Física 3 – ECyT – UNSAM             2012                Clases 3 y 4  Campo y Potencial Eléctrico Ley de GaussIntroducción...
Ley de Gauss                  Clase 3   Revisión de los visto   Campo Eléctrico   Concepto de flujo de un campo    vect...
Electricidad y Magnetismo             Cuatro leyes básicas Ley de Coulomb – Las cargas eléctricas se atraen o repelenLey...
Leyes básicas                                           q1 ⋅ q2                                  F = Ke Ley de Coulomb   ...
Leyes básicasLey de Ampere – Las corrientesgeneran campos MagnéticosA Ley de Inducción de Faraday –Un campo magnético va...
Propiedades de las cargas    Conservación de la carga    Cuantización de la carga                                     q1 ⋅...
Principio de superposición de las              fuerzas eléctricas                  FNeta (qa ) = ∑i Fi (qa )Las fuerzas...
Comparación entre las Fuerzas      Eléctricas y Gravitacionales.   Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y    débiles) s...
Comparación entre las Fuerzas    Eléctricas y Gravitacionales       Átomo de hidrógeno         K=8.99 109 N/m2c2          ...
Superpoción Lineal de las Fuerzas                   Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será                     ...
CAMPO ELÉCTRICO                                       Campo       Eléctrico;                                       Fuerza ...
Líneas de Campo EléctricoIdea introducida por Faraday.Las líneas de campo en cada punto tienen la dirección del campo.E...
Fotocopias e Impresoras LáserFotocopiadora                     Impresora Láser                El cilindro se             ...
Campo Eléctrico                (para un dipolo eléctrico )   Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contra...
Simetría   Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido    en el plano de simetría de una distribución de cargas   ...
Principio de superposiciónPermite calcular el campo creado por una distribución                                        de...
Líneas de campo en esferas y                            planosPlano simetríaEsfera con carga                              ...
Campo de un Dipolo                                                                              n        n(n − 1) 2       ...
Campo de un Dipolo Ejercicio                                                           n      n(n − 1) 2                  ...
Campo de hilo cargado (L, Q)                                                                      1 λdx x                 ...
Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado,                         Q, a                                           ...
Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformementecargado.                                              1        dQ ⋅ ...
Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformementecargado de radios R∞                                       σ      ...
Campo entre dos placas paralelas                              Ex = 0------------------                      σ      -------...
Resumen de Campo Eléctrico   El Campo Eléctrico es un campo vectorial.   Líneas de Campo: en cada punto tiene la direcci...
Concepto de FlujoFlujo ≈   Lat.   Fluxus ≈ Fluir, manar.El flujo de un campo de velocidad está asociado al caudal o volume...
Concepto de FlujoCaudal = volumen del          Q=dVdt= liquido que para en la unidad de tiempo.              = A.v.dt/dt  ...
FLUJO o descarga de un                   líquidodV = (v.dt ) ⋅ A = dΦ v ⋅ dt                                              ...
Definición de Flujo              Campo Vectorial   La “cantidad” de campo que    atraviesa una superficie    imaginaria S...
Flujo Eléctrico- Ley de Gauss   Es la cantidad de    “líneas de campo    que atraviesan las    superficie S.”   Unidades...
Carl Friedrich Gauss 1777-1855                                           Matemático, astrónomo                            ...
Flujo de campoε0Φ(S1)= +qε0Φ(S2)= -qε0Φ(S3)= 0       ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = qneta   S                             32
Ley de Gauss y Conservación de                      cargas    Para un campo vectorial A cualquiera              ∫∫ A.dS...
Ley de Gauss del magnetismo   No hay polos magnéticos aislados   Si B es campo magnético    ∫∫ B.dS ∝ Intensidad de fu...
La ley de Gauss La expresión anterior puede generalizarse   para cualquier distribución de carga. El valor   del la carga ...
Superficies Gaussianas Es una superficie cerrada (imaginaria) que rodea una distribución de cargas.           q         ...
Ley de Gauss- Ley de                      Coulomb   De la ley de Coulomb sabemos que:           1      q     E=         ...
Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?Sólo es útil para situaciones donde hay simetría.Hay que usar la simetría para saber dónde...
Cuando conviene usar la ley de     Gauss para calcular campos   La Ley de gauss es de validez universal   Es “útil” para...
Ejemplo- Hilo delgado de carga             Este problema tiene Simetría cilíndrica.             • Tomamos una superficie G...
Ley de Gauss- Campo de una placa plana     q∫∫ E ⋅ dA = ε o    E=                      σ                      2ε     qEA...
Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga                Radio a  r                    r>a          ...
Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga               Radio a   E             r<a                 ...
Ejemplo- Placa plana cargada Esfera cargada uniformemente          Palca plana con distribución                           ...
Dos placas conductoras       cargadas   2σ 1 σE=     =    ε0 ε0                         45
Conclusiones   La ley de Gauss es útil para    determinar campos cuando hay    simetría en el problema   Ojo, Pero su va...
Potencial Eléctrico                    Clase 4   Revisión de los visto   Campo Eléctrico- Ley de Gauss   Trabajo y ener...
