Tema 15. funciones de bessel (primer y segundo orden).

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Tema 15. funciones de bessel (primer y segundo orden).

  1. 1. Métodos Matemáticos I (FQ). UNIDAD 5. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES Tema 15. Funciones de Bessel (primer y segundo orden). Por Benjamín Sánchez
  2. 2. CONTENIDO  La Ecuación de Bessel de orden 𝛎  Funciones de Bessel de orden 𝛎  Funciones de Bessel de primera clase  Funciones de Bessel de segunda clase  Solución general de la función de Bessel  Relaciones de recurrencia  Funciones esféricas de Bessel.  Ceros de las funciones de Bessel  Algunas propiedades de las funciones de Bessel. Comportamiento asintótico
  3. 3. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 𝛎 ≥ 0, 𝛎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙. a 2 xy   a 1 xy   a 0 xy  0 x 2 y   xy    2 x 2  v 2 y  0 x 2 y   xy   x 2  v 2 y  0   xy    2 x2  v2 y  0 t  x 0 ecuación paramétrica de Bessel de orden 𝛎 t  ix ecuación modificada de Bessel de orden 𝛎 ecuación de Bessel de orden 𝛎 en la forma de Sturm-Lioville
  4. 4. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 𝛎 ≥ 0, 𝛎 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙.| x 2 y   xy   x 2 y  0 Ecuación de Bessel de orden 0 x 2 y   xy   x 2  1 4 y0 0  1 2 Ecuación de Bessel de orden 1/2 x 2 y   xy   x 2  1y  0 1 Ecuación de Bessel de orden 1 x 2 y   xy   x 2  4y  0 2 Ecuación de Bessel de orden 2
  5. 5. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 𝛎≥0 y   Pxy   Qxy  0  y  1 x Px   y  1 x , xPx  1, x 2  2 x2 Qx  y0 x 2  2 x2 , 𝒙 𝟎 = 𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫 x 2 Qx  x 2   2 𝒙 𝟎 = 𝟎 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒓𝒆𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑬𝑫
  6. 6. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS x 2 y   xy   x 2   2 y  0  Solución por método de Frobenius y  yx, r  y  x  x 0  r  n0 c n x  x 0  n   n0 c n x  x 0  nr   y    n0 n  rc n x nr1 y   n0 c n x nr c 0  0 serie de Frobenius  y    n0 n  rn  r  1c n x nr2  x 2   2 y  x 2   2   n0 c n x nr  x 2   c n x nr   2   c n x nr n0 n0     n0 c n x nr2   2  n0 c n x nr     n2 c n2 x nr   2  n0 c n x nr  xy   x  n0 n  rc n x nr1    n  rc n x nr n0   x 2 y   x 2  n0 n  rn  r  1c n x nr2   n0 n  rn  r  1c n x nr
  7. 7. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS x 2 y   xy   x 2   2 y  0     n0 n  rn  r  1c n x nr  n0 n  rc n x nr  n2 c n2 x nr   2 n0 c n x nr  0     x r  n0 n  rn  r  1c n x n  n0 n  rc n x n  n2 c n2 x n   2 n0 c n x n 0 xr  0     n0 n  rn  r  1c n x n  n0 n  rc n x n  n2 c n2 x n   2 n0 c n x n  0     n0 n  rn  r  1c n x n  n0 n  rc n x n   2 n0 c n x n  n2 c n2 x n  0   n0 n  rn  r  1  n  r   2 c n x n  n2 c n2 x n  0 n  rn  r  1  n  r   2  n 2  2nr  n  r 2  r  n  r   2  n 2  2nr  r 2   2  n  r 2   2
  8. 8. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS x 2 y   xy   x 2   2 y  0   n0 n  r 2   2 c n x n  n2 c n2 x n  0 Evaluar para n = 0 y n = 1   r 2   2 c 0  1  r 2   2 c 1 x   n2 n  r 2   2 c n x n   n2 c n2 x n  0  r 2   2 c 0  1  r 2   2 c 1 x   n2 r 2   2 c 0  0 c0  0 n  r 2   2 c n  c n2 x n  0 ecuación indicial  r2  2  0  r2   2 1  r 2   2 c 1 x  0 x  0  r    r 1  , r 2    1  r 2   2 c 1  0
