1. OPERACIONES CON MATRICES

2. OBJETIVOS
- COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LA MATRIZ Y SU
APLICACIÓN CORRESPONDIENTE.
- QUE LAS OPERACIONES CON MATRICES SEAN UN
HERRAMIENTA Y NO Y PROBLEMA A LO LARGO DE
LA CARRERA
- ADQUIRIR LAS HABILIDADES NECESARIAS PARA LAS
OPERACIONES CON MATRICES

3. Matriz: Ejemplo
Entrada ó
Conjunto Elemento
rectangular de
números 2 1 7 5
Características:
A= 3 22 0 5
- Se encierran entre
corchetes 4 -1 5 9
- A los números se los
denominan Entradas o
Elementos Otros Ejemplos
- Se las designan por letras
mayúsculas A, B, C, etc. 0 2 4 1 0
B= C=
-4 -8 1 0 1

4. Ahora trabajemos con
los elementos
2 1 7 5 Fila 1
Sea A = 3 22 0 5 Fila 2
4 -1 5 9 Fila 3
LAS FILAS SE CUENTAN DESDE ARRIBA PARA ABAJO

5. Ahora trabajemos con
los elementos
2 1 7 5 LAS COLUMNAS
SE CUENTAN DE
Sea A = 3 22 0 5 IZQUIERDA A
4 -1 5 9 DERECHA
COLUMNA
COLUMNA
COLUMNA
COLUMNA
1
2
3
4

6. Ahora trabajemos con
los elementos
2 1 7 5 Fila 1
Sea A = 3 22 0 5 Fila 2
4 -1 5 9 Fila 3
COLUMNA
COLUMNA
COLUMNA
COLUMNA
1
2
3
4

7. Ahora trabajemos con
los elementos Podemos decir que esta
matriz tiene en total
2 1 7 5 3 filas y 4 columnas
Fila 1
Sea A = 3 22 0 5 Fila 2
4 -1 5 9 Definimos:
Fila 3
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
COLUMNA
COLUMNA
COLUMNA
COLUMNA
dimensión m x n
1
2
3
4

8. Ahora trabajemos con Definimos:
los elementos
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
2 1 7 5 dimensión m x n
A= 3 22 0 5 Una matriz con n filas y n columnas es
una matriz cuadrada
4 -1 5 9 de dimensión n x n
3x4
0 2 4 1 0
B= C=
-4 -8 1 0 1
2x3 2x2

9. Ahora trabajemos con Definimos:
los elementos
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
dimensión m x n
Una matriz con n filas y n columnas es
una matriz cuadrada
de dimensión n x n
1 0
C=
0 1
2x2

10. Ahora trabajemos con Definimos:
los elementos
Una matriz con m filas y n columnas es
una matriz m x n o es de
1 0 dimensión m x n
C=
0 1
2x2 Una matriz con n filas y n columnas es
una matriz cuadrada
de dimensión n x n
5
D=
2 Una matriz con n filas y 1 columna es
2x1 una matriz Columna
de dimensión n x 1
E= 2 3 0
1x3 Una matriz con 1 fila y n columnas es
una matriz Fila
de dimensión 1 x n

11. Seguimos trabajando
Cada elemento de la matriz A se
con los elementos identifica por la fila y la columna a
la que pertenece
Volvamos a la matriz:
Decimos: el elemento (2, 3) de
2 1 7 5 la Matriz A, es el elemento que
pertenece tanto
A= 3 22 0 5 a la fila 2
4 -1 5 9 y a la columna 3 ( a la vez )
3x4
Entonces el elemento (2, 3) de la
matriz A es 0

12. Seguimos trabajando
Cada elemento de la matriz A se
con los elementos identifica por la fila y la columna a
la que pertenece
Volvamos a la matriz:
GENERALIZAMOS
2 1 7 5 El elemento (i, j) de una matriz
A= 3 22 0 5 es el número que pertenece
simultáneamente a la fila i y a
la columna j
4 -1 5 9
3x4
El elemento (i, j) de la Matriz A
se denomina aij
a23= 0 a31= 4 a34= 9

