Dokumen tersebut membahas tentang vektor dua dan tiga dimensi, termasuk definisi vektor, operasi vektor seperti penjumlahan dan pengurangan, komponen vektor, norma vektor, jarak vektor, hasil kali titik dan proyeksi vektor.

1. VEKTOR VEKTOR DI RUANG
DIMENSI 2 DAN RUANG DIMENSI 3
 Definisi
Jika V dan W adalah sebarang dua vektor, maka jumlah V + W adalah jumlah vektor yang ditentukan sbb :
tempatkanlah vektor W sehingga titik awalnya berimpit dengan titik terminal vektor V ,
   
 
vektor V + W
dinyatakan oleh panah dari titik awal V terhadap titik terminal W .
 
 
W

W

V

V

V +W
 
 Vektor diruang dimensi dua (R-2)
1 2 1 2V V , V W W , W
     
y
1. Misalkan k adalah sebarang skalar , maka :
1 2 1 2.V V , V .W W , Wk k k k k k
     
2. Penjumlahan : 1 1 2 2V W V W , V W
     
3. Pengurangan : 1 1 2 2V W V W , V W
     
x
 Vektor diruang dimensi tiga (R-3)
1 2 3 1 2 3V V , V , V W W , W , W
       
1. Misalkan k adalah sebarang skalar , maka :
1 2 3 1 2 3.V V , V , V .W W , W , Wk k k k k k k k
       
2. Penjumlahan : 1 1 2 2 3 3V W V W , V W , V W
       
3. Pengurangan : 1 1 2 2 3 3V W V W , V W , V W
       

2. Aturan tangan kanan : z Aturan tangan kiri : z
y x
x y
 Contoh :
1. Vektor V 2, 5 dan W 4, 3
 
Carilah hasil dari 2V dan V +W
  
2. Vektor V 2, 4, 5 dan W 3, 6,1
 
Carilah hasil dari 3W dan V +W
  
 Penyelesaian :
1. 2V 2.2, 2. 5 4, 10

V +W 2 4, 5 3 6, 2
 
2. 3W 3.3, 3.6, 3.1 9,18, 3

V +W 2 3, 4 6, 5 1 5,10, 4
 
 Komponen-komponen vektor
 Definisi :
Misalkan vektor 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1
P , , dan P , , maka : vektor P P , ,x y z x y z x x y y z z

 Contoh :
1. Carilah vektor-vektor yang mempunyai titik awal 1
P

dan titik terminal 2
P

dari :
a. 1 2
P 2,5 dan P 3,8
b. 1 2
P 2,5,9 dan P 8, 2, 1
2. Misalkan U 5, 2, 4 , V 1, 3, 2 dan W 1, 2, 3 .
  
Carilah komponen-komponen dari :
a. U W b. 2V 3W
   
 Penyelesaian :
1. a. 1 2
P P 3 2,8 5 1, 3

b. 1 2
P P 8 2, 2 5, 1 9 6, 7, 10


3. 2. a. U W 5 1, 2 2, 4 3 6, 4, 1
 
b. 2V 3W 2.1, 2. 3, 2.2 3.1, 3.2, 3.3
2, 6, 4 3, 6, 9
1, 12, 5
 
 Norma-norma vektor dan ilmu hitung
 Teorema :
Jika vektor U,vektor V dan vektor W adalah vektor-vektor di ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3 dan
serta adalah skalar maka hubungan selanjutnya akan berlaku :k l
  
a. U +V V + U
b. U +V + W U + V + W
c. U +0 0+ U U
d. U + U 0
e. U U
f. U +V U + V
g. U U + U
h. 1.U U
k l kl
k k k
k l k l
   
     
    
 
 
   
  
 
 Definisi :
Panjang sebuah vektor V

sering dinamakan norma V dan dinyatakan dengan V

Untuk R-2, panjang atau norma vektor V

:
2 2
1 2
2 2 2
1 2
V V V
V V V


Untuk R-3, panjang atau norma vektor V

:
2 2 2
1 2 3
2 2 2 2
1 2 3
V V V V
V V V V


 Jarak vektor
Untuk R-2 :
2 2
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
P P , , maka:x x y y d x x y y


4. Untuk R-3 :
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
P P , , , maka:x x y y z z d x x y y z z

 Contoh :
Diketahui 1 2 1 2
V 5,1,3 , P 4, 3,1 , P 7, 1,5 . Carilah V dan jarak dari P P
    
 Penyelesaian :
2 2 2
1 2
2 2 2
V 5 1 3 25 1 9 35
Jarak P P :
7 4 1 3 5 1
9 16 16
41
d


 Hasil kali titik dan proyeksi
Misalkan ada dua vektor U dan V
 
diasumsikan bahwa keduanya berimpit dan sudut diantara kedua vektor
disebut .
 Definisi :
U dan V
U
Jika adalah vektor-vektor diruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3 dan adalah sudut
diantara U dan V maka hasil kali titik (dot product) didefinisikan oleh :
V cos ; Jika U 0 d
U V
 
