Geometria primero medio

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Geometria primero medio

  1. 1. Srta. Yanira Castro Lizana
  2. 2. GEOMETRÍA DEL PLANO1. Conceptos básicos de Geometría2. Los polígonos3. Proporcionalidad de segmentos y semejanza4. El Teorema de Pitágoras5. La circunferencia6. Áreas de figuras planas7. Movimientos en el plano. Mosaicos2
  3. 3. 1. CONCEPTOS BÁSICOS DEGEOMETRÍA1 . R E C O R D A N D O L O S E L E M E N T O SB Á S I C O S D E G E O M E T R Í A .2 . S E G M E N T O S R E C T I L Í N E O S3 . Á N G U L O S : M E D I D A YC L A S I F I C A C I Ó Na) Clasificación de ángulosb) Bisectriz de un ángulo4 . PA R A L E L I S M O YP E R P E N D I C U L A R I D A D .a) Trazado de paralelas y de perpendicularesb) Mediatriz de un segmentoc) Proyección ortogonal
  4. 4. 1.1.ELEMENTOS BÁSICOSEl término Geometría viene del griego,y significa medida de tierras.Todos los cuerpos que nos rodeanocupan una posición en el espacio.Se llama extensión a la porción deespacio ocupado por un cuerpo,admitiendo ésta tres direcciones: lalongitud, la anchura y la altura, cadauna de las cuales se llamadimensión.Hay cuerpos que se reducen a una soladimensión, como la línea, o otros ados dimensiones, como lasuperficie. El punto es la mínimaexpresión de la extensión y, portanto, no tiene ni longitud, nianchura, ni altura; solamente nosindica una posición en el espacio.4
  5. 5. 1.2. SEGMENTOSRECTILÍNEOSUn segmento rectilíneo AB es la parte de recta comprendidaentre los puntos A y B.5A B• Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas.A• Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patrón ycompararla con la longitud del segmento.u• De las unidades utilizadas históricamente las más convencionalesresponden a dos sistemas:1. Sistema métrico Decimal : Mm, Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm,...2. Sistema Anglosajón: Milla, yarda, pie, pulgada...
  6. 6. 6PARALELISMO YPERPENDICULARIDAD•Las vías de un tren nossugieren la idea de rectasparalelas (dos rectas sonparalelas cuando, por más quese prolonguen, nunca seencuentran).•Los postes que las fijan alsuelo, dan la idea de rectasperpendiculares ya que formacon ellas ángulos rectos.•El cruce de vías nos muestralíneas oblícuas.90º
  7. 7. 7ÁNGULOS ÁngulosÁngulo recto1 R=90ºÁngulo llano=180ºÁngulocompleto=360º• Ángulo es la parte del plano comprendida entre dossemirrectas que parten de un punto común llamadovértice.NOTA: Las medidas anteriores y las siguientes están dadas en SISTEMASEXAGESIMAL. Existen otros sistemas para medir ángulos como son elsistema centesimal y radianes
  8. 8. TIPOS DE ÁNGULOS8Ángulo agudoMenor que unrectoÁngulo obtusoMayor que unrectoÁnguloconvexoMenor quedos rectosÁngulocóncavoMayor que dosrectosÁnguloscomplementarios(Si suman 90º)Ángulossuplementarios(Si suman 180º)
  9. 9. MEDIDA DE ÁNGULOS9Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:Sistema sexagesimalSistema centesimalRadianesÁngulocompletoÁngulollanoÁngulorectoUngradoUnminutoSEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100sRADIANES 2  /2
  10. 10. 10TRAZADO DE PARALELAS YPERPENDICULARESRectasparalelasRectasperpendiculares
  11. 11. 11SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UNTRIÁNGULOTrazamos una recta paralela allado AB del triánguloCA BLos dos ángulos son iguales por tener los lados paralelosy ser agudos (También sería cierto si los dos fuesenobtusos)Los tres ángulos de un triángulo sumansiempre 180ºº180º180 