Expresión Matemática      de la Ley de Gauss                      Electricidad: El flujo de∫S E⋅ dS = qin ε 0          ...
Ley de Gauss El flujo de campo eléctrico a través de cualesquier superficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga neta ...
Ley de Gauss - ConductoresSi aplicamos la Ley de Gauss a un conductor, cargado y estado estacionario (Electrostática) Ent...
Ejemplo 3            51
Superficies esféricas Gaussianasa) carga puntual positiva   a) carga puntual negativa   Flujo Positivo              Flujo ...
Campo eléctrico de una carga                    puntualConsidere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio rser...
Campo eléctrico de una carga         puntual           ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = qneta        S                        ...
Textos   R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, Física para estudiantes de    ciencias e ingeniería, 4ª ed., vol. II (México...
Trabajo para mover una carga                                     2             2                                         ...
Trabajo para mover una carga                                                                              ∆W = q.E.∆l  ...
Trabajo para mover una carga                                    W1, 2      2                                            ...
Si tomamos el                                   Potencial en infinito                                   como cero, el pote...
Física 3 – ECyT – UNSAM             2010               Clase 5Introducción al electromagnetismo             Docentes:     ...
Potencial   En general:                                  ∆W1,1 = − ∫ E.dl = 0                              C   El trab...
Si tomamos el                                 Potencial en infinito                                 como cero, el potencia...
Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y                     trayectoria no rectilínea                             ...
        Dipolo en campo                   E Uniforme                                                                    ...
DÍPOLO ELÉCTRICOEs un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distanciaDipolo en un...
Polarización Eléctrica   Cuando se coloca una    carga positiva, los    átomos se polarizan o    alinean con el campo   ...
Dipolos   Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo    de los átomos está más positivamente cargado y...
POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS                      PUNTUALESPara una distribución discreta de cargas                 ...
Cascarón Esférico hueco        Hay simetría  Ley de Gauss            Primero el campo E                        Q r≥R    ...
Cascarón Esférico hueco                             Potencial eléctricoDespués el potencial         en el interior y el   ...
2a      Dipolo                                   -q -                    + q                                              ...
Campo creado por un dipolo                                                               Z                                ...
CONDUCTOR EN EQULIBRIO                      ELECTROSTÁTICOConductor: Material que se caracteriza por tener cargas         ...
Condiciones que se deben cumplir en todo conductor        Toda la carga libre de un conductor se coloca en su  I     super...
El campo eléctrico en la superficie del conductor es       perpendicular a dicha superficie y vale σ                     ...
Esfera cargadaDistribución esférica, r ≥R               1       Q       E=              4πε0 r 2 Distribución uniforme, r ...
Esfera cargadaDistribución esférica, r ≥R           1   Q            1    Q  E=               V (r ) =       4πε0 r 2     ...
Ejercicio: Ley de Gauss:     Cascarón Esférico                 Calcular Campo y                 Potencial en todo         ...
Cascaron esféricaUsando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:            1 q        E=                          P...
Electrostática  Campo electrostático y potencial                                     80
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES  Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un  campo eléctrico, representado por...
Superficies equipotencialesEs el lugar geométrico de todos los puntos que seencuentran al mismo potencial. Cumplen la cond...
Ejemplos de superficies equipotenciales                                          83
Conductor en un campo eléctrico   El campo interior siempre    es nulo.   Deforma las líneas de    campo exterior.   Se...
Potencial eléctrico   La fuerza eléctrica se puede expresar en función    del campo eléctrico.                      ...
Superficies equipotenciales              V ( x, y, z ) = cteEl potencial es constante en todos sus puntos.             ...
Superficies equipotencialesSuperficieequipotencial    Campo eléctrico                             Campo           Campo   ...
Referencias   Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D.    Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (...
Problema 1   Calcular Campo y Potencial para:   Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del    problema)            ...
Problema 2+Q                                           r 2 = x 2 + (d / 2) 2                     r      d/2               ...
