Teoremi fondamentali sugli operatori lineari [tesi][santi caltabiano]

1. µ
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI
MESSINA
µ
FACOLTA DI SCIENZE MM.FF.NN.
Corso di Laurea in Matematica
TEOREMI FONDAMENTALI SUGLI
OPERATORI LINEARI E RICERCA
DELLE LORO APPLICAZIONI
Tesi di Laurea di:
Santi Caltabiano
Relatore:
Ch.ma Prof.ssa C. Vitanza
ANNO ACCADEMICO 1998-1999

2. Indice Generale
Introduzione 1
1 Nozioni e strumenti propedeutici 5
1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Nozioni topologiche propedeutiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Cenni sugli spazi vettoriali topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 Teoria di base degli operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Teoremi fondamentali sugli operatori lineari 69
2.1 Operatori a gra¯co convesso. Operatori a±ni. Teorema di Deutsch-Singer 69
2.2 Criteri di continuitµ per operatori e funzionali lineari . . . . . . . . . . .
a 76
2.3 Criteri per operatori e funzionali lineari aperti . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4 Prolungamento per continuit¶ ad operatori lineari. Teorema di Nachabin.
a
Teoremi di Hahn-Banach. Teoremi di separazione . . . . . . . . . . . . . 91
2.5 Spazio degli operatori lineari e continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.6 Anello degli operatori lineari e continui. Criteri sull'inversa di un operatore
lineare. Teorema di Banach. Metodo delle approssimazioni successive . . 126
i

3. 2.7 Teorema della mappa aperta. Teorema dell'inversa continua. Teorema del
gra¯co chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.8 Teorema di Banach-Steinhaus. Principio dell'uniforme limitatezza . . . . 146
2.9 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert e teorema di
rappresentazione di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Bibliogra¯a 154
Indice Analitico 155
ii

4. Introduzione
Un numero considerevole di procedimenti matematici concreti puµ essere incluso
o
in uno schema astratto descritto con l'aiuto degli operatori lineari. Tra i problemi
di tal genere vanno annoverati in particolare, lo studio delle soluzioni di sistemi di
equazioni di®erenziali, lo studio della convergenza delle serie di Fourier e dei polinomi
interpolabili, delle formule di quadrature meccaniche, la teoria degli integrali singolari,
eccetera. In questi casi lo studio del problema, in forma astratta, si riconduce solitamente
alla dimostrazione della convergenza di una successione di operatori lineari, o alla
dimostrazione della limitatezza di tali operatori, o ad altri problemi analoghi.
Nella presente trattazione ci proponiamo di esporre e di approfondire i principali
teoremi sugli operatori lineari. Di alcuni teoremi non diamo la dimostrazione originale,
in quanto nel corso del lavoro di tesi si µ trovata una dimostrazione piµ attinente a
e u
questo contesto, un esempio in questo senso µ dato dalla dimostrazione del teorema
e
di rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare e continuo. Facciamo inoltre
osservare che alcuni risultati sono stati estrapolati da un contesto di analisi multivoca
e precisamente dalla teoria delle multifunzione a gra¯co convesso, per i quali µ stato
e
necessario costruire la dimostrazione adatta al caso, esempi di tali risultati sono: il
teorema di Deutsch-Singer [4], criteri di continuitµ, criteri per mappe aperte, eccetera.
a
1

5. Elenchiamo qui di seguito i risultati piµ salienti presenti nella nostra trattazione:
u
teorema di Deutsch-Singer, teorema di Nachabin, teoremi di Hahn-Banach, teorema sugli
operatori lineari nel caso di ¯nito dimensionaliµ, teorema di Banach per l'inversa di un
a
operatore lineare e continuo, teorema della mappa aperta in forma generale, teorema delle
due norme, teorema di Banach-Steinhaus, principio dell'uniforme limitatezza, teorema di
rappresentazione di Riesz.
Il capitolo uno µ di carattere introduttivo. Vi sono esposte le nozioni algebriche e
e
topologiche propedeutiche, ed i fondamenti della teoria degli spazi vettoriali topologici e
della teoria degli operatori lineari. L'impostazione di tale capitolo µ stata fatta ricalcando
e
l'impostazione di base data dal professore B. Ricceri nel corso di Analisi funzionale [1].
Il capitolo due µ suddiviso in paragra¯. Nel primo paragrafo si mettono in evidenza
e
i legami che intercorrono tra gli operatori lineari, gli operatori a±ni e gli operatori a
gra¯co convesso. Di particolare interesse µ un risultato estrapolato da un contesto di
e
analisi multivoca e precisamente dal teorema di Deutsch-Singer [4], il quale a®erma che
condizione necessaria e su±ciente a±nch¶ un operatore de¯nito tra spazi vettoriali reali
e
sia lineare µ che sia a gra¯co convesso e che si annulli nell'origine. Nel paragrafo due e nel
e
paragrafo tre sono esposti dei risultati riguardanti rispettivamente gli operatori lineari
continui e gli operatori lineari aperti; tali risultati giocano un ruolo fondamentale nella
presente trattazione, sono inoltre presenti interessanti conseguenze. La costruzione di
questi due paragra¯ µ stata fatta adoperando sia gli appunti di analisi funzionale [1] che
e
gli appunti di analisi superiore [2], piµ precisamente da questi ultimi si µ sfruttata la
u e
parte conclusiva del corso inerente la trattazione delle multifunzione a gra¯co convesso.
Nel paragrafo quattro si µ a®rontato il problema dell'estendibilitµ di un operatore lineare
e a
2

6. e continuo. Sicuramente degni di attenzione sono il teorema di Nachabin ed i teoremi
di Hahn-Banach. Inoltre vengono esposti come applicazione notevole di questi ultimi
i cosidetti teoremi di separazione. Per la stesura di questo paragrafo si µ utilizzato il
e
testo Kantarovic-Akilov [6]. Il paragrafo cinque µ dedicato allo studio delle proprietµ
e a
dello spazio degli operatori lineari e continui e piµ precisamente si dimostra che tale
u
spazio µ di Banach rispetto alla norma operatoriale se lo µ lo spazio d'arrivo ed inoltre
e e
si dimostra che se lo spazio vettoriale topologico di partenza ha dimensione ¯nita ed
µ di Hausdor® allora lo spazio degli operatori lineari e continui coincide con lo spazio
e
degli operatori lineari ovvero ogni operatore lineare µ continuo. Per la stesura di tale
e
paragrafo sono stati utilizzati gli appunti di analisi funzionale [1]. Nel paragrafo sei
si a®ronta il problema dell'invertibilitµ di un operatore lineare e continuo. Spicca tra
a
i risultati il noto teorema di Banach. Inoltre vengono esposti come conseguenza dei
teoremi inerenti la convergenza del cosiddetto metodo delle approssimazioni successive.
La trattazione esposta in questo paragrafo µ stata fatta seguendo l'impronta del testo
e
Kantarovic-Akilov [6]. Il paragrafo sette µ tra i piµ importanti se non il piµ importante
e u u
paragrafo della presente tesi. In esso µ trattato il teorema della mappa aperta in forma
e
classica che costituisce uno dei capisaldi di tutta l'analisi funzionale. Le conseguenze
di questo teorema sono ragguardevoli essendo queste il teorema dell'inversa continua, il
teorema del gra¯co chiuso ed il teorema delle due norme. Il tutto viene compendiato
grazie a l'aiuto di un lemma fondamentale nel cosiddetto teorema della mappa aperta
in forma generale. Per la costruzione di tale paragrafo si µ fatto ricorso agli appunti
e
di analisi funzionale [1], agli appunti di analisi superiore [2] ed al testo H. Brezis
[5]. Nel paragrafo otto viene trattato il fondamentale teorema di Banach-Steinhaus e
3

7. come applicazione notevole di questo un altrettanto fondamentale teorema noto come
principio dell'uniforme limitatezza. Di quest'ultimo viene data un'applicazione notevole
riguardante la convergenza di una successione di operatori lineari. Per la costruzione di
tale paragrafo sono stati adoperati gli appunti di analisi funzionale [1], il testo H. Brezis
[5] ed il testo Kantarovic-Akilov [6]. Il capitolo nove conclude la tesi ed in esso viene
esposto il fondamentale teorema di rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare e
continuo di uno spazio di Hilbert. Una prima applicazione di questo teorema consente di
individuare l'espressione analitica di un funzionale lineare nel caso dello spazio euclideo
n-dimensionale. Ed in conclusione facendo uso del noto Lemma di Ascoli si ottiene la
formula per la stima della distanza di un punto da un iperpiano dello spazio euclideo
reale n-dimensionale. La trattazione di questo paragrafo si appoggia sulla trattazione
degli spazi di Hilbert esposta nel corso di analisi funzionale [1].
4

8. Capitolo 1
Nozioni e strumenti propedeutici
1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche
Propriet¶ 1.1.1
a
Sia E un IK-spazio vettoriale; siano A,BµE due sottoinsiemi; sia 0 2E
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
() Se A 6= ; e B 6= ; allora A B = ; , (0 + A) (0 + B) = ;
() Se A B 6= ; allora 0 + A B = (0 + A) (0 + B)
De¯nizione 1.1.1
Sia E un IK-spazio vettoriale e siano F e G s.sp.vett. di E. Diciamo allora che la somma
dei sottospazi F+G µ somma diretta e scriviamo F © G se ogni vettore della somma
e
F+G, si puµ scrivere in modo unico come somma di un vettore di F e di un vettore di G.
o
Teorema 1.1.1
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F e G due sottospazi vettoriali di E
Ts: F+G µ somma diretta , FG=fE g
e
5

