Números proporcionais, porcentagem, funções

Questões de Matemática – Aula 2
Emerson Marcos Furtado1
Tópicos abordados:
Funções
Porcentagem
Números proporcionais
1. (FCC) – Uma cafeteira automática aceita apenas moedas de 5, 10 ou 25
centavos e não devolve troco.
Se, feito nessa máquina, cada cafezinho custa 50 centavos, de quantos
modos podem ser usadas essas moedas para pagá-lo?
a) 13
b) 12
c) 11
d) 10
e) 9
Solução:
Sejam:
x quantidade de moedas de 5 centavos
y quantidade de moedas de 10 centavos
z quantidade de moedas de 25 centavos
Se o cafezinho custa 50 centavos, então o pagamento deve satisfazer:
5 . x + 10 . y + 25 . z = 50
Dividindo todos os termos por 5, temos:
x + 2y + 5z = 10
1
Mestre em Métodos Nu-
méricos pela Universidade
Federal do Paraná (UFPR).
Licenciado em Matemáti-
ca pela UFPR. Professor do
Ensino Médio de colégios
nos estados do Paraná e
Santa Catarina desde 1992;
professor do Curso Positivo
de Curitiba desde 1996; pro-
fessor da Universidade Posi-
tivo, de 2000 a 2005; autor de
livros didáticos, destinados a
concursospúblicos,nasáreas
de Matemática, Matemática
Financeira, Raciocínio Lógico
e Estatística; sócio-diretor do
Instituto de Pesquisas e Pro-
jetos Educacionais Práxis, de
2003 a 2007; sócio-professor
do Colégio Positivo de Join-
ville desde 2006; sócio-
diretor da empresa Teorema
– Produção de Materiais
Didáticos Ltda. desde 2005;
autor de material didático
para o Sistema de Ensino do
Grupo Positivo, de 2005 a
2009; professor do CEC –
Concursos e Editora de Curi-
tiba, desde 1992, lecionando
as disciplinas de Raciocínio
Lógico, Estatística, Matemá-
tica e Matemática Financeira;
consultor da empresa Result
– Consultoria em Avaliação
de Curitiba, de 1998 a 2000;
consultor em Estatística
Aplicada com projetos de
pesquisa desenvolvidos nas
áreas socioeconômica, qua-
lidade, educacional, indus-
trial e eleições desde 1999;
membro do Instituto de
Promoção de Capacitação
e Desenvolvimento (IPRO-
CADE) desde 2008; autor de
questões para concursos pú-
blicos no estado do Paraná
desde 2003.
Esse material é parte integrante do Videoaulas on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.videoaulasonline.com.br

2
Observe que não pode ocorrer z 2, pois, nesse caso, o valor pago ultra-
passaria o preço do cafezinho (5z 10).
Se z = 2, temos:
x + 2y + 5z = 10
x + 2y + 5 . 2 = 10
x + 2y + 10 = 10
x + 2y = 10 – 10
x + 2y = 0
A única possibilidade de solução seria x = y = 0.
Se z = 1, temos:
x + 2y + 5z = 10
x + 2y + 5 . 1 = 10
x + 2y + 5 = 10
x + 2y = 10 – 5
x + 2y = 5
x = 5 – 2y
As possibilidades são:
y = 0 x = 5 – 2 . 0 = 5 – 0 = 5
y = 1 x = 5 – 2 . 1 = 5 – 2 = 3
y = 2 x = 5 – 2 . 2 = 5 – 4 = 1
Se z = 0, temos:
x + 2y + 5z = 10
x + 2y + 5 . 0 = 10
x + 2y + 0 = 10

