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Paradigmes et Paradoxes

Une introduction à la simulation en
           probabilités
             Simon de Montigny
            Étudiant au doctorat
      École Polytechnique de Montréal
Naissance des probabilités
• Paradoxe du Duc de Toscane
  – somme de 10 plus favorable que 9 sur trois dés,
    alors que ces résultats ont “autant” d’écritures
    comme somme de trois entiers entre 1 et 6
  – résolu par Galilée
Naissance des probabilités
• Paradoxe du Chevalier de Méré
  – parier sur l’apparition d’un 6 en 4 lancers de dé
    est avantageux
  – parier sur l’apparition d’un double 6 en 24 lancers
    de deux dés est désavantageux
  – résolu par Pascal
Paradigmes en probabilité
• Paradigme (paradeïgma : modèle ou exemple)
  – Vision du monde, modèle de pensée
• Deux paradigmes fondamentaux en
  probabilités
  – Indépendance et Équiprobabilité.
• Ces principes ont une définition
  mathématique précise.
Paradoxes classiques
• Certaines opérations mathématiques peuvent
  détruire l’indépendance ou l’équiprobabilité.
• Nous aborderons deux paradoxes :
        1) Le paradoxe des deux enfants
                2) La loi de Benford
Le paradoxe des deux enfants
M. S et M. T discutent au téléphone.
M. T sait que M. S a deux enfants.




M. S                             M. T
Peux-tu deviner le
 sexe de mon plus
   jeune enfant?
Puis-je avoir
 un indice?
Au moins un de
mes enfants est
   une fille.
M. S a deux enfants dont au moins une fille. La
probabilité que son 2e enfant soit une fille est de…
1.   1/4
2.   1/3
3.   1/2
4.   2/3
5.   3/4
M. S a deux enfants dont au moins une fille. La
probabilité que son 2e enfant soit une fille est de…
1.   1/4
2.   1/3
3.   1/2
4.   2/3
5.   3/4
Paradoxe des deux enfants
• Le problème des deux enfants nous mène à
  vouloir simuler une séquence d’expériences
  pouvant prendre deux valeurs : garçon ou
  fille, succès ou échec, 0 ou 1.
Paradoxe des deux enfants
• Simulation de deux bits, chacun prenant la
  valeur 0 ou 1 avec équiprobabilité
• N1 : compteur du nombre de réalisations
  comprenant au moins un bit de valeur 1
  – au moins une fille
• N2 : compteur du nombre de réalisations dont
  le 2e bit prend la valeur 1
  – 2e enfant (plus jeune) est une fille
Paradoxe des deux enfants
                         Convergence de N2/N1 vers 2/3
                          (évaluation à toutes les 250 itérations)


                                                       Fréquence relative &
                                                            IC à 99%
Échelle de probabilité




                                          Itérations
Paradoxe des deux enfants
• Pour bien comprendre le paradoxe, on doit
  raisonner avec des outils mathématiques.
  – Espace échantillon
  – Événements
  – Diagramme en arbre
  – Probabilités conditionnelles
Paradoxe des deux enfants
• Arbre d’une famille à deux enfants
                        1er enfant




       2e enfant                          2e enfant




GG                 GF                FG               FF
Paradoxe des deux enfants
• Espace échantillon
              S = {GG,GF,FG,FF}

• Événement « 2e enfant F»

              A = {GF,FF}

• Événement « au moins une fille»

              B = {GF,FG,FF}
Paradoxe des deux enfants
1) B : au moins une fille
                        1er enfant




       2e enfant                          2e enfant




GG                 GF                FG               FF
Paradoxe des deux enfants
2) A : 2e enfant est une fille (A sous-ensemble de B)
                          1er enfant




         2e enfant                          2e enfant




GG                   GF                FG               FF
Paradoxe des deux enfants
• Probabilité conditionnelle
                       P[A∩B]   P[A]
              P[A|B] =        =
                        P[B]    P[B]



     P[A]       P[GF,FF]           2/4     2
          =                    =         =
     P[B]      P[GF,FG,FF]         3/4     3
Dans une deuxième version du
paradoxe, M. S et M. T discutent
aussi au téléphone.
Peux-tu deviner le
 sexe de mon plus
   jeune enfant?
Puis-je avoir
 un indice?
J’ai parlé à ma
   fille X au
téléphone avant
 de te parler.
M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.
La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de…
  1.   1/4
  2.   1/3
  3.   1/2
  4.   2/3
  5.   3/4
M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.
La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de…
  1.   1/4
  2.   1/3
  3.   1/2
  4.   2/3
  5.   3/4
Paradoxe des deux enfants
• Deux enfants avec un coup de téléphone
                                      1er enfant




              2e enfant                                    2e enfant




  Téléphone               Téléphone                Téléphone       Téléphone
Paradoxe des deux enfants
1) C : fille téléphone
                                      1er enfant