  9. 9. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS x 2 y   xy   x 2   2 y  0 1  r 2   2 c 1  0 𝛎≥0 Sustituir r = +𝛎 1   2   2 c 1  0   2  2  1   2 c 1  0  2  1c 1  0,  2  1  0  c1  0 Sustituir r = -𝛎 * 1   2   2 c 1  0   2  2  1   2 c 1  0  1  2c 1  0,  1  2  0  r 2   2 c 0  1  r 2   2 c 1 x   n2 xn  0  n  r 2   2 c n  c n2 cn  n  r 2   2 c n  c n2 x n  0 0 1cn2 nr 2  c1  0  2 𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … 𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … ∗ 𝛎≠ 1/2
  10. 10. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟1 = +𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 cn  1cn2 nr 2  2 𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑟1 = +𝛎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑦1 (𝑥) n   2   2  n 2  2n   2   2  n 2  2n  nn  2  cn  c 0  0, 1cn2 nn2 𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … relación de recurrencia c1  0 n  2  c2  1 222 c0  n  3  c3  1 332 c1  0 1 221 c0  1 2 2 1 c0
  11. 11. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟1 = +𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 cn  1cn2 nn2 n  4  c4  n  5  c5  n  6  c6  𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … relación de recurrencia 1 442 1 552 1 662 . . . cn  c2  1 1 2 2 22 2 2 1  c0 1 2 2 4 2112 c3  0 c4  1 3223 1 2 2 4 2112 c0   n 1 2 2n n 2 c0 !12... n 2  c0 𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, … 1 1 2 32 2 3 2 4 211r2 3 c0 1 2 6 32112r3 c0
  12. 12. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟1 = +𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 cn  cn  1cn2 nn2 𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … relación de recurrencia n 1 2 2n cn  0 n 2 !12... n 2  c0 𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, … n  1, 3, 5. . . 𝑛 𝑛 = 2𝑘 → 𝑘 = 2 c 2k  1 k 2 2k k!12...k c0 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …
  13. 13. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟1 = +𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 c 2k  c 2n  1 k 2 2k k!12...k 1 n 2 2n n!12...n c 2n1  0 c0 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … c0 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … c0  0
  14. 14. FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 y 1 x   y 1 x    n0  n0 c n x nr 1 1 n c 0 x 2nv 2 2n n!12...n dado que 1  2  . . . n    y 1 x  c 0   1 n n0 2 2n n!n! x 2nv  2 v c 0 donde escogimos c 0  2 v y 1 x  x 2 v   1 n n0 n!n! x 2 n! v! 2n  , pero c 0 v!  c 0  1 n n0 n!n! x 2 2nv   1 n n0 n!n! x 2 2nv
  15. 15. FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 J  x  x 2 J  x   v   1 n n0 n!n!  1 n n0 n!n! x 2 x 2 2n 2nv función de Bessel de primera clase de orden 𝛎 𝛎≥0 Dado que 𝛎≥0, esta serie converge por lo menos en el intervalo 0 ≤ x < ∞
  16. 16. FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 J  x    1 n n0 n!n! J 0 x    1 n n0 n!n! J 1 x    1 n n0 n!n1! J 2 x    1 n n0 n!n2! 2n x 2 x 2 x 2   2n1 2n2 2nv x 2   𝛎≥0  1 n n0 n!2 1 2 x 1 8 1 16 x2  x 2 2n x3  1 384 1 96 x4   1 x5  1 3072 x2 4 1 18 432 x6   x4 64 x7  1 184 320 Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, 1,2,  x6 2304 1 1474 560 x8   1 147 456 x 8 . . . x 9 . . . 1 17 694 720 x 10 . . .