9. De¯nizione 1.1.2
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia SµE insieme, diciamo che S µ una varit¶ a±ne se:
e a
9F µ E sottospazio vettoriale e x0 2 E tc S = x0 + F
Banalmente i traslati di variet¶ a±ni sono variet¶ a±ni. Si osserva che i punti sono delle
a a
variet¶ a±ni poich¶ li possiamo rigurdare come traslati del s.sp.vett. banale fE g.
a e
Propriet¶ 1.1.2
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia SµE una variet¶ a±ne e siano quindi FµE
a
un sottospazio vettoriale e 0 2E t.c. S=0 +F
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
() S µ un sottospazio vettoriale , E 2S
e
() 8G µE sottospazio vettoriale e 0 2E t.c. S=0 +G allora F=G
() 80 2 S allora S ¡ 0 =F
De¯nizione 1.1.3
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µ convesso se:
e
 + (1 ¡ ) 2 A 8  2 A e 8 2 [0 1]
Si veri¯ca facilmente che i punti sono convessi, che il prodotto di uno scalare per un
convesso µ un convesso, che la somma di convessi µ un convesso (e che quindi in particolare
e e
il traslato di un convesso µ un convesso) e che l'intersezione di convessi un convesso.
e
De¯nizione 1.1.4
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µ equilibrato se:
e
 2 A 8 2 A e 8 2 IK con jj · 1
6

10. Ovviamente E 2 A. Si veri¯ca facilmente che il prodotto di uno scalare per un equilibrato
µ un equilibrato, che l'intersezione e l'unione di equilibrati µ un equilibrato.
e e
De¯nizione 1.1.5
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE un insieme, diciamo allora che A µ
e
assolutamente convesso se µ convesso ed equilibrato.
e
De¯nizione 1.1.6
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µ simmetrico se:
e
A = ¡A
Si osserva immediatamente che ogni insieme equilibrato µ simmetrico.
e
De¯nizione 1.1.7
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme non vuoto e sia 0 2E,
diciamo allora che A µ radiale nel punto 0 se:
e
8 2 E 9  0 tc 0 +  2 A 8 2 [0 ]
Chiamiamo nucleo radiale di A e lo denotiamo con A0 l'insieme punti di E in cui A µ
e
radiale. Ovviamente A0 µ A. Inoltre se BµE con AµB allora evidentemente A0 µ B0 .
Propriet¶ 1.1.3
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme; sia 0 2E
Ts: 0 2 A0 , 8 2 E 9  0 tc 0 +  2 A 8 2 [¡ ]
Propriet¶ 1.1.4
a
Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia AµE con A0 6= ;; siano 0 2E e  2 IK n f0g
Ts: (A + 0 )0 = A0 + 0
7

11. Propriet¶ 1.1.5
a
Sia E un IK-spazio vettoriale; sia 0 2E; sia FµE un s.sp.vett; sia AµE radiale in 0
Ts: Se 0 2F allora AF µ radiale in 0 in F
e
Propriet¶ 1.1.6
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme convesso con A0 6= ;
Ts: A0 µ convesso e A0 = (A0 )0
e
De¯nizione 1.1.8
Sia E un IK-spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme non vuoto, diciamo allora
inviluppo lineare di A e lo denotiamo con (A), l'intersezione di tutti i s.sp.vett.
di E che contengono A, ovvero il piµ piccolo s.sp.vett. di E contenente l'insieme A.
u
Evidentemente l'inviluppo lineare di un sottospazio vettoriale coincide con se stesso.
Teorema 1.1.2
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuoto
Ts: span(A)=f11 + ¢ ¢ ¢ + n n : 1      n 2 IK e 1     n 2 Ag
Corollario 1.1.1
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme con A0 6= ;
Ts: span(A)=E
Corollario 1.1.2
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia FµE un sottospazio vettoriale con F0 6= ;
Ts: F=E
8

12. Propriet¶ 1.1.7
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano A,BµE sottoinsiemi non vuoti
Ts: (A [ B) = (A) + (B)
De¯nizione 1.1.9
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE non vuoto, diciamo allora che A µ linearmente
e
indipendente (brevemente l.i.) se ogni parte ¯nita di A costituisce un insieme di vettori
l.i. cioµ se 1      n 2A a due a due distinti e 1       2 IK t.c. 1 1 + ¢ ¢ ¢ + n n = E
e
allora necessariamente 1 =    = n = 0.
Teorema 1.1.3
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuoto
Ts: A µ linearmente indipendente , 8 2 (A) ammette rappresentazione unica
e
De¯nizione 1.1.10
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuoto, diciamo
allora che A µ una base di Hamel per E se µ linearmente indipendente e se span(A)=E.
e e
Teorema 1.1.4 (Massimalit¶ di una base di Hamel)
a
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia DµE un sottoinsieme l.i.
Ts: 9A µ E base di Hamel t.c. D µ A
Teorema 1.1.5
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano A,BµE due basi di Hamel per E
Ts: (A) = (B)
De¯nizione 1.1.11
Sia E un IK-spazio vettoriale, per il teorema 1.1.4 tale spazio ammette almeno una
9

13. base di Hamel e per il teorema 1.1.5 tutte le basi di Hamel di E hanno la medesima
cardinalit¶. Tenendo conto della premessa fatta si de¯nisce allora dimensione algebrica
a
di E e la si denota con (E), la cardinalit¶ di una qualsiasi base di Hamel di E.
a
Facciamo osservare subito che (IKn ) = n, infatti basta considerare le n n-uple
(1 0     0)     (0 0     1) che costituiscono una base per IKn , detta base canonica.
De¯nizione 1.1.12
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia SµE una variet¶ a±ne, per la proprietµ 1.1.2 il s.sp.
a a
di cui S µ il traslato µ univocamente determinato e quindi ha senso dare la seguente
e e
de¯nizione. Si de¯nisce dimensione algebrica di S e la si denota con (S), la
dimensione del s.sp. di cui S µ il traslato. Equivalentemente ¯ssato un qualunque 0 2 S
e
allora per la proprietµ 1.1.2 la dimensione di S µ la dimensione del s.sp.vett. S ¡ 0.
a e
Propriet¶ 1.1.8
a
Sia E un IK-spazio vettoriale; sia DµE insieme l.i.
Ts: (D) · (E)
Dim
Conseguenza immediata del teorema 1.1.4.
Lemma 1.1.1
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia n 2 IN n f0g
Ts: (E) ¸ n , 91      n 2 E li
Teorema 1.1.6
Siano E ed F IK-spazi vettoriali
Ts: Sono allora equivalenti:
10

14. (1) (E) = (F)
(2) 8m 2 IN 91      m 2 E li , 91      m 2 F li
Dim (1))(2)
Conseguenza immediata del lemma 1.1.1.
Dim (2))(1)
Proviamo che (E) · (F). Si puµ presentare il caso in cui (E)  +1 ed
o
il caso in cui (E) = +1. Se (E)  +1 ) 9n 2 IN tc (E) = n segue
allora dall'ipotesi e dal lemma 1.1.1 che (F) ¸ n = (E). Sia adesso il caso in
cui (E) = +1 e quindi comunque ¯ssato m 2 IN esisteranno m vettori di E l.i.
segue allora dall'ipotesi e dal lemma 1.1.1 che (F) ¸ m 8m 2 IN cioµ (F) = +1.
e
Analogamente scambiando il ruolo di E con quello di F si ottiene che (F) · (E).
De¯nizione 1.1.13
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F e G due sottospazi vettoriali di E.
Diciamo allora che F e G sono complementari se:
E=F©G
Propriet¶ 1.1.9
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettoriale
Ts: 9G µ E sottospazio vettoriale complementare ad F
De¯nizione 1.1.14
Sia E IK-spazio vettoriale e sia  : E ! IR un funzionale (si ricorda che per una funzione
de¯nita su uno sp.vett. a valori in IK si riserva il nome di funzionale). Diciamo che:
²  µ sub-additivo se ( + ) · () + () 8  2 E
e
11

15. ²  µ positivamente omogeneo se () = () 8 2 E e 8  0.
e
²  µ assolutamente omogeneo se () = jj() 8 2 E e 8 2 IK
e
²  µ una seminorma se µ sub-additivo e assolutamente omogeneo
e e
²  µ una norma se µ una seminorma e se () = 0 ,  = E . Usualmente per
e e
denotare il funzionale norma si riserva il simbolo k ¢ kE .
Propriet¶ 1.1.10
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia  : E ! IR una seminorma su E
Ts:  µ non negativa ed inoltre j() ¡ ()j · ( + ) 8  2 E
e
De¯nizione 1.1.15
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in E . Fissato un
vettore  2E consideriamol'insieme f  0 :  2 Ag che µ non vuoto per la radialit¶ di
e a
A in E . Posto ciµ de¯niamo allora il seguente funzionale non negativo:
o
A : E ! IR con A () := inff  0 :  2 Ag 8 2 E
che prende il nome di funzionale di Minkowsky associato ad A.
Propriet¶ 1.1.11
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in E
Ts: Valgono allora i seguenti fatti:
() A µ positivamente omogeneo
e
() Se A µ equilibrato allora A µ assolutamente omogeneo
e e
() Se A µ convesso allora A µ sub-additivo
e e
() Se A µ assolutamente convesso allora A µ una seminorma
e e
12

16. Propriet¶ 1.1.12
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in E
Ts: Valgono allora i seguenti fatti:
() A µ ¡1([0 1])
A
() Se A µ equilibrato o convesso allora ¡1 ([0 1[) µA
e A
() Se A µ convesso allora A0 = ¡1 ([0 1[)
e A
Teorema 1.1.7
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un insieme radiale in E ; sia  : E ! IR
un funzionale positivamente omogeneo
Ts: j()j · 1 8 2 A , j()j · A () 8 2E
Propriet¶ 1.1.13
a
Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; siano XµE e YµF non vuoti; sia  : X ! Y una
funzione; sia 0 2F e consideriamo  : X ! Y + 0 con () = () + 0 8 2 X
Ts: () = () + (E  0)
Propriet¶ 1.1.14
a
Sia E uno spazio vettoriale su IK; siano A,BµE sottoinsiemi non vuoti e sia  2 IK n f0g
Ts: maxf(A) (B)g · (A + B) e (A) = (A)
1.2 Nozioni topologiche propedeutiche
Diamo qui di seguito de¯nizioni e proprietµ di natura topologica, propedeutiche ai
a
¯ni della presente tesi. Per un resoconto piµ dettagliato si veda D.C. Demaria [3].
u
13