  12. 12. MEDIATRIZ DE UNSEGMENTOLa mediatriz de un segmento es la rectaperpendicular a dicho segmento porsu punto medio.Con centro en A y en B se trazan arcosde igual radio que se cortan en dospuntos que determinan la mediatrizdel segmento AB.12A BObserva que lospuntos de lamediatriz de unsegmento ABequidistan de losextremos Á y BA Bd dd’d’ d’d’’d’’d1d1
  13. 13. 13BISECTRIZ DE UN ÁNGULOLa recta quedivide unángulo en dospartes igualesse llamabisectriz.Observa que lospuntos de la bisectrizde un ánguloequidistan de loslados del ánguloexperimentaddd’d’
  14. 14. 14
  15. 15. RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO.MEDIATRICES.- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por elpunto medio de dicho lado.Corte único de las mediatrices: CIRCUNCENTRO, que es el centro de lacircunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.BISECTRICES.-Rectas que partiendo del vértice parten el ángulo en dosiguales.Corte único de bisectrices: INCENTRO, que es el centro de lacircunferencia inscrita (interior), tangente a los tres lados.ALTURAS.- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del vérticeopuesto a cada uno de ellos.Corte único de alturas: ORTOCENTRO.MEDIANAS.- Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto.Dividen el triángulo en dos regiones de igual área.Corte único de medianas: BARICENTRO, que es el centro de gravedaddel triángulo (Física).
  16. 16. MEDIANASACBacbMEDIANAS: Rectas que van del vértice al punto medio del ladoopuesto. Generan dos triángulos de igual área. Se cortan en un únicopunto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.B
  17. 17. MEDIATRICESACBacbMEDIATRICES: Rectas que cortan perpendicularmente a cada ladopor su punto medio. Se cortan en un punto llamado Circuncentro, quees el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tresC
  18. 18. ALTURASACBacbALTURAS: Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por elvértice opuesto . Se cortan en un punto llamado Ortocentro.O
  19. 19. BISECTRICESACBacbBISECTRICES: Rectas que dividen en dos el ángulo correspondienteal vértice del que parte. Se cortan en un punto llamado INCENTRO,que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triángulo yIA/2A/2
  20. 20. RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULOEQUILATERO.ACBacbEN UN TRIÁNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LASRECTAS NOTABLES, ASÍ COMO SUS PUNTOSB=O=C=I
  21. 21. RECTA DE EULERLa recta de Euler esla recta que pasapor el baricentro, elcircuncentro y elortocentro de untriángulo.
  22. 22. 2. LOS POLÍGONOS1 . P O L Í G O N O S :a. Definición. Elementos de un polígonob. Clasificación de polígonosc. Suma de los ángulos interiores de los polígonos convexos.d. Trazado de polígonos regulares.e. Polígonos regulares estrellados2 . T R I Á N G U L O S .a. Clasificación de triángulos.b. Igualdad de triángulos. Construcción de triángulos.c. Rectas y puntos notables de un triángulo.3 . C U A D R I L Á T E R O S :a. Clasificación de cuadriláteros.b. Propiedades de las diagonales de un paralelogramo.
  23. 23. 2.1. POLÍGONOSLínea poligonal abierta23• Línea poligonal cerradaPolígono es la superficie plana limitada por unalínea poligonal cerrada.La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli(varios) y gono (ángulos).