              2e enfant                                    2e enfant




  Téléphone               Téléphone                Téléphone       Téléphone
Paradoxe des deux enfants
3) A : 2e enfant est une fille
                                      1er enfant




              2e enfant                                    2e enfant




  Téléphone               Téléphone                Téléphone       Téléphone
Paradoxe des deux enfants
3) A∩C
                                     1er enfant




             2e enfant                                    2e enfant




 Téléphone               Téléphone                Téléphone       Téléphone
Paradoxe des deux enfants
• Probabilité conditionnelle


          P[A∩C]       P[GF2,FF1,FF2]
 P[A|C] =        =
           P[C]       P[GF2,FG1,FF1,FF2]

                      3/8        3
                  =            =
                      4/8        4
Paradoxe des deux enfants
• Pourquoi cette différence?
  – Version 1 : information simultanée sur deux enfants
  – Version 2 : information sur un enfant choisi au hasard
Paradoxe des deux enfants
• Simulation de trois bits
   – Deux premiers prennent la valeur 0 ou 1 avec
     équiprobabilité
   – 3e bit prend soit la valeur du 1er bit, soit celle du 2e,
     avec équiprobabilité
• N3 : compteur du nombre de réalisations dont le
  3e bit prend la valeur 1
   – une fille a téléphoné
• N2 : compteur du nombre de réalisations dont le
  2e bit prend la valeur 1
   – 2e enfant (plus jeune) est une fille
Paradoxe des deux enfants
                         Convergence de N2/N3 vers 3/4
                          (évaluation à toutes les 250 itérations)


                                                        Fréquence relative &
                                                             IC à 99%
Échelle de probabilité




                                          Itérations
M. S a deux enfants dont au moins une fille. La
     probabilité qu’il ait deux filles est de…
1.   1/4
2.   1/3
3.   1/2
4.   2/3
5.   3/4
M. S a deux enfants dont au moins une fille. La
     probabilité qu’il ait deux filles est de…
1.   1/4
2.   1/3
3.   1/2
4.   2/3
5.   3/4
M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.
     La probabilité qu’il ait deux filles est de…
1.   1/4
2.   1/3
3.   1/2
4.   2/3
5.   3/4
M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X.
     La probabilité qu’il ait deux filles est de…
1.   1/4
2.   1/3
3.   1/2
4.   2/3
5.   3/4
La loi de Benford
Loi de Benford
• 1881 : Simon Newcomb, astronome, fait une
  constatation étonnante en consultant une
  table de logarithmes.
• 1938 : Frank Benford, ingénieur, consultant
  aussi une table de logarithmes, fait la même
  constatation.
Loi de Benford
• Les résultats de multiplications et de divisions
  ont souvent «1» comme 1er chiffre significatif!
• Newcomb introduit les «nombres naturels».
  – Tout nombre utilisé pour décrire la nature est
    exprimé selon une unité de mesure.
  – Une unité de mesure est un rapport.
  – La prédominance du 1 ne dépend pas des unités
    de mesure choisies.
• Distribution des chiffres dans les constantes
  mathématiques (Inverseur de Plouffe)




           Simon Plouffe, http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/statistics.html
Loi de Benford
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048,
4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144,
524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608,
16777216, 33554432, 67108864, 134217728,
268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648,
4294967296, 8589934592, 17179869184,
34359738368, 68719476736, 137438953472,
274877906944, 549755813888, 1099511627776,
2199023255552, 4398046511104, 8796093022208
Loi de Benford
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049,
177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907,
43046721, 129140163, 387420489, 1162261467,
3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827,
282429536481, 847288609443, 2541865828329,
7625597484987, 22876792454961, 68630377364883,
205891132094649, 617673396283947,
1853020188851841, 5559060566555523,
16677181699666569, 50031545098999707,
150094635296999121, 450283905890997363,
1350851717672992089, 4052555153018976267,
12157665459056928801, 36472996377170786403,
109418989131512359209, 328256967394537077627
Loi de Benford
• Autres apparitions de la loi de Benford
  – Suite de Fibonnaci
  – Factorielles
  – Triangle de Pascal
  – Nombres premiers et zéros de la fonction zeta
     • «The first-digit frequencies of prime numbers and
       Riemann zeta zeros», Luque et Lacasa, 2009
  –…
Loi de Benford
• Table de multiplication
X       1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
    1   1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
    2   2    4    6    8    10   12   14   16   18   20
    3   3    6    9    12   15   18   21   24   27   30   1   21/100
    4   4    8    12   16   20   24   28   32   36   40   2   17/100
    5   5    10   15   20   25   30   35   40   45   50   3   13/100
    6   6    12   18   24   30   36   42   48   54   60   4   14/100
    7   7    14   21   28   35   42   49   56   63   70   5   8/100
    8   8    16   24   32   40   48   56   64   72   80   6   9/100
    9   9    18   27   36   45   54   63   72   81   90   7   6/100
10      10   20   30   40   50   60   70   80   90 100    8   7/100
                                                          9   5/100
Loi de Benford
• Simulations
  – Multiplication de deux nombres réels
    uniformément distribués dans l’intervalle [1 , 10]
  – Déterminant d’une matrice de nombres aléatoires
     • loi uniforme dans [-1,1]
     • loi normale centrée réduite
Loi de Benford
• Espace échantillon et événements 2D
Loi de Benford
Conclusion
• Outils de base des probabilités
  – révèlent les limites de l’intuition
  – permettent une démarche rigoureuse
• Simulation
  – pour faire face aux problèmes réels difficiles
  – permet de valider, de prévoir, de découvrir

