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ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II 
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  1. 1. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE EDUCACION LICENCIATURA EN MATEMATICAS ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II TALLERES DE GEOGEBRA I. IDENTIFICACIÓN DEL TALLER N° TALLER 2 FECHA 09-10-14 GRADO Decimo TITULO Identidades pitagóricas UNIDAD Identidades trigonométricas PENSAMIENTOS INCLUIDOS Pensamiento espacial y sistemas geométricos CONOCIMIENTOS PREVIOS 1. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos (taller 1) 2. Identidades Inversas 3. Teorema de Pitágoras INTRODUCCIÓN Este taller permite reforzar conocimientos a partir de la implementación de herramientas tecnológicas como geogebra. También es un material didáctico que ayuda al docente de matemáticas a desarrollar la clase de forma más activa generando un aprendizaje significativo. AUTORES: ALEIDA YERALDIN GARCIA ACOSTA – NURY ALEJANDRA GOMEZ BOLAÑOS I. COMPONENTE TEORICO A. Razones trigonométricas: En todo triangulo rectángulo como se muestra en la figura existen relaciones entre sus lados, si β es cualquier ángulo agudo se podría considerar un triangulo rectángulo que tiene a β como uno de sus ángulos, de donde se pueden obtener las seis razones trigonométricas teniendo en cuenta las longitudes de los lados.
  2. 2. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE EDUCACION LICENCIATURA EN MATEMATICAS ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II TALLERES DE GEOGEBRA 푠푒푛훽 = 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표 (푐표) ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 (ℎ푝) = 푏 푐 푐푠푐훽 = ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표 = 푐 푏 푐표푠훽 = 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푠푒푛푡푒 (푐푎) ℎ푖푝표푡푒 푛푢푠푎 (ℎ푝) = 푎 푐 푠푒푐훽 = ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푠푒푛푡푒 = 푐 푎 푡푎푛훽 = 푐푎푡푒푡 표푝푢푒푠푡표 (푐표) 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푠푒푛푡푒 (푐푎) = 푏 푎 푐표푡훽 = 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푠푒푛푡푒 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒 푠푡표 = 푎 푏 B. Una identidad trigonométrica: Es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones. C. Identidades reciprocas: Utilizando las razones trigonométricas se puede analizar que 푠푒푛훽 = 1 푐푠푐훽 = 푏 푐 푐푠푐훽 = 1 푠푒푛훽 = 푐 푏 푐표푠훽 = 1 푠푒푐훽 = 푎 푐 푠푒푐훽 = 1 푐표푠훽 = 푐 푎 푡푎푛훽 = 1 푐표푡훽 = 푏 푎 푐표푡훽 = 1 푡푎푛훽 = 푎 푏 II. METODOLOGIA PARA EL DESARROLLO DE LA GUIA. ORGANIZACIÓN EN GRUPO, INDIVIDUAL, FECHAS DE ENTREGA: Se conformaran parejas para el desarrollo de la presente guía que debe entregarse en una carpeta comprimida un informe en Word con imágenes de cada procedimiento y las construcciones realizadas en Geogebra al finalizar la clase. , III. PROCEDIMIENTO PASO A PASO
  3. 3. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE EDUCACION LICENCIATURA EN MATEMATICAS ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II TALLERES DE GEOGEBRA A. Teorema de Pitágoras 1. Con la herramienta recta construya una sobre el eje x que pase por los puntos A=(0,0) y B=(4,0) 2. Con la cuarta herramienta de la barra opción perpendicular construya la recta perpendicular a la del inciso anterior cuyo punto de intersección sea el punto A 3. 4. Construya un punto C=(0,3) y con la herramienta polígono un triangulo cuyos vértices sean A, B y C. 5. Para comodidad de los cálculos que realizaremos más adelante conviene renombrar los elementos de tal manera que el lado opuesto a cada vértice le corresponda la misma letra pero en
  4. 4. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE EDUCACION LICENCIATURA EN MATEMATICAS ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II TALLERES DE GEOGEBRA minúscula, es probable que también se deban renombrar las rectas por ejemplo con n y m, se recomienda que los vértices y lados del triangulo se bauticen de tal manera que el ángulo recto sea C y por consiguiente su opuesto “la hipotenusa” sea c, puede guiarse por la siguiente figura. 6. Como las rectas se construyeron solo para crear el triangulo rectángulo se pueden ocultar en la vista grafica, dando clic sus respectivos botones que se encuentran en la vista grafica 7. Con la herramienta polígono regular se construye tres cuadrados, uno sobre cada uno de los lados del triangulo.