  17. 17. FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, 1, 2, 3, 4. Las funciones de Bessel oscilan pero no son periódicas, excepto en el límite a medida que 𝒙 → ∞
  18. 18. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟2 = −𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 cn  1cn2 nr 2  2 𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑟2 = −𝛎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑦2 (𝑥) n   2   2  n 2  2n   2   2  n 2  2n  nn  2  cn  c 0  0, 1cn2 nn2 𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … relación de recurrencia c1  0 n  3  c3  1 222 1 332 n  4  c4  1 442 n  2  c2  c0  1 221 c0  1 2 2 1 c0 c1  0 c2  1 1 2 2 22 2 2 1 c0  1 2 2 4 2112 c0
  19. 19. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DE BESSEL POR MÉTODO DE FROBENIUS, 𝑟2 = −𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0  cn  1cn2 nn2 n  5  c5  n  6  c6  1 552 1 662 𝒏 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, … relación de recurrencia c3  0 1 c 4  3223 1 2 2 4 2112 cn  c 2k  c 2n  2n n 2 !12... n 2 c0  1 k 2 2k k!12...k c0 1 n 2 2n n!12...n c0   n 1 2 c0 𝒏 = 𝟐, 𝟒, 𝟔, … 𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … c 2n1  0 c0  0 1 32 2 3 1 2 2 4 211r2 1 3 c0 2 6 32112r3 c0
  20. 20. FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN -𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 y 2 x   y 2 x    n0  n0 c n x nr 2 1 n 2 2n n!12...n c 0 x 2nv  c    0 n0 1 n n!n! dado que 1  v2  v3  v   n  v  n  v! y 2 x  c 0   1 n nv 2 2n n!n! x 2nv  2 v c 0   nv donde escogimos c 0  2 v y 2 x  x 2 v   1 n nv n!n! x 2 2n 1 n n!n! x 2 2nv para n  v x 2 2nv   1 n nv n!n! x 2 2nv
  21. 21. FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN -𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 J  x  x 2 J  x   𝛎≥0 v   1 n nv n!n!  1 n nv n!n! x 2 x 2 2n 2nv función de Bessel de primera clase de orden -𝛎
  22. 22. FUNCIÓN DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN -𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 J  x   J 0 x    1 n nv n!n!  1 n n0 n!n! J 1 x   x 2 2n x 2 2n1  1 n n2 n!n2! x 2 2n2 J 2 x   𝛎≥0  1 n n0 n!2 1 2  1x 2 1 16    1 n n1 n!n1! 2nv x 2  1 8 x2  x 2n x3  1 96 x4  1  1 384 1 4 x5  1 3072 x2  1 18 432 x6  1 64 x4  x7  1 184 320 Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, -1,-2, 1 2304 x6  1 1474 560 x8  1 147 456 x8     x9     1 17 694 720 x 10    
  23. 23. FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN ± 𝛎 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 J  x    1 n n0 n!n! x 2 2nv 𝛎 = 0,1,2, … J  x    1 n nv n!n! x 2 2nv J  x    1 n n0 n!n! x 2 2nv Funciones de Bessel de primera clase de orden ±𝛎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣 ≠ 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
  24. 24. FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 J 0 x    1 n n0 n!n! J 1 x   x 2 2n   1 n  n0 n!n1! 1 n  n1 n!n1! J 2 x   1 n  n0 n!n2! 1 n  n2 n!n2! J 2 x   2n1 x 2 J 1 x    1 n n0 n! 2 x 2 2n1 2n2 x 2 x 2  2n2 1 2 1 2 x 2n x x3  1 16  1x 2   1 8 x2  1 8 x2  1 96  1 1 16 x3  x4  1 96 1 384 x4  1 4 x5  1 384 1 3072 x2  1 3072 1 18 432 x5  x6  x6  1 64 x4  x7  1 18 432 1 184 320 x8  Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, ±1, ± 2, ±3, ±4 x6  1 1474 560 x7  x8  1 184 320 1 2304 1 147 456 x8 x 9 . . . 1 1474 560 1 17 694 720 x9     x 10 . . . 1 17 694 720 x 10    