3
x + 2y = 10
x = 10 – 2y
As possibilidades são:
y = 0 x = 10 – 2 . 0 = 10 – 0 = 10
y = 1 x = 10 – 2 . 1 = 10 – 2 = 8
y = 2 x = 10 – 2 . 2 = 10 – 4 = 6
y = 3 x = 10 – 2 . 3 = 10 – 6 = 4
y = 4 x = 10 – 2 . 4 = 10 – 8 = 2
y = 5 x = 10 – 2 . 5 = 10 – 10 = 0
Organizando as possibilidades de pagamento em uma tabela, temos:
Moedas de
R$ 0,05 (x)
Moedas de
R$ 0,10 (y)
Moedas de
R$ 0,25 (z)
Quantia paga
(centavos)
0 0 2 0 . 5 + 0 . 10 + 2 . 25 = 50
5 0 1 5 . 5 + 0 . 10 + 1 . 25 = 50
3 1 1 3 . 5 + 1 . 10 + 1 . 25 = 50
1 2 1 1 . 5 + 2 . 10 + 1 . 25 = 50
10 0 0 10 . 5 + 0 . 10 + 0 . 25 = 50
8 1 0 8 . 5 + 1 . 10 + 0 . 25 = 50
6 2 0 6 . 5 + 2 . 10 + 0 . 25 = 50
4 3 0 4 . 5 + 3 . 10 + 0 . 25 = 50
2 4 0 2 . 5 + 4 . 10 + 0 . 25 = 50
0 5 0 0 . 5 + 5 . 10 + 0 . 25 = 50
Portanto, existem 10 modos possíveis de o pagamento ser realizado.
Resposta : D
2. (Cesgranrio) – Em uma empresa, a razão do número de empregados
homens para o de mulheres é 3/7.
Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é:
a) 30%
b) 43%

4
c) 50%
d) 70%
e) 75%
Solução:
Sejam:
H percentual de homens da empresa
M percentual de mulheres da empresa
Então:
H
3
M
7
=
Utilizando uma propriedade das proporções, temos:
H
3
M
7
= =
H+M
3+7
=
100%
10
= 10%
Assim, podemos escrever:
H
3
= 10% H = 3 . 10% = 30%
M
7
= 10% M = 7 . 10% = 70%
Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é igual
a 30%.
Resposta: A
3. (FCC) – Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade
operacional, são capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, se fun-
cionarem ininterruptamente 10 horas por dia.
Nessas condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados
por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de fun-
cionamento ininterrupto, é:

5
a) 100
b) 200
c) 400
d) 600
e) 800
Solução:
As informações podem ser organizadas segundo quatro grandezas:
aparelhos máquinas dias horas por dia
100 10 10 10
x 20 20 20
A grandeza que possui a incógnita é “aparelhos”. Vamos comparar cada
uma das outras três grandezas com“aparelhos”, duas as duas, a fim de verifi-
car se são diretamente ou inversamente proporcionais:
Comparando a grandeza“máquinas”com“aparelhos”:
100 10 10 10
x 20 20 20
Quanto maior for o número de máquinas, maior também será o número
de aparelhos fabricados. Logo, as grandezas “máquinas” e “aparelhos” são
diretamente proporcionais. Vamos representar tal fato por duas setas no
mesmo sentido. O sentido pode ser para cima ou para baixo, não importa.
Caso as grandezas fossem inversamente proporcionais, representaríamos
por duas setas em sentidos contrários.
Comparando a grandeza“dias”com“aparelhos”:
100 10 10 10
x 20 20 20
Quanto maior for o número de dias de produção, maior também será o
númerodeaparelhosproduzidos.Assim,asgrandezas“aparelhos”e“dias”sãodi-
retamente proporcionais. As setas no mesmo sentido indicam a relação direta.

6
Comparando a grandeza“horas por dia”com“aparelhos”:
100 10 10 10
x 20 20 20
Quanto maior for o número de horas por dia de produção, maior
também será o número de aparelhos produzidos. Logo, as grandezas
“aparelhos”e“horas por dia”também são diretamente proporcionais.
Se uma grandeza é diretamente proporcional a duas ou mais gran-
dezas, também será diretamente proporcional ao produto delas, então
a razão entre as quantidades de aparelhos produzidos na 1.ª e na 2.ª
situação é igual ao produto das outras razões:
100
x
= . .
10
20
10
20
10
20
Caso uma das grandezas fosse inversamente proporcional à grande-
za“aparelhos”a razão seria invertida.
Resolvendo, temos:
100
x
= . .
1
2
1
2
1
2
100
x
=
1
8
1 . x = 8 . 100
x = 800
Portanto, 800 aparelhos poderiam ser montados por 20 daquelas
máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento
ininterrupto.
Resposta: E
4. (FCC) – Certo dia, Celeste e Haroldo, agentes de fiscalização finan-
ceira, foram incumbidos de analisar 51 solicitações de usuários
de uma unidade do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo.