  24. 24. 24ELEMENTOS DE UNPOLÍGONODiagonalVérticeÁngulo interiorÁngulo exteriorPerímetro de un polígono es la suma de las longitudesde sus lados
  25. 25. 25CLASIFICACIÓN DE LOSPOLÍGONOSSegún el número de lados de los polígonos, éstos puedenser:triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos,...El polígono que tiene todos sus ladosy todos sus ángulos iguales se diceque es un polígono regular. En estos,y sólo en estos, aparecen dos nuevoselementos: centro y apotema.Centro
  26. 26. 26SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UNPOLÍGONOPolígonoNúmerodeladosNúmero detriángulosSuma de losángulosinterioresNúmero dediagonalesTriángulo 3 1 180ºCuadrilátero 4 2 2 . 180ºPentágono6HeptágonoOctógono9Polígono de n lados n n-2Copia en tu cuaderno y completa el cuadroanterior
  27. 27. 27PolígonoNúmerode ladosNúmerodetriángulosSuma delosángulosinterioresNúmero dediagonalesTriángulo 3 1 180º 0Cuadrilátero 4 2 2 . 180º 2Pentágono 5 3 3. 180º 5Hexágono 6 4 4. 180º 9Heptágono 7 5 5. 180º 14Octógono 8 6 6. 180º 20Eneágono 9 7 7. 180º 27Decágono 10 8 8. 180º 35Undecágono 11 9 9. 180º 44Dodecágono 12 10 10. 180º 54....... ....... ....... ....... .......Polígono de n lados n n-2 (n-2). 180º n(n-3)/2
  28. 28. 28CONSTRUYENDO UNPENTÁGONO REGULAR
  29. 29. 29CONSTRUYENDO UNPENTÁGONO REGULAR
  30. 30. 30CONSTRUYENDOPOLÍGONOS REGULARES
  31. 31. 31CONSTRUYENDOPOLÍGONOS REGULARESexperimenta
  32. 32. 32POLÍGONOS REGULARESESTRELLADOSUna de las figuras más bellas en geometría y muy utilizada en el arte de lalacería árabe, la constituyen los polígonos estrellados, obtenidos al unirvértices no consecutivos de los polígonos regulares.Si en unpentágono regularunimos susvértices saltandode dos en dos,obtenemos laestrellapentagonal. Estaestrella sirvió deemblema a laescuela pitagóricafundada enCrotona, en elsiglo VI a. J.C.
  33. 33. 2.2. TRIÁNGULOS33Triángulo es un polígono de tres lados.Clasificación:EQUILÁTERO: si siene los tres lados iguales.ISÓSCELES: si tiene dos lados iguales y uno desigual.ESCALENO: si tiene los tres lados distintosSEGÚN SUS LADOS:ACUTÁNGULO: si tiene los tres ángulos agudos.RECTÁNGULO: si tiene un ángulo recto.OBTUSÁNGULO: si tiene un ángulo obtuso.SEGÚN SUS ÁNGULOS:
  34. 34. 34CONSTRUYENDOTRIÁNGULOSPara construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos:a) Conocidos los treslados a, b y c:b) Con dos lados a y b, y elángulo comprendido C:c) Con un lado a y losdos ángulosadyacentes B y C:abcb acabcacbac BaBcexperimenta
  35. 35. 35CRITERIOS DE IGUALDAD DETRIÁNGULOSI. Dos triángulos son iguales sitienen los tres lados iguales.II. Dos triángulos son iguales sitienen iguales dos lados y elángulo comprendido entreellosIII. Dos triángulos son iguales sitienen iguales un lado y losdos ángulos adyacentes.cb aacbacB
  36. 36. 36Mediatrices de un triángulo:Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dichosegmento que pasa por su punto medioLas tres mediatrices deun triángulo se cortan enun punto llamadocircuncentroD Circuncentro
  37. 37. 37Mediatrices de un triángulo:Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en unpunto llamado circuncentroEl circuncentro es el centro de lacircunferencia circunscrita al triángulo.El circuncentro de untriángulo equidista de losvértices del triángulo.A BCD CircuncentroDC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BCDA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado ABDC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado ACPor lo tanto DA = DC= DB= rPodemos dibujar una circunferencia de radio r, concentro en D.Esta circunferencia pasará por los tres vértices deltriángulo. Se llama circunferencia circunscrita altriángulo.