17. De¯nizione 1.2.1
Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X. Diciamo allora che la
topologia 1 µ meno ¯ne o piµ grossolana della topologia 2 e scriviamo 1 · 2 se
e u
vale l'inclusione 1 µ 2 . Diciamo che 1 e 2 sono equivalenti se 1 = 2.
De¯nizione 1.2.2
Sia X uno spazio topologico; sia fn gn2IN una successione ordinaria in X e sia  2X.
Diciamo allora che la successione fn gn2IN converge a  se:
8U µ X intorno di  9 2 IN tc n 2 U 8n ¸ 
Si fa osservare che una successione puµ avere piµ punti di convergenza cioµ non µ detto
o u e e
che valga l'unicit¶ del limite. Denotiamo allora con:
a
lim n
n!1
l'insieme dei punti di convergenza della successione fn gn2IN . La circostanza che  2
limn!1 n si esprime anche con le scritture:
lim n =  oppure  = n!1 n
lim
n!1
facendo attenzione al fatto che questa µ solo una simbologia, nel senso che se 1 2 2
e
limn!1 n cioµ sfruttando la notazione ora introdotta 1 = limn!1 n = 2 , allora non µ
e e
detto che 1 = 2 poich¶ come suddetto il limite non µ necessariamente unico.
e e
De¯nizione 1.2.3
Diciamo che uno spazio topologico µ di Hausdor® se per ogni coppia di punti distinti
e
esistono due rispettivi intorni disgiunti. Banalmente sottospazi topologici di uno spazio
di Hausdor® sono di Hausdor®.
14

18. Teorema 1.2.1 (Unicitµ del limite in uno spazio di Hausdor® )
a
Sia X uno spazio topologico di Hausdor® e sia fn gn2IN una successione ordinaria in X
Ts: se fn gn2IN ammette limite in X allora questo µ unico
e
De¯nizione 1.2.4
Sia T un insieme non vuoto; sia X uno spazio topologico di Hausdor®; sia ffn gn2IN in XT
e sia f 2 XT . Diciamo allora che la successione ffn gn2IN converge puntualmente ad f
se per ogni ¯ssato  2T la successione ffn ()gn2IN converge al punto f().
De¯nizione 1.2.5
Sia X un insieme non vuoto e sia F una famiglia di parti di X. Diciamo allora che la
famiglia F µ un ricoprimento di X se l'unione dei suoi membri µ tutto X. Se G µ una
e e e
sottofamiglia di F diciamo allora che µ un sottoricoprimento di F se a sua volta µ un
e e
ricoprimento di X. Un ricoprimento si dice ¯nito se contiene un numero ¯nito di insiemi.
Nel caso in cui X µ munito di una struttura topologica allora diremo che il ricoprimento
e
F µ aperto se i suoi elementi sono degli aperti.
e
De¯nizione 1.2.6
Sia X uno spazio topologico, diciamo allora che X µ compatto se ogni suo ricoprimento
e
aperto ammette un sottoricoprimento ¯nito. Se AµX µ un insieme, diciamo allora che A
e
µ compatto se µ compatto nella relativizzazione ad esso della topologia di X. Si veri¯ca
e e
facilmente che i punti di uno spazio topologico sono compatti.
Teorema 1.2.2
Sia (X, ) uno spazio topologico; sia AµX un insieme
[ n
[
Ts: A µ compatto , 8fAi gi2I in  tc A µ
e Ai 9i1     in 2 I tc A µ Aij
i2I j=1
15

19. Propriet¶ 1.2.1
a
Sia X uno spazio topologico e sia AµX un insieme
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
() Se X µ compatto e A µ chiuso allora A µ compatto
e e e
() Se X µ di Hausdor® e A µ compatto allora A µ chiuso
e e e
De¯nizione 1.2.7
Diciamo che uno spazio topologico µ -compatto se si puµ scrivere come unione al piµ
e o u
numerabile (cioµ ¯nita o numerabile) di compatti.
e
De¯nizione 1.2.8
Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice denso se la sua chiusura coincide con
l'intero spazio.
Teorema 1.2.3
Sia X uno spazio topologico e sia DµX un sottoinsieme
Ts: D µ denso , 8­ µX aperto non vuoto D­ 6= ;
e
De¯nizione 1.2.9
Sia X uno spazio topologico; sia 0 2X e sia U una famiglia di intorni di 0, diciamo
allora che tale famiglia µ una base o un sistema fondamentale di intorni di 0 se:
e
8U µ X intorno di 0 9V 2 U tc V µ U
De¯nizione 1.2.10
Diciamo che uno spazio topologico µ I-numerabile se in ogni punto ammette una base
e
fondamentale di intorni al piµ numerabile. Il vantaggio principale che o®rono gli spazi
u
16

20. topologici I-numerabili µ che si puµ lavorare con successioni ordinare invece che con
e o
successioni generalizzate, cioµ si puµ fare uso di criteri sequenziali.
e o
Teorema 1.2.4
Sia X uno spazio topologico I-numerabile; sia AµX sottoinsieme e sia 0 2X
Ts: 0 2 A , 9fn gn2IN successione ordinaria in A convergente verso 0
Corollario 1.2.1
Sia X uno spazio topologico I-numerabile; sia AµX sottoinsieme
Ts: A µ chiuso , Ogni successione ordinaria in A convergente ha limite in A
e
De¯nizione 1.2.11
Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice raro se la sua chiusura ha interno vuoto.
De¯nizione 1.2.12
Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice di I-categoria se si puµ scrivere come
o
unione al piµ numerabile di insiemi rari. Banalmente l'insieme ; µ di I-categoria. Diciamo
u e
che un sottoinsieme di uno spazio topologico µ di II-categoria se non µ di I-categoria.
e e
Essendo ; di I-categoria allora necessariamente ogni insieme di II-categoria µ non vuoto.
e
De¯nizione 1.2.13
Diciamo che uno spazio topologico µ di Baire se ogni aperto non vuoto µ di II-categoria.
e e
De¯nizione 1.2.14
Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2X diciamo allora
che f µ continua in 0 se:
e
8V µ Y intorno di f(0) 9U µ X intorno di 0 tc f(U) µ V
17

21. Diciamo che f µ continua se µ continua in ogni punto di X. Si denota con  0 (X Y)
e e
l'insieme di tutte le funzioni continue da X in Y. Si veri¯ca facilmente che restrizioni e
composizioni di funzioni continue sono ancora funzioni continue.
Teorema 1.2.5
Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2X
Ts: f µ continua in 0 , 8VµY intorno di f(x0 ) allora f ¡1(V) µ un intorno di 0
e e
Teorema 1.2.6
Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione
Ts: Sono allora equivalenti:
(1) f µ continua
e
(2) 8AµY aperto allora f ¡1 (A) µ aperto
e
(3) 8CµY chiuso allora f ¡1 (C) µ chiuso
e
Teorema 1.2.7
Siano X ed Y spazi topologici con X I-numerabile; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2X
Ts: f µ continua in 0 , 8fn gn2IN in X tc !1 n = 0 allora !1 f(n ) = f(0 )
e lim lim
Propriet¶ 1.2.2
a
Siano X ed Y due spazi topologici; sia AµX compatto; sia f:X!Y una funzione continua
Ts: f(A) µ un compatto
e
De¯nizione 1.2.15
Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione bigettiva, diciamo allora che f
µ un omeomor¯smo se µ continua assieme alla sua inversa. In tal caso X ed Y si dicono
e e
omeomor¯. Una proprietµ  si dice topologica se µ invariante per omeomor¯smo (ad
a e
18

22. esempio la compattezza). Si veri¯ca facilmente che l'inversa di un omeomor¯smo µ un
e
omeomor¯smo e che la composizione di omeomor¯smi µ un omeomor¯smo.
e
De¯nizione 1.2.16
Siano X ed Y due spazi topologici e sia f:X!Y una funzione. Diciamo allora che f µ
e
aperta se ¶ mappa di aperti. Analogamente diciamo che f µ chiusa se ¶ mappa di chiusi.
e e e
Teorema 1.2.8
Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione biettiva e continua
Ts: Sono allora equivalenti:
(1) f µ un omeomor¯smo
e
(2) f µ aperta
e
(3) f µ chiusa
e
Teorema 1.2.9
Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione
Ts: f µ aperta , 80 2X e 8U µ X intorno di 0 allora f(U) µ un intorno di f(0)
e e
Propriet¶ 1.2.3
a
Siano X ed Y due insiemi non vuoti; sia AµX insieme; sia f:X!Y una funzione
Ts: f(A) = f 2 Y : f ¡1 () A 6= ;g e Y n f(X n A) = f 2 Y : f ¡1 () µ Ag
Teorema 1.2.10
Siano (X,X ) ed (Y,Y ) due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione
Ts: Sono allora equivalenti:
(1) f µ aperta
e
(2) 80 2 Y 8­ 2 X tc f ¡1 (0 )­ 6= ; 9V µ Y intorno di 0 tc f ¡1 ()­ 6= ; 8 2 V
19