7
Decidiram, então, dividir o total de solicitações entre si, em partes que
eram, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais aos seus respec-
tivos tempos de serviço no Tribunal e inversamente proporcionais às
suas respectivas idades. Sabe-se também que, na ocasião, Celeste tra-
balhava no Tribunal há 15 anos e tinha 36 anos de idade, enquanto
que Haroldo lá trabalhava há 10 anos.
Assim, se coube a Celeste analisar 34 solicitações, a idade de Haroldo:
a) era superior a 50 anos.
b) estava compreendida entre 45 e 50 anos.
c) estava compreendida entre 40 e 45 anos.
d) estava compreendida entre 35 e 40 anos.
e) era inferior a 40 anos.
Solução:
Se haviam 51 solicitações e Celeste foi responsável pela análise de 34,
então Haroldo ficou responsável por 17:
C + H = 51
34 + H = 51
H = 51 – 34
H = 17
Organizando as informações, temos:
Análises Idade Tempo
Celeste 34 36 15
Haroldo 17 x 10
Assim, se x é a idade de Haroldo e a quantidade de análises é diretamente
proporcional ao tempo de serviço e inversamente proporcional à idade de
cada funcionário, então:
Análises Idade Tempo
Celeste 34 36 15
Haroldo 17 x 10

8
34
17
= .
x
36
15
10
34 . 36 . 10 = x . 15 . 17
34 . 36 . 10
15 . 17
= x
2 . 36 . 2
3 . 1
= x
2 . 12 . 2 = x
x = 48
Portanto, a idade de Haroldo estava compreendida entre 45 e 50 anos.
Resposta: B
5. (FCC) – No vestiário de um hospital há exatamente 30 armários que
são usados por exatamente 30 enfermeiros. Curiosamente, certo dia
em que todos os armários estavam fechados, tais enfermeiros entra-
ram no vestiário um após o outro, adotando o seguinte procedimen-
to:
O primeiro a entrar abriu todos os armários;
O segundo fechou todos os armários de números pares (2, 4, 6, ..., 30) e
manteve a situação dos demais;
O terceiro inverteu a situação a cada três armários (3.º, 6.º, 9.º, ..., 30.º), ou
seja, abriu os que estavam fechados e fechou os que estavam abertos, man-
tendo a situação dos demais;
O quarto inverteu a situação a cada quatro armários (4.º, 8.º, 12.º, ... 28.º),
mantendo a situação dos demais;
Da mesma forma, ocorreu sucessivamente o procedimento dos demais
enfermeiros.
Com certeza, após a passagem de todos os enfermeiros pelo vestiário, os
armários de números 9, 16 e 28 ficaram, respectivamente:

9
a) aberto, aberto e fechado.
b) aberto, fechado e aberto.
c) fechado, aberto e aberto.
d) aberto, aberto e aberto.
e) fechado, fechado e fechado.
Solução:
A solução dessa questão está relacionada à divisibilidade. Como exemplo
vamos considerar o armário de número 10. Quais enfermeiros abririam ou
fechariam o armário de número 10?
O 1.º enfermeiro abriria o armário de número 10, pois o encontraria
fechado.
O 2.º enfermeiro fecharia o armário de número 10, pois o encontraria
aberto.
O 5.º enfermeiro abriria o armário de número 10, pois o encontraria
fechado.
O 10.º enfermeiro fecharia o armário de número 10, pois o encontraria
aberto.
Os demais enfermeiros não mexeriam no armário de número 10. Assim,
o armário de número 10 ficaria fechado. Os enfermeiros que mexeram no
armário de número 10 foram os de números 1, 2, 5 e 10.
Que característica em comum os números 1, 2, 5 e 10 apresentam?
Todos são divisores positivos de 10.
Divisores de 10 1 2 5 10
Início do Armário 10: F A F A F
Pensando da mesma maneira podemos descobrir como ficariam os armá-
rios de número 9, 16 e 28.

10
Armário 9:
Divisores de 9 1 3 9
Início do Armário 9: F A F A
O armário 9 ficaria aberto.
Armário 16:
Divisores de 16 1 2 4 8 16
Início do Armário 16: F A F A F A
O armário 16 ficaria aberto.
Armário 28:
Divisores de 28: 1 2 4 7 14 28
Início do Armário 28: F A F A F A F
O armário 28 ficaria fechado.
Logo, os armários 9, 16 e 28 ficariam, respectivamente, aberto, aberto e
fechado.
Resposta: A

