          ay
               y
     c) a x...
25

                                               20

                                               15

                ...
Práctica:

1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5)

2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x


La gráfica de la función expone...
Ejemplos:

1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que
52 = 25. Decimos que “el l...
43
1)64
          3
2) 2          8
      1            2
3)            4
     16

Solución de ecuaciones logarítmicas simp...
1) logb 5x =
2) logb x9 =
         1
3) log 2
         5
         xy
4) log 3
          5
5) log 2 2 3


Ejercicio de prác...
1) log 2 =
2) ln .0034 =
3) log (-3.24) =


Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar:

1) log 3 =
2) ln 28.69...
1)53 x        29
2) 2 3 x 2 5
3) log( x 3) log( x )                      1
                       1
4) log 8 3            ...
LA INVERSA DE UNA FUNCION

Antes de definir lo que es la inversa de una función necesitamos conocer qué es una
función uno...
Ejercicio de práctica: Determina si f(x) = 4 - 2x es uno a uno.


Existe un procedimiento gráfico para determinar si una f...
Funciones inversas


Definición: Si f es una función uno a uno, entonces la inversa de f, denotada por f-1, es
la función ...
Existe una relación importante entre la gráfica de una función y su inversa, esto es, en un
sistema de coordenadas, los pu...
Definición: Si un factor x - r ocurre k veces en la factorización completa de un polinomio
P(x), entonces r es una raíz de...
GRAFICA DE FUNCIONES



Dominio y recorrido


El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los p...
4
                                         3
                                         2
                                  ...
2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.

3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) p...
2

                1.5
                    1
                0.5
                    0
     -4    -2           0   2      ...
2

                                             1.5
                                              1

                     ...
no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el
recorrido (rango) de una función lin...
Función cuadrática


Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de
cero, donde ...
recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una
función que luce como f(x) = -x2 es ...
Función dominio partido


Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes
ecuaciones para...
5
                         4
                         3
                         2
                         1
            ...
Ejemplos: 2x + y = 4; 3x - 4y = 9.

Las ecuaciones y = -3x + 5 y y = -2x son ecuaciones lineales en dos variables pero no
...
Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m)
está dada por:
                 ...
1) La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 4). ¿Cuál es la ecuación de la recta
de la forma pendiente-intercept...
1) x = -2
2) y = 5


Rectas paralelas y perpendiculares

¿Recuerdas las rectas paralelas y perpendiculares estudiadas en g...
Su dominio es [0, ) y el recorrido es [0, ).




             ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO


Ecuaciones co...
Ejemplos Para discusión:

1) │3x - 4│ = 5

     1
2)     x1   5
     2

3) │3x - 1│+ 2 = 5

4) │x + 2│ = │x - 7│

Ejercici...
1) │x│< 3

2) │x + 5│ ≤ 10

3) │3x - 2│≤ 8

4) │2(x – 1) + 4│ < 8


Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuac...
Ejemplos para discusión:

1) │x│≥ 3

2) │x - 4│> 5

3) │2x - 3│> 5

       2
4) 3     x   5
       3


Ejercicio: Resuelve...
1) Determina si el par ordenado (3,1) es una solución del sistema:

                                        2x 3y        9...
Definición: Una matriz es un arreglo de números reales distribuidos en filas y columnas, el
cual están encerrados en parén...
DETERMINANTES




Definición: Sea
                                                      a11        a12
                   ...
Ejemplo para discusión: Halla el determinante de la matriz :

                                                    3    52
...
k1 a12                            a11        k1
                                      k 2 a 22                          a ...
Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema:

                                          x     y               2
...
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista
el término x2 en la ecuación. Exi...
x2 + bx es :
                                                              2
                                             ...
x2 - x - 20 = 0
1)                     (por factorización)
     x2 - 8 = 0
2)                     (por raíz cuadrada)
    ...
El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos los números de la forma
a + bi, donde a y b son números reale...
8    i
1)
   2    i
    1   i
2)
   5    4i




Ejercicio de práctica: Efectúa las siguientes operaciones con números imag...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Algebra Continuacion

3.999 visualizaciones

Publicado el

ESTA ES LA CONTINUACION DE ALGEBRA BASICA PARA TERMINAR DE REFORZAR EL ENTENDIMIENTO DE ESTE FABULOSO CAMPO DE LAS MATEMÁTICAS

Publicado en: Educación, Tecnología
0 comentarios
6 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
3.999
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
9
Acciones
Compartido
0
Descargas
1
Comentarios
0
Recomendaciones
6
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Algebra Continuacion