13. Generalizando los elementos de la matriz A
2 1 7 5 a11 a12 a13 a14
A= 3 22 0 5 A= a21 a22 a23 a24
4 -1 5 9 a31 a32 a33 a34
3x4 3x4
a11 a12 a13 ……. a1n
A= a21 a22 a23 A =a2naij
…….
am1 am2 am3 ……. amn
mxn

14. MATRIZ CUADRADA
2 4 9 a11 a12 a13
A= 1 0 2 A= a21 a22 a23
5 5 10 a31 a32 a33
3x3 3x3
a11 , a22 , a33 , …… , ann
aij i=j DIAGONAL PRINCIPAL

15. CONVENCION CONCERNIENTE A LAS FILAS Y LAS COLUMNAS
 Si una matriz es de
LAS FILAS SIEMPRE SE dimensión m x n, tiene m
MENCIONAN ANTES filas y n columnas
QUE LAS COLUMNAS
 Si se habla del elemento (i,
j) de una matriz, éste
pertenece a la fila i y a la
columna j
 Si un elemento se denota
como aij , el primer
subíndice i se refiere a la
fila y el segundo subíndice
j a la columna a la que
pertenece aij

16. Veamos la primera operación con matrices
Dos matrices A y B son iguales
IGUALDAD esto es A=B si y solo si:
 Tienen la misma dimensión
 Los elementos
correspondientes son
iguales
Si A= [ aij ] y B= [ bij ]
La segunda condición se Lo que significa:
cumple si: [ aij ] = [ bij ]
aij = bij para todo i , j

17. Veamos la primera operación con matrices
a11 = b11
a12 = b12
IGUALDAD a13 = b13
amn = bmn
Si A= [ aij ] y B= [ bij ]
La segunda condición se Lo que significa:
cumple si: [ aij ] = [ bij ]
aij = bij para todo i , j

18. Ejercicios:
Dadas
a b 1 2 -1 1 0
A= c d B= C= -1 2
3 0 1
A es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego la operación
Discutir la posibilidad de no es posible porque tienen distintas
que A=B , B=C , A=C dimensiones
Así también C es 2 x 2 y B es 2 x 3 luego
la operación no es posible porque tienen
distintas dimensiones

19. Ejercicios:
Dadas
a b 1 2 -1 1 0
A= c d B= C= -1 2
3 0 1
A es 2 x 2 y C es 2 x 2 tienen iguales
Discutir la posibilidad de dimensiones, luego la igualdad esta definida
que A=B , B=C , A=C
Igualando ambas matrices tenemos:
a b 1 0 a=1 ,b=0
= c = -1 , d = 2
c d -1 2

20. Adición de Matrices
Sean A y B dos matrices de igual
dimensión
Su suma A + B
Es la matriz formada al sumar sus
elementos correspondientes.
Si A= [ aij ] y B= [ bij ]
A + B = [ aij + bij ]

21. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Adición de Matrices
a11 a12 a13 … a1n b11 b12 b13 … b1n
…. ….
A = a21 a22 a23 a2n y B = b21 b22 b23 b2n
am1 am2 am3 … amn bm1 bm2 bm3 … bmn
mxn mxn
a11+ b11 a12+ b12 a13+ b13 …. a1n+ b1n
A+B= a21+ b21 a22+ b22 a23+ b23 …. a2n+ b2n
am1 bm1 am2 bm2
+ + am3 bm3
+ …. amn bmn
+
mxn

22. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Adición de Matrices
8 -4 0 5 4 2
A= 1 2 -1 y B = -1 -3 -1
2x3 2x3
8 +5 -4+ 4 0 +2
A+B= 1 + -1 2 + -3 -1+ -1
2x3
13 0 2
A+B= 0 -1 -2
2x3

23. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matrices Características
Matriz Cero:
Es aquella cuyo elementos son todos
iguales a cero “o”
Es decir: 0= [ 0ij ]
011 012 013 … 01n
…. 0 0
0 = 021 022 023 02n 0= 0 0
2x2
0m1 0m2 0m3 … 0mn
mxn

24. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matrices Características
Matriz Opuesta:
Es aquella que se obtiene de multiplicar
cada elemento de la matriz por -1
Es decir si A= [ aij ] -A= [-aij ]
3 -4 0 (-1)x3 (-1)x-4 (-1)x0
A= 8 1 -1 -A = (-1)x8 (-1)x1 (-1)x-1 2x3
2x3
-3 4 0
-A = -8 -1 1
2x3

25. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Resta
Si A y B son dos matrices m x n , la
A - B = A + (-B) = [ aij - bij ]
Diferencia se define como:
8 -4 0 5 4 2
A= 1 2 -1 y B = -1 -3 -1
2x3 2x3
8-5 -4- 4 0-2
A-B= 1 - (-1) 2 - (-3) -1- (-1)
2x3
3 -8 -2
A-B= 2 5 0
2x3

26. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Multiplicación por un Escalar
Si A es una matriz cualquiera y k es un
número cualquiera, el producto kA el la
matriz obtenida de multiplicar cada elemento
de A por k: Es decir si A= [ a ] kA= [kaij ]
ij
a11 a12 a13 … a1n ka11 ka12 ka13 … ka1n
….
A = a21 a22 a23 a2n kA = ka21 ka22 ka23 …. ka2n
am1 am2 am3 … amn kam1 kam2 kam3 … kamn
mxn mxn

27. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedades de la Adición de matrices y la
Multiplicación por un Escalar
Sean A, B y C matrices arbitrarias m x n, donde m y n son
fijos y k y p números reales cualesquiera, entonces:
1- A+B=B+A
2- A + (B + C) = (A + B) + C
3- Existe una matriz m x n, tal que 0 + A = A + 0 = A para cada A
4- Para cada A, existe una matriz m x n , -A, tal que A + (-A) = 0
5- k (A + B) = kA + kB
6- (k +p) A = kA + pA
7- (kp)A = k(pA)
8- 1A = A

28. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 1 A+B=B+A
Sean A = [aij] y B = [bij]
A + B = [ aij + bij ] * por definición
Pero el [ aij + bij ], elemento ij de la suma es un número real;
Luego por la propiedad conmutativa de los números reales
aij + bij = bij +aij
Por lo que podemos escribir:
A + B = [ bij + aij]
y B + A = [ bij + aij ] * por definición
Teniendo en cuenta las ultimas sentencias podemos
escribir A + B = B + A , como se quería probar.

29. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Utilizamos otro método:
a11 a12 a13 … a1n b11 b12 b13 … b1n
…. ….
A = a21 a22 a23 a2n , B = b21 b22 b23 b2n
am1 am2 am3 … amn bm1 bm2 bm3 … bmn
mxn mxn
c11 c12 c13 … c1n
….
y C= c21 c22 c23 c2n
cm1 cm2 cm3 … cmn
mxn

30. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Trabajemos primero con el primer Término de la ecuación
A + ( B + C)
Realizamos primeramente la suma contenida dentro del
paréntesis.
b11 b12 b13 … b1n c11 c12 c13 … c1n
…. ….
( B + C) = b21 b22 b23 b2n + c21 c22 c23 c2n
bm1 bm2 bm3 … bmn cm1 cm2 cm3 … cmn
mxn mxn

31. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
b11 b12 b13 … b1n c11 c12 c13 … c1n
…. ….
( B + C) = b21 b22 b23 b2n + c21 c22 c23 c2n
bm1 bm2 bm3 … bmn cm1 cm2 cm3 … cmn
mxn mxn
b11+ c11 b12+ c12 b13+ c13 …. b1n+ c1n
b21+ c21 b22+ c22 b23+ c23 …. b2n+ c2n
( B + C) =
bm1 cm1 bm2 cm2
+ + bm3 cm3
+ …. bmn cmn
+
mxn

32. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Ahora realizamos la suma completa:
A + ( B + C)
a11 a12 a13 a1n ….
b11 + c11 b12 + c12 b13 + c13 b1n + c1n
… ….
a21 a22 a23 ….a2n b21 + c21 b22 + c22 b23 + c23 b2n + c2n
A + ( B + C) = +
… ….
am1 am2 am3 amn bm1+ cm1 bm2+ cm2 bm3+ cm3 bmn+ cmn mxn
mxn
a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12 a13 + b13 + c13 …. a1n + b1n + c1n
….
A + ( B + C) =
a21 + b21 + c21 a22 + b22 + c22 a23 + b23 + c23 a2n + b2n + c2n
….1
am1 + bm1+ cm1 am2 + bm2+ cm2 am3 + bm3+ cm3 …. amn + bmn+ cmn mxn

33. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Trabajemos ahora con el segundo Término de la ecuación
(A + B ) + C
Realizamos primeramente la suma contenida dentro del
paréntesis.
a11 a12 a13 … a1n b11 b12 b13 … b1n
…. ….
( A + B) = a21 a22 a23 a2n + b21 b22 b23 b2n
am1 am2 am3 … amn bm1 bm2 bm3 … bmn
mxn mxn

34. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
a11 a12 a13 … a1n b11 b12 b13 … b1n
…. ….
( A + B) = a21 a22 a23 a2n + b21 b22 b23 b2n
am1 am2 am3 … amn bm1 bm2 bm3 … bmn
mxn mxn
a11+ b11 a12+ b12 a13+ b13 …. a1n+ b1n
a21+ b21 a22+ b22 a23+ b23 …. a2n+ b2n
( A + B) =
am1 bm1 am2 bm2
+ + am3 bm3
+ …. amn bmn
+
mxn

35. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Ahora realizamos la suma completa:
(A + B) + C
…. c11 c12 c13 c1n
a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 a1n + b1n
…. …
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 a2n + b2n c21 c22 c23 ….c2n
(A + B) + C = +
…. …
am1+ bm1 am2+ bm2 am3+ bm3 amn+ bmn cm1 cm2 cm3 cmn
mxn
mxn
a11 + b11 + c11 a12 + b12 + c12 a13 + b13 + c13 …. a1n + b1n + c1n
….
A + ( B + C) =
a21 + b21 + c21 a22 + b22 + c22 a23 + b23 + c23 a2n + b2n + c2n
….2
am1 + bm1+ cm1 am2 + bm2+ cm2 am3 + bm3+ cm3 …. amn + bmn+ cmn mxn

36. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Propiedad 2 A +( B + C) = (A + B) + C
Verificando las ecuaciones 1 y 2
Vemos que el desarrollo matricial es el mismo; por lo
tanto
A +( B + C) = (A + B) + C

37. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matriz Transpuesta
SI A es una matriz m x n, la transpuesta de A, escrita AT,
es la matriz n x m cuyas filas corresponden a las
columnas de A
Si A = [aij] se define AT= [aji]
Si
a11 a12 a13
11
A= a21 a22 a23 AT=
21
2x3
3x2

38. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matriz Transpuesta
Propiedades de la Transposición
Sean A y B dos matrices de la misma dimensión y k un
escalar
1- Si A es cualquier matriz m x n, entonces AT es una
matriz n x m
2- (AT)T = A
3- (kA)T= k AT
4- ( A + B )T = BT +AT

39. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES
Matriz Simétrica
Se dice que una matriz es simétrica si A = AT
y A es necesariamente una matriz cuadrada.
Sea: a11 a12 a13  Los elementos de la diagonal
principal no varían.
a21 a22 a23  Y los elementos simétricos en
A=
a31 a32 a33 relación a la diagonal
3x3 principal son iguales
Hacemos A = AT a12 = a21
a11 a12 a13 a11 a21 a31 a13= a31
a21 a22 a23 = a12 a22 a32 a23 = a32
a31 a32 a33 a13 a23 a33

40. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES

41. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES

42. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES

43. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES

44. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES

45. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES

46. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES

47. ALGEBRA VECTORIAL
OPERACIONES CON MATRICES