23. Dim (1))(2)
Sia 80 2 Y e ­ 2 X tc f ¡1 (0 ) ­ 6= ; allora per la proprietµ 1.2.3 scegliamo V=f(­).
a
Dim (2))(1)
Sia AµX aperto e proviamo quindi che f(A) µ intorno di ogni suo punto. Sia 0 2f(A)
e
segue allora dalla proprietµ 1.2.3 che f ¡1 (0 ) A 6= ; segue allora dall'ipotesi che
a
9V µ Y intorno di 0 tc f ¡1 () ­ 6= ; 8 2 V segue dalla proprietµ 1.2.3 che Vµf(A)
a
e pertanto essendo V un intorno di 0 allora anche f(A) lo µ.
e
Teorema 1.2.11
Siano X ed Y spazi topologici; sia f:X!Y funzione chiusa t.c. f ¡1 () compatto 8 2 Y
Ts: 8K µ Y compatto allora f ¡1 (K) µ compatto.
e
Dim
Sia fAi gi2I un ricopr. aperto di f ¡1(K). Fissiamo un  2K ed osserviamo che in particolare
la famiglia fAi gi2I µ un ricopr. aperto di f ¡1 () che µ compatto per ipotesi e quindi:
e e
[
9I µ I ¯nito tc f ¡1 () µ Ai (1.1)
i2I
S
poniamo B := i2I Ai che µ un aperto di X in quanto unione di aperti. Consideriamo
e
adesso l'insieme ­ := Y n f(XnB ) che µ un aperto essendo per ipotesi f chiusa. E quindi
e
al variare di  in K otteniamo la famiglia di aperti f­ g2K di F che µ un ricoprimento di
e
K, infatti preso ad arbitrio  2K allora per la 1.1 segue che f ¡1 () µ B e quindi segue
dalla proprietµ 1.2.3 che  2 Y n f(X n B ) =: ­ . E quindi essendo K compatto allora:
a
n
[
91      n 2 K tc K µ ­j (1.2)
j=1
Vogliamo veri¯care che:
n
[
f ¡1 (K) µ Bj
j=1
20

24. Sia  2 f ¡1 (K) ) f() 2 K segue allora dalla 1.2 che 9j = 1     n tc f() 2 ­j )
f() 2 Y n f(XnBj ) ) f() 62 f(XnBj ) )  62 X n Bj )  2 Bj . E si conclude
essendo banalmente per costruzione fB1      Bn g un sottoricopr. ¯nito di fAi gi2I .
Teorema 1.2.12
Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X
Ts: Sono allora equivalenti:
(1) 1 · 2
(2) 80 2X e 8U µX 1 -intorno di 0 ) U µ un 2-intorno di 0
e
(3) l'dentit¶ X : (X 2 ) ! (X 1 ) µ continua
a e
Corollario 1.2.2
Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X
Ts: Sono allora equivalenti:
(1) 1 = 2
(2) 80 2X e 8U µX allora U µ un 1-intorno di 0 , U µ un 2 -intorno di 0
e e
(3) l'dentit¶ X : (X 2 ) ! (X 1 ) µ un omeomor¯smo
a e
De¯nizione 1.2.17
Sia X un insieme non vuoto e sia  una famiglia di parti di X. Si veri¯ca facilmente che
in generale data una famiglia di topologie su X allora l'intersezione di queste topologie
µ ancora una topologia su X. Tenendo conto di quanto detto si de¯nisce topologia
e
generata dalla famiglia  e la si denota con  , l'intersezione di tutte le topologie su
X, contenenti la famiglia  (ovviamente di queste topologie ne esiste almeno una, poich¶
e
basta considerare ad esempio la topologia discreta). E quindi per de¯nizione  altro non
21

25. µ che la topologia meno ¯ne su X contenente la famiglia . Considerate le famiglie:
e
8 9
< n
=
G := :G µ X : 9A1      An 2 a tc G = Aj ;
j=1
( )
[
H := H µ X : 9fGi gi2I in G tc H = Gi
i2I
si puµ dimostrare che la topologia  puµ essere espressa nel seguente modo:
o o
 = f; Xg [ H
Si osserva che nel caso in cui  µ chiusa rispetto all'intersezione ¯nita allora a=G e quindi
e
in tal caso i membri della topologia  si riducono all'unione di membri della famiglia .
De¯nizione 1.2.18
Siano X1      Xn spazi topologici. Si considera allora sul prodotto cartesiano X1 £¢ ¢ ¢£Xn ,
la topologia generata dalla famiglia:
fA1 £ ¢ ¢ ¢ £ An : Ai µ Xi aperto 8i = 1     ng
detta topologia prodotto. Si veri¯ca facilmente che la famiglia generante µ chiusa
e
rispetto all'intersezione ¯nita. Una proprietµ  si dice produttiva se il prodotto di
a
spazi godenti della proprietµ  µ ancora uno spazio godente della proprietµ  .
a e a
Teorema 1.2.13
Siano X ed Y due spazi topologici; sia WµX£Y e sia (0  0 ) 2X£Y
Ts: W µ un intorno di (0  0 ) , 9U µ X e V µ Y risp. intorni di 0 e 0 t.c. U£VµW
e
Teorema 1.2.14
Siano X ed Y due spazi topologici
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
22

26. () X£Y µ di Hausdor® , X ed Y sono di Hausdor®
e
() X£Y µ I-numerabile , X ed Y sono I-numerabili
e
Teorema 1.2.15
Siano X ed Y due spazi topologici di Hausdor®; siano fn gn2IN e fn gn2IN successioni
rispettivamente in X ed in Y convergenti
µ ¶
Ts: n!1(n  n ) =
lim lim n  n!1 n
lim
n!1
De¯nizione 1.2.19
Siano X ed Y due insiemi non vuoti, chiamiamo allora proiezione su X, la funzione:
X : X £ Y ! X con X ( ) =  8( ) 2 X £ Y
Analogamente si de¯nisce la proiezione su Y.
Propriet¶ 1.2.4
a
Siano X ed Y due spazi topologici
Ts: La proiezione X µ continua, aperta e surgettiva
e
Teorema 1.2.16
Siano X, Y e Z spazi topologici; siano f:X!Y e g:X!Z due funzioni e sia h:X! Y £ Z
con h() = (f() g()) 8 2X
Ts: h µ continua , f e g sono continue
e
Teorema 1.2.17 (della diagonale)
Siano X, Y, W e Z spazi topologici; siano f:X!W e g:Y!Z due funzioni e sia h:X £ Y !
W £ Z con h( ) = (f() g()) 8( ) 2 X £ Y detta funzione diagonale
Ts: h µ continua , f e g sono continue
e
23

27. Teorema 1.2.18
Siano X, Y e Z spazi topologici; sia f:X £ Y !Z e una funzione continua
Ts: f µ continua separatamente cioµ ¯ssati  2X e  2Y allora f( ¢) e f(¢ ) sono continue
e e
Teorema 1.2.19
Sia X spazio topologico; sia Y spazio topologico di Hausdor®; sia f:X!Y continua
Ts: (f) µ chiuso
e
Teorema 1.2.20
Siano X ed Y spazi topologici; sia f:X!Y una funzione a gra¯co chiuso
Ts: f ¡1 () µ chiuso 8 2Y
e
De¯nizione 1.2.20
Sia X un insieme non vuoto, e sia  : X £ X ! IR una funzione. Diciamo allora che  µ
e
una metrica su X se soddisfa alle seguenti tre proprietµ:
a
(1) ( ) = ( ) 8  2X
(2) ( ) · ( ) + ( ) 8   2X
(3) ( ) = 0 ,  = 
La coppia (X ) prende il nome di spazio metrico. Si verifca facilmente che la metrica 
µ una funzione non negativa. Se A µX µ un insieme non vuoto allora si veri¯ca facilmente
e e
che la restrizione jA£A µ una metrica su A e si chiama metrica indotta.
e
De¯nizione 1.2.21
Sia (X,d) uno spazio metrico. Fissati 0 2X e   0 allora l'insieme:
(0  ) := f 2 X : (0 )  g
µ detto sfera (aperta) di centro 0 e raggio .
e
24

28. De¯nizione 1.2.22
Sia (X,d) uno spazio metrico. La topologia generata dalla famiglia di sfere:
f( ) :  2 X e   0g
µ detta topologia indotta dalla metrica ed µ la topologia che si considera su (X,).
e e
Se A µ X µ un insieme non vuoto allora si dimostra facilmente che la topologia indotta
e
dalla metrica indotta su A coincide con la relativizzazione ad A della topologia di X.
Teorema 1.2.21
Sia (X,) uno spazio metrico; sia UµX insieme non vuoto e sia 0 2X
Ts: U µ un intorno di 0 , 9  0 t.c. (0  ) µU
e
Corollario 1.2.3
Sia (X,) uno spazio metrico; sia AµX insieme non vuoto
[
Ts: A µ aperto , 9f g2A in ]0 +1[ t.c. A=
e ( )
2A
De¯nizione 1.2.23
Sia (X,) uno spazio metrico. Fissati 0 2X e   0 allora l'insieme:
(0  ) := f 2 X : (0  ) · g
µ detto sfera chiusa di centro 0 e raggio . Si veri¯ca facilmente che ogni sfera chiusa
e
µ un chiuso. Ovviamente (0 ) µ (0 ) e passando alle chiusure si ha (0  ) µ
e
(0  ), l'inclusione inversa non µ sempre vera.
e
De¯nizione 1.2.24
Un sottoinsieme di uno spazio metrico si dice limitato se esiste una sfera che lo contiene.
25

29. De¯nizione 1.2.25
Sia (X,) uno spazio metrico e siano 0 2X e AµX insieme non vuoto. Si de¯nisce allora
distanza del punto 0 dall'insieme A, il numero non negativo:
(0  A) := inf (0 )
2A
De¯nizione 1.2.26
Sia (X,) uno spazio metrico. Diciamo che una succ. fn gn2IN in X µ di Cauchy se:
e
8  0 9 2 IN tc (n  m )   8n m  
Si osserva immediatamente che equivalentemente una succ. fn gn2IN µ di Cauchy se:
e
8  0 9 2 IN tc (n+p  n )   8n   e 8p 2 IN
Propriet¶ 1.2.5
a
Sia (X,) uno spazio metrico; sia fn gn2IN una successione ordinaria in X
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
() Se fn gn2IN µ convergente allora µ di Cauchy
e e
() Se fn gn2IN µ di Cauchy allora µ limitata
e e
() Se fn gn2IN µ convergente allora µ limitata
e e
Propriet¶ 1.2.6
a
Sia (X,) uno spazio metrico; sia fn gn2IN una successione ordinaria in X; sia fn gn2IN
una successione ordinaria in IR+ := [0 +1[ in¯nitesima t.c. (n+p  n ) · n 8n p 2 IN
Ts: fn gn2IN µ una successione di Cauchy
e
Propriet¶ 1.2.7
a
Sia (X,d) uno spazio metrico
Ts: X µ di Hausdor® e I-numerabile
e
26