11
6. (FCC) – Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mes-
mo tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80
desses micros ele recebeu o que havia pago pelos 94 que havia com-
prado e cada um dos 14 micros restantes foi vendido pelo mesmo pre-
ço de venda de cada um dos outros 80.
Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcentagem de lucro do comer-
ciante nessa transação foi de:
a) 17,5%
b) 18,25%
c) 20%
d) 21,5%
e) 22%
Solução:
Sejam:
x o preço de custo de cada um dos 94 computadores
y o preço de venda de cada um dos 80 computadores
Se o valor obtido com a venda dos 80 computadores é igual ao preço
gasto com a compra dos 94 computadores, então:
80 . y = 94 . x
94 . x
80
y =
O valor obtido com a venda dos 94 computadores, cada um ao preço de
y reais, é dado por:
94 . x
80
94 . y = 94 . =
94 . 94
80
. x
O lucro obtido na venda dos 94 computadores é igual à diferença entre o
valor obtido na venda e o correspondente custo destes 94 computadores:

12
L = 94y – 94x
94 . 94
80
L = . x - 94x
94 . 94 . x - 94 . 80 . x
80
L =
94 . (94 - 80) . x
80
L =
94 . (14) . x
80
L = = 14 .
94
80(
(. x
O resultado indica que o lucro é de exatamente 14 vezes o valor de custo
de um computador.
Assim, o lucro em relação ao custo é dado por:
14 .
94
80(
(. x
14 .
94
80(
(. x
94 . x
L
C
.= = =
1
94 . x
14
80
=
7
40
= 0,175 = 17,5%
Portanto, o lucro em relação ao custo é igual a 17,5%.
Resposta: A
7. (Cesgranrio) – As tabelas a seguir relacionam a numeração de roupas
e calçados femininos no Brasil, nos Estados Unidos da América (EUA) e
na Europa.
Roupas Femininas
Brasil EUA Europa
36 2 34
38 4 36
40 6 38
42 8 40
44 10 42
46 12 44
48 14 46
Calçados Femininos
Brasil EUA Europa
34 5,5 36
35 6 37
36 7 38
37 7,5 39
38 8,5 40
39 9 41
40 10 42

13
Observando essas tabelas, conclui-se que:
a) numeração de calçados femininos no Brasil pode ser expressa em
função da numeração nos EUA e na Europa por meio de funções
afim.
b) a numeração de roupas femininas no Brasil pode ser expressa em
função da numeração nos EUA e na Europa por meio de funções
lineares.
c) a função que exprime a numeração de roupas femininas na Europa
em termos da numeração no Brasil é f(x) = x – 2.
d) a função que exprime a numeração de calçados em termos da nu-
meração das roupas femininas no Brasil é f(x) = x + 2.
e) as relações entre a numeração das roupas e dos calçados femini-
nos na Europa em função da respectiva numeração no Brasil po-
dem ser estabelecidas pela mesma expressão algébrica.
Solução:
a) Falsa, pois para acréscimos de uma unidade na numeração de cal-
çados femininos no Brasil, a correspondente numeração nos EUA
pode sofrer acréscimos de 0,5 ou de 1,0.
b) Falsa, pois a razão entre as numerações do Brasil e das correspon-
dentes numerações nos EUA e Europa não é constante.
c) Verdadeira, pois a numeração das roupas na Europa é duas unida-
des menor do que a numeração no Brasil.
d) Falsa, pois a numeração dos calçados é menor do que a numera-
ção das roupas.
e) Falsa, pois as numerações das roupas e dos calçados femininos na
Europa são distintas.
Resposta: C
8. (Esaf) – Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina
e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir
de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco
vai de um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro

14
vai de um lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles
nadam de um lado para outro, sem perder qualquer tempo nas vira-
das. Durante esses 12 minutos, eles podem encontrar-se quer quando
estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando em
sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos
estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o
número de vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12
minutos é:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
Solução:
Se Marco demora 45 segundos para percorrer uma piscina, então em 90
segundos terá percorrido duas piscinas. Nesse mesmo tempo, Mauro per-
corre 3 piscinas, pois seu tempo é de 30 segundos por piscina. Logo, a cada
90 segundos, ou seja, 1 minuto e 30 segundos, irão se encontrar exatamen-
te 3 vezes, pois esse é o número de piscinas que percorrerá o mais lento
(Marco). Isto ocorre somente quando ambos partem de lados opostos da
piscina. Caso partissem do mesmo lado, no prazo de 1 minuto e 30 segun-
dos, ocorreria um encontro a menos, ou seja, seriam apenas 2 encontros. Em
12 minutos, temos 8 períodos de 1 minuto e 30 segundos. No 1.º, 3.º, 5.º e 7.º
períodos, seriam
4 . 3 = 12 encontros. No 2.º, 4.º, 6.º e 8.º períodos, 4 . 2 = 8 encontros. Logo,
ao todo, seriam 12 + 8 = 20 encontros.
Resposta: E
9. (Funrio) – Seja f uma função que tem como domínio o conjunto A =
{Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B =
{1, 2, 3, 4, 5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de
letras distintas desse elemento x. Com base nessas informações, pode-
se afirmar que