  1. 1. ALGEBRA DE FUNCIONES Y COMBINACION DE FUNCIONES 2 Funciones de grado mayor o igual a dos FUNCIONES POLINOMICAS 4 FUNCIONES RACIONALES 7 FUNCIONES EXPONENCIALES 10 FUNCIONES LOGARITMICAS 14 GRAFICAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS 19 LA INVERSA DE UNA FUNCION 20 Funciones inversas 21 LA INVERSA DE UNA FUNCION VISTA GRAFICAMENTE 22 RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS 23 GRAFICA DE FUNCIONES 25 FUNCION CONSTANTE 28 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES 34 ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 39 Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c 40 Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c 41 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 42 MATRICES 43 DETERMINANTES 44 REGLA DE CRAMER 46 ECUACIONES CUADRATICAS 48
  2. 2. ALGEBRA DE FUNCIONES Y COMBINACION DE FUNCIONES Algebra de funciones Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x). Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por: (f g )( x ) f ( x) g( x) ( f g )( x ) f ( x ) g ( x ) ( f g )( x ) f ( x ) g ( x ) f f ( x) x , g( x) 0 g g( x) Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente. Ejemplos para discusión: 1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio Para cada una de ellas. 2) Sea: f ( x) 4 x y g( x) 3x Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio para cada una de ellas. Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas? Composición de funciones Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:
  3. 3. (f g )( x ) f ( g ( x )) donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por: ( g f )( x ) g ( f ( x )). Ejemplos para discusión: Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio. x2 1) f ( x ) 3x 1 y g( x) 2) f ( x ) x y g( x) 2x 1 x1 3) f ( x ) 2x 1 y g( x) 2 Notas: 1) El dominio f (g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f. 2) Si las funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces también su composición f(g(x) está definida. Ejercicio de práctica: Halla: f (g(x)), g (f(x)) y el dominio de cada composición si: 1 f ( x) x y g( x) . x
  4. 4. FUNCIONES POLINOMICAS Funciones de grado mayor o igual a dos Introducción Anteriormente estudiamos las siguientes funciones: f(x) = b, función constante f(x) = mx + b, función lineal f(x) = ax2 + bx + c, donde a es diferente de cero, función cuadrática f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, donde a es diferente de cero, función cúbica Definición: La función P(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 , donde an es diferente de cero, se conoce como una función polinómica de n ésimo grado. Los números an, an-1,..., a1,a0 se llaman los coeficientes de la función. Nota: Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una función lineal es un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un polinomio de segundo grado. La función P(x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningún grado. Definición: Un número r es raíz o solución de una función polinómica si P(r) = 0. Ejemplo: Considera la función f(x) = x2 - 4 ilustrada gráficamente:
  5. 5. 12 10 8 6 4 2 0 -4 -2 -2 0 2 4 -4 Muestra que las intersecciones con el eje x en -2 y en 2 son las raíces o soluciones de f(x) = x2 - 4, de manera que f(-2) = (-2)2 - 4 = 0 y f(2) = (2)2 - 4 = 0. Otro ejemplo que podemos mencionar es en f(x) = x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1) donde x = -3 y x = 1 son las soluciones o raíces. Nota: Si los coeficientes de un polinomio P(x) son reales, entonces las intersecciones con el eje x de la gráfica de y = P(x) son las raíces reales P(x), y son las soluciones reales o raíces para la ecuación P(x) = 0. Division Sintética Es un método rápido en la búsqueda de raíces de funciones polinómicas de grado superior que utilizaremos en el próximo tema. Este método requiere que los términos de la función polinómica se acomoden en orden descendente y que el término ausente se sustituya por cero. Ejemplos para discusión: 1)(2 x 3 5x 2 4 x 6) ( x 3) 2)(2 x 4 3x 3 x 5) ( x 2) 3)(2 x 4 5x 3 4x2 13) ( x 3) Ejercicio de práctica: 1)(2 x 2 3x 6) ( x 5) 2)(3x 4 11x 3 18 x 8) ( x 4) En la página 216 del texto se muestra un recuadro con los pasos claves en el proceso de la división sintética. Teorema del residuo: Si R es el residuo después de dividir el polinomio P(x) entre x - c, entonces P(c) = R.
  6. 6. Ejemplos para discusión: 1) Si P(x) = 2x3 - 5x2 + 4x - 6, halla P(3). 2) Si P(x) = 4x4 + 10x3 + 19x + 5, halla P(-3). Estos valores también se pueden obtener evaluando directamente en el polinomio. Ejercicio de práctica: Si P(x) = 3x4 - 16x2 - 3x + 7, halla P (-2). FUNCIONES RACIONALES Definición: Si P(x) y Q(x) son polinomios, la función de la forma: P( x ) f ( x) Q( x ) Se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero. Ejemplos: 1 x3 3x 2 f ( x) , g( x) , h( x ) 1 x x1 El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero. Ejemplo para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?
  7. 7. 1 1) f ( x ) x 2 2) g ( x ) x1 2x 3 3)h( x ) x2 4 1 4) f ( x ) 2x 1 Teorema: Sea f una función racional definida de la forma: P( x ) f ( x) Q( x ) donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de y = f(x). Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones: 1 1) f ( x ) x 2 2) g ( x ) x1 2x 3 3)h( x ) x2 4 1 4) f ( x ) 2x 1 Teorema: Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios, a m x m ... a1 x a 0 f ( x) bn x n ... b1 x b0 Entonces: 1) Para m < n, la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal. 2) Para m = n, la recta y = am/bn, es una asíntota horizontal. 3) Para m > n, no hay asíntotas horizontales. Ejemplos para discusión: Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones:
  8. 8. 1 1) f ( x ) x 2 2) g ( x ) x1 2x 3 3)h( x ) 3x 1 3x 3 4) f ( x ) x2 1 Gráfica de funciones racionales Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales. Ejemplos para discusión: Dibuja la gráfica de: 1 1) f ( x) x 1 2) g ( x) x1 2x 3)h( x) x3 3 4) f ( x) 2 x1 3x 6 5) g ( x) x1 Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones. Dibuja la gráfica. 3x 1) f ( x ) x2 1 2) f ( x ) x2 Teorema: Si f es una función definida de la forma: P( x ) f ( x) Q( x ) Donde P(x) y Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma: r ( x) f ( x) mx b Q( x )
