Diapositivas de Movimiento: parabólico, circular

1. UNIDAD 7 MOVIMIENTO EN EL PLANO 7.1. Movimiento Parabólico 7.2. Movimiento Circular 7.3. Movimiento Circular Uniforme 7.4. Movimiento Circular Uniformemente Variado miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

2. MOVIMIENTO PARABOLICO Es curvilíneo, plano, con trayectoria parabólica y aceleración total constante. Un ejemplo típico de éste movimiento es el lanzamiento de proyectiles, que tiene las siguientes características: La aceleración total es igual a la aceleración de la gravedad La velocidad inicial no puede ser nula La dirección de la velocidad inicial es diferente a la de la aceleración miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

3. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. La posición de la partícula en cualquier punto de la trayectoria esta determinada por: El análisis del movimiento de un proyectil se realiza en función de su velocidad inicial. (α generalmente es un ángulo agudo) La velocidad inicial en función de sus componentes es: Y su dirección:

4. y Vo Vosenα x Vocosα La velocidad en cualquier punto de la trayectoria es: miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. Vx Vy V α

5. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. Como: se tiene: Igualando las componentes en x e y: El movimiento parabólico es compuesto, resulta de la suma simultáneade un MRU en el eje horizontal y un MRUV en el eje vertical.

6. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. En el eje horizontalEl en eje vertical Si α = 0 es un lanzamiento horizontal donde voy = 0 En el eje horizontalEl en eje vertical

7. La ecuación cartesiana del movimiento parabólico es: miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

8. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. VELOCIDAD. Varía simultáneamente en módulo y dirección, por lo que se generan aceleración tangencial y centrípeta; estas aceleraciones son variables pero en cada instante su suma (aceleración total) es constante. y x V V Vo α V

9. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. ACELERACION. Para cualquier posición la aceleración tangencial es la proyección de la aceleración total en la dirección de la velocidad. Por tanto:

10. 1. Desde lo alto de un edificio se dispara un proyectil con una velocidad de . Determinar a los 5s: La aceleración total La posición del cuerpo La distancia recorrida horizontal y verticalmente La velocidad de la partícula La aceleración tangencial y centrípeta 2. Un cuerpo rueda por el tablero horizontal de una mesa de 1,55m de altura y abandona ésta con una velocidad de Determinar: A qué distancia del borde de la mesa, el cuerpo golpea el suelo La posición del cuerpo cuando llega al suelo La velocidad con que golpea contra el suelo La aceleración total, tangencial y centrípeta en el momento de llegar al suelo EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

11. 3. Una bola que rueda sobre una mesa horizontal de 75cm de altura cae tocando el suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1,5m del borde de la mesa. ¿Cuál era la velocidad de la bola en el momento de abandonar la mesa? 4. Los peldaños de una escalera miden 12cm de altura y 30cm horizontalmente. Determinar: Cuál es la velocidad en dirección horizontal que debe comunicarse a una bola para que su primer rebote sea en la mitad del cuarto escalón Qué velocidad tiene la bola en el instante del primer impacto 5. Un jugador de tenis comunica a una bola una velocidad horizontal de módulo . La bola toca el suelo a una distancia de 20m del jugador. ¿ A qué altura fue golpeada la bola? 6. Un proyectil es lanzado con una rapidez v0 y su dirección forma un ángulo α sobre la horizontal. Determinar: El vector velocidad inicial El vector velocidad en función del tiempo t EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

12. y x c) El vector posición en función del tiempo t d) El tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta que el proyectil alcanza la altura máxima (tiempo de subida) y el necesario para regresar al nivel horizontal del lanzamiento (tiempo de vuelo) e) El valor de la altura máxima alcanzada f) La distancia horizontal cubierta por el proyectil hasta regresar al nivel del lanzamiento (alcance) g) El valor del ángulo α para que el alcance sea el máximo posible. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. Altura máxima EJERCICIOS α ALCANCE