  38. 38. 38MEDIATRICES DE UNTRIÁNGULO:Observa que en eltriángulo acutánguloel circuncentro estáen el interior deltriángulo.Observa queen el triángulorectángulo elcircuncentroestá en elpunto mediode lahipotenusa.Observa que en eltriángulo obtusánguloel circuncentro estáen el exterior deltriángulo.Se llama mediatriz de unsegmento a la rectaperpendicular a dichosegmento que pasa porsu punto medioexperimentaLas tres mediatrices de un triángulo se cortan en un puntollamado circuncentro . Es el centro de la circunferenciacircunscrita al triángulo.
  39. 39. 39ALTURAS DE UN TRIÁNGULO:Indica que el ángulo es recto.Observa que en eltriángulo rectánguloel ortocentrocoíncide con elvértice del ángulorecto del triángulo.Se llama altura de un triánguloa la recta perpendicular a unlado que pasa por el vérticeopuesto a dicho ladoOA BCA BCA BCOOexperimentaLas tres alturas de un triángulo se cortan en un puntollamado ortocentro.
  40. 40. 40Bisectrices de un triángulo:Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dosángulos igualesLas tres bisectricesde un triángulo secortan en un puntollamado incentroI Incentro
  41. 41. 41Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en unpunto llamado incentroEl incentro es el centro de lacircunferencia inscrita en el triángulo.El incentro de un triánguloequidista de los lados deltriángulo.A BCIP = IM por ser I un punto de la bisectriz del ángulo CIM = IN por ser I un punto de la bisectriz del ángulo BIN = IP por ser I un punto de la bisectriz del ángulo APor lo tanto IM = IN= IP= rPodemos dibujar una circunferencia de radio r, concentro en I.Esta circunferencia es tangente a los tres lados deltriángulo. Se llama circunferencia inscrita en eltriángulo.Bisectrices de un triángulo:I MNP
  42. 42. 42BISECTRICES DE UNTRIÁNGULO:Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un puntollamado incentro que es el centro de la circunferencia inscritaen el triángulo.Se llama bisectriz de unángulo a la semirrecta quedivide en dos partes igualesdicho ánguloIA BCA BCIA BCIexperimenta
  43. 43. 43MEDIANAS DE UNTRIÁNGULO:Las tres medianas de un triángulo se cortan en un puntollamado baricentro que es el centro de gravedad del triángulo.GMNA BCPMNA BCPGMNABCPGSe llama mediana de untriángulo a la recta que pasapor un vértice y por el puntomedio del lado opuestoP, M, N son los puntos mediosde los lados experimenta
  44. 44. 44RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UNTRIÁNGULO• Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamadocircuncentro. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.•Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamadobaricentro. Es el centro de gravedad del triángulo.• Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamadoincentro. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.•Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
  45. 45. 2.3. CUADRILÁTEROS:PARALELOGRAMOS(tienen los ladosparalelos dos a dos)CuadradoLados iguales y los cuatroángulos rectosRectánguloLados iguales dos a dos y loscuatro ángulos rectosRomboLados iguales y ángulos igualesdos a dosRomboideLados y ángulos iguales dos adosTRAPECIOS(Tienen dos ladosparalelos)T.RectánguloSección inferior de un triángulorectángulo por una paralela a labaseT. IsóscelesSección inferior de un triánguloisósceles por una paralela a labaseT. EscalenoSección inferior de un triánguloescaleno por una paralela a labaseTRAPEZOIDES(Ningún lado paralelo)No tiene ningún lado paralelo aotro45llbhDdbhhBbBbhBbhPolígonos de cuatro ladosCLASIFICACIÓN
  46. 46. 46PROPIEDADES DE LASDIAGONALES DE UNPARALELOGRAMOCada diagonal divide unparalelogramo en dos triángulosiguales.AA’BB’Las diagonales de cualquierparalelogramo se cortan en su puntomedio.En el rectángulo y el cuadrado, lasdiagonales son iguales.En el rombo y en el cuadrado, lasdiagonales se cortan perpendicular-mente, siendo a la vez bisectrices desus ángulos.