  9. 9. Donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x). La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f. Ejemplo para discusión: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para: x2 3x 4 f ( x) x2 Dibuja la gráfica. Ejercicio de práctica: Halla las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas para: x2 5 f ( x) x1 Dibuja la gráfica. FUNCIONES EXPONENCIALES Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las 2 funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial. Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.
  10. 10. 1) f(x) = 2x 8 6 4 2 0 -4 -2 0 2 4 x 1 1x x 2) f ( x ) 2 2 2 8 6 4 2 0 -4 -2 0 2 4 Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno: 1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). 2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. 3) El eje de x es la asíntota horizontal. Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x. 4) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x. 5) 6) La función f es una función uno a uno. Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales: 1) Leyes de los exponentes:
  11. 11. a )(a x )(a y ) ax y ax ax y b) ay y c) a x a xy d )(ab) x a xb x x ax a e) bx b 2) ax = ay si y sólo si x = y 3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b. Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones: 2x = 8 1) 10x = 100 2) 4x-3 = 8 3) 5 2 - x = 125 4) Ejercicio de práctica: Halla el valor de x: 1) 2x = 64 2) 27 x + 1 = 9 La función exponencial de base e Al igual que , e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). la ecuación f(x) = ex Definición: Para un número real x, define a la función exponencial de base e. Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex. La gráfica de f(x) = ex es:
  12. 12. 25 20 15 10 5 0 -4 -2 0 2 4 El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos. La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación: 30 25 20 15 10 5 0 -4 -2 0 2 4 En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b. Ejemplos: Simplifica. 4x 1) e 2 x e3x 2) 3 x 8 e Ejemplo: Halla el valor de x en e x + 1 = e 3x - 1
  13. 13. Práctica: 1) Simplifica: (e 3x + 1) (e 2x – 5) 2) Halla el valor de x en e3x – 4 = e2x La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es: 25 20 15 10 5 0 -4 -2 0 2 4 FUNCIONES LOGARITMICAS Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo. Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces logb y = x si y sólo si y = bx. Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.
  14. 14. Ejemplos: 1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a 52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.) 2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3. Nota: El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. De manera que, log10 3 está definido, pero el log10 0 y log10 (-5) no lo están. Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. Ejemplo para discusión: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial: 1) log 3 9 2 1 2) log 49 7 2 1 3) log 2 2 4 Ejercicio de práctica: Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial: 1) log 3 27 3 1 2) log 36 6 2 1 3) log 3 2 9 Ejemplo para discusión: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica: 1)81 9 2 1 1 2) 3 3 1 3)100 2 10 Ejercicio de práctica: Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica:
  15. 15. 43 1)64 3 2) 2 8 1 2 3) 4 16 Solución de ecuaciones logarítmicas simples Ejemplos para discusión: 1) Halla el valor de x si log3 9 = x. 2) Halla el valor de b si logb 8 = 3. 3) Halla el valor de y si log2 y = 7. Ejercicio de práctica: 1) Halla el valor de y si log3 27 = y. 2) Halla el valor de b si logb 100 = 2. 3) Halla el valor de x si log2 x = -3. Propiedades de las funciones logarítmicas: Si b, M y N son números reales positivos, b es diferente de uno, y p y x son números reales, entonces: 1) logb 1 = 0 2) logb b = 1 logb bx = x 3) 4) logb MN = logb M + logb N M 5) log b log b M log b N N 6) logb Mp = p logb M 7) logb M = logb N si y sólo si M = N Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para simplificar: 1) log5 1 = 2) log10 10 = 3) log10 0.01 = Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para simplificar: 1) log10 1 = 2) log5 25 = 3) log10 10 -5 = Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para expandir cada expresión:
  16. 16. 1) logb 5x = 2) logb x9 = 1 3) log 2 5 xy 4) log 3 5 5) log 2 2 3 Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para expandir cada expresión: 1) log b uv 2) log b uv 3 r 3) log b xy 1 5 u 4) log b v3 Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo: 1) log3 (x) + log 3 (6) = 2) log3 (24) - log3 (4) = 3) log10 (x - 1) + log10 (3) - 3 log10 (x) = Ejercicio de práctica: Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo: 1) log10 (5) + log10 (3) = 2) log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) = 3) 2 log10 (x) + log10 (y) + log10 (3) = Logaritmos comunes y naturales Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10. Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e. Si y = ex entonces x = loge y = ln. Muchas calculadoras tienen la tecla [log] para los logaritmos comunes y la tecla [ln] para los logaritmos naturales. Notación: Logaritmo común: log x = log10 x Logaritmo natural: ln x = loge x Ejemplo para discusión: Usa la calculadora para hallar:
  17. 17. 1) log 2 = 2) ln .0034 = 3) log (-3.24) = Ejercicio de práctica: Usa la calculadora para hallar: 1) log 3 = 2) ln 28.693 = 3) log(-0.438) = El logaritmo natural tiene todas las propiedades para los logaritmos con base b. En particular: 1) ln e 1 2) ln 1 0 3) ln(uv ) ln u ln v u 4) ln ln u ln v v 5) ln u n n ln u Ejemplos: Usa las propiedades para expandir: 2x 1 1) ln x2 2) ln 3x 2 y Simplifica como un solo logaritmo: 3) ln y ln ( x 6) 4) x ln 1.05 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas La ecuación 2x - 1 = 7 representa una ecuación exponencial y la ecuación log(x + 1) - log x = 3 representa una ecuación logarítmica. Las propiedades de los logaritmos nos ayudan a resolver estas ecuaciones. Ejemplo para discusión: Resuelve las siguientes ecuaciones para x:
  18. 18. 1)53 x 29 2) 2 3 x 2 5 3) log( x 3) log( x ) 1 1 4) log 8 3 log 8 25 log 8 x 2 5)(ln x ) 2 ln x 2 Ejercicio de práctica: Resuelve las siguientes ecuaciones: 1)351 2x 7 2) log 3 ( x ) log 3 ( x 2) 1 3) log( x 15) 2 log( x ) 2 (log x ) 2 4) log x Gráficas de funciones logarítmicas Las funciones y = bx y y = logb x para b>0 y b diferente de uno son funciones inversas. Así que la gráfica de y = logb x es una reflexión sobre la recta y = x de la gráfica de y = bx. La gráfica de y = bx tiene como asíntota horizontal al eje de x mientras que la gráfica de y = logb x tiene al eje de y como asíntota vertical. Ejemplo: 8 3 2 6 1 4 0 -1 0 2 4 6 8 2 -2 0 -4 -2 0 2 4 -3 y = 2x y = log2 x Las funciones y = 2x y y = log2 x son funciones inversas una de la otra, por tanto, la gráfica de y = log2 x es una reflexión de la gráfica de y = 2x sobre la recta y = x. El dominio de y = 2x es el conjunto de los números reales y el recorrido es todos los números reales mayores que cero. El dominio de y = log2 x es el conjunto de los números reales mayores que cero y el recorrido el conjunto de los números reales.
  19. 19. LA INVERSA DE UNA FUNCION Antes de definir lo que es la inversa de una función necesitamos conocer qué es una función uno a uno (función inyectiva). Definición: Una función es uno a uno (función inyectiva) si ninguno de los pares ordenados tienen la misma coordenada y, y diferentes coordenadas x. Ejemplos para discusión: Determina en cada caso si f representa una función, y si es función uno a uno. 1) g = {(0,3), (0,5), (4,7)} 2) h = {(0,3), (2,3), (7,4)} 3) k = {(0,3), (2,5), (4,8)} f(x) = x2 4) Teorema: Funciones uno a uno 1) Si f(a) = f(b) para al menos un par ordenado de valores del dominio a y b, para a diferente de b , entonces f no es una función uno a uno. 2) Si la suposición f(a) = f(b) implica siempre que el dominio de los valores a y b son iguales, entonces f es una función uno a uno. Ejemplos para discusión: Determina si f es uno a uno. 1) f(x) = 2x - 1 2) f(x) = 4 - x2
  20. 20. Ejercicio de práctica: Determina si f(x) = 4 - 2x es uno a uno. Existe un procedimiento gráfico para determinar si una función es uno a uno. Si una recta horizontal interseca la gráfica de una función en más de un punto, entonces la función no es uno a uno. Si por el contrario, si cada recta horizontal interseca la gráfica en un punto o si no lo hace, entonces la función es uno a uno. Teorema: Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si cada recta horizontal interseca la gráfica de la función en a lo más un punto. Ejemplos: 1) 20 15 10 5 0 -5 0 5 f(x) = x2 no pasa la prueba de la recta horizontal, f no es uno a uno, pues la recta horizontal interseca la gráfica en más de un punto. 2) 6 4 2 0 -6 -4 -2 -2 0 2 -4 -6 f(x) = 2x + 4 pasa la prueba de la recta horizontal, f es uno a uno. La recta horizontal interseca la gráfica en un punto. Teorema: Si una función f es creciente en todo su dominio o decreciente en todo su dominio, entonces f es una función uno a uno. Por ejemplo, las funciones lineales son crecientes o decrecientes en los números reales ; f(x) = x3 es una función creciente en su dominio que es los números reales.
  21. 21. Funciones inversas Definición: Si f es una función uno a uno, entonces la inversa de f, denotada por f-1, es la función formada al invertir todos los pares ordenados en f. Por tanto: f-1 = {(y, x)/(x, y) está en f} Si f no es una función uno a uno, entonces f no tiene una inversa y f-1 no existe. Ejemplo: Sea f = {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}. Observa que f es una función uno a uno. Por tanto, f-1 = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}. Propiedades de las funciones inversas: Si f-1 existe, entonces: 1) f-1 es una función uno a uno 2) dominio de f-1 = recorrido de f 3) recorrido de f-1 = dominio de f En nuestro ejemplo anterior: 1) Dominio de f es {1, 2,3}. Dominio de f es el recorrido de f-1. 2) recorrido de f es {2, 4,9} Recorrido de f es el dominio de f-1. 3) dominio de f-1 es {2, 4,9} Dominio de f-1 es el recorrido de f. 4) Recorrido de f-1 es {1, 2,3}. Recorrido de f-1 es el dominio de f. Como observarás hallar la inversa de una función definida por un conjunto de pares ordenados es fácil. Pero, ¿cómo se halla la inversa de una función definida por una ecuación? Veamos el procedimiento algebraico en los siguientes ejemplos para discusión. Ejemplos para discusión: Halla la inversa de: 1) f ( x ) 2x 1 2) f ( x ) x1 1 3) f ( x ) x1 Ejercicio de práctica: Halla la inversa de: 1) f ( x ) 3x 5 2) f ( x ) x2 La inversa de una función vista gráficamente
  22. 22. Existe una relación importante entre la gráfica de una función y su inversa, esto es, en un sistema de coordenadas, los puntos (x, y) y (y, x) son simétricos con respecto a la recta y = x. Ejemplos para discusión: 1) Dibuja la gráfica de f(x) = x - 5 usando tablas de valores, asigna a x los valores: -3, - 2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Luego dibuja en el mismo plano la gráfica de y = x. Intercambia las coordenadas de los pares ordenados de f(x) y construye la nueva gráfica, que es la inversa de f(x). Observa que los puntos de f(x) y los puntos de f-1(x) son simétricos con respecto a la recta y = x. 2) Halla la inversa de f ( x ) x. Dibuja en el mismo plano la gráfica de ambas funciones en el mismo plano. 3) Halla la inversa de f ( x ) x 1 . Dibuja en el mismo plano la gráfica de ambas funciones en el mismo plano. RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS En esta ocasión pasaremos a encontrar todas las raíces racionales de un polinomio con coeficientes racionales. Teorema del factor (factorización): Si r es una raíz del polinomio P(x), entonces x - r es un factor de P(x). Por el contrario, si x - r es un factor de P(x), entonces r es una raíz de P(x). Ejemplos para discusión: 1) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = x2 - x - 6? 2) Demuestra que x + 1 es un factor de x25 + 1. 3) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 3(x - 5)(x + 2)(x - 3)? 4) ¿Cuáles son las raíces de x4 - 1? 5) ¿Cuáles son las intersecciones con el eje de x de la gráfica de P(x) = x2 - x - 6? Ejercicio de práctica: 1) Usa el teorema del factor para demostrar que x + 4 es un factor del polinomio P(x) = x3 - 13x + 12. 2) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 2(x + 3)(x + 7)(x - 8)(x + 1)? 3) ¿Cuáles son las raíces de x2 + 4 = 0? 4) ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de P(x) = x2 - 9? Teorema fundamental del álgebra: Cada polinomio P(x) de grado n>0 tiene al menos una raíz.