30. De¯nizione 1.2.27
Diciamo che uno spazio metrico µ completo se ogni succ. di Cauchy µ convergente.
e e
Propriet¶ 1.2.8
a
Sia (X,d) uno spazio metrico; sia AµX insieme
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazini:
() Se A µ completo allora A µ chiuso
e e
() Se X µ completo e A µ chiuso allora A µ completo
e e e
Teorema 1.2.22
Sia (X,d) uno spazio metrico completo
Ts: X µ di Baire
e
Propriet¶ 1.2.9
a
Sia X uno spazio topologico; sia (Y,) uno spazio metrico; sia 0 2X; sia f:X!Y funzione
Ts: Se f µ continua in 0 allora f µ limitata su un intorno di 0
e e
De¯nizione 1.2.28
Siano (X,) e (Y,) spazi metrici; sia f:X!Y funzione. Diciamo che f µ lipschitziana se:
e
9L  0 tc (f() f()) · L( ) 8  2 X
la costante L prende il nome di costante di lipschitz.
Propriet¶ 1.2.10
a
Siano (X,) e (Y,) due spazi metrici e sia f:X!Y una funzione lipschitziana
Ts: f µ continua
e
27

31. De¯nizione 1.2.29
Siano (X,) e (Y,) spazi metrici; sia f:X!Y funzione. Diciamo che f µ un'isometria se:
e
(f() f()) = ( ) 8  2 X
cio¶ f preserva le distanze- Nel caso in cui la f µ anche surgettiva allora gli spazi X ed Y
e e
si dicono isometrici. Banalmente un'isometria puµ essere rigurdata come una funzione
o
lipschitziana con costante di lipschitz 1.
Propriet¶ 1.2.11
a
Siano (X,) e (Y,) due spazi metrici e sia f:X!Y un'isometria
Ts: Valgono allora i seguenti fatti:
() f µ iniettiva
e
() f ¡1 : f(X) ! X µ un'isometria
e
() f µ un omeomor¯smo tra X ed f(X)
e
() se f µ surgettiva allora X ed Y sono omeomor¯
e
Propriet¶ 1.2.12
a
Sia X uno spazio topologico; sia 0 ; sia f : X ! C una funzione
I
Ts: f µ continua in 0 , f e f sono continue in 0
e
De¯nizione 1.2.30
Sia X uno spazio topologico; sia f:X! IR una funzione. Diciamo allora che la funzione f
µ semicontinua inferiormente (brevemente s.c.i.) se per ogni  2 IR il sottolivello:
e
f 2 X : f() · g
µ un chiuso. Banalmente se f µ continua allora f µ s.c.i..
e e e
28

32. Propriet¶ 1.2.13 (s.c.i dell'inviluppo superiore)
a
Sia X uno spazio topologico; sia ffi gi2I famiglia di funzioni de¯nite da X in IR s.c.i.
Ts: La funzione f() := sup fi () 8 2X µ s.c.i.
e
i2I
1.3 Cenni sugli spazi vettoriali topologici
Nella maggioranza dei casi in cui si considera uno spazio vettoriale concreto E, in
esso vi µ gi¶ una certa convergenza naturale che determina la topologia in E, la quale
e a
in generale risula compatibile con le operazioni algebriche dello spazio. In questa tesi ci
interessa soprattutto il caso in cui tale topologia puµ essere assegnata a mezzo di una
o
norma, cioµ il caso in cui E µ uno spazio normato. Noi tuttavia, considereremo dapprima
e e
il caso piµ generale degli spazi vettoriali topologici. Ciµ µ motivato, da una parte, dal
u oe
fatto che molte questioni relative agli spazi normati vengono risolti per via naturale gi¶
a
a questo livello generale. L'introduzione che qui o®riamo alla teoria elementare degli
spazi vettoriali topologici persegue soltanto gli scopi necessari ai ¯ni della presente tesi e
pertanto non pretende di essere integrale e completa. Per una esposizione piµ dettagliata
u
degli spazi vettoriali topologici si veda N. Bourbaki [7].
De¯nizione 1.3.1
Sia E un IK-spazio vettoriale; sia  una topologia su E e consideriamo le seguenti funzioni:
 : E £ E ! E con s( ) :=  +  8   2 E
 : IK £ E ! E con p( ) :=  8  2 E e 8 2 IK
Diciamo allora che  µ una topologia vettoriale se le funzioni somma  e prodotto ,
e
sono continue. In tal caso si dice che E munito della topologia vettoriale  , µ uno spazio
e
29

33. vettoriale topologico. Se F µ E µ un s.sp.vett. allora si veri¯ca facilmente che la
e
relativizzazione ad esso della topologia vettoriale di E µ ancora una topologia vettoriale.
e
Una particolarit¶ degli spazi vettoriali topologici µ che nella maggior parte dei casi i
a e
procedimenti dimostrativi si possono sempli¯care mediante opportune traslazioni.
Teorema 1.3.1
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia  una proprietµ topologica; sia AµE insieme
a
godente della proprietµ  ; siano 0 2E e  2 IK
a
Ts: Gli insiemi 0 +A e A godono della proprietµ 
a
Dim
Consideriamo f:E!E con f() = 0 +  8 2E che µ un omeomor¯smo essendo E
e
uno spazio vettoriale topologico, e quindi essendo  una proprietµ topologica, segue che
a
l'insieme f(A)=0 +A gode della proprietµ  . Analogamente si veri¯ca che l'insieme A
a
gode della proprietµ  infatti basta considerare l'operatore g:E!E con g() =  8 2E.
a
Teorema 1.3.2
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia  una proprietµ invariante per continuit¶ e
a a
produttiva; siano A,BµE due sottoinsiemi godenti della proprietµ 
a
Ts: A+B gode della proprietµ 
a
Dim
Consideriamo f:E £ E ! E con f( ) =  +  8( ) 2 E £ E che µ continuo essendo E
e
uno spazio vettoriale topologico e quindi per la produttivit¶ e l'invarianza rispetto alla
a
continuit¶ della proprietµ  segue che l'insieme f(A£B)=A+B gode della proprietµ  .
a a a
Propriet¶ 1.3.1
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE; sia 0 2E
30

34. Ts: U µ intorno di 0 , 9W µ E intorno di E tc U =0 + W
e
Corollario 1.3.1
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia 0 2E e sia UµE intorno di 0
Ts: U¡0 µ un intorno di E
e
Propriet¶ 1.3.2
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di E ; sia  2 IK
Ts: U µ un intorno di E
e
Propriet¶ 1.3.3
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di E
Ts: U µ radiale in E
e
Corollario 1.3.2
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE insieme
Ts: (A) µ A0
Dim
Conseguenza della proprietµ 1.3.1, della proprietµ 1.3.3 e della proprietµ 1.1.4.
a a a
Corollario 1.3.3
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un insieme aperto
Ts: A = A0
Corollario 1.3.4
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia FµE un s.sp.vett. con interno non vuoto
Ts: E=F
31

35. Dim
Conseguenza immediata del corollario 1.3.2 e del corollario 1.1.2.
Propriet¶ 1.3.4
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di E
Ts: 9VµE intorno di E t.c. V+VµU
Teorema 1.3.3
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia F la famiglia degli intorni di E equilibrati
Ts: F µ una base fondamentale di intorni di E
e
Teorema 1.3.4
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un sottoinsieme; sia H una base
fondamentale di intorni di E
Ts: A = (A + V)
V2H
Corollario 1.3.5
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia WµE intorno di E
Ts: W µ W + W
Propriet¶ 1.3.5
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia H una base fondamentale di intorni di E
Ts: Le famiglie fW + WgW2H e fWgW2H sono basi fondamentali di intorni di E
Dim
Per la proprietµ 1.3.4 segue immediatamente che la famiglia fW + WgW2H µ una base
a e
fondamentale di intorni di E , e da ciµ assieme al corollario 1.3.5 segue che anche la
o
famiglia fWgW2H µ una base fondamentale di intorni di E .
e
32

36. Propriet¶ 1.3.6
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; siano fn gn2IN e fn gn2IN due
successioni in E convergenti; siano fn gn2IN e fn gn2IN due successioni in IK convergenti
Ts: n!1[n n + n n ] = n!1 n n!1 n + n!1 n n!1 n
lim lim lim lim lim
Propriet¶ 1.3.7
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE insieme; sia 0 2E e sia  2 IK
Ts: 0 + A = 0 + A e (0 + A) = 0 + (A)
Propriet¶ 1.3.8
a
Sia X uno spazio topologico; sia E uno spazio vettoriale topologico
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
() 8f g 2  0 (X E) e 8 2  0 (X IK) allora f + g f 2  0 (X E)
()  0(X E) µ un sottopazio vettoriale di EX
e
De¯nizione 1.3.2
Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia fn gn2IN una succ. in E. Diciamo
allora serie associata ad fn gn2IN la somma degli in¯niti termini di fn gn2IN . Fissato
k 2 IN diciamo ridotta k-esima o somma parziale k-esima il vettore:
k
X
k := n
n=1
La succ. fk gk2IN µ detta succ. delle ridotte associata alla serie data. Diciamo che la
e
serie µ convergente se la succ. delle ridotte ad essa associata µ convergente ed il limite
e e
prende il nome di somma della serie.
Propriet¶ 1.3.9
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia fn gn2IN una successione ordinaria
33