Problema 3             91
92
AgradecimientoAlgunas figuras y dispositivas fueron tomadas  de: Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT  Argentina Clases E...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Fisica3– e cy t_3+4_camp_pot_gaussunsam

848 visualizaciones

Publicado el

Publicado en: Educación
0 comentarios
1 recomendación
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
848
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
4
Acciones
Compartido
0
Descargas
20
Comentarios
0
Recomendaciones
1
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Fisica3– e cy t_3+4_camp_pot_gaussunsam

  1. 1. Física 3 – ECyT – UNSAM 2012 Clases 3 y 4 Campo y Potencial Eléctrico Ley de GaussIntroducción al electromagnetismo Docentes: Gerardo García Bermúdez Salvador Gilwww.fisicarecreativa.com/unsam_f3 1
  2. 2. Ley de Gauss Clase 3 Revisión de los visto Campo Eléctrico Concepto de flujo de un campo vectorial Ley de Gauss- Ley fundamental Aplicaciones 2
  3. 3. Electricidad y Magnetismo Cuatro leyes básicas Ley de Coulomb – Las cargas eléctricas se atraen o repelenLey de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aisladosLey de Ampere – Las corrientes generan campos MagnéticosLey de Inducción de Faraday – Campos magnéticos en movimiento generan campos eléctricos. Tensiones eléctricas 3
  4. 4. Leyes básicas q1 ⋅ q2 F = Ke Ley de Coulomb d 2 – Gauss Las cargas eléctricas se atraen o repelenLey de Gauss Magnetismo – No hay polo magnéticos aislados 4
  5. 5. Leyes básicasLey de Ampere – Las corrientesgeneran campos MagnéticosA Ley de Inducción de Faraday –Un campo magnético variables(flujos variable) genera un campoeléctrico o tensión 5
  6. 6. Propiedades de las cargas Conservación de la carga Cuantización de la carga q1 ⋅ q2 1 q1 ⋅ q2 Ley de Coulomb F12 = ke d 2 = 4πε 0 d 2 Principio de superposición La materia es de naturaleza esencialmente eléctrica, de hecho es la fuerza eléctrica la que liga los electrones al núcleo 6
  7. 7. Principio de superposición de las fuerzas eléctricas   FNeta (qa ) = ∑i Fi (qa )Las fuerzas eléctricas son muchísimas más fuertes que las fuerzas gravitatorias ~1040 1 q1 ⋅ q2 F12 = r ˆ 4πε 0 r 2 7
  8. 8. Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales. Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y débiles) son las cuatro fuerzas básicas del universo. Hay una gran semejanza matemática de la Ley de Coulomb y la Ley de Gravitación Universal de Newton. q1 ⋅ q2 m1 ⋅ m2 Fe = ke 2 Fe = G 2 r r Semejanzas en r2 semejanzas en los productos mAmB y qAqB Diferencias en las constantes Diferencias en los signos. 8
  9. 9. Comparación entre las Fuerzas Eléctricas y Gravitacionales Átomo de hidrógeno K=8.99 109 N/m2c2 q1 ⋅ q2   G=6.67 10-11 N/m2kg2 Me=9.11 10-31 kg Fe = k 2 r   Mp=1.67 10-27 kg  e= 1.6 10-19C m1 ⋅ m2 Fe = G r2Fe(N)= 8.2 10-8 N Las interaccionesFg(N)= 3.6 10-47 N Eléctricas son Muchísimas más fuertesFe/Fg= 4.4 x 10-40 que las gravitatorias 9
  10. 10. Superpoción Lineal de las Fuerzas Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será     Fa = Fab + Fac + Fad + .. kq a q i  =∑ 2 rai i raio escrita de la siguiente forma:  1 qa qi  Fa = ∑ rai 4πε0 3 i rai Principio de superposición 10
  11. 11. CAMPO ELÉCTRICO Campo Eléctrico; Fuerza por unidad de carga que se ejerce en un punto P de espacio  sobre una carga de prueba  F E = Lim q0 q 0 → 0 q0  CAMPO ELÉCTRICO de UNA CARGA PUNTUAL  F E= Q Q0 1 Q ⋅ q0 F = q0Q0, carga de prueba 4πε 0 r 2    E= 1 Q r 2 ˆ F = q0 ⋅ E 4πε 0 r 11
  12. 12. Líneas de Campo EléctricoIdea introducida por Faraday.Las líneas de campo en cada punto tienen la dirección del campo.El número de líneas por unidad de área, es proporcional a la intensidad del campo.Dan una idea grafica de la dirección e intensidad del campo 12
