Chap13 fin--ts-exp

07/11/12 chap13-_fin_-TS-exp

Traitement de signal -1- Mastere NTSID

Traitement de signal: signaux, systèmes et filtres
(Signal Processing)

Chapitre 1 Généralités + exemples
(fin)

Plan
1- Signal- Définitions et classification : déterministes/aléatoires,
périodiques/apériodiques, continus/discrets, réels/complexes,
stationnaires/non stationnaires
2- Signaux tests : impulsion de Dirac, porte, échelon, rampe,
sinus…
3- Système- propriétés : invariant, causal, linéaire/non linéaire,
continu/discret
4- Opérations sur les signaux : convolution, corrélation, fonctions
d’inter et d’auto corrélation,

M. Ben Messaoud ENIS/CES Lab 2009/10

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PRODUIT DE CONVOLUTION
La Convolution est une notion liée à la Réponse Impulsionnelle (RI)
temporelle. Cette notion est très riche et très importante.
Définition de la Convolution
Soient deux signaux continus suffisamment réguliers x et y, alors on
construit un troisième signal z noté x * y et dit produit de convolution
de x et y dont l'expression est donnée par :
∞
z(t) = [x * y](t) = ∫−∞x(τ)y(t - τ)dτ

Le calcul de la convolution consiste à calculer la surface du produit
x(u)y(t-u).
Le signal y(t-u) est simplement le signal initial y(u), retourné dans le
temps pour donner y(-u), puis translaté de t.
En calculant alors l’ensemble des surfaces obtenues en faisant glisser
y, c’est-à-dire pour tous les décalages de t, on obtient le produit de
convolution pour tout t.




Exemple Calculer le produit de convolution des fonctions f(t) et g(t)
décrits par les figures suivantes :

Opérations sur l’argument de f(x-x’)

pour x = 0, on a f(-x')





pour x = 1, on a f(-1-x') =f(-[x’+1])

pour x = -1, on a f(1-x') =f(-[x’-1])

Calculons
* pour x' < 0 et x' > 1 on a : f(x') = 0
alors on a

(1) pour x < -1 on a

= f*g=0

(2) pour -1 < x < 0 on a





(3) pour 0 < x < 1 on a
f * g = 1/ 2 (aire du triangle)

(4) pour 1 < x < 2 on a

(5) pour x > 2 on a f * g = 0

Alors, f * g donne la figure ci contre





Exercice
Soit le signal x(t) suivant.
Ecrire x(t) sous la forme de convolution
de deux fonctions de base.





Produit de convolution d’un Syst Lin Invariant
La convolution discrète des séquences periodiques x(n) et y(n), (de
période N), s’écrit
N -1
1
z(n ) = ∑ x(k )y(n - k )
N k=0

Démarche de la convolution numérique
Le comportement d'un système linéaire, à temps invariant et discret,
entre le signal d'entrée x [n] et signal de sortie y [n] est décrite par le
produit de convolution
N -1
1
y(n ) = ∑ h (k )x(n - k )
N k=0

Le signal h[n], supposé connu, est la réponse impulsionnelle du
système.


La sommation de convolution a une interprétation graphique simple :



First, traçant h[k] et "retourner et décaler" x [k- n] sur l'axe k, où n est
fixé.
Second, multiplier les deux signaux pour obtenir une parcelle de la
séquence sommée indexée par k.
Additionnant les valeurs de cette séquence par rapport à k ce qui
donne y [n].
Ces opérations peuvent être répétées pour chaque valeur de n.

Exemples
x[n] et h[n] sont deux séquences représentés par les figures suivantes.



a. esquisser x[n] * h[n].



b. esquisser x[n - 1] * h[n].
c. esquisser (x[n] - x[n - 1]) * h[n].
d. esquisser la réponse à un échelon unitaire s[n] of h[n], défini par
s[n] = u[n] * h[n].
Solution
On a h(k)= δ (k) + δ (k-1) + δ (k-2) et x[n-k] = x[n]* δ (n-k)
a. application de la superposition:
n: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x[n] : 0 0 -1 -1 1 1 1 0 0
x[n − 1] : 0 0 0 -1 -1 1 1 1 0
x[n – 2 ] : 0 0 0 0 -1 -1 1 1 1
somm: 0 0 -1 -2 -1 1 3 2 1




Traitement de signal - 10 - Mastere NTSID

b. Retarder l’entrée d’un pas correspond au même retard de la sortie.
c. Si l'entrée est la différence de deux signaux, la sortie est la différence
entre les sorties correspondantes.

n: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y[n] : 0 0 -1 -2 -1 1 3 2 1 0 0
y[n − 1] : 0 0 0 -1 -2 -1 1 3 2 1 0
diff: 0 0 -1 -1 1 2 2 -1 -1 -1 0


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