15
a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos ele-
mentos no contradomínio.
b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemen-
to do domínio.
c) f não é uma função.
d) f (Maria) = 5.
e) f (Pedro) = f (Paulo).
Solução:
Pela definição da função, temos:
f(Ana) = 2; f(José) = 4; f(Maria) = 4; f(Paulo) = 5 e f(Pedro) = 5
a) Falsa
Observe, por exemplo, que f(José) = f(Maria) = 4
b) Falsa
Observe que existem elementos y B, que não estão associados a quais-
quer elementos de x A. Por exemplo, não existe x tal que f(x) = 3.
c) Falsa
A cada elemento x A existe um único y B tal que y = f(x).
d) Falsa
f(Maria) = 4
e) Verdadeira
f(Paulo) = f(Pedro) = 5
Resposta: E
10. (Cesgranrio) – Um fabricante de leite estabelece a seguinte promoção:
3 caixas vazias do leite podem ser trocadas por uma caixa cheia des-
se mesmo produto. Cada caixa contém 1 litro. Comprando-se 11 caixas
desse leite, a quantidade máxima, em litros, que pode ser consumida é

16
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
Solução:
Temos 11 caixas – destas onze, 9 podem ser trocadas por mais 3, ou seja,
bebemos as 11 e temos duas de saldo que somadas as 3 novas, somam cinco
caixas. Até agora temos (11+3=14). Destas cinco, três podem ser trocadas
por mais uma (14+1=15) que somadas as duas restantes de cinco possibili-
tam mais uma troca (15+1=16). Inclusive o gabarito oficial da prova traz o 16
como resposta correta.
Resumindo:
11 possibilitam a troca por mais 3.
Saldo anterior 2 + 3 possibilitam a troca por mais 1
Saldo anterior 2+1 possibilitam a troca por mais 1
Temos 11 iniciais + troca 3 + troca 1 + troca 1 = 16
Resposta: D
11. (Funrio) – Se IR denota o conjunto dos números reais e f (x) = 2x + 7 e
g(x) = x2
− 2x + 3 são funções de IR em IR, então a lei de definição da
função composta f o g é dada por
a) x2
− 3x +1
b) 2x2
− 4x +13
c) x4
− 3x2
+ 9
d) 2x4
− 5x2
+ 36
e) x4
− x2
+ x −1

17
Solução:
A função composta (f o g)(x) é definida como sendo (f o g)(x) = f(g(x)),
para todo x pertencente ao domínio de g. Logo, calcula–se a imagem de x
pela função g e, em seguida, a imagem de g(x) pela função f. Assim, temos:
(f o g)(x) = f(g(x)) = 2 . g(x) + 7 = 2 . (x2
– 2x + 3) + 7 = 2x2
– 4x + 13
Resposta: B
12. (Esaf) – Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho cami-
nhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso,
ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que
haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tem-
po para chegar ao trabalho 8 minutos antes do início da reunião. Ao
passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daque-
le ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente reiniciasse
a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, chegaria
atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância
entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da
casa de Lúcio a seu local de trabalho é igual a:
a) 1 200m
b) 1 500m
c) 1 080m
d) 760m
e) 1 128m
Solução:
A velocidade média é definida como sendo o quociente entre o desloca-
mento e o tempo. Sendo S o deslocamento entre a casa de Lúcio e o seu local
de trabalho, temos:
S m
20 min
v=
Em outra situação, ele teve que gastar, além dos 20 minutos que normal-
mente gasta para percorrer o trajeto, mais 8 minutos que perdeu para chegar
ao horário e mais 10 minutos em função do atraso. Entretanto, nessa hipóte-