  13. 13. Fotocopias e Impresoras LáserFotocopiadora Impresora Láser El cilindro se carga La imagen reflejada descarga selectivamente El tonner se pega en la zona cargada Cilindro Fotosensible 13
  14. 14. Campo Eléctrico (para un dipolo eléctrico ) Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contrario: + - 14
  15. 15. Simetría Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido en el plano de simetría de una distribución de cargas E E + + + + + Plano de Plano de simetría simetría 15
  16. 16. Principio de superposiciónPermite calcular el campo creado por una distribución de cargas → qi  dq (r )  SUMA E = ke ∑i 3 ri = ke ⋅ ∫ r VECTORIAL ri r3Distribuciones Continuas: densidades de carga : Volumétrica ρ =dQ/dV, {C/m3} Superficial σ =dQ/dA, {C/m2} Lineal λ =dQ/dL, {C/m} 16
  17. 17. Líneas de campo en esferas y planosPlano simetríaEsfera con carga Plano positivonegativa Simetría esférica Simetría planar 17
  18. 18. Campo de un Dipolo n n(n − 1) 2 Algo para recordar… (1 + x) n = 1 + x + + x + ...... 1! 2! 1 q 1 q d /2 1 qr = y +d /4 E 2 2 2 (1) = senθ = = d 4πε 0 r1 4πε 0 r1 r1 8πε 0 r11 x 2 2 3 1 q d Ex = E (1) +E ( 2) = 4πε 0 (1 + (d / 2 y ) 2 ) 3 / 2 y 3 x x y θ Ex 1 qd  3  d   Ex = ⋅ 3 ⋅ 1 −   + ...  θ 4πε 0 y  2  2 y       r1 r2 y + - 1 p d/2 d/2 Ex ≈ ⋅ 3 El campo disminuye 4πε 0 y más rápido que para p ≡ q.d una carga puntual 18
  19. 19. Campo de un Dipolo Ejercicio n n(n − 1) 2 Algo para recordar… (1 + x) n = 1 + x + + x + ...... 1! 2! 1 q 1 q d /2 1 qr = y +d /4 E 2 2 2 (1) = senθ = = d 4πε 0 r1 4πε 0 r1 r1 8πε 0 r11 x 2 2 3 Ex 1 p p ≡ q.d El campo disminuye y Ex ≈ ⋅ 3 más rápido que para 4πε 0 y una carga puntual d/2 + - x Ex E x ( x) = ? r1 r2 1 p Ex ≈ ⋅ 3 4πε 0 x 19
  20. 20. Campo de hilo cargado (L, Q) 1 λdx x λ=Q/L r =x +y 2 2 2 0 dE y = 1 dq cos θ = 4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 r Ey λ L/2 y0 ⋅ dx y θ Ey = 4πε 0 ∫L / 2 ( x 2 + y02 )3 / 2 E y0 ⋅ dx 2λ L/2 1 λ L/2 θ Ey = 4πε 0 ∫ 0 2 2 3/ 2 ( x + y0 ) = 2πε 0 y0 2 2 r ( L / 2) + y 0 r y0 El campo disminuye más-x x 1 λ 1 lentamente Ey ≈ que para una 4πε 0 y 1 + ( 2 y0 / L ) 2 carga puntual 20 0
  21. 21. Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado, Q, a  1 dq λ=Q/2π.a dE = r 2 ˆ 4πε 0 r 1 λadθ dE = 4πε 0 r 2 θ dEx dE 1 λadα dE x = cos θ Simetría 4πε 0 r 2 1 λa cos θ 2π 1 λa cos θ 1 Q⋅xEx = 4πε 0 (a 2 + x 2 ) 3 / 2 ∫ 0 dαE x = 2ε 0 (a + x ) 2 2 3/ 2 = 4πε 0 (a 2 +21 2 ) 3 / 2 x
  22. 22. Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformementecargado. 1 dQ ⋅ x dE x = 4πε 0 (a 2 + x 2 ) 3 / 2 σ =Q/πR2 Ex 1 σ ⋅ 2π ⋅ a ⋅ da ⋅ x dE x = 4πε 0 (a 2 + x 2 ) 3 / 2 σ ⋅ x R a ⋅ da σ  x  Ex = 2ε 0 ∫0 (a 2 + x 2 )3/ 2 = 2ε 0 1 − R 2 + x 2   22   
  23. 23. Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformementecargado de radios R∞ σ  x  E x = Lim 1 −  R →∞ 2ε   0  R2 + x2  Ex El campo es σ contante Ex = 2ε 0 23
  24. 24. Campo entre dos placas paralelas Ex = 0------------------ σ ------------------ Ex = 2ε 0 σ Superposición S Ex = ε0 σ Ex = 2ε 0 ++++++++++++++++++++++++++++++++ Ex = 0 El campo uniforme confinado entre las placas 24
  25. 25. Resumen de Campo Eléctrico El Campo Eléctrico es un campo vectorial. Líneas de Campo: en cada punto tiene la dirección y sentido de la fuerza eléctrica.   Simetrías E // F e Es una propiedad del punto Para calcular el campo de una distribución-  Superposición → qi  dq (r )  E = ke ∑i 3 ri = ke ⋅ ∫ r Densidad de carga: λ,σ, ρ ri r3 Campo de un Dipolo: p=q.d Campo de una línea de carga , Anillo, Disco, etc. 25
  26. 26. Concepto de FlujoFlujo ≈ Lat. Fluxus ≈ Fluir, manar.El flujo de un campo de velocidad está asociado al caudal o volumen del liquido que para en la unidad de tiempo. v.dt Q=dVdt= A = A.v.dt/dt v Q=A.v.