  23. 23. Definición: Si un factor x - r ocurre k veces en la factorización completa de un polinomio P(x), entonces r es una raíz de P(x) = 0 con multiplicidad k. Ejemplos: 1) 1) En el polinomio P(x) = x2 - 10x + 25 es un polinomio con raíz 5 de Observa que, x2 - 10x + 25 = (x - 5)(x - 5) = (x - 5)2. multiplicidad 2. 2) 2) Un polinomio P(x) de menor grado, con coeficiente principal 1 que tiene las siguientes raíces:-7 de multiplicidad 3 y 5 de multiplicidad 2 queda expresado de la forma factorizada como: P(x) = (x + 7)3 (x – 5)2. Teorema de las n raíces: Cada polinomio P(x) de grado n>0 se puede expresar como el producto de n factores lineales. De aquí que, P(x) tenga exactamente n raíces (no necesariamente distintas). Ejemplo: El polinomio P(x) = 6(x - 5)3(x + 1)2(x - i) (x + i) es de grado siete y tiene siete raíces, no todas diferentes. Observa que 5 es una raíz de multiplicidad 3; -1 es una raíz de multiplicidad 2; i y -i es de multiplicidad 1. Así que este polinomio de grado siete tiene exactamente siete raíces tomando en cuenta al 5 y al -1 con sus respectivas multiplicidades. Teorema de raíces imaginarias: Las raíces imaginarias de polinomios con coeficientes reales, si existe, ocurren en pares conjugados. Ejemplo: Al hallar las raíces del polinomio P(x) = x2 - 6x + 13 por la fórmula cuadrática encontramos que las raíces son 3 + 2i y 3 - 2i, que son números conjugados imaginarios. Teorema de las raíces racionales: Si P(x) = anxn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... + a1x + a0 es una función polinómica con coeficientes enteros (donde an es diferente de cero y a0 es diferente de cero) y b/c (de forma simplificada) es un cero racional de P(x), entonces b es un factor del término constante a0 y c es un factor del coeficiente de an. Ejemplos para discusión: Halla todas las raíces racionales para: 1) P(x) = 2x3 - 9x2 + 7x + 6 2) P(x) = 2x3 - 7x2 + 4x + 3 Ejercicio de práctica: Halla todas las raíces para P(x) = 2x3 + x2 - 11x - 10.
  24. 24. GRAFICA DE FUNCIONES Dominio y recorrido El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y). Ejemplo para discusión: Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:
  25. 25. 4 3 2 1 0 -4 -2 0 2 4 6 -1 -2 -3 -4 -5 Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica: 4 3 2 1 0 -4 -2 -1 0 2 4 6 -2 -3 -4 Funciones crecientes, decrecientes y constantes Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces: 1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.
  26. 26. 2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I. 3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I. Ejemplos: 6 4 2 0 -6 -4 -2 -2 0 2 -4 -6 1) La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales. 8 6 4 2 0 -5 -2 0 5 -4 -6 -8 2) La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales.
  27. 27. 2 1.5 1 0.5 0 -4 -2 0 2 4 3) La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales. 20 15 10 5 0 -5 0 5 4) La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito. Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}. Ejemplo:
  28. 28. 2 1.5 1 0.5 0 -4 -2 0 2 4 En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero. Función identidad La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. 2 1 0 -4 -2 -1 0 2 -2 -3 Función lineal Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica
  29. 29. no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales. Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0, b). Ejemplo: 6 4 2 0 -6 -4 -2 -2 0 2 -4 -6 En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4). Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica. Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen.
  30. 30. Función cuadrática Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a, b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula: b b ,f . 2a 2a 20 15 10 5 0 -5 0 5 f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x2 es cóncava hacia arriba. 0 -5 -5 0 5 -10 -15 -20 f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el
  31. 31. recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo. Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y. Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio, recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones: 1) f(x) = x2 - 2x - 3 2) g(x) = -x2 - 2x + 3 Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x2 + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica. Función valor absoluto La función f ( x ) x es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es: 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -4 -2 0 2 4
  32. 32. Función dominio partido Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes ecuaciones para diferentes partes del dominio. Por ejemplo: x 1 si x 0 f ( x) x 1 si x 0 La gráfica de esta función es: El dominio es el conjunto de los números reales excepto el cero, que expresado en forma de intervalo es (- , 0) (0, ). El recorrido es el conjunto de los números reales excepto -1 y 1 y los números reales entre –1 y 1,esto es, (- , -1) (1, ). Los puntos abiertos en (0,-1) y (0,1) indica que los puntos no pertenecen a la gráfica de f. Debido a la separación de la gráfica en x = 0, se dice que f es discontinua en x = 0. Función radical La función f ( x ) x es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:
  33. 33. 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES Las definiciones, conceptos e ideas que se discutirán en esta sección son conocidas en cursos tomados anteriormente. De manera que el propósito será un repaso de las mismas. Definición: Una ecuación de la forma ax+ by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuación lineal en dos variables de forma general.
