1. Propiedades de los Triángulos y los Cuadriláteros

4. Demostración Supongamos un triángulo de lados a , b , c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A , B , C . Entonces tenemos que: Por el teorema del coseno : La altura de un triángulo de base a tiene una longitud bsen( C), por lo tanto:

11. Teorema de Thales Primer teorema (caso particular de triángulos semejantes) Sean dos rectas (d) y (d') orientadas y concurrentes en un punto O . Sean A y A' dos puntos de (d) , y B y B' dos puntos de (d') . Entonces: La igualdad de los cocientes equivale al paralelismo 1° fig. tiene medidas algebraicas positivas - los vectores OA , OA' , OB y OB' tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d') , 2fig posee cocientes negativos. si se aplica teorema : A'B' / AB es igual a los dos anteriores.

12. 2° teorema Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB es recto. Prueba : OA = OB = OC = r, radio del círculo. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC vale 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene Además dice que la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos proporcionales Hipotenusa (al cuadrado) = C(Al cuadrado) + C(Al cuadrado) En conclusión se forma un triangulo rectangulo

13. Teorema de la bisectriz En un triangulo, la r a z ón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángu l o interno opuesto. Demostración Si se dibuja desde C una // a AL hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A hasta pto D El triangulo ACD es isósceles (ángulos C y D son congruentes: Porque los dos angulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AL y DC cortadas por la recta transversal AC

14. Por tanto los segmentos AC y AD son congruentes. Por el Teorema de Tales se mantiene la proporción: y ya que AC y AD son congruentes, también se cumple que porque son correspondientes a las rectas paralelas AL y DC a las cuales corta la recta BD, Además porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales. Por la propiedad transitiva de la igualdad tenemos que

16. Baricentro Es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad

17. Incentro Es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.

19. Circuncentro es el punto en que se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo y centro de la circunferencia circunscrita. Dicho punto se suele expresar con la letra (O).Todos los vértices del triángulo se encuentran a la misma distancia del circuncentro. Circuncentro

20. Radio de la circunferencia circunscrita S=centro de circunf..circunscrita al ∆ ABC y R=radio Se traza la bisectriz SD del < BSC que bisecará a BC y será perpendicular a él < BSC en el centro = doble del < BAC =2A ^ a/2 =BD=BSsen BSD=Rsen A R= a /: 2 sen A En consecuencia a/sen A =b/senB= c/sen C= 2R ó de manera que no intervengan ángulos R= a/2senA=abc/2bcsenA=abc/4∆

21. Círculo exinscrito El círculo de una circunferencia tangente a un lado de un triángulo y a las prolongaciones de los otros dos se llaman un círculo exinscrito del triángulo A= area Δ ABC A= área ABIC – área BIC Área BIA + área CIA – área BIC A= ½ c * Ra + ½b*RA - ½* Ra =½Ra (c +b-a) ; como P= a +b+ c; P-2 a = b+c-a =½Ra(P-2 a) = ½ Ra (2p-2 a) ;p=P/2 ; p:semiperímetro = ½Ra2(p-a) = Ra (p-a) Ra = A / p-a ; Radio del círculo exinscrito tangente exteriormente al lado a Análogamente: Rb = A / p-b Rc= A/p-c

22. Triángulo pedal G, H y K son los pies de las alturas trazadas de los vértices a sus lados opuestos en triángulo ABC, entonces, GHK se llama triángulo pedal Las alturas se encuentran en el ortocentro de ABC < OGK=<OBK= 90° - A < OGH = < OCH = 90° -A; < KGH= 180°-2A por lo tanto los ángulos del triángulo pedal son: 180-2ª, 180-2B, 180-2C por otro lado los triángulos AKH, ABC son semejantes: HK/BC = AK/AC = cos A HK= a cos A Los lados del triángulo pedal son a cos A, b cos B, c cos C

23. Area= ½ (producto lados) por (seno del ángulo comprendido) =1/2 R sen 2B* Rsen 2C *sen(180-2A) =1/2 R² sen 2A sen 2B sen 2C circunradio= HK/: 2 sen HGK = Rsen 2A/:2 sen (180-2A) = R/2 Area y circunradio de triángulo pedal

25. Cuadriláteros Area de un cuadrilátero es igual a ½ del producto de las diagonales por el seno del ángulo que comprenden AC y BD = diagonales, se cortan en P <DPA = α Δ DAC = Δ APD +Δ CPD = ½ DP* AP senα + ½ DP PC sen (π-α) = ½ DP (AP +PC)sen α =1/2 DP* Acsenα de modo semejante ΔABC=1/2 BP*AC sen α Area = ½ (DP+BP) AC sen α = ½ DB* AC sen α