Apuntes

1. Conjuntos difusos  Definiciones básicas
¿Qué es esta “cosa difusa”?
Diccionario de Webster: difuso
1. Cubierto con algo o similar a algo borroso
2. No claro: confuso
3. Borroso, vago.
En un sentido técnico: denota a las disciplinas de la matemática o ingeniería que
tienen su base en la teoría de conjuntos difusos y lógica difusa.
Control difuso, modelado difuso, toma de decisión difusa, …
Conjuntos difusos y lógica difusa
Relativamente nuevos métodos para la representación de incertidumbres y
razonamientos bajo incertidumbre.
Tipos de incertidumbre:
casualidad, fortuito (estocastico)
imprecisión, vaguedad, ambigüedad (no estocastico)
Propuesto en 1965 por L.A. Zadeh (Fuzzy Sets Information Control, vol.8, pp.
338353)
generalización de la teoría de conjuntos ordinarios
70s primera aplicación, control fuzzy (Mamdani)
80s aplicaciones industriales, operación del tren, reconocimiento por patrón
90s productos de consumo, carros, hardware y software especiales.
El término “lógica difusa” con frecuencia también denota a la teoría de conjuntos
difusos y sus aplicaciones (p.e., control de lógica difusa).

2. Aplicación de conjuntos difusos
Precisión contra pertinencia

3. Teoría clásica de conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos con una propiedad común.
Ejemplos:
Conjunto de números naturales menores a 5:
A = {1,2,3,4}
Disco unitario en el plano complejo:
A = {zIz Є C, IzI  1}
Una línea en IR2:
A = {(x, y)I ax + by + c = 0 [x,y,a,b,c Є IR]}
Representación de conjuntos
Enumeración de elementos:
A = {x1, x2, …, xn}
Definición por propiedad:
A = {x Є X I x tiene propiedad P}
Función característica:
A(x): X  {0, 1}
1, si x miembro de A
A(x) =
0, si x no es miembro de A
Ejemplo: números menores a 5

4. Operaciones con conjuntos
 Intersección: C = A  B
C contiene elementos que pertenecen a A y B
Función característica:
C = min{A, B}
 Unión: C = A  B
C contiene elementos que pertenecen a A o a B
Función característica:
C = max{A, B}
 Complemento: C = A
C contiene elementos que no pertenecen a A
Función característica:
C =1  A
Intersección clásica: Ejemplo

5. ¿Por qué conjuntos difusos?
 Los conjuntos clásicos son buenos para conceptos bien definidos (matemáticas,
programas, etc.)
 Poco útil para representar información con sentido común en términos de
conceptos vagos como:
 una persona alta, carretera resbaladiza, buena agua, …
 quiero comprar un carro grande con consumo moderado
 si la temperatura de demasiado baja, incremente más calor.
Enfoque de conjuntos clásicos
Un conjunto es una colección de elementos con cierta propiedad.
Ejemplo: conjunto de gente alta A = {hIh  180}
Propuesta lógica
“Jhon es alto” . . . verdadero o falso
Altura de Jhon:
hJhon = 180.0 A(180.0) = 1(verdadero)
hJhon = 179.5 A(179.5) = 1(falso)

6. Enfoque de conjuntos difusos
Conjunto con membresía graduada, es decir, un elemento pertenece a un conjunto
para un grado dado.
Propuesta de lógica difusa
“Jhon es alto” … grado de verdad
Altura de Jhon
hJhon = 180.0 A[180.0] = 0.55
hJhon = 179.5 A[179.5] = 0.5
hJhon = 201.0 A[201.0] = 1

7. Subjetivo y dependiente del contexto
Variable linguística

8. Requerimientos básicos:
Alcance (extensión)
Validez semántica
Soporte de un conjunto difuso
sup(A) = {x I A(x) > 0}
Soporte es un conjunto ordinario.
Corazón (núcleo) de un conjunto difuso
cor(A) = {x I A(x) = 1}
Corazón es un conjunto ordinario.

9. cut de un conjunto difuso
A = {x I A(x) > } o A = {x I A(x)  }
A es un conjunto ordinario.
Conjuntos difusos convexos y no convexos
Un conjunto difuso es convexo  todos sus -cuts son conjuntos convexos.
Conjuntos difusos no convexos: un ejemplo

10. Epoca de alto riesgo para póliza de seguros en autos.
Representación de conjuntos difusos
 Apropiado como una lista de pares membresía/elemento:
 Como una lista de pares -nivel/-cut:
 Fórmula analítica para la función de membresía
o de forma más general
donde d(x, v) es una medición de desigualdad.
Varias notaciones de taquigrafía: A(x), A(x), a

11. Formas de funciones de membresía
Cantidades difusas y Singletons
Regresión lineal difusa: y = 3~x1 + 5~x2
Complemento de un conjunto difuso
c: [0, 1]  [0, 1]
A(x)  c(A(x))
Axiomas fundamentales
1. Condiciones de límite  c se comporta como el complemento ordinario
c(0) = 1 c(1) = 0
2. Ningún incremento monotónico
a, b  [0, 1], si a < b, entonces c(a)  c(b)
Otros axiomas
 c es una función continua.
 c es involutive, lo que significa que
c(c(a)) = a, a  [0, 1]