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  • 2. Naissance des probabilités • Paradoxe du Duc de Toscane – somme de 10 plus favorable que 9 sur trois dés, alors que ces résultats ont “autant” d’écritures comme somme de trois entiers entre 1 et 6 – résolu par Galilée
  • 3. Naissance des probabilités • Paradoxe du Chevalier de Méré – parier sur l’apparition d’un 6 en 4 lancers de dé est avantageux – parier sur l’apparition d’un double 6 en 24 lancers de deux dés est désavantageux – résolu par Pascal
  • 4. Paradigmes en probabilité • Paradigme (paradeïgma : modèle ou exemple) – Vision du monde, modèle de pensée • Deux paradigmes fondamentaux en probabilités – Indépendance et Équiprobabilité. • Ces principes ont une définition mathématique précise.
  • 5. Paradoxes classiques • Certaines opérations mathématiques peuvent détruire l’indépendance ou l’équiprobabilité. • Nous aborderons deux paradoxes : 1) Le paradoxe des deux enfants 2) La loi de Benford
  • 6. Le paradoxe des deux enfants
  • 7. M. S et M. T discutent au téléphone. M. T sait que M. S a deux enfants. M. S M. T
  • 8. Peux-tu deviner le sexe de mon plus jeune enfant?
  • 10. Au moins un de mes enfants est une fille.
  • 11. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  • 12. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  • 13. Paradoxe des deux enfants • Le problème des deux enfants nous mène à vouloir simuler une séquence d’expériences pouvant prendre deux valeurs : garçon ou fille, succès ou échec, 0 ou 1.
  • 14. Paradoxe des deux enfants • Simulation de deux bits, chacun prenant la valeur 0 ou 1 avec équiprobabilité • N1 : compteur du nombre de réalisations comprenant au moins un bit de valeur 1 – au moins une fille • N2 : compteur du nombre de réalisations dont le 2e bit prend la valeur 1 – 2e enfant (plus jeune) est une fille
  • 15. Paradoxe des deux enfants Convergence de N2/N1 vers 2/3 (évaluation à toutes les 250 itérations) Fréquence relative & IC à 99% Échelle de probabilité Itérations
  • 16. Paradoxe des deux enfants • Pour bien comprendre le paradoxe, on doit raisonner avec des outils mathématiques. – Espace échantillon – Événements – Diagramme en arbre – Probabilités conditionnelles
  • 17. Paradoxe des deux enfants • Arbre d’une famille à deux enfants 1er enfant 2e enfant 2e enfant GG GF FG FF
  • 18. Paradoxe des deux enfants • Espace échantillon S = {GG,GF,FG,FF} • Événement « 2e enfant F» A = {GF,FF} • Événement « au moins une fille» B = {GF,FG,FF}
  • 19. Paradoxe des deux enfants 1) B : au moins une fille 1er enfant 2e enfant 2e enfant GG GF FG FF
  • 20. Paradoxe des deux enfants 2) A : 2e enfant est une fille (A sous-ensemble de B) 1er enfant 2e enfant 2e enfant GG GF FG FF
  • 21. Paradoxe des deux enfants • Probabilité conditionnelle P[A∩B] P[A] P[A|B] = = P[B] P[B] P[A] P[GF,FF] 2/4 2 = = = P[B] P[GF,FG,FF] 3/4 3
  • 22. Dans une deuxième version du paradoxe, M. S et M. T discutent aussi au téléphone.
  • 23. Peux-tu deviner le sexe de mon plus jeune enfant?
  • 24. Puis-je avoir un indice?
  • 25. J’ai parlé à ma fille X au téléphone avant de te parler.
  • 26. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X. La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  • 27. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X. La probabilité que son 2e enfant soit une fille est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  • 28. Paradoxe des deux enfants • Deux enfants avec un coup de téléphone 1er enfant 2e enfant 2e enfant Téléphone Téléphone Téléphone Téléphone
  • 29. Paradoxe des deux enfants 1) C : fille téléphone 1er enfant 2e enfant 2e enfant Téléphone Téléphone Téléphone Téléphone
  • 30. Paradoxe des deux enfants 3) A : 2e enfant est une fille 1er enfant 2e enfant 2e enfant Téléphone Téléphone Téléphone Téléphone
  • 31. Paradoxe des deux enfants 3) A∩C 1er enfant 2e enfant 2e enfant Téléphone Téléphone Téléphone Téléphone
  • 32. Paradoxe des deux enfants • Probabilité conditionnelle P[A∩C] P[GF2,FF1,FF2] P[A|C] = = P[C] P[GF2,FG1,FF1,FF2] 3/8 3 = = 4/8 4
  • 33. Paradoxe des deux enfants • Pourquoi cette différence? – Version 1 : information simultanée sur deux enfants – Version 2 : information sur un enfant choisi au hasard