18
se, a distância percorrida aumentou em 540 metros, pois esta era a distância
entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio. Logo, a velocidade constante também
pode ser escrita por:
(S + 2 . 540) m
(20 + 8 + 10) min
v=
Como as velocidades são iguais, temos:
(S + 2 . 540) m
(20 + 8 + 10) min
=
S m
20 min
v=
S + 1 080
38
=
S
20
38S = 20S + 21 600
38S – 20S = 21 600
18S = 21 600
S = 1 200m
Resposta: A
13. (Cesgranrio) – “Essa semana, o Banco Central lançou campanha para
que a população use mais moeda e aprenda a identificar notas falsas.
Este ano, até agosto, foram apreendidas 251 mil notas falsas, totalizan-
do R$12.386.000,00. Desse valor, cerca de 10% correspondiam a notas
de 20 reais.”O globo, 24 out (Adaptado.).
De acordo com essas informações, quantas notas falsas de 20 reais foram
apreendidas até agosto desse ano?
a) Menos de 20 mil.
b) Entre 20 mil e 40 mil.
c) Entre 40 mil e 60 mil.
d) Entre 60 mil e 80 mil.
e) Mais de 80 mil.

19
Solução:
Se 10% das 251 mil notas eram falsas e no valor de R$20,00, então a quan-
tidade de notas falsas de 20 reais foi:
0,10 . 251 000 = 25 100
Logo, tal quantidade está entre 20 mil e 40mil.
Resposta: B
14. (Esaf) – Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes há-
bitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso.
Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso.
A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o
que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que
estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a
sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de
peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confei-
taria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso
final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao
peso imediatamente anterior ao início dessa sequência de visitas, ficou:
a) exatamente igual.
b) 5% maior.
c) 5% menor.
d) 10% menor
e) 10% maior.
Solução:
Para aumentar uma quantidade x em 20%, por exemplo, basta multiplicar
o valor de x por 1,20, observe:
x + 0,20 . x = x . (1 + 0,20) = x . 1,20
Para reduzir uma quantidade x em 20%, por exemplo, basta multiplicar o
valor de x por 0,80:
x – 0,20 . x = x . (1 – 0,20) = x . 0,80

20
De forma análoga, para aumentar em 25% uma quantidade, bastaria mul-
tiplicar tal quantidade por 1,25 e, para reduzir em 25% uma quantidade, bas-
taria multiplicar por 0,75. Desta forma, supondo que o peso de Alice fosse
igual a A, no início da viagem, e que ela tivesse apresentado as variações
informadas no enunciado, teríamos:
A . (0,80) . (1,20) . (0,75) . (1,25) = 0,90 . A
Observando que 0,90A – 1A = –0,10A, conclui–se que ela ficou com um
peso 10% menor do que o apresentado no início das visitas.
Resposta: D
15. (Funrio) – Um comerciante, em uma promoção relâmpago, concedeu
15% de desconto sobre certa mercadoria. Para uma cliente que apro-
veitou a promoção, ele concedeu mais 5% de desconto sobre o valor
de promoção, a título de pagamento à vista. Tendo comprado a mer-
cadoria à vista, a cliente recebeu um desconto total, com respeito ao
valor inicial sem promoção, de
a) 19%
b) 19,25%
c) 19,50%
d) 20%
e) 20,25%
Solução:
Para reduzir uma quantidade x em 15% basta multiplicar o valor de x por 0,85:
x – 0,15 . x = x . (1 – 0,15) = x . 0,85
Para reduzir uma quantidade x em 5% basta multiplicar o valor de x por 0,95:
x – 0,05 . x = x . (1 – 0,05) = x . 0,95
Logo, se uma mercadoria custava x reais e sofreu dois descontos sucessi-
vos de 15% e 5%, respectivamente, teríamos:
x . (0,85) . (0,95) = x . 0,8075

21
O desconto total foi de 0,8075x – 1x = –0,1925x, ou seja, 19,25% sobre x.
Resposta: B
16. (Esaf) – Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O
ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40°
b) 70°
c) 75°
d) 80°
e) 90°
Solução:
Supondo que os três ângulos internos do triângulo tenham medidas
iguais a α, β e γ, respectivamente, temos:
α + β + γ = 180º
Se tais ângulos encontram–se na razão 2:3:4, temos:
α
2
β
3
γ
4
= = =
α + β + γ
2 + 3 + 4
=
180º
9
= 20º
Logo:
α
2
= 20º α = 2 . 20º = 40º
β
3
= 20º β = 3 . 20º = 60º
γ
4
= 20º γ = 4 . 20º = 80º
Assim, o maior ângulo do triângulo mede 80.º.
Resposta: D

