1. RAÍCES
Srta. Yanira Castro Lizana

2. ¿Qué es una Raíz?
Una Raíz es una expresión que consta de un
INDICE, un símbolo de raíz y un SUBRADICAL.
¿Indice, raíz, cantidad subradical?
Símbolo Cantidad
Indice de Raíz Subradical
4 4
2
8
(-5,3)
4
2
5

3. Elementos de una Raíz
Exponente del
INDICE Subradical
m n
a
Símbolo
de Raíz SUBRADICAL

4. ¿Qué significa la Raíz?
Una Raíz es una Potencia con Exponente Fracción.
Raíz = Potencia
5
_ 3
_
4 5 4 2
2 = 2 2
= (-0,6)
3
_
3 2
Ojo: El Indice 2
(-5,3) = (-5,3) no se escribe.
7
_
_
6
4 7 2
6 = =
5 7

5. Transforma las siguientes raíces a Potencia
3 2
2
1
4
3
4 2
3
5 5 3
2
4 4 3
3 7 7 3
73 7 2 1 5
1 3
5 5 3
m5 m 2
3 3 2 4 n
5 5
3
7 4
7 3 m
dn d m
Transforma las siguientes Potencia a Raíces
9 1
9 6 6
1 2 2 2 7 7 7
6 2 6 7
5 5 53 53
5 2 c
5
0,3 2 0,3 4 3 3
42 a b b
ac

6. En General
a b
_
b= a a≥2
n n
Importante:
a b a b
0 =0 1 = 1
Lectura de una Raíz.
5
-Indice 2, Raíz Cuadrada. Ej. 6
3 7
-Indice 3, Raíz Cúbica. Ej. 6
4 7
-Indice 4, Raíz Cuarta. Ej. 6

7. Raíz Cuadrada
4 2 ya que 2 2 4
9 3 ya que 3 3 9
16 4 ya que 4 4 16
25 5 ya que 5 5 25
2 1,4142135623
7309504880
16887242
...
Pero es solo una aproximación decimal de la
Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a 2 es como 2 .
Esto sucede con muchas raíces cuadradas que
no entregan un resultado exacto

8. Raíz Cúbica
3
8 2 ya que 2 2 2 8
3
27 3 ya que 3 3 3 27
3
64 4 ya que 4 4 4 64
3
125 5 ya que 5 5 5 125
3
3 1,4422495703
0740838232
1638310779...
6
Pero, al igual que el anterior es solo una aproximación
decimal de la Raíz, que no es exacta. Por lo que la mejor
forma de representar a 3 3 es como 3 3 .
Esto sucede con muchas raíces Cúbicas que
no entregan un resultado exacto.

9. 1 - Propiedad:
El Indice Igual al Exponente.
3
_
7 3 7
Sabiendo que: 2 = 2
¿Cuál será el resultado de?
5
_
5 5 5 1
2 = 2 = 2 =2
a a
_
a a
En General: n = n =n

10. 2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
3
_
7
Sabiendo que: 2 = 2
3 7
¿Cuál será el resultado de?
9
2 •
7 9 7
5 = 2 •5
9
_ 7
_ 1
_ 1
_ 1
_
9 7 2 9 7
2 • 5 = (2 ) • (5 ) = (2 • 5 )
2 2 2 2
a x a y a x y
En General: n • m = n •m

11. 2 - Propiedad:
Multiplicación de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
3 3 5 3
a) 6 36 6 f) 1,2 1,2 1,2
24 22 4
b) 8 2 4 g) 3 3
35 3 9
3 9 3
c) 3 3 h) 3
m5 3
m4 m3
4 16 4
d) 3 5 3 3
6 5 3
30 15
i) n 7
n 5
n6
e) 3 3 3
4 3
2 3
9 6 j) a 3n 3
b 2n
a 5n 3
b 7n
a 2 n b3n