13. 7. Halle el ángulo α de lanzamiento para el cual el alcance es igual a la altura máxima. 8. Determine los ángulos de lanzamiento para los cuales el alcance de un proyectil sea 240m si la velocidad inicial tiene módulo 9. Un proyectil lanzado oblicuamente con un ángulo de 45° y una velocidad de cae a una distancia x del sitio de lanzamiento. Calcule la altura, si es disparado horizontalmente con la misma velocidad para que caiga en el mismo sitio. 10. Se lanza un proyectil desde el punto de coordenadas (4,3)m con una velocidad de . Determinar. La aceleración, velocidad y posición para cualquier tiempo El tiempo de vuelo El alcance horizontal La altura máxima La velocidad del proyectil en 1s La aceleración tangencial y la centrípeta en 1s EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

14. 11. Una partícula parte del origen con una rapidez de en la dirección positiva del eje de las y. Su aceleración es constante e igual a . Determinar: La forma de la trayectoria La posición de la partícula para cualquier tiempo t La velocidad de la partícula en t = 3s La rapidez de la partícula en t = 3s 12. Un jugador de golf comunica a su pelota una velocidad inicial horizontal de y una velocidad inicial vertical de . Escribir las ecuaciones cinemáticas del movimiento y calcular la altura máxima y el alcance de la pelota 13. Se lanza una pelota con una velocidad inicial de que hace un ángulo de 37° con la horizontal. Escribir las ecuaciones cinemáticas del movimiento y calcular la altura máxima y el alcance de la pelota EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

15. 14. Un jugador de básquetbol lanza desde el suelo la pelota con una velocidad inicial de que hace un ángulo de 53° con la horizontal. La canasta esta situada a 6m del jugador y tiene una altura de 3m. ¿Podrá encestar? 15. Un futbolista comunica a una pelota una velocidad de con dirección de 37° con la horizontal. Encontrándose a 8m de distancia del arco de 2,5m de altura. ¿Habrá posibilidad de gol? 16. Una pelota de béisbol abandona el bate a una altura de 1,20m sobre el suelo, formando un ángulo de 45° con la horizontal y con una velocidad inicial tal que el alcance horizontal hubiera sido de 120m. A los 108m de distancia desde la plataforma del lanzamiento se encuentra una valla de 9m de altura. ¿Pasará la pelota por encima de la valla? EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

16. 17. Un proyectil es disparado formando un ángulo de tiro igual a 60° y choca contra un edificio situado a 24m del punto del disparo en un punto del edificio situado a 14,4m por encima de la proyección del lanzamiento. Calcular: a) La velocidad inicial el proyectil b) La velocidad al momento del impacto c) La dirección que tiene el proyectil al momento del impacto EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

17. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. MOVIMIENTO CIRCULAR Decimos que un cuerpo tiene movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia. y θ x Mientras la partícula se desplaza por la trayectoria circular su vector posición barre ángulos centrales Δθ

18. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. POSICION ANGULAR Es el ángulo θ que existe entre el vector posición de la partícula y el eje x y θ x El ángulo θ generalmente se expresa en radianes

19. NOTA 1. Todo ángulo medido en grados se puede convertir a radianes multiplicando por: NOTA 2. Todo ángulo medido en radianes se puede convertir a grados multiplicando por: Convertir en radianes: 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º Convertir en grados: miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

20. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. DESPLAZAMIENTO ANGULAR Es la variación de la posición angular de una partícula y x Se expresa en radianes Δθ P(to) P(t) θ θo

21. VELOCIDAD ANGULAR MEDIA Es el cociente entre el desplazamiento angular efectuado por la partícula y el tiempo UNIDADES: miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

22. ACELERACION ANGULAR Cociente entre la variación de la velocidad angular que experimenta una partícula y el intervalo de tiempo en que se produjo UNIDADES miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

23. Una partícula parte del punto (-3,4) cm, moviéndose en sentido antihorario sobre una trayectoria circular con centro en el origen, con una velocidad angular constante de . Determinar La posición angular inicial El desplazamiento angular en 10s La posición angular final La posición final 2. Una partícula gira por una trayectoria circular con una velocidad angular constante de . Determinar: El tiempo necesario para girar un ángulo de 620° El tiempo necesario para dar 12 revoluciones El ángulo (en grados) girado en 9s El número de vueltas que da en 2min. EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

24. 3. Una partícula animada de movimiento circular parte del punto (5,-2) cm en sentido antihorario con una velocidad angular de y se mueve durante 5s con una aceleración angular de . Determinar: La velocidad angular final La velocidad angular media El desplazamiento angular La posición angular inicial La posición final EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

25. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Es el de una partícula cuya velocidad angular es constante y x miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. Δθ B (t) A (to) θ θo R

26. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. El móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales (todas las vueltas serán recorridas en tiempos iguales) PERIODO (T) Tiempo empleado en recorrer una vuelta completa Si Δθ = 2πrad entonces Δt = T; por tanto: UNIDADES

27. FRECUENCIA (f) Es el número de revoluciones por unidad de tiempo UNIDADES DISTANCIA (d) Es la longitud del arco que se determina por: miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

28. ACELERACION CENTRIPETA Si ω es cte entonces v = cte; por lo tanto aT = 0 La variación en la dirección genera ac Módulo Dirección Hacia el centro de la trayectoria, opuesta a la de la posición y perpendicular a la velocidad miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

29. 1. Una Partícula que se mueve por una trayectoria circular de 1,6m de radio, gira un ángulo de 125° cada 7s. Determinar: La velocidad angular de la partícula La rapidez de la partícula El período La frecuencia El módulo de la aceleración centrípeta. 2. Una partícula da 415 RPM en una circunferencia de 1,2m de radio. Determinar: Su velocidad angular Su período La rapidez de la partícula El módulo de la aceleración centrípeta La distancia recorrida en 5s EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

30. 3. Un cuerpo parte del punto (-2,6) m y gira en sentido antihorario a 500RPM durante 4s. Si el centro de la circunferencia esta en el origen, determinar: La velocidad angular La posición angular inicial La posición angular final La posición final Cuántas vueltas da en los 4s El período La velocidad en la posición inicial La aceleración centrípeta en la posición final EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

31. 4. Una partícula animada de MCU se encuentra en la posición que indica la figura en t = 3s. Si se mueve en sentido horario 7s, determinar: La velocidad angular El desplazamiento angular Cuántas vueltas da en los 7s La distancia recorrida La posición final El período La velocidad en t = 10s La aceleración centrípeta en t = 3s EJERCICIOS miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

32. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO Es el de una partícula cuya aceleración angular es constante. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

33. Recordando las expresiones para la velocidad media: miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

34. Por otro lado: Si el movimiento es acelerado ω y α tienen signos iguales (mismo sentido de giro) Si el movimiento es retardado ω y α tienen signos opuestos (distinto sentido de giro) miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

35. ACELERACION ACELERACIÓN TANGENCIAL: MODULO: DIRECCION: Si el movimiento es acelerado, la aT tiene igual dirección y sentido que la velocidad Si el movimiento es retardado, la aT tiene la misma dirección pero sentido contrario miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

36. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. ACELERACION ACELERACIÓN CENTRIPETA: MODULO: DIRECCION: ACELERACION TOTAL MODULO:

37. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. 1. Una partícula parte del reposo desde el punto C en sentido antihorario con una aceleración tangencial constante de y gira un ángulo de en una trayectoria circular de 2m de radio. Determinar: La aceleración angular La velocidad angular final El tiempo empleado La posición angular final La posición final La velocidad final La aceleración total final y 45º x EJERCICIOS C

38. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. 2. Un cuerpo que esta girando por una trayectoria circular de 0,75m de radio, demora 3s en girar un ángulo de y alcanza una velocidad angular de 50RPM. Determinar: La velocidad angular media La velocidad angular inicial La aceleración angular La rapidez inicial La rapidez final La distancia recorrida EJERCICIOS

39. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. 3. Una partícula se mueve en la trayectoria circular de la figura. Si parte del punto A con una rapidez de y, luego de girar un ángulo de , llega al punto B con una rapidez de Determinar: La velocidad angular inicial y final La aceleración angular El tiempo transcurrido La posición angular final La posición final La velocidad final La aceleración total final y R= 1,3m 40º x EJERCICIOS

40. miércoles, 04 de mayo de 2011 Dr. Segundo Morocho C. 4. Una partícula que se mueve con movimiento circular se encuentra en la posición que indica la figura en t = 5s. Si gira 18s con una aceleración angular de Determinar: El desplazamiento angular El espacio angular recorrido El espacio lineal recorrido La posición cuando v = 0 La posición final La aceleración total en t = 15s y R= 1,5m EJERCICIOS 65º x