´ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA1. Definamos...Circunferencia: dado un punto O y una distancia r, sellama circunferencia de ce...
2. PropiedadesCon respecto a los ´angulos que se forman al interior de una circunferen-cia, se cumple que1. En toda circun...
3. Todo ´angulo interno a una circunferencia tiene como medida la semi-suma entre los arcos comprendidos por las cuerdas q...
3. EjerciciosSin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa.1. ¿Cu´al de las siguientes opciones es falsa?a) El di´ametro de ...
4. En la circunferencia de centro O de la figura, BOA = 70o yCOB = 40o. ¿Cu´anto mide el ´angulo ABC?a) 10ob) 20oc) 15od) 3...
7. En la figura, TPQ = 140o y QRP = 15o. ¿Cu´anto mide el PQT?a) 15ob) 20oc) 25od) 30oe) 35oP QRT8. AC es di´ametro de la c...
10. En la circunferencia de centro O de la figura, PA y PB son tangentesen A y B, respectivamente. ¿Cu´anto mide el ´angulo...
13. En la circunferencia de centro O y di´ametro DB de la figura, ¿cu´antomide el ´angulo COA si DCO = 30o y DAO = 40o?a) 7...
16. En la circunferencia de centro O de la figura, ¿cu´anto mide el ´anguloOPR?a) 35ob) 40oc) 45od) 50oe) 70oOT QPR70o17. E...
19. En la figura, BCA = 40o y CDB = 30o. ¿Cu´anto mide el ABC?a) 60ob) 90oc) 100od) 120oe) 110oODACB20. En la figura, BD es ...
22. O es centro de la circunferencia de la figura, QOP = ROQ =SOR y RSO = 72o. ¿Cu´anto mide el ´angulo PTQ?a) 54ob) 36oc) ...
25. En la circunferencia de centro O, ABO = 2 BOA. ¿Cu´anto mide el´angulo OAB?a) 36ob) 45oc) 60od) 72oe) 90oOBAO26. En la...
28. AB es di´ametro de la circunferencia de centro O. La medida del CBAse puede determinar si:(1) AB = 2AC(2) BOC = 2 COAa...
1 E 2 C 3 A 4 B 5 C6 A 7 C 8 C 9 A 10 C11 E 12 E 13 D 14 C 15 C16 D 17 A 18 B 19 E 20 A21 C 22 E 23 B 24 B 25 D26 A 27 D 2...
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  1. 1. ´ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA1. Definamos...Circunferencia: dado un punto O y una distancia r, sellama circunferencia de centro O y radio r al conjuntode todos los puntos del plano que est´an a la distanciar del punto O.OrC(O, r)Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y unpunto de ´esta (OA).Cuerda: trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia(DE).Di´ametro: cuerda que contiene al centro de la circunferencia (BC).Secante: recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto(TM). T punto de tangencia. OATQPD ECBArco: es una parte de la circunferencia determinada por dos puntosdistintos de ella (CE).´Angulo del Centro: Es todo ´angulo interior cuyo v´erticees el centro de la circunferencia y sus lados son radios dela misma ( FOE).´Angulo Inscrito: Es todo ´angulo cuyo v´ertice es un puntode la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de´esta ( FDE)O DEF´Angulo Externo: Es todo ´angulo formado por secantesfuera de la circunferencia ( ADB).´Angulo Interno: Es todo ´angulo formado por cuerdas alinterior de la circunferencia ( ACB).OCABD1GUÍA PRACTICA: N° 1