12. 3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
3
_
7
Sabiendo que: 2 = 2
3 7
¿Cuál será el resultado de?
75 5 = 7
7 5 5 7
5
_ 7
_ 1
_ 1
_ 1
_
2 2 5 7 2 5 7 2
2
7 5 = (7 ) (5 ) = (7 5 )
a x a y a x y
En General: n m = n m

13. 3 - Propiedad:
División de Raíces de Igual Indice.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
8 0,08
a) 4 e) 0,2
2 0,02
3 4
b) 81 3 f) 3
256 3
4
3
3 3 81 3
3
5 7 3
m5 3
n8
c) 5 g) m n3
3
5 4 3
m2 3
n2
3
3 d4 a5 a
d) 81 2 h) b 3
3
3 8 2 3
a2 b3 d6 b

14. 4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
3
_ 2 3 6
Sabiendo que:
7 3
2 = 2 7
y (3 ) 3 =
¿Cuál será el resultado de?
75 = 4
7 5 3
75 = 6
75
5 1
_ _ 5 1
_ _ 5
_ 5 1
_ _ 5 1
_ _ 5
_
(7 )2 2 2 2 • 4
(7 )3 2 •
3 2 6
= 7 = 7 = 7 = 7
b a n b•a n
En General: m = m

15. 4 - Propiedad:
Raíz de una Raíz.
Resuelve usando la Propiedad de Potencia:
8 4 2 4
a) 16 2 d) mn mn
e) 3
x12 x2
b) 3
7 6
7 y6 y
3 4 12 3
c) 5 5 x 24
f) x2
3 3
x18

16. Descomponer una Raíz
Sabiendo que: m n m n
Resolver lo siguiente
50x 7 32x 7
25 2 x x6 16 2 x x6
25 2 x x 6 16 2 x x 6
5 2 x x3 4 2 x x
3
3 3
5x 2 x 4x 2x Son términos semejantes
3
9x 2x

17. Descomponer una Raíz
Otro ejemplo
45 20 80 125
9 5 4 5 4 4 5 5 25
9 5 4 5 4 4 5 5 25
3 5 2 5 2 2 5 5 5
3 5 2 5 4 5 5 5
Son términos semejantes
4 5

18. Racionalización
Racionalizar es amplificar una fracción donde el
denominador presenta una Raíz, con el fin de
que ésta no aparezca.
Ejemplos:
1 2 a n 3
9n
3 a
2 2 a 3
3n 2 3
¿Qué es lo que hay que saber?
7 4 28 n n
n
n
Amplificar: Propiedad de Raíces: x x x
2 4 8
Multiplicar Raíces 2 8 2 8 16 4
Raíz como Potencia
Potencias
x3 x5 x3 x5 x8 x4

19. p
Racionalizar Raíces Cuadradas Simples de la Forma
q a
1) 7 7 3 7 3 7 3 7 3
3 3 3 3 3 32 3
n n x n x n x n x
2)
m x m x x m x x m x2 mx
2 5 2 5 7 2 5 7 2 7 5 7 2 7 35
3)
7 7 7 7 7 72 7
7 7 7 7 n 7 n 7 n
4)
n 5 4 1
n n n4 n n2 n n n2n n3
p p a p a p a p a
En General
q a q a a q a a q a2 qa

20. Racionaliza las siguientes Expresiones
7 7 7 7
i) v)
11 11 49 49
15ax 15ax ab
ii) vi)
2 5a 2 5a b a
40a 2b 40a 2b 8 2
iii) vii)
10a 10a 2
a a a a y x x y
iv) viii)
xy xy
a3 a3

21. p
Racionalizar Raíces Cuadradas de la Forma
q n
ak
3
1) 7 7 42 73 4 73 4 74 4
3 3
4 4 3
42 3
4 42 3
43 4
n n 4
x n 4
x n 4
x n4 x
2)
4 3 3 4 mx
m x m 4
x x m 4
x3 x m 4
x4
3
a a 3
a a 3
a 3
a a 3
a 3
a2 a 3
a 3
a a3 a
3)
3
3
a2 33 a 2 a 33 a 2 a 33 a 3 3a
3
7 7 7 7 7 42
4)
3 7 3 6 3 6 2 3 2 3
.....
3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 42
p p n
an k
p n
an k
p n
an k
p n
an k
En General
q n
ak q n
ak n
an k
q n
ak an k
q n
an q a