 

U
an V 0
0 ; Jika U 0 dan V 0
Jika tidak diketahu maka :
U V
cos
V

 
 Contoh :
1. U 2, 4, 0 dan V 3,1, 2 dengan 60. Carilah U V
 


5. 2. U 1, 2,1 dan V 2,1,1 . Carilah nilai
 
 Penyelesaian :
2 2 2 2 2 2
1. U 2 4 0 V 3 1 2
4 16 0 9 1 4
20 14
2 5
 
U V U V cos
2 5 14 cos 60
1
2 70
2
70
 

2 2 2 2 2 2
2. U ( 1) 2 1 V 2 1 1
1 4 1 4 1 1
6 6
 
1
U V 1 2 2 1 1 1
2 2 1
1
U V
cos
U V
1
36
1 1
cos 80, 4
6 6


 
 Teorema :
Misalkan U, V dan W adalah vektor-vektor di R-2 dan R-3, dimana k adalah skalar, maka
a. U V V U
b. U V W U V U W
c. U V U V U V
d. V V > 0 jika V 0 dan V V 0 jika V 0
k k k
   
 
      
  
     
  
     
 

6. W2 = U – W1
W2
U
Q a
W1
Vektor W1 sejajar dengan a1, vektor W2 tegak lurus dengan a2
W1 + W2 = W1 + (U – W1) = U
Vektor W1 tersebut dinamakan proyeksi ortogonal U pada a atau kadang-kadang kita namakan komponen vektor
U sepanjang a. Hal ini kita nyatakan dengan proyaU. Vektor W2 kita namakan komponen vektor U yang ortogonal
terhadap a, karena W2 = U – W1. Maka vektor ini dapat kita tulis dalam notasi sebagai : W2 = U - proyaU.
 Teorema :
Jika U dan a adalah vektor di R-2 atau R-3 dan jika a ≠ 0, maka :
2
2
U
Proy komponen vektor U sepanjang .
U
U Proy U komponen vekto r U yang ortogonal dengan .
a
a
a
U a a
a
a
U a a
a


 Contoh :
M isalkan U 2, 3, 5 dan a 3, 6,1
Carilah komponen vektor U sepanjang dan komponen vektor U yang ortogonl kea a
 
 
 Penyelesaian :
2 22 2 2 2
2
U 2 3 3 6 5 1 7
3 6 1 9 36 1 46
U
Proy
7
3, 6,1
46
a
a
a
a
U a
a



7. 2
21 42 7
, ,
46 46 46
U
U Proy U
21 42 7
2, 3, 5 , ,
46 46 46
113 96 237
, ,
46 46 46
a
a
U a
a

 Hasil kali silang
 Definisi :
1 2 3 1 2 3
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
Jika vektor U U ,U ,U dan vektor V V ,V ,V adalah vektor di R-3 maka hasil kali silang :
U V U V U V , U V U V , U V U V
atau dalam notasi determinan :
U V , ,
u u u u u u
v v v v v v
 
 Teorema :
22 2 2
Jika U dan V adalah vektor di R-3, maka :
a. U U V 0
b. V U V 0
c. U V U V U V (identitas Langrange)
 
  

  

     

 Teorema :
Jika U , V dan W adalah vektor di R-3 dan adalah sebarang skalar, maka :
a. U V V U
b. U V W U V U W
c. U V W U W V W
d. U V U V U V
k
k k k
  
   
      
      
     
e. U 0 0 U 0
f. U U 0

 
 

8. Tinjau vektor-vektor :
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1, 0, 0 , 0,1, 0 , 0, 0,1
M isalkan V V ,V ,V
V V ,V ,V V 1, 0, 0 V 0,1, 0 V 0, 0,1
V V V
i j k
i j k


 Contoh :
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
1, 0, 0 , 0,1, 0 , 0, 0,1
M isalkan V V ,V ,V
V V ,V ,V V 1, 0, 0 V 0,1, 0 V 0, 0,1
V V V
i j k
i j k


Contoh soal
misalkan :
U (4, 2,1) V (2, 3, 0) W (5, 2, 3)
hitunglah U (V W )
penyelesaian:
3 0 2 0 2 3
V W , ,
2 3 5 3 5 2
= (9 0), (6 0), (4 15)
= 9, 6, 11
U (V W ) (4, 2,1)
  
  
 
  
9, 6, 11
2 1 4 1 4 2
= , ,
6 11 9 11 9 6
= ( 22 6), ( 44 9), ( 24 18)
= 16, 53, 42
i j k
U (V W ) 4 2 1
9 6 11
2 1 4 1
=i j
6 11 9 11
  
4 2
k
9 6
=i( 22 6) j( 44 9) k ( 24 18)
= 16i+53 j 42k