  34. 34. Ejemplos: 2x + y = 4; 3x - 4y = 9. Las ecuaciones y = -3x + 5 y y = -2x son ecuaciones lineales en dos variables pero no están expresadas de la forma general. Lo podemos lograr cambiando de lugar los términos correspondientes. De manera que: y = -3x + 5 en la forma general es 3x + y = 5 y = -2x en la forma general es 2x + y = 0 El conjunto solución de una ecuación lineal en dos variables es el conjunto de pares que hace la ecuación cierta. Por ejemplo: ¿cuál de los siguientes pares ordenados (5,1) y (8,3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12? La respuesta a esta pregunta la podemos hallar sustituyendo los valores de las coordenadas x y y en la ecuación dada. Veamos: 1) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(5) - 4(1) = 15 - 5 = 10. Por tanto, el par ordenado (5, 1) no es solución de la ecuación 3x - 4y = 12. 2) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 - 12 = 12. Por tanto, el par ordenado (8, 3) es solución de la ecuación 3x - 4y = 12. Gráfica de ecuaciones lineales en dos variables Las gráficas de las ecuaciones lineales son líneas rectas. Una forma de construir gráfica de líneas recta es a través de interceptos. La coordenada x del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de x se llama intercepto en x. Para hallarlo se le asigna a y el valor de cero. El intercepto en x se expresa de la forma (x, 0). La coordenada y del punto donde interseca la gráfica de la ecuación en el eje de y se llama intercepto en y. Para hallarlo se le asigna a x el valor de cero. El intercepto en y se expresa de la forma (0, y). Ejemplos para discusión en clase: Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos. 1) x - y = 3 2) 2x + 3y = 6 Ejercicio de práctica: Construye la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones usando interceptos: 1) 3x + 5y = 15 2) 3x - 4y = 12 Pendiente de una recta Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.
  35. 35. Si una recta pasa por dos puntos distintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por: y2 y1 m , donde x1 x2 . x2 x1 Esto es, cambio vertical ( elevacion) m . cambio horizontal ( desplazamiento) Ejemplo para discusión en clase: Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para cada caso. 1) (-3,4) y (6, -2) 2) (-3, -4) y (3, 2) 3) (-4, 2) y ( 3, 2) 4) (2, 4) y (2, -3) Con los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta: Pendiente Tipo de recta positiva recta ascendente negativa recta descendente cero recta horizontal no definida recta vertical Ejercicio de práctica: Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos. 1) (-3 , -3) y (2, -3) 2) (0, 4) y (2, -4) 3) (-2, -1) y (1, 2) 4) (-3, 2) y (-3, -1) Ecuaciones de la forma pendiente-intercepto Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. Por ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma pendiente-intercepto donde la pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 5). La ecuación x + y = 2 no está expresada de la forma pendiente-intercepto. Pero lo podemos hacer cambiando términos de posición, esto es, y = -x + 2. Donde la pendiente (m) es -1 y el intercepto en y es (0, 2). Nota: Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen. Por ejemplo, y = 3x representa la ecuación de una recta ascendente que pasa por el origen. Ejemplos para discusión en clase:
  36. 36. 1) La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 4). ¿Cuál es la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto? 2) Determina la pendiente y el intercepto en y de la recta cuya ecuación es 2x + y = 1. Dibuja la gráfica. Ejercicio de práctica: Escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente-intercepto con pendiente 2 y el intercepto en y en (0, 5). Ecuaciones de la forma punto-pendiente Una ecuación de una recta que pasa por un punto (x1, y1) con pendiente m es: y - y1 = m(x - x1). Conocida por la ecuación punto-pendiente. Esta forma de ecuación nos permite hallar la ecuación de la recta cuando se tiene: a) el valor de la pendiente y las coordenadas de un punto en la recta, o, b) dos puntos de la recta. Para este caso, se halla primero la pendiente y luego se utiliza la forma punto-pendiente con cualquiera de los puntos dados. Ejemplos para discusión en clase: 1) Halla la ecuación de la recta con pendiente -2 y pasa por el punto (1, 4). Expresa la ecuación de la forma general. 2) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, -3) y (3, 7). Expresa la ecuación de la forma pendiente-intercepto. Ejercicio de práctica: 1) ¿Cuál es la ecuación de la recta con pendiente 1/2 y pasa por el punto (8, 5)? Expresa la ecuación de la forma general. 2) Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-5, 2) y (4, -7) Expresa la ecuación de la forma pendiente-intercepto. Rectas verticales y horizontales La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante. Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida. La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante. La pendiente de una recta horizontal es cero. Nota: En la página 124 del texto aparece un resumen en la Tabla 2 sobre las diferentes formas de ecuaciones. Ejercicio de práctica: Construye la gráfica de cada ecuación:
  37. 37. 1) x = -2 2) y = 5 Rectas paralelas y perpendiculares ¿Recuerdas las rectas paralelas y perpendiculares estudiadas en geometría? Las rectas paralelas son aquellas que están en un mismo plano y nunca se intersecan. Las rectas perpendiculares son dos rectas que se intersecan formando cuatro ángulos de 90 grados. Dadas dos rectas no verticales L1 y L2 con pendientes m1 y m2, respectivamente, entonces: L1 / / L2 si y solo si m1 m2 1 L1 L2 si y solo si m1 m2 Ejemplo para discusión en clase: Dada la ecuación de la recta 3x - 2y = 5 y el punto (-3, 5). Halla la ecuación de una recta que pase por el punto (-3, 5) que sea paralela a la ecuación dada y otra ecuación de una recta que sea perpendicular . Ejercicio de práctica: Dada la ecuación de la recta 4x + 2y = 3 y el punto (2, -3) halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y que sea: 1) paralela a 4x + 2y = 3 2) perpendicular a 4x + 2y = 3 Distancia entre dos puntos Sean (x1, y1) y (x2, y2) dos puntos. La distancia entre esos dos puntos está dada por: x1 ) 2 y1 ) 2 ( x2 ( y2 Ejemplos: Halla la distancia entre los puntos: 1) (3, 1) y (-5, 6) 2) (-5, 0) y (-4,-5) Ejercicio de prática: Halla la distancia entre los puntos (-4,-5) y (4,-1).