  25. 25. FUNCIONES DE BESSEL DE PRIMERA CLASE DE ORDEN 0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4 x 2 y   xy   x 2   2 y  0 J 3 x   1 n  n0 n!n3! 1 n  n3 n!n3! J 3 x   J 4 x   1 n 5 n0 n!n4! 1 n 9 n4 n!n4! J 4 x   2n3 x 2 x 2 2n3 2n4 x 2 x 2 2n4   1 39 636 172 800  1 39 636 172 800   1 713 451 110 400   x 13  x 13  x 14  1 713 451 110 400 x 14  1 247 726 080 x 11  1 247 726 080 1 3963 617 280 x 11  x 12  1 3963 617 280 x 12  1 2211 840 x9  1 30 720 1 2211 840 x9  1 30 720 1 30 965 760 x 10  1 368 640 1 30 965 760 x 10  x7  1 768 1 768 x8  1 368 640 Funciones de Bessel de primera clase para n = 0, ±1, ± 2, ±3, ±4 x7  x8  x5  x5  1 7680 1 48 x6  1 7680 x6  x3     1 48 x3     1 384 x4     1 384 x4    
  26. 26. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 SOLUCIÓN GENERAL x 2 y   xy   x 2   2 y  0 para v  1, 2, 3. . . J  x    1 n nv n!n! n  1, 2, 3. . . s  0, 1, 2. . . nv  0  nv  s  J  x    1 vs s0 vs!s!  v  1, 2, 3. . . J  x x 2 2nv J  x    n  vs x 2 y 2sv  1 n n0 n!n!  2n  2v  2s  1  v J  x  yx  C1 J  x  C2 J  x  1 s s0 vs!s! x 2 x 2 2nv  2n  v  2s  v 2sv  1 v J  x 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. X 𝒗 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 …
  27. 27. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 SOLUCIÓN GENERAL x 2 y   xy   x 2   2 y  0 Como encontrar yx  C1 y 1 x  C2 y 2 x yx  C1 J  x  C2 J  x ? ?
  28. 28. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 SOLUCIÓN GENERAL Método de Frobenius Analizar 𝛎>0 𝒓 𝟏 − 𝒓 𝟐 = 𝐜𝐭𝐞 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑣 − −𝑣 = 2𝑣 1. Si 2𝑣 no es un entero, entonces 𝐽 𝑣 𝑥 𝑦 𝐽−𝑣 𝑥 son linealmente independientes (ninguna es un múltiplo constante de la otra), y la solución general de la ecuación de Bessel de orden 𝛎 es: yx  C1 J  x  C2 J  x con 𝐶1 y 𝐶2 constantes arbitrarias. Ejemplo: 𝛎=1/3 J 1/3 x  x 2 1/3   1 n n0 n!n1/3! x 2 2n y J 1/3 x  x 2 1/3   1 n n0 n!n1/3! x 2 2n
  29. 29. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 SOLUCIÓN GENERAL 2. Si 2𝑣 es un entero positivo impar (2𝑣 = 2n + 1), entonces 𝑣 = n + ½ para algún entero positivo n. En este caso, 𝐽 𝑣 𝑥 𝑦 𝐽−𝑣 𝑥 siguen siendo linealmente independientes, y la solución general de la ecuación de Bessel de orden 𝛎 es: yx  C1 J n1/2 x  C2 J n1/2 x con 𝐶1 y 𝐶2 constantes arbitrarias. Ejemplo: 𝛎=1/2 Por método de Frobenius y 1 x  x 1/2 1  1 n n1 2n1! x 2n x 1/2   1 n n0 2n1! x 2n1  x 1/2 sinx  sinx x 1/2 x0
  30. 30. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 SOLUCIÓN GENERAL De la misma forma para 𝛎 = -1/2, por método de Frobenius yx  C1 J 1/2 x  C2 J 1/2 x Funciones de Bessel y J y J 1/2 Funciones de Bessel J n1/2 J 1/2 n1/2 funciones de Bessel de orden semi-entero
  31. 31. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 SOLUCIÓN GENERAL 3. Si 𝑣 es un entero entonces 𝐽 𝑣 𝑥 𝑦 𝐽−𝑣 𝑥 siguen siendo soluciones de la ecuación de Bessel pero son linealmente dependientes. En este caso debe construirse una segunda solución de la ecuación de Bessel, linealmente independiente de 𝐽 𝑣 𝑥 . Esto conduce a las funciones de Bessel de segunda clase. y 2 x  y 1 x  y 2 x  J  x   Pxdx e  y 1 x 2  1 dx x e dx  J  x 2 dx yx  C1 J v x  C2 y 2 x  J  x  1 xJ  x 2 dx