  5. 5. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE EDUCACION LICENCIATURA EN MATEMATICAS ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II TALLERES DE GEOGEBRA 8. De acuerdo con el teorema de Pitágoras se sabe que: 푐2 = 푎2 + 푏2 Lo que significa que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos en los catetos del mismo. Para probarlo utilice la octava herramienta opción área y pinche sobre cada uno de los cuadrados que acaba de construir, posteriormente realice la suma de los datos obtenidos para los cuadrados de los catetos y compárela con el área obtenida del cuadrado construido en la hipotenusa, si lo desea utilice para esto la hoja de cálculo a la que tiene acceso desde geogebra. Identidades pitagóricas 9. Una vez verificado el teorema de Pitágoras encuentre la primera identidad pitagórica de la siguiente manera:  Construya los ángulos internos agudos del triangulo rectángulo recuerde que al vértice A debe corresponderle el ángulo α y al vértice B el ángulo β  En la hoja de cálculo haga la lista de cada lado del triangulo elevado al cuadrado en una columna y frente a esta la operación correspondiente.
  6. 6. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE EDUCACION LICENCIATURA EN MATEMATICAS ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II TALLERES DE GEOGEBRA  De el teorema de Pitágoras tenemos 푐2 = 푎2 + 푏2, recuerde que si a una expresión matemática se opera en ambos lados de la misma manera la equivalencia no se altera, así que al dividir entre 푐2 no verá afectada la igualdad y obtendrá la siguiente expresión 푐2 푐2 = 푎2 푐2 + 푏2 푐2 (1) 1 = 푎2 푐2 + 푏2 푐2 (2) Para comprobar esto recurra nuevamente a la hoja de cálculo de geogebra realizando las operaciones de acuerdo a la siguiente imagen.  Pero la expresión (2) puede transformarse en: 1 = ( 푎 푐 ) 2 + ( 푏 푐 ) 2
  7. 7. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE EDUCACION LICENCIATURA EN MATEMATICAS ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II TALLERES DE GEOGEBRA 푝표푟 푝푟표푝푖푒푑푎푑푒푠 푑푒 푝표푡푒푛푐푖푎푐푖ó푛  Analizando el ángulo β vemos de la expresión anterior que (por razones trigonométricas de un triangulo rectángulo) 푎 푐 corresponde al coseno del ángulo y 푏 푐 al seno del mismo, por lo tanto puede reescribirse de la siguiente manera: 1 = 푐표푠2훽 + 푠푒푛2 훽  Comprobemos que es cierto utilizando geogebra, guíese por la siguiente imagen: Comparando lo hecho anteriormente notese que se cumple la identidad
  8. 8. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE EDUCACION LICENCIATURA EN MATEMATICAS ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II TALLERES DE GEOGEBRA IV. PROBLEMA (PARA RESOLVER POR EL ESTUDIANTE)  Al mover los vértices del triangulo rectángulo ¿Qué ocurre con la identidad pitagórica?  Si se analiza lo anterior con respecto al ángulo α ¿se cumple la identidad pitagórica? V. EVALUACIÓN Compruebe las siguientes identidades pitagóricas utilizando geogebra 푡푎푛2 훽 + 1 = 푠푒푐2 훽 푐표푡2훽 + 1 = 푐푠푐2 훽 SUGERENCIA: Divida en el teorema de Pitágoras por a² y b² respectivamente.
  9. 9. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE EDUCACION LICENCIATURA EN MATEMATICAS ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II TALLERES DE GEOGEBRA LISTA DE CHEQUEO No. Orden VARIABLES/INDICADORES DE LOGRO CUMPLE OBSERVACION SI NO Construir elementos para corroborar las identidades pitagóricas Relacionar adecuadamente las razones trigonométricas con el teorema de Pitágoras para construir las identidades pitagóricas . Realizar el informe solicitado en la guía. Manipular la guía de acuerdo a las instrucciones dadas para concluir la actividad con éxito.

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