  38. 38. Su dominio es [0, ) y el recorrido es [0, ). ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c Al inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│. Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3 es -3 y 3. Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax + b = -c.
  39. 39. Ejemplos Para discusión: 1) │3x - 4│ = 5 1 2) x1 5 2 3) │3x - 1│+ 2 = 5 4) │x + 2│ = │x - 7│ Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 1) │3x - 4│= 23 2) │2x + 1│ + 3 = 8 2 3) x4 2 3 4) │x - 6│ = │5x + 8│ Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c ¿Qué significa │x│< 2 ? Significa que x es un número menor que 2 unidades desde cero a la recta numérica. La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación. Dibuja en el espacio provisto la recta numérica. Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│< 2 están entre -2 y 2. Es decir, que estos valores están en el intervalo entre -2 y 2, esto es, -2 < x < 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│< a, entonces –a < x < a. Ejemplos para discusión:
  40. 40. 1) │x│< 3 2) │x + 5│ ≤ 10 3) │3x - 2│≤ 8 4) │2(x – 1) + 4│ < 8 Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones: 1) │x│≤ 5 2) │x - 6│ < 15 3) │2 + 3(x – 1)│< 20 Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c ¿Qué significa │x│> 2? Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la recta numérica. Esto ocurre cuando x está a la izquierda de -2 en la recta numérica, esto es, cuando x < -2. También ocurre cuando x está a la derecha de 2 en la recta numérica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numérica en le espacio provisto para que puedas visualizarlo. De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│> a, entonces x < -a ó x > a.
  41. 41. Ejemplos para discusión: 1) │x│≥ 3 2) │x - 4│> 5 3) │2x - 3│> 5 2 4) 3 x 5 3 Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones. 1) │x│> 5 2) │x + 6│> 2 3) │-5x - 2│>13 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición: Un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de dos tipos de ecuaciones de la forma: 2 x 3y 9 3x y 8 donde a,b,c,d,h y k son constantes. La solución del sistema dado es el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) que satisfacen ambas ecuaciones. Ejemplos:
  42. 42. 1) Determina si el par ordenado (3,1) es una solución del sistema: 2x 3y 9 3x y 8 2) ¿Es (2,0) una solución al sistema que aparece a continuación? 5x 2y 10 ? 3x 2y 6 Al resolver un sistema de ecuaciones lineales se obtiene una de las siguientes posibilidades: 1) Una solución única, esto es, que las rectas se intersecan en un punto. El sistema es consistente. 2) Ninguna solución, esto es, que las rectas son paralelas. El sistema es inconsistente. 3) Infinito números de soluciones, esto es, que las rectas coinciden. El sistema es dependiente. Ejemplos para discusión en clase por el método gráfico y el método de eliminación de una variable. xy3 1 ) xy3 x2 2 y 2) x2 4 y Ejercicio de práctica: Halla la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método gráfico y por el método de eliminación de una variable. x y 3 1) x y 3 x 2y 2 2) x 2y 4 MATRICES
  43. 43. Definición: Una matriz es un arreglo de números reales distribuidos en filas y columnas, el cual están encerrados en paréntesis o corchetes. Las matrices generalmente se denotan con letras mayúsculas. Ejemplos: 4 2 C 3 2 37 1 3 A B 1 1 04 4 5 D 1, 2, 3, 5 Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces se dice que la matriz es de dimensión m x n. Por ejemplo, la matriz A es de dimensión 2 x 3, ya que la matriz A tiene dos filas (m) y tres columnas (n). B es de dimensión ________, C es de dimensión _______ y D es de dimensión __________. Observa que una matriz de dimensión 1 x n tiene una fila y n columnas; mientras que una matriz de dimensión m x 1 tiene m filas y una columna. Una matriz que consiste de una columna se llama matriz columna. Una matriz que consiste de una fila se llama matriz fila. En los ejemplos anteriores, C es una matriz columna y D es una matriz fila. Si todos los elementos ( o componentes) de una matriz son ceros llamamos a la matriz una matriz cero y se denota por 0. Por Ejemplo, la matriz cero de dimension 2 x 3 es: 000 0 000 Una matriz con el mismo número de filas que de columnas se llama una matriz cuadrada. Ejemplos: 1 6 2 1 3 A C 3 1 4 4 5 2 0 5 Dimensión 2 x 2 dimensión 3 x 3 Nota: Los números 1, -1 y 5 en la matriz C de dimensión 3 x 3 se conocen como los elementos de la diagonal principal. La diagonal principal la hallamos en las matrices cuadradas. Así también los números 1 y 5 en la matriz A de dimensión 2 x 2 son elementos de la diagonal principal.
  44. 44. DETERMINANTES Definición: Sea a11 a12 A a 21 a 22 una matriz de orden 2 x 2. El determinante de A denotado por det A = a11 a22 - a12 a21. También el determinante se representa por: det A A. Ejemplo para discusión: Halla el determinante de la matriz: 1 2 A 3 4 Ejercicio de práctica: Halla el determinante de: 3 5 B 4 2 Definición: Sea a11 a12 a13 A a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 una matriz de orden 3 x 3, entonces: a11 a12 a13 a11 a12 det A a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 = (a11)(a22)(a33)+(a12)(a23)(a31)+(a13)(a21)(a32)-(a31)(a22)(a13)-(a32)(a23)(a11)-(a33)(a21)(a12) Nota: Este método sólo aplica a matrices de orden 3 x 3.
  45. 45. Ejemplo para discusión: Halla el determinante de la matriz : 3 52 A 4 23 124 Ejercicio de práctica: Halla el determinante de la matriz: 2 1 1 B 2 3 0 1 2 1 REGLA DE CRAMER Teorema: Regla de Cramer para sistemas de dos ecuaciones y dos variables Dado el sistema: a11 x a12 y k1 a11 a12 , con D 0 a 21 x a 22 y k2 a 21 a 22 Entonces:
  46. 46. k1 a12 a11 k1 k 2 a 22 a 21 k2 x y y . D D Nota: El determinante D es el determinante de la matriz coeficiente. Si D es diferente de cero, entonces el sistema tiene exactamente una solución. Por otro lado, si D = 0, entonces el sistema tiene infinito número de soluciones o ninguna solución. Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema: 3x 5 y 2 4 x 3y 1 Nota: La regla de Cramer no se puede usar para resolver sistemas donde el número de variables no sea igual al número de ecuaciones. Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema: 2x y 0 xy1 Teorema: Regla de Cramer para sistemas de tres ecuaciones y tres variables Dado el sistema: a11 x a12 y a13 z k1 a11 a12 a13 a 21 x a 22 y a 23 z k 2 , con D a 21 a 22 a 23 0 a 31 x a 32 y a 33 z k3 a 31 a 32 a 33 Entonces: k1 a12 a13 a11 k1 a13 a11 a12 k1 k2 a 22 a 23 a 21 k2 a 23 a 21 a 22 k2 k3 a 32 a 33 a 31 k3 a 33 a 31 a 32 k3 x y z D D D .
  47. 47. Ejemplo para discusión: Resuelve el siguiente sistema: x y 2 3y z 4 x z 3 Ejercicio de práctica: Resuelve el siguiente sistema: x yz4 x y 2z 8 2x y z 3 ECUACIONES CUADRATICAS Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas. Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y, c son números reales y a es un número diferente de cero. Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0
  48. 48. La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Factorización: Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización: 1) x2 - 4x = 0 2) x2 - 4x = 12 3) 12x2 - 17x + 6 = 0 Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos. Raíz cuadrada: Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación. Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a : x k. Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada: 1) x2 - 9 = 0 2) 2x2 - 1 = 0 3) (x - 3)2 = -8 Completando el cuadrado: Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma: x2 + bx + ? Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
  49. 49. x2 + bx es : 2 b x2 bx . 2 Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación. Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado: 1) x2 + 6x + 7 = 0 2) x2 – 10x + 5 = 0 3) 2x2 - 3x - 4 = 0 Fórmula cuadrática: La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática: b2 b 4ac x . 2a La expresión: b2 4ac Conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante. Valor de: Tipo de solución b2 4ac positivo dos soluciones reales cero una solución real negativo dos soluciones imaginarias Ejemplos para discusión: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática: 1) x2 + 8x + 6 = 0 2) 9x2 + 6x + 1 = 0 3) 5x2 - 4x + 1 = 0 Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática. Práctica: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
  50. 50. x2 - x - 20 = 0 1) (por factorización) x2 - 8 = 0 2) (por raíz cuadrada) x2 - 4x + 5 = 0 3) (completando el cuadrado) 9x2 + 6x = 1 4) (formula cuadrática) NUMEROS COMPLEJOS Introducción ¿Qué da origen a nuestro sistema de números? Las distintas necesidades permiteron su desarrollo.. Los números naturales para contar, los números racionales para expresar partes fraccionarias y razones. Los números negativos para expresar pérdidas, débitos y temperaturas bajo cero. Cuando se observó que no se podia expresar un tamaño exacto con un número racional aparecieron los números irracionales. Luego el conjunto de los números racionales en unión a los números irracionales formaron el conjunto de números reales. Más tarde surgió la necesidad de expandir el sistema de números reales con el conjunto de los números complejos. Anteriormente trabajamos con la solución de una ecuación lineal (de grado uno). En esa ocasión vimos que las ecuaciones lineales tienen soluciones reales. Más adelante estudiaremos las ecuaciones cuadráticas (de grado dos). Por ejemplo, x2 = 9 es una ecuación cuadrática que tiene dos soluciones reales, estas son: -3 y 3. Pues (- 3)2 = 9 y (3) 2 = 9. Sin embargo, la ecuación cuadrática x2 = -1 no tiene solución real. Pues no existe un número real que al multiplicarse por si mismo se obtenga el valor de -1. Los números imaginarios están basados en la solución de la ecuación x2 = -1. Como ningún número real es la solución de esta ecuación, se define a un número imaginario i para ser la solución de esta ecuación. Definiciones Un número imaginario i se define como: i2 i 1 y 1.
  51. 51. El conjunto de los números complejos es el conjunto de todos los números de la forma a + bi, donde a y b son números reales. Ejemplos: 2 + 3i y 5 - 2i En el número complejo a + bi, a se llama parte real y b se llama la parte imaginaria. A la forma a + bi, se le llama la forma general del número complejo. Pero para facilitar la notación usamos algunas variaciones de esa forma general. Si a = 0 entonces se omite la parte real y sólo se escribe la parte imaginaria. Si b = 0 entonces sólo se escribe la parte real y el número a es un número real. Si b contiene un radical entonces se escribe i antes de b para evitar confusión, es decir, que i esté dentro del radical. Ejemplos: 1)4 5i 2)3i 0 3i 3)7 7 0i 4)0 0 0i 5)2 i 5 Operaciones con los números complejos Para sumar números complejos sumamos las partes reales y las partes imaginarias. La sustracción se hace similarmente. En la multiplicación aplicamos la propiedad distributiva. Ejemplos para discusión en clase: 1) (4 + 5i) + (1 - 7i) = 2) (9 - 2i) - (6 + 5i) = 3) 2(5 + 3i) = 4) 3i(1 + 4i) = 5) (3 - 2i)(1 + 5i) = Definición: Los números complejos a + bi y a - bi se llaman conjugados complejos uno del otro. Por ejemplo: el conjugado de 5 + 3i es 5 - 3i. El conjugado de 3 - 2i es 3 + 2i. Teorema: Si a y b son números reales, entonces el producto de a + bi y su conjugado a - bi, es el número real a2 + b2. Esto es: (a +bi)(a - bi) = a2 + b2. Usamos el teorema sobre conjugados complejos para dividir números imaginarios. Ejemplos para discusión en clase:
  52. 52. 8 i 1) 2 i 1 i 2) 5 4i Ejercicio de práctica: Efectúa las siguientes operaciones con números imaginarios. 1)( 3 2i ) (5 6i ) 2)(6 7i ) (3 4i ) 3)(3 i )(5 2i ) 4)(4 3i )(4 3i ) 1 i 5) 3 2i 4 2i 6) 2 3i

×