  27. 27. Concepto de FlujoCaudal = volumen del Q=dVdt= liquido que para en la unidad de tiempo. = A.v.dt/dt v.dt Q=A.v. A v θ A’ A=A’.cos θ A v.dt Q=A.v=A’.v.cosθ v   Q = A⋅v
  28. 28. FLUJO o descarga de un líquidodV = (v.dt ) ⋅ A = dΦ v ⋅ dt     Φv = (v cos θ ) A = v ⋅ A Φv = v ⋅ A = v ⋅ A   Φ v = ∫ v ⋅ dS 28
  29. 29. Definición de Flujo Campo Vectorial La “cantidad” de campo que atraviesa una superficie imaginaria S.  Si tenemos un campo vectorial, B ( x, y , z )  B ( x, y , z ) podemos en general definir un flujo que pasa por una superficie S, asociado a dicho   campo, definido por: Φ B = ∫∫ B ⋅ dS  B ( x, y , z ) S
  30. 30. Flujo Eléctrico- Ley de Gauss Es la cantidad de “líneas de campo que atraviesan las superficie S.” Unidades de Flujo E= N-m2/C   Φ E = ∫∫ E ⋅ dS El flujo eléctrico encerrado por una superficie cerrada S es igual a la carga neta encerrada dividida ε 0
  31. 31. Carl Friedrich Gauss 1777-1855 Matemático, astrónomo y físico alemán. Contribuyó significativamente en muchos campos, teoría de números análisis matemático, geometría diferencial,  geodesia,  magnetismo óptica. "el príncipe de las El cálculo de la órbita de Ceres en 1801, como entretenimiento, matemáticas" nombrado en 1807 director del "el matemático más Observatorio Astronómico de grande desde la Göttingen antigüedad" 31
  32. 32. Flujo de campoε0Φ(S1)= +qε0Φ(S2)= -qε0Φ(S3)= 0  ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = qneta S 32
  33. 33. Ley de Gauss y Conservación de cargas  Para un campo vectorial A cualquiera   ∫∫ A.dS ∝ Intensidad de fuentes (sumideros) S   Ji=dq/dt i = ∫∫ J .dS J s Q Conservación de la carga J J dQ   = ∫ J .dS −∫ dt s 33
  34. 34. Ley de Gauss del magnetismo No hay polos magnéticos aislados Si B es campo magnético  ∫∫ B.dS ∝ Intensidad de fuentes (sumideros)S Como no hay polos magnéticos aislados   Esta es ley de Gauss del magnetismo ∫∫ B.dS = 0 S 34
  35. 35. La ley de Gauss La expresión anterior puede generalizarse para cualquier distribución de carga. El valor del la carga de segundo miembro es la carga neta interior a la superficie.   qin Φ E ≡ ∫∫ E.dS = ε0La ley de Gauss y la ley de Coulomb tienen el mismo contenidofísico. Sin embrago para caso no estáticos se considera al ley deGauss como más fundamental. No tiene la implicancia de accióninstantánea, implícitas en la ley de Coulomb.
  36. 36. Superficies Gaussianas Es una superficie cerrada (imaginaria) que rodea una distribución de cargas.   q  Φ E ≡ ∫∫ E.dS = Φ E ≡ ∫∫ E.dS =0 ε0
  37. 37. Ley de Gauss- Ley de Coulomb De la ley de Coulomb sabemos que:  1 q E= r ˆ 4π 0 r ε 2   Por la simetría del problema: dS // E   ΦE = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ dS S  2 dS ΦE = E ∫∫ dS = E 4π ⋅ r Ley de Gauss ΦE = q / ε0 37
  38. 38. Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?Sólo es útil para situaciones donde hay simetría.Hay que usar la simetría para saber dónde E es constante y cuál es su dirección.Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie). 38
  39. 39. Cuando conviene usar la ley de Gauss para calcular campos La Ley de gauss es de validez universal Es “útil” para calcular campo E, cuando por simetría podemos suponer que sobre una dada superficie E =constante y conocemos su dirección. Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero (E perpendicular a la superficie).
  40. 40. Ejemplo- Hilo delgado de carga Este problema tiene Simetría cilíndrica. • Tomamos una superficie Gauussina como se ve el la figura. • La carga encerrada es q=λ l  • Sobre las tapas Φ E=0, pues dS es dS  perpendicular a E   • Sobre la cara lateral dS es paralelo a E 1 λ • Por lo tanto E= 2π 2πε 0 r λ Φ = ∫ EdS = E ⋅ 2π ⋅ r = 0 εo E = 1 λ r  ˆ 2πε o r
  41. 41. Ley de Gauss- Campo de una placa plana   q∫∫ E ⋅ dA = ε o E= σ 2ε qEA = εo σA E2A = εo σ E= 2ε o 41
  42. 42. Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga Radio a r r>a   Φ E = ∫ E ⋅ dS = ∫ E.dS = E.∫ dS a S S S 2 Φ E = E.4π ⋅ r = Q / ε 0 1 Q 1/r2 E( r > a ) = ⋅ 2 4πε o r a r
  43. 43. Ejemplo- Esférica maciza con una distribución uniforme de carga Radio a E r<a   Φ E = ∫ E ⋅ dS = ∫ E.dS = E.∫ dS r a S S S 3 2 Q r Φ E = E.4π ⋅ r = ε0 a 3 1 Q E( r <a ) = ⋅ 3 r 4πεo a 1 Q E( r >a ) = ⋅ 4π o ε r 2
  44. 44. Ejemplo- Placa plana cargada Esfera cargada uniformemente Palca plana con distribución de carga uniforme 3 ρ ρa σEr <a = r Er >a = E= 3ε o 3ε o r 2 2ε o
  45. 45. Dos placas conductoras cargadas 2σ 1 σE= = ε0 ε0 45
  46. 46. Conclusiones La ley de Gauss es útil para determinar campos cuando hay simetría en el problema Ojo, Pero su validez es universal.