  • 34. Paradoxe des deux enfants • Simulation de trois bits – Deux premiers prennent la valeur 0 ou 1 avec équiprobabilité – 3e bit prend soit la valeur du 1er bit, soit celle du 2e, avec équiprobabilité • N3 : compteur du nombre de réalisations dont le 3e bit prend la valeur 1 – une fille a téléphoné • N2 : compteur du nombre de réalisations dont le 2e bit prend la valeur 1 – 2e enfant (plus jeune) est une fille
  • 35. Paradoxe des deux enfants Convergence de N2/N3 vers 3/4 (évaluation à toutes les 250 itérations) Fréquence relative & IC à 99% Échelle de probabilité Itérations
  • 36. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La probabilité qu’il ait deux filles est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  • 37. M. S a deux enfants dont au moins une fille. La probabilité qu’il ait deux filles est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  • 38. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X. La probabilité qu’il ait deux filles est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  • 39. M. S a deux enfants et il vient de parler à sa fille X. La probabilité qu’il ait deux filles est de… 1. 1/4 2. 1/3 3. 1/2 4. 2/3 5. 3/4
  • 40. La loi de Benford
  • 41. Loi de Benford • 1881 : Simon Newcomb, astronome, fait une constatation étonnante en consultant une table de logarithmes. • 1938 : Frank Benford, ingénieur, consultant aussi une table de logarithmes, fait la même constatation.
  • 42. Loi de Benford • Les résultats de multiplications et de divisions ont souvent «1» comme 1er chiffre significatif! • Newcomb introduit les «nombres naturels». – Tout nombre utilisé pour décrire la nature est exprimé selon une unité de mesure. – Une unité de mesure est un rapport. – La prédominance du 1 ne dépend pas des unités de mesure choisies.
  • 43. • Distribution des chiffres dans les constantes mathématiques (Inverseur de Plouffe) Simon Plouffe, http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/statistics.html
  • 44. Loi de Benford 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456, 536870912, 1073741824, 2147483648, 4294967296, 8589934592, 17179869184, 34359738368, 68719476736, 137438953472, 274877906944, 549755813888, 1099511627776, 2199023255552, 4398046511104, 8796093022208
  • 45. Loi de Benford 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049, 177147, 531441, 1594323, 4782969, 14348907, 43046721, 129140163, 387420489, 1162261467, 3486784401, 10460353203, 31381059609, 94143178827, 282429536481, 847288609443, 2541865828329, 7625597484987, 22876792454961, 68630377364883, 205891132094649, 617673396283947, 1853020188851841, 5559060566555523, 16677181699666569, 50031545098999707, 150094635296999121, 450283905890997363, 1350851717672992089, 4052555153018976267, 12157665459056928801, 36472996377170786403, 109418989131512359209, 328256967394537077627
  • 46. Loi de Benford • Autres apparitions de la loi de Benford – Suite de Fibonnaci – Factorielles – Triangle de Pascal – Nombres premiers et zéros de la fonction zeta • «The first-digit frequencies of prime numbers and Riemann zeta zeros», Luque et Lacasa, 2009 –…
  • 47. Loi de Benford • Table de multiplication X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 1 21/100 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 2 17/100 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 3 13/100 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 4 14/100 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 5 8/100 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 6 9/100 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 7 6/100 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8 7/100 9 5/100
  • 48. Loi de Benford • Simulations – Multiplication de deux nombres réels uniformément distribués dans l’intervalle [1 , 10] – Déterminant d’une matrice de nombres aléatoires • loi uniforme dans [-1,1] • loi normale centrée réduite
  • 49. Loi de Benford • Espace échantillon et événements 2D
  • 51. Conclusion • Outils de base des probabilités – révèlent les limites de l’intuition – permettent une démarche rigoureuse • Simulation – pour faire face aux problèmes réels difficiles – permet de valider, de prévoir, de découvrir