  2. 2. 2. PropiedadesCon respecto a los ´angulos que se forman al interior de una circunferen-cia, se cumple que1. En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a lamedida del ´angulo del centro que subtiende dicho arco.DEODE= DOE = αα2. Todo ´angulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitaddel ´angulo del centro que subtiende el mismo arco.A BOα2= βαβOjo 1 Si β es un ´angulo inscrito que sub-tiende el AB y AB es di´ametro, entoncesβ = 90.A BO¡β2
  3. 3. 3. Todo ´angulo interno a una circunferencia tiene como medida la semi-suma entre los arcos comprendidos por las cuerdas que lo forman.ABCDγγAB + CD2= CED = γ4. Todo ´angulo externo a una circunferencia tiene como medida la semi-diferencia entre los arcos comprendidos por las secantes que lo forman.δEABCDAB − CD2= CED = δOjo 2 En todo cuadril´atero inscrito en una circunferencia, los ´angulos opues-tos son suplementarios.Ojo 3 La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio enel punto de tangencia.αβγ δα + γ = β + δ = 180oOTLOT ⊥ L3
  4. 4. 3. EjerciciosSin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa.1. ¿Cu´al de las siguientes opciones es falsa?a) El di´ametro de una circunferencia es el doble de su radio.b) La mayor cuerda de una circunferencia es el di´ametro.c) En circunferencias congruentes los radios son congruentes.d) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman´angulos del centro.e) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia.2. En la circunferencia de centro O, AC es diametro. Si β = 20o, entoncesel valor de α esa) 10ob) 20oc) 40od) 80oe) 140OαACBβ¢3. En la circunferencia de centro O y di´ametro BC de la figura, ¿cu´antomide el BCA?a) 22ob) 34oc) 36od) 44oe) 68o£O68oA BC4
  5. 5. 4. En la circunferencia de centro O de la figura, BOA = 70o yCOB = 40o. ¿Cu´anto mide el ´angulo ABC?a) 10ob) 20oc) 15od) 30oe) 25o¤OA BC5. En la circunferencia de centro O, se cumple que BA∼=DC y AD + CB= 3 BA.Entonces la medida del α esa) 45ob) 60oc) 72od) 84oe) 90o¥OαABCD6. AC y BE son di´ametros de la circunferencia de centro O (fig. 2). SiBOA = 2 COB, entonces el CDB midea) 30ob) 35oc) 45od) 600oe) 120o¦OA BCDE5
  6. 6. 7. En la figura, TPQ = 140o y QRP = 15o. ¿Cu´anto mide el PQT?a) 15ob) 20oc) 25od) 30oe) 35oP QRT8. AC es di´ametro de la circunferencia de centro O. ¿Cu´anto mide el´angulo BCA?a) 15ob) 25oc) 35od) 55oe) 70o§OA CB55o9. En la figura, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T.¿Cu´anto mide el OPT?a) 10ob) 20oc) 30od) 40oe) 50o¨OTP40o6
  7. 7. 10. En la circunferencia de centro O de la figura, PA y PB son tangentesen A y B, respectivamente. ¿Cu´anto mide el ´angulo BCA?a) 25ob) 50oc) 65od) 100oe) 130o©OCBAP50o11. En la figura, el cuadrilatero ABCD esta inscrito en la circunferencia.Si β = 145o y α = β − δ, entonces γ =a) 35ob) 45oc) 55od) 60oe) 70oαAβBγCδD12. AC y BD son di´ametros de la circunferencia de centro O. Si el ´anguloDOC mide 80o, ¿cu´anto mide el ´angulo ABO?a) 20ob) 30oc) 40od) 45oe) 50oOA BCD7
  8. 8. 13. En la circunferencia de centro O y di´ametro DB de la figura, ¿cu´antomide el ´angulo COA si DCO = 30o y DAO = 40o?a) 70ob) 100oc) 125od) 140oe) 160oOD BCA14. O y O son los centros de las circunferencias de la figura. Si DAC =40o, ¿cu´anto mide el ´angulo ACD?a) 10ob) 20oc) 25od) 40oe) 50o O OABCD15. O es centro de la circunferencia de la figura, y QROP es cuadrado.¿Cu´anto mide el ´angulo RSP?a) 22,5ob) 30oc) 45od) 60oe) 50oOPRSQ8