  47. 47. Potencial Eléctrico Clase 4 Revisión de los visto Campo Eléctrico- Ley de Gauss Trabajo y energía Concepto de Potencial eléctrico Campo y Potencial Aplicaciones 47
  48. 48. Expresión Matemática de la Ley de Gauss    Electricidad: El flujo de∫S E⋅ dS = qin ε 0 campo = carga al interior   ∫ B.dS = 0 de una superficie Gaussiana S  Magnetismo No hay dQ   polos aislados = − ∫ J .dS dt S  Conservación de cargas 48
  49. 49. Ley de Gauss El flujo de campo eléctrico a través de cualesquier superficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga neta encerrada, por la misma, entre la   constante ε0.ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = qneta S 49
  50. 50. Ley de Gauss - ConductoresSi aplicamos la Ley de Gauss a un conductor, cargado y estado estacionario (Electrostática) Entonces: No hay campo en su interior.Si tomamos una sup. Gaussiana, cercana a la superficie externa  qneta=0La carga en el conductor esta   en la superficie. ε 0 ∫ E ⋅ dS = qneta S
  51. 51. Ejemplo 3 51
  52. 52. Superficies esféricas Gaussianasa) carga puntual positiva a) carga puntual negativa Flujo Positivo Flujo Negativo 52
  53. 53. Campo eléctrico de una carga puntualConsidere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio rserá:   dA E ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = Qneta S r Por la simetría del problema:   Q E∝ry E=E(r)   Q Φ = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dA = E 4π r 2 = ε0 y Q .q 1 Q1 F = q. E = E = 4πε0 r 2 4πε0 r 2 53
  54. 54. Campo eléctrico de una carga puntual   ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = qneta S   2Φ = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dA = E 4π r = q 1 1 ε0 E= 4πε0 r 2 La ley de Gauss es equivalente a la ley de Coulomb   1 Q.q ε 0 ∫ E ⋅ dS = Qneta F = q. E = 4πε 0 r 2 54 S
  55. 55. Textos R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, Física para estudiantes de ciencias e ingeniería, 4ª ed., vol. II (México, 1992). Sears, F. et al., Física Universitaria: Volumen II (Addison Wesley Longman, México D.F., 1999). G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. D. Giancoli, Física: Principios y aplicaciones, Prentice Hall, México, 1997. Gettys, Keller, Skove Fisica Clásica y Moderna Mc Graw-Hill México, 1996 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.htm http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/ 55
  56. 56. Trabajo para mover una carga 2 2     W1, 2 = ∫ F .dl = − q ∫ E.dl 1 1    W1, 2 2  q.E q.E q.E V12 ≡ = − ∫ E.dl 1 2 q 1 F F F Diferencia de Potencial= Trabajo por unidad de carga 56
  57. 57. Trabajo para mover una carga   ∆W = q.E.∆l   q.E q.E q.E ∆W   ∆V = = − E.∆l F F F q ∂V Ex = − Potencial= Trabajo por∆V = − E x .∆x ∂x unidad de carga ∂V ∂V  ∂V    Ey = − ∂y Ez = − ∂z E = −   ∂l  max E = −∇V 57
  58. 58. Trabajo para mover una carga  W1, 2 2  E = −∇V V12 ≡ = − ∫ E.dl ∂V ∂V q 1Ey = − Ez = − ∂y ∂z ∂VEx = − ∂x Si tomamos el Si conocemos el Potencial en infinito potencial, podemos como cero, el potencial calcular el campo y si es el trabajo para traer sabemos el campo, una carga desde podemos calcular el infinito potencial 58
  59. 59. Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial Carga Puntual es el trabajo para traer  una carga desde 1 1E = −∇V E= 4πε0 r 2 infinito 2 W1, 2   V12 ≡ = − ∫ E.dl ∆V = 12 q 1 2 r2   1 r2 dr∆ 12 V = −∫ Edr = −∫ Edr = − ∫ = 1 r 4πε0 r1 r 2 1 1 1 1 1 1 1∆ 12 V = 2− 1 = V V  −  V2 = 2− 1 = − V V  −  4πε0 r1 r2  4πε0 r2 ∞ 59
  60. 60. Física 3 – ECyT – UNSAM 2010 Clase 5Introducción al electromagnetismo Docentes: Gerardo García Bermúdez Salvador Gilwww.fisicarecreativa.com/unsam_f3 60
  61. 61. Potencial En general:   ∆W1,1 = − ∫ E.dl = 0 C El trabajo para mover una carga de 1 a 2 no depende del camino. La fuerza eléctrica (el potencial electrico) es conservativo 61
  62. 62. Si tomamos el Potencial en infinito como cero, el potencial Carga Puntual es el trabajo para traer  una carga desde 1 1E = −∇V E= 4πε0 r 2 infinito 2 W1, 2   V12 ≡ = − ∫ E.dl 1 Q q V (r ) = 1 4πε0 rPor el teorema de 1 dqsuperposición V (r ) = 4πε0 ∫∫∫ r SUMA Escalar v → qi   dq (r )  E = ke ∑i 3 ri = ke ⋅ ∫ r SUMA ri r3 VECTORIAL 62
