Serie de Fourier

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  • Gracias.... Me sirvió para una investigación de la Universidad. Saludos!!!
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Serie de Fourier

  1. 1. 1<br />Series de Fourier<br />&quot;Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones&quot;,<br />Genaro González<br />
  2. 2. 2<br />Serie trigonométrica de Fourier<br />Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier<br />f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t) + a2cos(2w0t) + ...<br /> + b1sen(w0t) + b2sen(2w0t) + ...<br />Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia fundamental.<br />
  3. 3. 3<br />Ortogonalidad<br />Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a &lt; t &lt; b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:<br />Ejemplo: Demostrar que las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p &lt; t &lt;p:<br />
  4. 4. 4<br />Funciones Pares e Impares<br />Una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir f(t) = f(-t)<br />una función es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir,<br /> -f(t) = f(-t)<br />
  5. 5. 5<br />¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?<br />
  6. 6. 6<br />f(t)<br />1<br />t<br />. . . -T/2 0T/2 T . . .<br />-1<br />w0= 2p/T<br />Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T:<br />La expresión para f(t) en –T/2&lt; t &lt; T/2 es:<br />
  7. 7. 7<br />Coeficientea0:<br />
  8. 8. 8<br />Coeficientesan:<br />
  9. 9. 9<br />Coeficientes bn:<br />
  10. 10. 10<br />Finalmente, la serie de Fourier queda como <br />En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para <br />w0 = p (w0= 2p/T), es decir, T = 2:<br />
  11. 11. 11<br />Componentes de la Serie de Fourier<br />1.5<br />1<br />0.5<br />0<br />Componentes<br />-0.5<br />Suma<br />fundamental<br />-1<br />tercer armónico<br />quinto armónico<br />séptimo armónico<br />-1.5<br />-1<br />-0.5<br />0<br />0.5<br />1<br />t<br />Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)<br />
  12. 12. 12<br />Nota:<br />Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. <br />La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado.<br />
  13. 13. 13<br />f(t)<br />1<br />t<br />. . . -T/2 0T/2 T . . .<br />-1<br />f(t)<br />Habíamos calculado <br />los coeficientes para:<br />1<br />t<br />. . . -T/2 0T/2 T . . .<br />-1<br />Si los calculamos para la misma función desplazada<br />tienen que ser los mismos:<br />
  14. 14. 14<br />f(t)<br />De hecho si repetimos <br />para cualquier intervalo <br />de longitud el periodo <br />T de la función, será lo <br />mismo:<br />1<br />t<br />-1<br />. . . t0 t0 +T . . .<br />
  15. 15. Actividad 1<br />Calcular la serie de Fourier de la función periódica:<br />
  16. 16. 16<br /> Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que:<br />Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto <br />bn= 0 para todo n.<br />Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.<br />
  17. 17. 17<br />f(t)<br />1<br />t<br />. . . -T/2 0T/2 T . . .<br />-1<br />Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:<br />Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:<br />
  18. 18. 18<br />f(t)<br /> t<br />Simetría de media onda<br />Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad<br />Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:<br />
  19. 19. 19<br />Simetrías y Coeficientes de Fourier<br />
  20. 20. 20<br />
  21. 21. 21<br />
  22. 22. 22<br />Actividad 2<br />
  23. 23. 23<br />Forma compleja de la serie de Fourier<br />Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2p/w0.<br />Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:<br />
  24. 24. 24<br />Sustituyendo:<br />Y usando el hecho de que 1/i = -i:<br />Y definiendo:<br />
  25. 25. 25<br />A la expresión obtenida<br />se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:<br />Para n = 0, 1, 2, 3, ...<br />
  26. 26. 26<br />f(t)<br />1<br />t<br />. . . -T/2 0T/2 T . . .<br />-1<br />Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:<br />Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y<br />
  27. 27. 27<br />0<br />Entonces la serie compleja de Fourier queda:<br />
  28. 28. 28<br />Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:<br />
  29. 29. 29<br />Como w0T = 2p y :<br />que coincide con el resultado ya obtenido.<br />
  30. 30. 30<br />Actividad 3<br />Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside, usando la forma compleja, <br />
  31. 31. 31<br />d(t)<br />d(t)<br />f3(t)<br />f2(t)<br />t<br />La función impulso o delta de Dirac<br />f1(t)<br />t<br />Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:<br />
  32. 32. 32<br />d(t)<br />t<br />Propiedades de la función d<br />
  33. 33. 33<br />Calcular la serie de Fourier de d(x):<br />
  34. 34. 34<br />Calcular la serie de Fourier de d(x):<br />Para todas las x ≠ 0 la función delta vale 0<br />
  35. 35. 35<br />
  36. 36. 36<br />
  37. 37. 37<br />
  38. 38. 38<br />
  39. 39. 39<br />
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  42. 42. 42<br />
  43. 43. 43<br />
  44. 44. 44<br />

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