  47. 47. 3. PROPORCIONALIDAD1 . P R O P O R C I O N A L I D A D D E S E G M E N T O SY S E M E J A N Z A2 . T E O R E M A D E TA L E SA . C O N S E C U E N C I A S D E L T E O R E M AD E TA L E SB . L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L .S E C C I Ó N Á U R E A .3 . S E M E J A N Z AA . S E M E J A N Z A D E T R I Á N G U L O S .B . P O L Í G O N O S S E M E J A N T E S .4 . E S C A L A S
  48. 48. 3.1. PROPORCIONALIDAD DESEGMENTOS Y SEMEJANZA48Sombra del árbol grande (S)S. árbolpequeño (s)HhLas sombras de los dos árboles sonproporcionales a las respectivas alturasHhSsOA’AB’B)alidadproporcionderazón(kAABBOAOBHhSsTales de Mileto (640-550 a. J.C.)en uno de sus viajes a Egiptomidió la altura de una pirámideaprovechando el momento enque su propia sombra medíatanto como su estatura¿Con qué razón de proporcionalidadtrabajo Tales en esta experiencia?¿Podrías calcular la altura de unedificio de tu entorno midiendo susombra y teniendo presente tu altura yla longitud de tu sombra?
  49. 49. 3.2. TEOREMA DE TALES49Si varias paralelas determinansegmentos iguales sobre unarecta r, determinan tambiénsegmentos iguales sobrecualquier otra recta r’ a la quecortenTEOREMA DE TALES:Los segmentos determinados porrectas paralelas en dos rectasconcurrentes son proporcionales.OA’AB’BOBBAOBABtambienoOBOAOBOAexperimentaOA’AB’BC’D’E’EDCB’’C’’D’’E’’rr’
  50. 50. CONSECUENCIAS DEL TEOREMADE TALES50Toda paralela a un lado de untriángulo ABC determina con losotros dos un nuevo triángulo AMNcuyos lados son proporciona les alos del primero.El teorema de Tales permitedividir un segmentocualquiera en partesiguales.AB CNMPSi en un triángulo ABC tenemos unaparalela MN al lado BC, por el teoremade Tales se cumple :)1(ACANABAMTrazando por N una paralela a AB,por el mismo teorema tenemos:)2(BCMNBCBPACANDe (1) y (2) se deduce:BCMNACANABAM
  51. 51. LA TERCERA PROPORCIONAL.SECCIÓN ÁUREA51Un segmento x se llama terceraproporcional de dos segmentos dadosa y b si verifica la proporción:abbxxbbaTambién sobre un segmento AB esposible visualizar la tercera proporcional,hasta localizar un punto C del segmentoAB de forma que:A BCb x 1...6180339891251xbbxb:tambiénóCBACACABxbxb1xb012 Resolviendola ecuación(número áureo o número de oro)experimenta
  52. 52. 3.3. LA SEMEJANZA52Dos triángulos son semejantes si tienen los ánguloshomólogos iguales y sus lados proporcionalesTeorema fundamental: Si dos lados de untriángulo se cortan por una paralela al tercero, seobtiene otro triángulo semejante al primero.