  63. 63. Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y trayectoria no rectilínea Debemos dividir la trayectoria B en pequeños desplazamientos  F infinitesimales, de forma que  d r qo ext B   B    WAB = ∫ Fext ⋅ dr = − qo ∫ E ⋅ dr A A AE qoE extEl potencial en este caso WAB B  será VB − VA = = − ∫ E ⋅ dr qo A 63
  64. 64.  Dipolo en campo E Uniforme  F  d θ + q E E  - F   F=q.E τ = F .d .senθ = q.d .E.senθ τ = p× E UdW = F .d .senθ ⋅ dθ = q.d .E.senθ ⋅ dθ   θdW = − p.E .d (cos θ ) U (θ ) = p.E 0 180º 64
  65. 65. DÍPOLO ELÉCTRICOEs un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distanciaDipolo en un campo eléctricouniforme Momento dipolar Energía de un dipolo eléctrico Trabajo necesario   para girarlo enτ = p×E contra de un campo eléctrico  U = −p⋅ E 65
  66. 66. Polarización Eléctrica Cuando se coloca una carga positiva, los átomos se polarizan o alinean con el campo Se rompe la simetría original, y los átomos se polarizarán, quedando la nube electrónica con carga negativa orientada hacia la localización de la carga positiva   introducida. p =α ⋅E α= Polarizabilidad 66
  67. 67. Dipolos Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo de los átomos está más positivamente cargado y el otro más negativamente cargado. Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo. Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del campo eléctrico producido por la carga positiva introducida. Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin la presencia del material y sus átomos formando dipolos. 67
  68. 68. POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALESPara una distribución discreta de cargas 1 qn V = ∑ Vn = ∑r n 4πε0 n nPara una distribución continua de cargas V = ∫ dV = 1 dq   4πεo ∫r ⇔ E = −∇VLey de Gauss   En un dado problema,ε 0 ∫ E ⋅ dS = Qneta ¿qué ley uso o qué S r   V (r ) = − ∫ E.dl calculo primero, el campo ∞ E o el potencial V(r)? 68
  69. 69. Cascarón Esférico hueco Hay simetría  Ley de Gauss Primero el campo E  Q r≥R k e 2 R E (r ) =  r 0 r≤R Q E(r) 69
  70. 70. Cascarón Esférico hueco Potencial eléctricoDespués el potencial en el interior y el exterior de un cascarón esférica de carga. r V (r ) = − ∫ E (r ).dr ∞  Q k e 2 E (r ) =  r 0   Q k e r≥R  r V (r ) =  k Q  eR  r≤R 70
  71. 71. 2a Dipolo -q - + q P=2a.q No hay simetría – Primero V(r)    2 2 2 r1 = a + r r1 = a + r − 2a ⋅ r ⋅ cosθRecordando la definición de p = 2 a ⋅ q r1 ≈ r (1 − (a / r ) ⋅ cosθ )momento dipolar eléctrico r2 ≈ r (1 + (a / r ) ⋅ cosθ ) q 2 a ⋅ cos θ V= 4πεo r 2  1 p ⋅ cos θ 1 p.r ˆ r1 V= = r r1 4πεo r 2 4πεo r 2 θ No se requiere trabajo para llevar - + una carga de prueba desde el infinito hasta el dipolo a lo largo V = 0 para α = 90º de la línea perpendicular al punto medio entre las dos cargas. 71
  72. 72. Campo creado por un dipolo Z r+a  Dipolo = carga positiva y carga negativa de igual valor (q) r-a situadas a una distancia muy r pequeña ( d = 2a ). - + Y -a a  q   −q   E = k   3 (r − a ) + k   3 (r + a ) r−a r+a X   p = qd Momento dipolar -  +  Aproximación r>> l d      p ⋅ cosθ  k  ( p ⋅ r ) r  E = − ∇ V = − k∇  2  = 3 3 − p  r  r  r r  72
  73. 73. CONDUCTOR EN EQULIBRIO ELECTROSTÁTICOConductor: Material que se caracteriza por tener cargas libres que pueden moverse en su interior.Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su cargalibre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. Enestas condiciones se dice que el conductor está en EquilibrioElectrostático (E’ = Eo). + + + Cualquier exceso de carga se colocará en + + la superficie del conductor, ya que el campo + eléctrico externo no es lo suficientemente +  + intenso como para vencer las fuerzas de E + + ligadura. + +  + Eo 73
  74. 74. Condiciones que se deben cumplir en todo conductor Toda la carga libre de un conductor se coloca en su I superficie.Conductor Dado un conductor, supongamos una superficie gaussiana justo en el interior de la superficie del conductor. Como E =0 dentro del conductor, también será nulo en todos los puntos de la superficie gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de la superficie del conductor es cero. Por el Teorema de Gauss qint Φ= Como Φ = 0 qint = 0 εo Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del conductor 74