22
17. (Funrio) – Cada torneira enche um tanque em 3 horas e um ralo
leva 4 horas para esvaziá-lo. Estando o tanque inicialmente vazio e
duas torneiras e o ralo abertos, em quanto tempo o tanque ficará
cheio?
a) 2h
b) 2h12min
c) 2h36min
d) 2h24min
e) 2h48min
Solução:
Vamos supor que a medida do tanque seja unitária, ou seja, igual a 1.
Cada torneira enche um terço do tanque em uma hora. O ralo esvazia um
quarto do tanque em uma hora. Logo, sendo x o tempo, em horas, em que
o tanque ficará cheio, sendo abertas duas torneiras e um ralo, temos:

1
3
1
3
1
4
1
x
=+ -

4 + 4 -3
12
1
x
=

5
12
1
x
=
5x = 12
x = 2,4 horas
x = 2h + (0,4 . 60)min
x = 2h + 24min
Resposta: D

23
18. (Esaf) – Um avião XIS decola às 13h00 e voa a uma velocidade constante
de x quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13h30 e voa na
mesma rota de XIS, mas a uma velocidade constante de y quilômetros
por hora. Sabendo que y x, o tempo, em horas, que o aviãoYPS, após
sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a
a) 2 / (x+y) horas.
b) x / (y-x) horas.
c) 1 / 2x horas.
d) 1/ 2y horas.
e) x / 2 (y-x) horas.
Solução:
Vamos supor que as decolagens tenham ocorrido no mesmo dia. O avião
YPS, por ter decolado meia hora depois do avião XIS, precisará percorrer a
mesma distância em meia hora a menos.
Assim, se a velocidade do avião YPS é y (em km/h) e, supondo, que o des-
locamento seja igual S (em km) e que o tempo até o encontro seja igual a t
(em horas), temos:
y = S = yt
S
t
Se a velocidade do avião XIS é x (em km/h), o deslocamento é igual a S
(em km) e que o tempo até o encontro seja igual a t +
1
2
, temos:
x = S = x .
S
t +
1
2
t +
1
2
((
Como os deslocamentos devem ser iguais, temos:
x . = ytt +
1
2
((
x . = yt
2t + 1
2
((

24
2xt + x = 2yt
x = 2yt – 2xt
x = 2t . (y – x)
t =
x
2 . (y - x)
Resposta: E
19. (Cesgranrio) – Manter uma televisão ligada três horas por dia, durante
30 dias, consome 9,9 kWh de energia. Quantos kWh de energia serão
consumidos por uma TV que permanecer ligada quatro horas por dia,
durante 20 dias?
a) 6,6
b) 6,8
c) 7,2
d) 8,8
e) 9,2
Solução:
Vamos relacionar as grandezas e resolver o problema por meio de uma
regra de três composta:
Dias Horas kWh
30 3 9,9
20 4 x
As grandezas dias e kWh são diretamente proporcionais, pois aumen-
tando-se uma delas, a outra aumentará na mesma proporção, bem como as
grandezas horas e kWh. Logo, podemos escrever:
3
4
. =
9,9
x
30
20
90
80
=
9,9
x

25
9
8
=
9,9
x
9x = 8 . 9,9
x = 8 . 1,1
x = 8,8
Logo, 8,8 kWh de energia serão consumidos por uma TV que permanecer
ligada quatro horas por dia, durante 20 dias.
Resposta: D
20. (Esaf) – Em um certo aeroporto, Ana caminhava à razão de um me-
tro por segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de 210 metros, que
se movimenta no mesmo sentido em que ela caminhava, continuou
andando no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou
ter levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extensão da es-
teira. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre
a esteira, o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da
esteira seria igual a
a) 1 minuto e 20 segundos.
b) 1 minuto e 24 segundos.
c) 1 minuto e 30 segundos.
d) 1 minuto e 40 segundos.
e) 2 minutos.
Solução:
Velocidade de Ana: VA
=
210 m
210 s
= 1,0 m/s
Velocidade de Ana + esteira: VA+E
=
210 m
60 s
= 3,5 m/s
Velocidade da esteira: VE
= VA+E
- VA
= 3,5m/s - 1,0 m/s = 2,5 m/s
Logo, para percorrer 210 metros sem caminhar sobre a esteira, gastaria
um tempo dado por:

26
2,5 m
1 s
= x = = 84 s = 60 s + 24 s = 1 minuto e 24 segundos
210 m
x s
210 m
2,5
Resposta: B
21. (Cesgranrio) – Um comerciante aumentou em 20% o preço de suas
mercadorias. Com isso, as vendas diminuíram, e ele resolveu oferecer
aos clientes um desconto de 30% sobre o preço com aumento. Desse
modo, qual é, em reais, o preço com desconto de uma mercadoria que
inicialmente custava R$200,00?
a) 144,00
b) 168,00
c) 180,00
d) 188,00
e) 196,00
Solução:
Para aumentar uma quantidade x em 20%, por exemplo, basta multiplicar
o valor de x por 1,20, observe:
x + 0,20 . x = x . (1 + 0,20) = x . 1,20
Para reduzir uma quantidade x em 30%, por exemplo, basta multiplicar o
valor de x por 0,70:
x – 0,30 . x = x . (1 – 0,30) = x . 0,70
Logo, após um aumento de 20% e uma redução de 30%, uma quantidade
x será dada por:
x . (1,20) . (0,70) = x . 0,84
Se a mercadoria custava R$200,00 no início, então após o aumento e a
redução custará:
0,84 . R$200,00 = R$168,00
Resposta: B

27
22. (Esaf) – Se Y é diferente de zero, e se
X
Y
= 4 , então a razão de
2X – Y para X, em termos percentuais, é igual a:
a) 75%
b) 25%
c) 57%
d) 175%
e) 200%
Solução:
Se
X
Y
= 4 , então X = 4Y, logo:
2 . (4Y) - Y
4Y
= = = 1,75 = = 175%
2X - Y
X
7Y
4Y
175
100
Resposta: D
23. (Cesgranrio) – Uma máquina produz 1 200 peças em 4 horas. Quantas
máquinas iguais a essa devem funcionar juntas, durante 3 horas, para
que sejam produzidas 8 100 peças no total?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Solução:
Se uma máquina produz 1 200 peças em 4 horas, então ela produz 300
peças em 1 hora. Logo, 1 máquina, em 3 horas, produzirá 3 . 300 = 900 peças.
Se cada máquina, em 3 horas, produz 900 peças, então para que sejam pro-
duzidas 8 100 peças, serão necessárias 8100
900
= 9 máquinas.
Resposta: E

28
24. (Esaf) – A receita bruta total de uma empresa é diretamente propor-
cional ao quadrado da terça parte das quantidades vendidas. Sabe-se
que quando são vendidas 6 unidades, a receita total bruta é igual a 40.
Assim, quando se vender 3 unidades, a receita bruta será igual a:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
Solução:
Supondo que a quantidade vendida seja representada por Q e a receita
bruta correspondente por R, temos:
= k
R
Q
3
(( 2
em que k é a constante de proporcionalidade.
A constante k pode ser obtida substituindo-se Q = 6 e R = 40:
= k = k = k k = 10
40
6
3
(( 2
40
(2)2
40
4
Desta forma, podemos escrever:
= 10 R = 10 .
R
Q
3
(( 2
Q
3
(( 2
Logo, para Q = 3, temos:
R = 10 . = 10 . (1)2
= 10 . 1 = 10
3
3
(( 2
Resposta: A

29
25. (Cesgranrio) – Ao receber seu décimo terceiro salário, Mário o dividiu
em duas partes, diretamente proporcionais a 4 e a 7. Ele depositou a
menor parte na poupança e gastou o restante em compras de Natal.
Se Mário depositou R$560,00 na poupança, quanto ele recebeu de dé-
cimo terceiro salário, em reais?
a) 800,00
b) 960,00
c) 1.200,00
d) 1.400,00
e) 1.540,00
Solução:
Sejam P a quantia depositada na poupança, N a quantia gasta nas com-
pras de Natal e S o valor do 13.º salário. Se P é diretamente proporcional a 4
e N é diretamente proporcional a 7, então:
P
4
N
7
= =
P + N
4 + 7
=
S
11
Se P = R$560,00, então:
560,00
4
S
11
= S = . 560,00 = 1.540,00
11
4
Resposta: E
26. (Esaf) – Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total de
vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas
para os cursos de violino são destinadas para o turno diurno. Um pos-
sível valor para o número total de vagas da escola é:
a) 160
b) 164
c) 168
d) 172
e) 185

30
Solução:
Seja V o número total de vagas da escola, V IN. Se 1/4 do número total
de vagas é destinado para cursos de violino, então:

V
4
vagas são destinadas ao curso de violino
Se 1/8 das vagas para os cursos de violino são destinadas para o turno
diurno, então:
V
4
8
V
4
= . =
1
8
V
32
vagas são destinadas ao turno diurno
ComoV é um número natural a quantidade total de vagas deve ser neces-
sariamente um número divisível por 32. Dentre as alternativas apresentadas
apenas 160 é divisível por 32.
Resposta: A

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