  53. 53. CRITERIOS DE SEMEJANZA DETRIÁNGULOS53I. Dos triángulos son semejantessi tienen los tres ladosproporcionales.II. Dos triángulos son semejantessi tienen dos ángulos iguales .III. Dos triángulos sonsemejantes si tienen doslados proporcionales y elángulo comprendido igual.CRITERIOS DE SEMEJANZA
  54. 54. POLÍGONOS SEMEJANTES54experimentaPolígonos homotéticosPolígonos semejantes son losque se descomponen entriángulos semejantes dispuestoscorrelativamente.Se llama razón de semejanza delos polígonos a la razón entre suslados homólogos.PPLa razón de los perímetros dedos polinomios semejantes esigual a la razón de semejanza
  55. 55. 3.4. ESCALAS55Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequeñas, hemos derecurrir a reducir o aumentar su representación gráfica. Diremos que la piezaestá dibujada a escala.A la relación entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensionesreales se le llama escala gráfica.Por ejemplo, si un mapa viene dado a escala 1:30 000, indica que 1 cm deldibujo representa 30 000 cm en la realidad.Según si el primer número es menor o mayor que el segundo, la escalareducirá o ampliará respectivamente el tamaño real del objeto.Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son: elcompás de reducción (resuelta útil para medir) y el pantógrafo (parareproducir dibujos a una escala determinada).ADAEABACEl pantógrafo consta de cuatro reglas articuladas conun punto de apoyo A, una punta metálica B pararepasar el original y un portalápiz C. Las cuatroreglas forman un paralelogramo articulado BDEF.Los puntos A, B y C están alineados de modo que:experimenta
  56. 56. 4. EL TEOREMA DE PITÁGORAS.1. PITÁGORAS2. NÚMEROS PARTICULARES3. TEOREMA DE PITÁGORAS4. TEOREMA DE LA ALTURA5. TEOREMA DEL CATETO6. RELACIONES MÉTRICAS ENTRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
  57. 57. 4.1. PITÁGORAS57Se supone que Pitágoras era nativo de Samos y pertenecía, comoTales, a la colonia jónica de griegos establecida en las costas e islasoccidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor. Vivió desdeaproximadamente 569 a.J.C.. En el año 529 a. J.C. Se instaló en Crotona, unaciudad de la colonia dórica en el sur de Italia, y allí comenzó a disertar sobrefilosofía y matemáticas. A su cátedra acudía una muchedumbre de entusiastasauditores de todas clases: muchos de las clases altas e incluso las mujeresinfringían una ley que les prohibía asistir a reuniones públicas.Los más interesados de sus discípulos se constituyeron en unasociedad o hermandad. Se les conocía como la Orden de Pitágoras y ejercieronuna gran influencia, tanto política como religiosa. más allá del mundo griego. Locompartían todo, sostenían las mismas creencias filosóficas, se dedicaban a lasmismas investigaciones y se comprometían con un juramento a no revelar lossecretos y las enseñanzas de la escuela.La estrella pentagonal fue un símbolo distintivo de la hermandad
  58. 58. 4.2. NÚMEROS PARTICULARESLos pitagóricos clasificaban los númerosen pares e impares según formas oestructuras asociadas a ellos:Un número producto de dos factoresdesiguales, se llamaba oblongo:Si dos factores eran iguales, el número sellamaba cuadrado. El cuadrado n-ésimo de un número es la suma de losn primeros números impares58• Los números triángulos eran 1, 3, 6,10, ...El n-ésimo número triangular esla suma de los n primeros números.Dos triangulares sucesivos formanjuntos un cuadrado.• Un número de tres factores se llamabasólido. Si los tres factores eraniguales, se llamaba cubo.12=3x2x2 27=3x3x3• Un número piramidal es la suma deuna serie de números cuadrados5=1+414=1+4+9(8=4x2)1=1x14=2x2=1+39=3x3=1+3+516=4x4=1+3+5+910=1+2+3+4
  59. 59. 594.3. NÚMEROS PITAGÓRICOS.TEOREMA DE PITÁGORASb =92c =162Cateto (c)Cateto(b)Catetos:b, cHipotenusa:aRelación aritmética:a2=b2+c23 y 4 5 52=32+426 y 8 10 102=62+825 y 12 13 132=52+1227 y 24 25 252=242+728 y 15 17 172=152+82La relación aritmética entre los catetos y lahipotenusa de cualquier triángulo rectángulose conoce con el TEOREMA DE PITÁGORAS:En un triángulo rectángulo, la sumade los cuadrados de los catetos esigual al cuadrado de la hipotenusaa2=b2+c2Los númerosque verificanesta relaciónreciben elnombre denúmerospitagóricosexperimentaDemostración
  60. 60. 604.4. TEOREMA DE LA ALTURAEn todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar laaltura relativa a la hipotenusa son semejantes entre síB ACHmnhPor ser los triángulos BHC y CHAsemejantes, sus lados sonproporcionales:HAHCHCBH es decir,mhhno también, nmh2TEOREMA DE LA ALTURA:La altura relativa a la hipotenusa deun triángulo rectángulo es mediaproporcional entre los segmentos enque divide a ésta.