  75. 75. El campo eléctrico en la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y vale σ  εo E Para hallar el campo eléctrico en la superficie del conductor consideremos un elemento infinitesimal plano, con densidad superficial de carga σ. Como superficie gaussiana tomamos un cilindro con una cara en el exterior y otra en el interior del conductorSi el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficiedebe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través dela cara superior.   q Φ = ∫ E ⋅ ds = E s = int σ εo E= qint = σ s εo 75
  76. 76. Esfera cargadaDistribución esférica, r ≥R 1 Q E= 4πε0 r 2 Distribución uniforme, r ≤R 1 Q ⋅r E(r) E= 4πε0 R 3 R 76
  77. 77. Esfera cargadaDistribución esférica, r ≥R 1 Q 1 Q E= V (r ) = 4πε0 r 2 4πε0 r Carga uniforme, campo r ≤R 2 1Q ⋅ r V ( r ) = − 1 1 Q ⋅ r +V ( R )E= 4πε0 R 3 4πε0 2 R 3 1 Q 3 r  2 V (r ) =  − 2  4πε0 R 2 2 R    R 77
  78. 78. Ejercicio: Ley de Gauss: Cascarón Esférico Calcular Campo y Potencial en todo el espacio rR1 R2 78
  79. 79. Cascaron esféricaUsando la ley de Gauss y las propiedades de simetría: 1 q E= Para r >R1 4πε0 r 2 Para r < R2 E=0 3 3 ρ = 3 q 4π ( R1 − R2 ) Entre a r < R2 1 ρ 4π 3 ρ E= r = r 4πε0 r 3 2 3ε 0 79
  80. 80. Electrostática Campo electrostático y potencial 80
  81. 81. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El trabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo, una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas será   dW = − F ⋅ dr En términos de incrementos     ∆r perpendicu lar a E ∆V = 0 V constante∆V = − E ⋅ ∆r   ∆r paralelo a E Variación máxima de potencial 81
  82. 82. Superficies equipotencialesEs el lugar geométrico de todos los puntos que seencuentran al mismo potencial. Cumplen la condición deencontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico El trabajo desarrollado para mover una partícula de un punto A a otro punto B a lo largo de una superficie equipotencial es nulo, ya que WAB VB − VA = qoA lo largo de una superficie VA = VB WAB = 0 equipotencial 82
  83. 83. Ejemplos de superficies equipotenciales 83
  84. 84. Conductor en un campo eléctrico El campo interior siempre es nulo. Deforma las líneas de campo exterior. Se produce una redistribución de carga en la superficie debido a la fuerza eléctrica. Sobre la superficie del conductor el campo es siempre perpendicular a al superficie 84
  85. 85. Potencial eléctrico La fuerza eléctrica se puede expresar en función del campo eléctrico.      F (r ) = q E (r ) F = −∇U (r ) Por ser conservativa U Energía potencial Potencial eléctrico V = Se puede q Carga elegir el origen de Campo eléctrico = gradiente del potencial potencial eléctrico    E = −∇V (r ) Unidades : el Voltio V = [V ] = [ J / C ] 85
  86. 86. Superficies equipotenciales V ( x, y, z ) = cteEl potencial es constante en todos sus puntos.     E ⋅ ∆r|| = −∇V ⋅ ∆r|| = Vi − Vi = 0 U1El vector gradientees ortogonal a S. VN V2El gradiente va de V1menores a mayores V0valores de V.     E ⋅ ∆r⊥ = −∇ V ⋅ ∆r⊥ = − (V j − Vi ) < 0 V j > Vi Vectores campo eléctrico 86
  87. 87. Superficies equipotencialesSuperficieequipotencial Campo eléctrico Campo Campo Campo uniforme producido por producido por un una carga dipolo puntual 87
  88. 88. Referencias Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992). Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Ed. CENGAGE LEARNING- Mexico 2003 Física Universitaria: Volumen II Sears, F. et al., (Addison Wesley Longman, México D.F., 1999). G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997. Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México, 1997. Física Clásica y Moderna Gettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill México, 1996 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/ 88
  89. 89. Problema 1 Calcular Campo y Potencial para: Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del problema) Dentro del conductor E=0 + - + E - + - + a - + + b - - +Q + a - + b r + - - V(r) + a b 89 r
  90. 90. Problema 2+Q r 2 = x 2 + (d / 2) 2 r d/2 E-2Q x d/2+Q − 2Q Q 1 1 V ( x) = k x + 2k = 2kQ  −  r 1 [ = x 2 + ( d / 2) 2 ] −1 / 2 1  1 d2  ≈ 1 − x  2 4x2  r x r  1 1 1  1 d2  1 d2 − =≈ 1 − 2 − =− 2 r x x  2 4x  x 8x Qd 2 Qd 2 V ( x) = −2k 3 E ( x) = −3k 4 8x 4x 90
  91. 91. Problema 3 91
  92. 92. 92
  93. 93. AgradecimientoAlgunas figuras y dispositivas fueron tomadas de: Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT Argentina Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda. Las Condes, Santiago, Chile Ángel López FIN 93

×