PRESENTACION ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

1. Ecuaciones diferenciales. Variables separables ERICK JOSUE RANGEL ALBA. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. Dennis G. Zill

2. Considere la ecuación diferencial de primer orden dy/dx=f(x,y). Cuando f no depende de la variable y, es decir, f(x,y)=g(x), la ecuación diferencial: dy/dx=g(x) se puede resolver por integración. Solución por integración.

3. Si g(x) es una función continua, al integrar ambos lados de la ecuación se obtiene y= ʃ g(x) dx= G(x)+c, donde g es una anti derivada de g(x). Ejemplo: Si dy/dx = 1 + e(2x), entonces su solución es y = ʃ (1+ e(2x) ) dx o y = x + 1/2 e(2x) + c

4. La ecuación 1 así como su método de solución, no son mas que un caso especial en el que f, en la forma normal dy/dx=f(x,y) se puede factorizar como el producto de una función en x por una función de y. Definición:

5. Una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy/dx= g(x) h(y) Se dice que es separable o que tiene variables separables. Ecuación separable:

6. Las ecuaciones: dy/dx= y(2x) e(3x+4y) y dy/dx= y + sen x Son respectivamente, separable y no separable. En la primera ecuación podemos factorizar f(x,y)=y(2) x e(3x+4y) como: Por ejemplo.

7. f(x,y)=y(2)x e(3x+4) = (x e(3x) ) ( y(2) e(4y) ) g(x) h(y) Pero en la segunda ecuación no hay forma a y + sen x como un producto de una función de x por una función de y.

8. Observe que al dividir entre la función h(y), podemos escribir una función separable dy/dx=g(x)h(y) como: p(y) dy/dx=g(x) Donde por conveniencia p(y) representa a 1/h(y). Podemos ver inmediatamente que la ecuación 2 se reduce a la ecuación 1 cuando h(y)=1.

9. Ahora si y=ɸ(x) representa una solución de la ecuación 2, se tiene que p(ɸ(x))ɸ’(x)=g(x), por lo tanto: ʃ p(ɸ(x)) ɸ’(x) dx = ʃ g(x) dx Pero dy =ɸ’(x) dx , por lo que la ecuación 3 es la misma que: ʃ p(y) dy = ʃ g(x) o H(y) = G(x) + c, Donde H(y) y G(x) son anti derivadas de p(y)=1/h(y) y g(x), respectivamente.