Paradigmes et paradoxes : introduction à la simulation en probabilités
1. Paradigmes et Paradoxes
Une introduction à la simulation en
probabilités
Simon de Montigny
Étudiant au doctorat
École Polytechnique de Montréal
2. Naissance des probabilités
• Paradoxe du Duc de Toscane
– somme de 10 plus favorable que 9 sur trois dés,
alors que ces résultats ont “autant” d’écritures
comme somme de trois entiers entre 1 et 6
– résolu par Galilée
3. Naissance des probabilités
• Paradoxe du Chevalier de Méré
– parier sur l’apparition d’un 6 en 4 lancers de dé
est avantageux
– parier sur l’apparition d’un double 6 en 24 lancers
de deux dés est désavantageux
– résolu par Pascal
4. Paradigmes en probabilité
• Paradigme (paradeïgma : modèle ou exemple)
– Vision du monde, modèle de pensée
• Deux paradigmes fondamentaux en
probabilités
– Indépendance et Équiprobabilité.
• Ces principes ont une définition
mathématique précise.
5. Paradoxes classiques
• Certaines opérations mathématiques peuvent
détruire l’indépendance ou l’équiprobabilité.
• Nous aborderons deux paradoxes :
1) Le paradoxe des deux enfants
2) La loi de Benford
11. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La
probabilité que son 2e enfant soit une fille est de…
1. 1/4
2. 1/3
3. 1/2
4. 2/3
5. 3/4
12. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La
probabilité que son 2e enfant soit une fille est de…
1. 1/4
2. 1/3
3. 1/2
4. 2/3
5. 3/4
13. Paradoxe des deux enfants
• Le problème des deux enfants nous mène à
vouloir simuler une séquence d’expériences
pouvant prendre deux valeurs : garçon ou
fille, succès ou échec, 0 ou 1.
14. Paradoxe des deux enfants
• Simulation de deux bits, chacun prenant la
valeur 0 ou 1 avec équiprobabilité
• N1 : compteur du nombre de réalisations
comprenant au moins un bit de valeur 1
– au moins une fille
• N2 : compteur du nombre de réalisations dont
le 2e bit prend la valeur 1
– 2e enfant (plus jeune) est une fille
15. Paradoxe des deux enfants
Convergence de N2/N1 vers 2/3
(évaluation à toutes les 250 itérations)
Fréquence relative &
IC à 99%
Échelle de probabilité
Itérations
16. Paradoxe des deux enfants
• Pour bien comprendre le paradoxe, on doit
raisonner avec des outils mathématiques.
– Espace échantillon
– Événements
– Diagramme en arbre
– Probabilités conditionnelles
17. Paradoxe des deux enfants
• Arbre d’une famille à deux enfants
1er enfant
2e enfant 2e enfant
GG GF FG FF
18. Paradoxe des deux enfants
• Espace échantillon
S = {GG,GF,FG,FF}
• Événement « 2e enfant F»
A = {GF,FF}
• Événement « au moins une fille»
B = {GF,FG,FF}
19. Paradoxe des deux enfants
1) B : au moins une fille
1er enfant
2e enfant 2e enfant
GG GF FG FF
20. Paradoxe des deux enfants
2) A : 2e enfant est une fille (A sous-ensemble de B)
1er enfant
2e enfant 2e enfant
GG GF FG FF
33. Paradoxe des deux enfants
• Pourquoi cette différence?
– Version 1 : information simultanée sur deux enfants
– Version 2 : information sur un enfant choisi au hasard
34. Paradoxe des deux enfants
• Simulation de trois bits
– Deux premiers prennent la valeur 0 ou 1 avec
équiprobabilité
– 3e bit prend soit la valeur du 1er bit, soit celle du 2e,
avec équiprobabilité
• N3 : compteur du nombre de réalisations dont le
3e bit prend la valeur 1
– une fille a téléphoné
• N2 : compteur du nombre de réalisations dont le
2e bit prend la valeur 1
– 2e enfant (plus jeune) est une fille
35. Paradoxe des deux enfants
Convergence de N2/N3 vers 3/4
(évaluation à toutes les 250 itérations)
Fréquence relative &
IC à 99%
Échelle de probabilité
Itérations
36. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La
probabilité qu’il ait deux filles est de…
1. 1/4
2. 1/3
3. 1/2
4. 2/3
5. 3/4
37. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La
probabilité qu’il ait deux filles est de…
1. 1/4
2. 1/3
3. 1/2
4. 2/3
5. 3/4
38. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.
La probabilité qu’il ait deux filles est de…
1. 1/4
2. 1/3
3. 1/2
4. 2/3
5. 3/4
39. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.
La probabilité qu’il ait deux filles est de…
1. 1/4
2. 1/3
3. 1/2
4. 2/3
5. 3/4
41. Loi de Benford
• 1881 : Simon Newcomb, astronome, fait une
constatation étonnante en consultant une
table de logarithmes.
• 1938 : Frank Benford, ingénieur, consultant
aussi une table de logarithmes, fait la même
constatation.
42. Loi de Benford
• Les résultats de multiplications et de divisions
ont souvent «1» comme 1er chiffre significatif!
• Newcomb introduit les «nombres naturels».
– Tout nombre utilisé pour décrire la nature est
exprimé selon une unité de mesure.
– Une unité de mesure est un rapport.
– La prédominance du 1 ne dépend pas des unités
de mesure choisies.
43. • Distribution des chiffres dans les constantes
mathématiques (Inverseur de Plouffe)
Simon Plouffe, http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/statistics.html
46. Loi de Benford
• Autres apparitions de la loi de Benford
– Suite de Fibonnaci
– Factorielles
– Triangle de Pascal
– Nombres premiers et zéros de la fonction zeta
• «The first-digit frequencies of prime numbers and
Riemann zeta zeros», Luque et Lacasa, 2009
–…
48. Loi de Benford
• Simulations
– Multiplication de deux nombres réels
uniformément distribués dans l’intervalle [1 , 10]
– Déterminant d’une matrice de nombres aléatoires
• loi uniforme dans [-1,1]
• loi normale centrée réduite
51. Conclusion
• Outils de base des probabilités
– révèlent les limites de l’intuition
– permettent une démarche rigoureuse
• Simulation
– pour faire face aux problèmes réels difficiles
– permet de valider, de prévoir, de découvrir