22. Racionaliza las siguientes Expresiones
7 7 7 7
i) v) 3 3
3
11 3
11 49 49
15ax 15ax ab
ii) vi)
2 5a3 2 3
2 5a 2 b3 a 5
40a b 2
40a b 2 4
211 4
27
iii) vii)
3
10 a 2 3
10 a 2 4
23
ab a 3
ab a 3
3
x 7
x2 y6
iv) viii)
3
ab 2 3
ab 2 7
x9 y 6

23. Condiciones de Existencia de Raíces Cuadradas
e Indice Par
Como, por ejemplo, 4 2 ya que 2 2 4
y así para todas las Raíces Cuadradas
de Números Positivos
entonces
NO SE PUEDE OBTENER LA RAÍZ
CUADRADA DE NÚMEROS
NEGATIVOS
Es decir: En General, Esta condición es propia
de todas las Raíces de INDICE PAR.
4 No Existe
4
0,2 No Existe 0,12 No Existe
25 No Existe 8
25 No Existe
36 36

24. Condiciones de Existencia de Raíces Cúbicas e
Indice Impar
Las Raíces que tienen INDICE IMPAR
NO tienen restricción
Es decir:
3
8 2 ya que 2 2 2 8
3
27 3 ya que 3 3 3 27
8 2 2 2 2 8
3 ya que
27 3 3 3 3 27
7
128 2 ya que 2 2 2 2 2 2 2 128

25. Ecuaciones con Irracionales.
Una Ecuación Irracional es determinar el valor de
la incógnita que se encuentra bajo raíces.
Ejemplo de Ecuaciones Irracionales:
Para resolverlas hay que seguir
x 3 7 dos pasos muy sencillos:
i) Si hay más de una raíz, se
x 3 1 2x debe aislar en uno de los lados
de la ecuación.
ii) Elevar al cuadrado ambos
x 3 4 x 7 3x 1 lados de la ecuación.
3
2x 1 5 7 3x 1

26. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
Evitamos el paso i) ya que la raíz ya esta aislada
2x 4 6 en uno de los dos lados de la ecuación.
2
2x 4 6 / Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
lados de la igualdad a 2.
2,
2 2
2x 4 6 El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen.
Se resuelve como una ecuación de primer
2x 4 36 grado con una incógnita.
x 20 OJO. En estricto rigor la solución de la
ecuación debe estar en el siguiente
conjunto:

27. Ejemplo de Resolución de Ecuaciones Irracionales:
Paso i) Aislar una de las raíces en uno de los dos
x 8 3 x 1 lados de la ecuación.
2 Aplicamos el paso ii) anterior. Elevar ambos
x 8 1 3 x / lados de la igualdad a 2.
2 2
x 8 1 3 x El elevar la raíz a 2, provoca que el Indice y
el exponente se simplifiquen y en el otro
lado de la igualdad tengamos que realizar el
x 8 1 2 3 x 3 x cuadrado de un binomio.
2
4 2 3 x / Debemos volver al paso i), raíz aislada y
elevamos al cuadrado ambos lados de la
2 2
4 2 3 x igualdad.
Aquí en adelante la Ecuación Irracional se
16 4 3 x
transforma en una Ecuación de Primer Grado
con una Incógnita
16 12 4 x
1 x

28. Curiosidades
2) Algoritmo para determinar una raíz.
1) 1
2 1
1
2
1
2
1
2
2 ...

29. Links
http://www.euroresidentes.com/colegio/matematicas/races_cuadradas.htm
http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada
http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/raices-cuadradas.php
http://clic.xtec.es/db/act_es.jsp?id=1327