37. P1
in E e supponiamo che la serie n=1 n sia convergente
Ts: La successione fn gn2IN converge a E
Propriet¶ 1.3.10
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia FµE un sottospazio vettoriale
Ts: F µ un sottospazio vettoriale
e
Corollario 1.3.6
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia SµE una variet¶ a±ne
a
Ts: S µ una variet¶ a±ne
e a
Dim
Conseguenza immediata della proprietµ 1.3.7 e della proprietµ 1.3.10.
a a
De¯nizione 1.3.3
Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia AµE un insieme non vuoto, diciamo allora
chiusura lineare di A e la denotiamo con (A), l'intersezione di tutti i s.sp.vett.
chiusi di E che contengono A, ovvero il piµ piccolo s.sp.vett. chiuso di E contenente A.
u
Propriet¶ 1.3.11
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuoto
Ts: (A) = (A)
De¯nizione 1.3.4
Sia E uno spazio vettoriale topologico. Diciamo che un insieme AµE µ limitato se:
e
8U µ E intorno di E 9  0 tc A µ U
Banalmente sottoinsiemi di limitati sono limitati.
34

38. Propriet¶ 1.3.12
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico; siano A,BµE insiemi limitati; sia 0 2E; sia  2 IK
Ts: Gli insiemi f0 g, A+B, 0 +A, A, A B, A [ B sono limitati
Teorema 1.3.5
Sia E uno spazio vettoriale topologico; siano A,BµE non vuoti con A compatto e B chiuso
Ts: A+B µ chiuso
e
Teorema 1.3.6
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia VµE un intorno di E convesso; Sia V :
E ![0 +1[ il funzionale di Minkowsky associato a V
Ts: Valgono allora i seguenti fatti:
() (V) = ¡1 ([0 1[)
V
() V = ¡1 ([0 1])
V
() V = ¡1 (1)
V
Teorema 1.3.7
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un insieme convesso con (A) 6= ;
Ts: Valgono allora i seguenti fatti:
() A = (A)
() (A) = A0
() A = A0
De¯nizione 1.3.5
Diciamo che uno spazio vettoriale topologico E µ localmente convesso se ammette una
e
base fondamentale di intorni E convessi.
35

39. Teorema 1.3.8
Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia UµE un intorno di E convesso
Ts: 9V µE intorno di E assolutamente convesso t.c. VµU
Corollario 1.3.7
Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso
Ts: E ammette una base fond. di intorni di E assolutamente convessi
De¯nizione 1.3.6
Sia E un IK-spazio vettoriale; sia :E! [0 +1[ una seminorma su E; siano  2E e r 0.
Si de¯nisce semisfera relativa alla seminorma , di centro 0 e raggio r l'insieme:
( 0  r) := f 2  : ( ¡ 0 )  rg
Propriet¶ 1.3.13
a
Sia E un IK-spazio vettoriale; sia :E! [0 +1[ una seminorma su E; siano 0 2E e r 0
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
() ( 0 r) = 0 + r( E  1)
() ( E  r) µ un equilibrato
e
() ( 0  r) µ un convesso
e
() 80 2 E 9  0 t.c. ( 0  ) µ ( 0  )
De¯nizione 1.3.7
Sia E un IK-spazio vettoriale; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su E. Si de¯nisce
topologia indotta dalla famiglia figi2I , la topologia generata dalla famiglia:
f(i   r) : i 2 I  2 E r  0g
36

40. Si puµ veri¯care che tale topologia su E µ vettoriale. Se F µ E µ un sottospazio
o e e
vettoriale e consideriamo la famiglia di seminorme fijF gi2I , allora si veri¯ca facilmente
che la topologia indotta su F da tale famiglia, coincide con la relativizzazione ad F della
topologia di E. Diciamo che una famiglia di seminorme ¶ meno ¯ne di un'altra famiglia
e
di seminorme se la topologia da essa indotta µ meno ¯ne della topologia indotta dall'altra
e
famiglia. Diciamo che due famiglie di seminorme su E sono equivalenti se inducono alla
medesima topologia. Nel caso in cui la famiglia di seminorme sia costituita da una sola
seminorma  allora lo spazio si dice seminormato e lo si denota con la coppia (E ). In
particolare se tale seminorma µ pure una norma k ¢ kE allora lo spazio si dice normato.
e
Teorema 1.3.9
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su E
inducente la topologia di E; sia UµE e sia 0 2E
n
Ts: U µ un intorno di 0 , 9i1     in 2 I e r 0 t.c.
e (ij  0  r) µU
j=1
De¯nizione 1.3.8
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su E,
diciamo allora che tale famiglia µ saturata se:
e
8i1  i2 2 I 9i3 2 I tc i3 () ¸ maxfi1 () i2 ()g 8 2 E
Teorema 1.3.10
Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su E
Ts: 9 una famiglia di seminorme su E saturata equivalente a fi gi2I
Teorema 1.3.11
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia fi gi2I una famiglia saturata di seminorme su
37

41. E inducente la topologia di E; sia UµE e sia 0 2E
Ts: U µ un intorno di 0 , 9i 2 I e r 0 t.c. (i 0  r) µU
e
Propriet¶ 1.3.14
a
Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su E
inducente la topologia di E
Ts: Le seminorme della famiglia fi gi2I sono continue
Teorema 1.3.12
Sia (E  ) uno spazio vettoriale topologico
Ts: E µ localmente convesso , 9figi2I famiglia di seminorme su E inducente 
e
Teorema 1.3.13
Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famiglia
di seminorme su E, inducente la topologia di E
Ts: E µ di Hausdor® , 8 2 E n fE g 9i 2 I tc i()  0
e
Teorema 1.3.14
Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famiglia
di seminorme su E, inducente la topologia di E; sia fn gn2IN una succ. in E e sia 0 2E
Ts: fn gn2IN converge a 0 , n!1 i(n ¡ 0 ) = 0 8i 2 I
lim
Teorema 1.3.15
Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famiglia
di seminorme inducente la topologia vettoriale di E; sia AµE un sottoinsieme
Ts: A µ limitato , i (A) µ limitato in IR 8i2I
e e
38

42. Corollario 1.3.8
Sia (E,) uno spazio seminormato; sia AµE un sottoinsieme
Ts: A µ limitato , 9M  0 tc () · M 8 2 A
e
De¯nizione 1.3.9
Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e consideriamo la funzione:
 : E £ E ! [0 +1[ con ( ) = k ¡ kE 8  2 E
si veri¯ca facilmente che tale funzione µ una metrica su E, che prende il nome di metrica
e
indotta dalla norma. Si evince dalle de¯nizioni 1.2.22 e 1.3.7 che la topologia indotta
dalla metrica  coincide con quella indotta dalla norma k ¢ kE . E pertanto uno spazio
normato puµ essere sempre riguardato come un particolare spazio metrico.
o
De¯nizione 1.3.10
Uno spazio normato di dice di Banach se µ completo.
e
Teorema 1.3.16
Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato; sia fn gn2IN una successione ordinaria in E e sia 0 2E
Ts: fn gn2IN converge a 0 , n!1 kn ¡ 0 kE = 0
lim
Dim
Conseguenza immediata del teorema 1.3.14.
Propriet¶ 1.3.15
a
Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato; sia AµE un sottoinsieme
Ts: A µ limitato nel senso degli sp. vett. top. , A µ limitato nel senso degli sp. metrici
e e
Dim
Conseguenza immediata del corollario 1.3.8.
39

43. Propriet¶ 1.3.16
a
Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e siano 0 2E e   0
Ts: (0  ) = (0  )
Propriet¶ 1.3.17
a
Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e siano 0 0 2E e    0
Ts: (0  ) (0  ) 6= ; ,  +  · k0 ¡ 0 kE
Teorema 1.3.17
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su E
Ts: Valgono allora i seguenti fatti:
() k ¢ k1 µ meno ¯ne di k ¢ k2 , 9 k0 t.c. kk1 · kkk2 8 2E
e
() k ¢ k1 µ equivalente a k ¢ k2 , 9 c,k0 t.c. ckk2 · kk1 · kkk2 8 2E
e
Teorema 1.3.18
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su E equivalenti
Ts: E µ k ¢ k1 -di Banach , E µ k ¢ k2-di Banach
e e
De¯nizione 1.3.11
Siano (E1 k ¢ kE1 )     (En  k ¢ kEn ) n spazi normati, si de¯niscono allora sul prodotto
cartesiano E := E1 £ ¢ ¢ ¢ £ En i seguenti tre funzionali:
kk1 := max ki kEi 8 = (1      ) 2 E
1·i·n
v
u n
uX
kk2 := t k k2 i 8 = (1      ) 2 E
E
i=1
n
X
kk3 := k kEi 8 = (1       ) 2 E
i=1
40

44. si veri¯ca agevolmente che tali funzionali sono tre norme sul prodotto E, dette norme
canoniche. Si veri¯ca inoltre facilmente che:
k ¢ k1 · k ¢ k2 · k ¢ k3 · nk ¢ k1 · nk ¢ k2 · nk ¢ k3
e tale s¯lza di disuguaglianze per il teorema 1.3.17 ci dice che le tre norme canoniche sono
equivalenti cioµ inducono alla medesima topologia e si puµ provare che tale topologia µ
e o e
proprio la topologia prodotto su E. Inoltre per il teorema 1.3.18 e per il teorema 1.3.17
la s¯lza di disuguaglianza ci dice che se lo spazio prodotto E µ di Banach rispetto ad una
e
delle norme canoniche allora lo µ anche rispetto alle altre due.
e
Teorema 1.3.19
Siano (E k ¢ kE ) ed (F k ¢ kF ) due spazi normati
Ts: E£F µ di Banach , E ed F sono di Banach
e
De¯nizione 1.3.12
Sia (E k ¢ kE ) uno spazio normato, diciamo allora che tale spazio µ di tipo M se ogni
e
famiglia di sfere chiuse a due a due non disgiunte ha intersezione non vuota. Si puµ
o
dimostrare che ogni spazio di tipo M µ di Banach. Esempi di spazi di tipo M sono la
e
retta reale oppure lo spazio funzionale di misura 1 ( § ) se la misura  µ -¯nita. Il
e
corpo C rigurdato come spazio vettoriale reale (identi¯cabile quindi con il piano IR2 ), non
I
µ di tipo M poich¶ µ facile costruire un sistema di tre cerchi sul piano, due qualunque
e ee
dei quali si intersecano, ma la cui intersezione comune µ vuota. La maggior parte degli
e
spazi funzionali noti non µ di tipo M. Per un approfondimento piµ dettagliato di tali
e u
spazi si rimanda al Kantarovic-Akilov [6]. Da quanto detto si evince che la classe degli
spazi di tipo M µ abbastanza ristretta.
e
41