  9. 9. 16. En la circunferencia de centro O de la figura, ¿cu´anto mide el ´anguloOPR?a) 35ob) 40oc) 45od) 50oe) 70oOT QPR70o17. En la figura, O es el centro de la circunferencia. Si ORQ = 36o yROP = 54o, ¿cu´anto mide el RTP?a) 63ob) 72oc) 108od) 117oe) 144oOTQPR18. En la circunferencia de centro O de la figura, BAC + BDC = 80o.Entonces, el BOC midea) falta informaci´on.b) 80oc) 60od) 40oe) 20oODACB9
  10. 10. 19. En la figura, BCA = 40o y CDB = 30o. ¿Cu´anto mide el ABC?a) 60ob) 90oc) 100od) 120oe) 110oODACB20. En la figura, BD es di´ametro y CBD = 16o. ¿Cu´anto mide elCAB?a) 74ob) 64oc) 45od) 32oe) 16oDAC B21. En la figura, CB//DA. Si CD= 80o, entonces ¿cu´al(es) de las siguien-tes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?I) BCA = 40oII) BEA = 80oIII) DA= 100oa) S´olo Ib) S´olo IIc) S´olo I y IId) S´olo II y IIIe) I, II y IIID AC BE10
  11. 11. 22. O es centro de la circunferencia de la figura, QOP = ROQ =SOR y RSO = 72o. ¿Cu´anto mide el ´angulo PTQ?a) 54ob) 36oc) 35od) 27oe) 18oPQ RSTO23. BC es un cuarto de circunferencia con centro en A. Si BD = AB,entonces el CAD midea) 15ob) 30oc) 45od) 60oe) 75oDCA B24. En la figura, la circunferencia tiene centro en O. El valor del ´angulo x esa) 12,25ob) 12,5oc) 25od) 37,50oe) 50oOCDBAax50oa11
  12. 12. 25. En la circunferencia de centro O, ABO = 2 BOA. ¿Cu´anto mide el´angulo OAB?a) 36ob) 45oc) 60od) 72oe) 90oOBAO26. En la circunferencia de centro O de la figura, se puede conocer el valorde α si:(1) BOA = 2α(2) ABO = αa) (1) por s´ı sola.b) (2) por s´ı sola.c) Ambas juntas, (1) y (2).d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).e) Se requiere informaci´on adicional.!OABα27. En la circunferencia de centro O de la figura, AD y BC son di´ametros.Se puede conocer el valor de x si:(1) CA= 110o(2) BCA + BDA = 70oa) (1) por s´ı sola.b) (2) por s´ı sola.c) Ambas juntas, (1) y (2).d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).e) Se requiere informaci´on adicional.ODCBAx12
  13. 13. 28. AB es di´ametro de la circunferencia de centro O. La medida del CBAse puede determinar si:(1) AB = 2AC(2) BOC = 2 COAa) (1) por s´ı sola.b) (2) por s´ı sola.c) Ambas juntas, (1) y (2).d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).e) Se requiere informaci´on adicional.#OBA C29. En la figura, el cuadril´atero ABCD est´a inscrito en la circunferencia.Se puede saber la medida del CDA si:(1) BCD = 180o(2) DAB = 100oa) (1) por s´ı sola.b) (2) por s´ı sola.c) Ambas juntas, (1) y (2).d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).e) Se requiere informaci´on adicional.$OBDCA30. En la circunferencia de centro O de la figura, A y B son puntos detangencia. Se puede determinar la medida del BOA si:(1) PBO = OAP(2) BOA = 3 APBa) (1) por s´ı sola.b) (2) por s´ı sola.c) Ambas juntas, (1) y (2).d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).e) Se requiere informaci´on adicional.%OBAP13
  14. 14. 1 E 2 C 3 A 4 B 5 C6 A 7 C 8 C 9 A 10 C11 E 12 E 13 D 14 C 15 C16 D 17 A 18 B 19 E 20 A21 C 22 E 23 B 24 B 25 D26 A 27 D 28 D 29 E 30 B14

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