  32. 32. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 SOLUCIÓN GENERAL Yv x  cosvJ  xJ  x sinv para 𝑣 ≠ 𝑛, N v x  cosvJ  xJ  x sinv función de Neumann yx  C1 J v x  C2 Yv x para 𝑣 ≠ 𝑛, para 𝑣 = 𝑛, 𝑛 = 0,1,2 … función de Bessel de segunda clase de orden 𝑣 función de Weber 𝑛 = 0,1,2 … x0 𝑛 = 0,1,2 … Yn x  limvn Yv x x0 yx  C1 J n x  C2 Yn x
  33. 33. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 SOLUCIÓN GENERAL yx  C1 J n x  C2 Yn x 𝐴𝑙𝑔𝑢𝑛𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 𝑌 𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜
  34. 34. LA ECUACIÓN DE BESSEL DE ORDEN 𝛎 SOLUCIÓN GENERAL Método de Frobenius 𝒓 𝟏 = 𝒓 𝟐 y 1 x  J 0 x    1 n n0 n!2 y 2 x  J 0 x lnx   Y0 x  2   n1 hn 𝛎=0 x 2 2n 1 n1 n!2 y 2 x    ln2J 0 x yx  C1 J 0 x  C2 Y0 x Ir a T. Frobenius x 2 2n Donde: h n  1  1 2 1 n función de Bessel de segunda clase de orden cero.
  35. 35. FUNCIONES DE BESSEL. RELACIONES DE RECURRENCIA Las funciones de Bessel de primera clase satisfacen las relaciones de recurrencia x >0 todas las funciones de Bessel de orden semi-entero pueden Ejemplo calcular J x v  1  3/2  v  1/2 expresarsex como como J x  sinx de combinación J x  J x  J y J J J x J x x  funciones  elementales. x  cosx 3/2 1 2v x 1 21 2 x 1/21 J 3/2 x   1 x 1/2 1/2 2 x sinx  1/2 1/2 2 x cosx  2 x  sinx  cosx x 2 x 2 x
  36. 36. FUNCIONES DE BESSEL. RELACIONES DE RECURRENCIA
  37. 37. FUNCIONES ESFÉRICAS DE BESSEL. y  x  1 x y  x  1  2   l 1 2 2 x y x  xy x  x  l  jl x  y l x   2x 2 1 2 2 l  0, 1, 2. . . yx  0   l J l1/2 x funciones esféricas de Bessel  2x 1 2 j0 x  j1 x  j2 x  sin x x 1 sin x x  x  cosx 3  1 sin x  3 cos x x x2 x2 Yl1/2 x están relacionadas por jl x  x yx  0 x2 n y l x  x n y l x  1 1 d x dx n sinx x 1 d x dx n cos x x n1  2x J l1/2 x y 0 x   cos x x y 1 x   1  cos x  sinx x x y 2 x   x32  1 cos x  x 3 sin x x2
  38. 38. ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL 1. Las funciones de Bessel no son polinomios. Su serie de Taylor tiene infinitos términos. 2. Para x << 1 las funciones de Bessel se pueden aproximar como 3. El término dominante a x pequeños es una potencia del mismo orden que la función de Bessel. De lo que se deduce además que 𝐽0(𝑥) = 1 y que 𝐽𝑛(𝑥) = 0 para n > 0 4. para n=1,2,3 5. Para una variable real, 𝑥 ≫ 1 toda solución real de la ecuación de Bessel es aproximadamente de la forma 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝛾)/ 𝑥
  39. 39. ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL sea ux  x 1/2 yx 1. Demostración yx  x 1/2 ux  y x  x 1/2  u x  y  x  x 1/2 u  x  x 3/2 ux 2 x 3/2  u x 2  x 3/2 2 u  x  3x 5/2 4 ux  x 1/2 u  x  x 3/2 u  x  3x 5/2 4 ux sustituyendo en x 2 y  x  xy  x  x 2   2 yx  0 3x 5/2 4 x 2 x 1/2 u  x  x 3/2 u  x  3/2  x u x  u  x  3x 1/2 4 1 1 4 x2 ux  x 1/2 2 ux  ux  ux  x x 1/2 u  x  x 3/2 2 ux  x 3/2   2 x 1/2 ux  0 1 x2  2 ux 0 u  x  1  ux  x 2   2 x 1/2 ux  0 diviendo entre x 3/2 2 1 4 x2 ux  0