45. Teorema 1.3.20 (di Kolmogorov)
Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor® e supponiamo che esista VµE intorno
di E assolutamente convesso e limitato
Ts: Il funzionale di Minkowsky V µ una norma su E, inducente la topologia di E
e
Teorema 1.3.21 (di Heine-Pincherle-Borel)
Sia Aµ IKn insieme
Ts: A µ compatto , A µ chiuso e limitato
e e
De¯nizione 1.3.13
Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e sia fn gn2IN una successione in E, diciamo allora che
la serie ad essa associata converge assolutamente se converge la serie reale a termini
non negativi associata alla successione fkn kE gn2IN .
Teorema 1.3.22
Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio di Banach; sia fn gn2IN una successione ordinaria in E e
supponiamo che la serie ad essa associata converga assolutamente
1
X
Ts: La serie n µ convergente
e
n=1
De¯nizione 1.3.14
Sia H un IK-spazio vettoriale. Diciamo allora che la funzione (¢ ¢)H : H £ H ! IK µ un
e
prodotto scalare o un prodotto interno, se soddisfa alle seguenti proprietµ:
a
(1) ( +  )H = ( )H + ( )H 8   2 H e 8  2 IK
(2) ( )H = ( )H 8  2 H
(3) ( )H ¸ 0 8 2 H
(4) ( )H = 0 ,  = H
42

46. Lo spazio H munito del prodotto scalare si dice spazio pre-hilbertiano o spazio
a prodotto scalare e si indica con la coppia (H,(¢ ¢)H ). Dalle precedenti si veri¯ca
facilmente che vale anche la seguente proprietµ:
a
(  + )H = ( )H + ( )H 8   2 H e 8  2 IK
quindi il prodotto scalare µ lineare rispetto alla prima variabile ma non lo µ rispetto alla
e e
seconda variabile. Si puµ dimostrare che vale la seguente disuguaglianza:
o
q q
j( )H j · ( )H ( )H
detta disuguaglianza di Schwarz-Cauchy. Consideriamo adesso il funzionale:
q
k ¢ kH : H ! [0 +1[ con kkH := ( )H 8 2 H
allora facendo uso della disuguaglianza di Schwarz-Cauchy, si veri¯ca facilmente che tale
funzionale µ una norma su H. La topologia che si considera su H µ quella indotta dalla
e e
norma appena introdotta, che µ pertanto una topologia vettoriale. Uno spazio a prodotto
e
scalare si dice di Hilbert se µ completo rispetto alla norma suddetta. Un esempio notevole
e
di prodotto scalare su IKn µ dato dal prodotto scalare euclideo:
e
n
X
( )IKn := i 8 = (1     n )  = (1     n ) 2 IKn
i=1
infatti si veri¯ca facilmente che questo µ un prodotto scalare. Si osserva inoltre che
e
la norma indotta dal prodotto scalare euclideo ¶ una delle tre norme canoniche su IKn
e
e precisamente quella euclidea. Essendo come noto il corpo IK completo, allora per il
teorema 1.3.19 segue che lo spazio IKn risulta essere completo rispetto ad ognuna delle
tre norme canoniche. E quindi dal ragionamento fatto si desume che lo spazio IKn munito
del prodotto scalare euclideo µ uno spazio di Hilbert.
e
43

47. Propriet¶ 1.3.18
a
Sia H uno spazio a prodotto scalare
Ts: (¢ ¢)H : H £ H ! IK µ continuo
e
De¯nizione 1.3.15
Due vettori di uno spazio a prodotto scalare si dicono ortogonali se il loro prodotto
scalare nullo.
De¯nizione 1.3.16
Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AµH un insieme non vuoto. Diciamo
complemento ortogonale di A e lo indichiamo con A? , l'insieme dei vettori di H
ortogonali ad ogni vettore di A. Si dimostra facilmente che A? µ un s.sp.vett. chiuso.
e
Teorema 1.3.23 (fondamentale degli spazi di Hilbert)
Sia H uno spazio di Hilbert; sia FµH un sottospazio vettoriale chiuso
Ts: H=F©F? e F = (F? )?
1.4 Teoria di base degli operatori lineari
De¯nizione 1.4.1
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia T:E!F un operatore, diciamo che T µ lineare se:
e
(1) T( + ) = T() + T() 8  2 E
(2) T() = T() 8 2 IK e 8 2 E
Denotiamo con (E F) l'insieme di tutti gli operatori lineari da E in F. Nel caso F = IK
si denota con E0 := (E IK) e prende il nome di duale algebrico di E. Si osserva che
44

48. se E ed F sono due sp.vett. su C allora in particolare E ed F saranno due sp.vett. su IR
I
e quindi se T:E!F µ un operatore lineare con E ed F considerati come C-sp.vett. allora
e I
banalmente T sar¶ un operatore lineare anche con E ed F considerati come IR-sp.vett..
a
Teorema 1.4.1
Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia T:E!F un operatore
Ts: Sono allora equivalenti:
(1) T µ lineare
e
(2) T( + ) = T() + T() 8  2 IK e 8  2 E
(3) T¡1 () + T¡1() µ T¡1( + ) 8  2 IK e 8  2 T(E)
(4) gr(T) µ un sottospazio vettoriale di E£F
e
Propriet¶ 1.4.1
a
Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
() 8S T 2 (E F) e 8 2 IK allora S + T S 2 (E F)
() (E F) µ un sottospazio vettoriale di FE
e
De¯nizione 1.4.2
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia T 2 (E F). Chiamiamo nucleo di T l'insieme:
(T) := T¡1 (F ) = f 2 E : T() = F g
Propriet¶ 1.4.2
a
Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia T 2 (E F)
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
() T µ iniettivo , (T) = fE g
e
45

49. () (T) µ un sottospazio vettoriale di E
e
() Preso 0 2T(E) e 0 2 T¡1(0 ) allora T¡1 (0) = 0 + (T)
() Preso 0 2T(E) allora T¡1 (0) µ una variet¶ a±ne di E
e a
Propriet¶ 1.4.3
a
Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; siano T1      Tn 2 (E F); siano 1     n 2 IK
n
à n !
X
Ts: (Ti ) µ  i Ti
i=1 i=1
Propriet¶ 1.4.4
a
Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia T 2 (E F)
Ts: T¡1 ( + ) = T¡1 () + T¡1 () 8  2 IK n f0g e 8  2 T(E)
Dim
Fissati   2 IK n f0g e   2 T(E), siano  2 T¡1 () e  2 T¡1 () ed osserviamo che
T( + ) = T() + T() =  + . Per la proprietµ 1.4.2 segue che:
a
T¡1 () + T¡1() = [ + (T)] + [ + (T)] =
=  + (T) +  + (T) =
=  +  + (T) = T¡1 ( + )
Propriet¶ 1.4.5
a
Siano E, F e G IK-spazi vettoriali; siano S 2 (E F) e T 2 (F G)
Ts: T ± S 2 (E G) ed inoltre se T µ iniettivo allora (S) = (T ± S)
e
Propriet¶ 1.4.6
a
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia T 2 (E F)
Ts: T(G) µ un sottospazio vettoriale di E
e
46

50. Propriet¶ 1.4.7
a
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia T 2 (E F)
Ts: TjG : G ! F µ un operatore lineare ed inoltre (TjG ) = (T) G
e
Propriet¶ 1.4.8
a
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE un insieme; sia T 2 (E F)
Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:
() Se A µ convesso allora T(A) µ convesso
e e
() Se A µ equilibrato allora T(A) µ equilibrato
e e
() Se A µ assolutamente convesso allora T(A) µ assolutamente convesso
e e
Propriet¶ 1.4.9
a
Siano (E,k ¢ kE ) (F,k ¢ kF ) due spazi normati; sia : E ! F un operatore lineare
Ts:  µ un'isometria , k()kF = kkE 8 2 E
e
Propriet¶ 1.4.10
a
Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia AµE t.c. (A)=E; sia T 2 (E F)
Ts: Se T µ nullo su A allora T µ identicamente nullo
e e
Dim
Conseguenza della proprietµ 1.4.2.
a
Corollario 1.4.1
Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia AµE con A0 6= ;; sia T 2 (E F) non nullo
Ts: 90 2A t.c. T(0) 6= F
Dim
Supponiamo per assurdo che T sia nullo su A segue allora dal corollario 1.1.1 e dalla
proprietµ 1.4.10 che T µ identicamente nullo e siamo ad un assurdo.
a e
47

51. Propriet¶ 1.4.11
a
Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia AµE un sottoinseme non vuoto; siano
S T 2 (E F) t.c. S() = T() 8 2 A
Ts: S() = T() 8 2 (A)
Propriet¶ 1.4.12
a
Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia AµE insieme; sia T 2 (E F)
Ts: T(span(A))=span(T(A))
Propriet¶ 1.4.13
a
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE insieme l.i.; sia T 2 (E F) iniettivo
Ts: T(A) µ l.i.
e
Propriet¶ 1.4.14
a
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE una base di Hamel; sia T 2 (E F) iniettivo
Ts: T(A) µ una base di Hamel per T(E)
e
Dim
Conseguenza immediata della proprietµ 1.4.13 e della proprietµ 1.4.12.
a a
De¯nizione 1.4.3
Siano E ed F due IK-spazi vettoriali e sia T 2 (E F). Diciamo allora che T µ un
e
isomor¯smo se µ bigettivo. In tal caso E ed F si dicono isomor¯. Si veri¯ca facilmente
e
che l'inversa di un isomorf. µ un isomorf. e che la composizione di isomorf. µ un isomorf..
e e
De¯nizione 1.4.4
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia F un sottospazio vettoriale di E. De¯niamo
48