  40. 40. ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL 1. Demostración cuando x   2 1 4 x2  u x  1  0 2 1 4 x2 ux  0 u  x  ux  0  ux  A cosx  B sinx  ux  A sinx    yx  x 1/2 ux  A x sinx   Fórmulas Asintóticas de las funciones de Bessel
  41. 41. ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL
  42. 42. CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL Se ha demostrado anteriormente, que para valores grandes de x la función de Bessel difiere muy poco de la función sinusoidal amortiguada, cualquier función de Bessel tiene una infinidad de ceros en el eje x positivo
  43. 43. CEROS DE LAS FUNCIONES DE BESSEL
  44. 44. TEOREMA DE FROBENIUS
  45. 45. TEOREMA DE FROBENIUS La ecuación indicial general es
  46. 46. TEOREMA DE FROBENIUS CASO 1
  47. 47. TEOREMA DE FROBENIUS CASO 2
  48. 48. TEOREMA DE FROBENIUS CASO 3 Regresar
  49. 49. TEOREMA DE FROBENIUS
  50. 50. TEOREMA DE FROBENIUS
  51. 51. TEOREMA DE FROBENIUS ■ Encontrar una segunda solución Cuando la diferencia r1 - r2 es un cero (caso III), el método de Frobenius no da una segunda solución en serie; la segunda solución (22) siempre contiene un logaritmo y es en realidad la ecuación (20) con C = 1. Una forma de obtener esta segunda solución con el término logarítmico es usar el hecho de que también es una solución de siempre que y1(x) sea la solución conocida.
  52. 52. FUNCIÓN GAMMA DE EULER.  x   t x1 e t dt 0 x0  1   e t dt  limb e t  b   e1  0 0 x  1    x t t e dt 0 u  tx dv  e t dt 1 e0 1  du  xt x1 dt  v  e t  t x e t dt  t x e t  x  t x1 e t dt x  1    x t t e dt 0  limb  t e  x  t 2  1  1  11  1  1! x t x1 t e dt  t x e  x  t x1 e t dt  xx
  53. 53. FUNCIÓN GAMMA DE EULER. x  1  xx 2  1  1  11  1  1! 3  2  1  22  1  2  2! 4  3  1  33  1  2  3  3! k  k  1! k  1  k! n  k1 n  1  k  1  1  k  1k  1  k  1k!  k  1! x  x1 x   1 2  1  x  0   1 2    1 1 2  1 2  2 1 2  2 
  54. 54. FUNCIÓN GAMMA DE EULER. x  1  xx 2  1  1  11  1  1! 3  2  1  22  1  2  2! 4  3  1  33  1  2  3  3! k  k  1! k  1  k! n  k1 n  1  k  1  1  k  1k  1  k  1k!  k  1! x  x1 x   1 2  1  x  0   1 2    1 1 2  1 2  2 1 2  2 
  55. 55. FIN ….
  56. 56. BIBLIOGRAFÍA  Ecuaciones Diferenciales - 4ta Ed. - William Boyce & Richard Diprima  Ecuaciones Diferenciales - 4ta Edición - C. Henry Edwards & David E. Penney  Ecuaciones Diferenciales - 5ta Edición - Isabel Carmona Jover  Ecuaciones Diferenciales - 9na Ed. - Dennis G. Zill  Ecuaciones Diferenciales Ordinarias para Estudiantes de Física - Juan M. Aguirregabiria  Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, 6a. Ed. Peter V. O'Neil  Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Vol 1 - Ecuaciones Diferenciales - Dennis Zill, Cullen- 3ed  Métodos matemáticos para físicos - George Arfken - 1a edición  Métodos Matemáticos avanzados para científicos e ingenieros - Santos Bravo Yuste  Advanced Engineering Mathematics - Alan Jeffrey  Advanced Mathematics for Engineering and Science - C F Chan Man Fong  Generalized Bessel Functions of the First Kind Lecture. Notes in Mathematics - Árpád Baricz  Mathematical Methods in Science and Engineering - S. Selcuk Bayin

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