52. la seguente relazione su E che si veri¯ca facilmente essere di equivalenza:
8  2 E  »  ,  ¡  2 F
Tale relazione di equivalenza induce quindi ad una partizione di classi di elementi
equivalenti, denotiamo allora con EF l'insieme quoziente cioµ la famiglia di tutte le
e
classi di equivalenza. Se in EF si considerano le seguenti operazioni:
(1) [] + [] = [ + ] 8  2 E
(2) [] = [] 8 2 E e 8 2 IK
allora si prova che rispetto ad esse EF risulta essere un IK-spazio vettoriale. Detta [] la
classe nulla allora si veri¯ca facilmente che [] = [E ] = F. De¯niamo inoltre l'operatore:
¦F : E ! EF con ¦F () = [] 8 2 E
detto proiezione canonica.
Teorema 1.4.2
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettoriale
Ts: La proiezione canonica ¦F soddisfa le seguenti proprietµ:
a
() ¦F µ un operatore lineare
e
() (¦F ) = F
() Se GµE s.sp.vett. complem. ad F allora ¦FjG : G ! EF µ un isomor¯smo
e
Dim
Veri¯chiamo la (). Conseguenza immediata delle operazioni sullo spazio EF
Veri¯chiamo la (). Sia  2 (¦F ) , ¦F () = F , [] = F ,  2 F.
Veri¯chiamo la (). Per la proprietµ 1.4.7 e per la () segue che ¦FjG µ lineare. Inoltre
a e
49

53. sempre per la proprietµ 1.4.7, per la () e per il fatto che F e G sono complementari
a
osserviamo che (¦FjG ) = (¦F ) G = F G = fE g e quindi segue dalla proprietµ
a
1.4.2 che ¦FjG µ iniettivo. Ci rimane da provare la suriettivit¶ di ¦FjG . Sia [] 2 EF ,
e a
essendo F e G complementari allora  =  +  per opportuni  2F e  2 G )  ¡  =
 2 F )  2 [] ) [] = [] cioµ ¦F () = [] come volevasi.
e
Teorema 1.4.3
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE base di Hamel per E; sia f:A!F un'applicazione
Ts: 9!T:E!F operatore lineare t.c. TjA ´ f ed inoltre:
() se f µ iniettiva e f(A) µ linearmente indipendente allora T µ iniettivo
e e e
() se (f(A))=F allora T µ surgettivo
e
() se f µ iniettiva e f(A) µ una base di Hamel per F allora T µ un isomor¯smo
e e e
Dim
Essendo A una base di Hamel per il teorema 1.1.3 segue che:
n
X
8 2 E 9!       2 A con  6=  se i 6= j e 9x      x 2 IK tc  =
1 n i j 1 n  (1.3)
i i
i=1
scegliamo allora:
n
X
T : E ! F con T() =  f( ) 8 2 E
i i
i=1
che µ ben posto per l'unicit¶ di scrittura dei vettori di E assicurata dalla 1.3 e proviamo
e a
quindi che µ una buona scelta. Come prima cosa veri¯chiamo che T µ lineare:
e e
0 1 0 1
n
X m
X Xn m
X
T( + ) = T @   + 
i i  j A = T @   +
j i i  j A =
j
i=1 j=1 i=1 j=1
n
X m
X n
X Xm
=  f( ) +
i i  f( ) = 
j j  f( ) + 
i i  f( ) =
j i
i=1 j=1 i=1 j=1
= T() + T() 8  2 E e 8  2 IK
50

54. Il fatto che T()=f() 8 2A µ evidente, infatti ¯ssato  2A allora essendo un vettore
e
di A, necessariamente per l'unicitµ di scrittura l'unica rappresentazione che ammette µ
a e
 = 1 e quindi per costruzione T()=f(). Veri¯chiamo l'uncit¶ di T, sia quindi S:E!F
a
un operatore lineare che ristretto ad A coincide con f e proviamo che coincide con T su
tutto E. Poich¶ TjA = f = SjA segue allora dalla proprietµ 1.4.11 che S=T.
e a
Veri¯chiamo adesso la (). Adoperiamo la proprietµ 1.4.2. Sia  2 (T) allora:
a
n
X
F = T() =  f( )
i i
i=1
per l'iniettivitµ della f gli f( ) sono a due a due distinti ed inoltre appartengono
a i
all'insieme f(A), segue allora dalla lineare indipendenza di questo che  =    =  = 0
1 n
e pertanto per la 1.3 otteniamo che  = E .
Veri¯chiamo la (). Per la proprietµ 1.4.12 segue che:
a
T(E) = T((A)) = (T(A)) = (f(A)) = F
Ovviamente la () µ conseguenza immediata della () e della ().
e
Corollario 1.4.2
Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia DµE l.i.; sia f:D!F un'applicazione
Ts: 9T:E!F operatore lineare t.c. TjD ´ f
Dim
Per il teorema 1.1.4 9A µ E base di Hamel tale che D µ A. Fissato un qualunque 0 2F
consideriamo la funzione:
8
< f() se  2D
g : A ! F con g() = : 8 2 A
0 se  2 A n D
segue allora dal teorema 1.4.3 che 9!T 2 (E F) t.c. TjA ´ g e quindi TjD ´ gjD ´ f.
51

55. Corollario 1.4.3
Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia S:G!F un operatore lineare
Ts: 9T:E!F operatore lineare t.c. TjG ´ S
Dim
Per il teorema 1.1.4 9A µ G base di Hamel per G. Per il corollario 1.4.2 9T:E!F
operatore lineare t.c. TjA ´ SjA e quindi segue dalla proprietµ 1.4.11 che TjG ´ S.
a
Teorema 1.4.4
Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK
Ts: E ed F sono isomor¯ , (E)=(F)
Dim )
Dobbiamo dimostrare che due rispettive basi di Hamel degli spazi vettoriali E ed F,
hanno la medesima cardinalit¶ e cioµ che tra le due basi esiste una biezione. Per ipotesi
a e
9T:E!F operatore lineare e biunivoco e quindi detta A una base di Hamel per E, per la
proprietµ 1.4.14 segue che T(A) µ una base di Hamel per T(E)=F. E poich¶ banalmente
a e e
la restrizione TjA : A !T(A) µ pure una biezione, per quanto suddetto si ha la tesi.
e
Dim (
Per ipotesi esiste una bigezione tra due basi di Hamel rispettivamente per E ed F e
pertanto segue di peso dal teorema 1.4.3 che tali spazi sono isomor¯.
Teorema 1.4.5
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F,GµE due s.sp.vett. complementari
Ts: (G) = (EF )
Dim
Conseguenza del teorema 1.4.2 e del teorema 1.4.4.
52

56. Teorema 1.4.6
Sia E un IK-spazio vettoriale; siano F,G,HµE s.sp.vett. con G ed H complementari ad F
Ts: (G) = (H)
Dim
Segue dal teorema 1.4.5 che (G) = (EF ) = (H).
De¯nizione 1.4.5
Sia E un IK-spazio vettoriale e sia FµE un s.sp.vett., per la proprietµ 1.1.9 tale sottospazio
a
ammette almeno un sottospazio complementare e per il teorema 1.4.6 tutti i sottospazi
complementari ad F hanno la medesima dimensione e quindi ha senso dare la seguente
de¯nizione. Si de¯nisce codimensione di F la dimensione di un qualsiasi s.sp.vett. di E
complementare ad F. Banalmente se F=E allora F ha codimensione 0 cioµ la dimensione
e
di fE g, mentre se F = fE g allora la codimensione di F µ (E).
e
De¯nizione 1.4.6
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia SµE una variet¶ a±ne.
a De¯niamo
codimensione della variet¶ a±ne S la codimensione del sottospazio vettoriale di cui
a
S µ il traslato. Equivalentemente ¯ssato un qualunque 0 2  allora per la proprietµ
e a
1.1.2 la codimensione di S µ la codimensione del sottospazio S ¡ 0 .
e
Propriet¶ 1.4.15
a
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia :E! IK un funzionale lineare
Ts:  µ surgettivo oppure µ identicamente nullo
e e
Dim
Il corpo IK si puµ riguardare come uno sp.vett. su se stesso ed evidentemente gli unici
o
53

57. s.sp. che ammette sono quello banale f0g e se stesso. E quindi poich¶ per la proprietµ
e a
1.4.6  manda s.sp. in s.sp. allora puµ accadere che (E) = f0g oppure che (E) = IK.
o
Propriet¶ 1.4.16
a
Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE equilibrato con A0 6= ;; sia :E! IR un
funzionale lineare non identicamente nullo
Ts: 9  2A t.c. ()  0 e ()  0
Dim
Conseguenza del corollario 1.4.1 e della linearitµ di .
a
Propriet¶ 1.4.17
a
Sia E un IK-spazio vettoriale con (E) ¸ 2
Ts: 8 2 E0 non µ iniettivo
e
Dim
Sia ad arbitrio  2 E0 allora per la proprietµ 1.4.15 segue che  µ surgettivo oppure µ
a e e
identicamente nullo. Scartiamo il caso in cui  µ identicamente nullo poich¶ in tal caso
e e
µ banalmente non iniettivo. Sia quindi il caso in cui  µ surgettivo e supponiamo per
e e
assurdo che sia iniettivo e pertanto  risulta essere un isomor¯smo tra E e IK e questo
per il teorema 1.4.4 equivale ad a®ermare che (E) = (IK) = 1 assurdo.
Propriet¶ 1.4.18
a
Sia E uno spazio vettoriale reale; sia 0 2E; sia AµE radiale in 0; sia  : E ! IR
funzionale lineare non identicamente nullo
Ts: (A) µ un intorno di (0 ) in IR
e
Dim
Per la proprietµ 1.4.15 9 2 E tc () = 1. Per la proprietµ 1.1.3 si ha che 9 
a a
54