  61. 61. 614.5. TEOREMA DEL CATETOTEOREMA DEL CATETO:En todo triángulo rectángulo un catetoes media proporcional entre lahipotenusa y su proyección sobre ella.Por ser los triángulos AHC yABC semejantes, sus ladosson proporcionales:ABACACAH es decir,cbbmo también, cmb2B ACHmnhbacEn todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar laaltura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí
  62. 62. 624.6. RELACIONES MÉTRICAS ENTRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOSa) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo en un triángulo cualquieraes igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el dobledel producto de uno de ellos por la proyección del otro sobreACcBHnc-nhbaEn el tr. BHC:222BHah En el tr. AHC:222nhb Además:   cn2ncncBH 222222222ncn2cnab cn2cba 222Sustituyendob) El cuadrado del lado opuesto a un ánguloobtuso en un triángulo cualquiera esigual a la suma de los cuadrados de losotros dos lados más el doble delproducto de uno de ellos por laproyección del otro sobrecn2cba 222c+nB A HhbacCn222cba 222cba 2222nBHab 
  63. 63. 63CLASIFICACIÓN DE UN TRIÁNGULO A PARTIRDEL TEOREMA DE PITÁGORASUn triángulo será acutángulo, rectángulo u obtusángulo segúnque el cuadrado de su lado mayor sea menor, igual o mayor quela suma de los cuadrados de los otros dos lados.experimentaaaabbbccca2 < b2 + c2 a2 = b2 + c2a2 > b2 + c2
  64. 64. 5. LA CIRCUNFERENCIA1 . E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A2 . A P R O X I M A C I Ó N D E L N Ú M E R O 3 . N Ú M E R O 4 . R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A .P O S I C I Ó N R E L AT I VA .5 . D E T E R M I N A C I Ó N D E U N AC I R C U N F E R E N C I A .6 . Á N G U L O S E N U N A C I R C U N F E R E N C I AA . C L A S I F I C A C I Ó NB . M E D I D A D E L O S Á N G U L O S E N U N AC I R C U N F E R E N C I A
  65. 65. 5.1. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA65La circunferencia es la línea curva plana y cerrada formada por lospuntos del plano situados a igual distancia (radio) de una puntointerior llamado centro.centroarcoAdemás de los elementos de la circunferencia(centro, radio, diámetro, cuerda, arco) esinteresante conocer su longitud.Arquímedes (s. III a. J.C.) se imaginaba lacircunferencia como la figura obtenida porexhaustión de polígonos regulares inscritos ycircunscritos. La longitud de la circunferencia estácomprendida entre los perímetros de estospolígonos.6 lados 12 lados 24 lados 48 ladosexperimenta
  66. 66. 665.2. APROXIMACIÓN DEL NÚMERO PIAPROXIMACIÓN DE PI PIr2DnciacircunfereladeLongitud
  67. 67. 675.3. NÚMERO =3.1415926535914039784825424142192796639198932348258351990748479774631213467319607687311770202760658019856787782293313748756552931794701750828279617333446602340831924321687635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831836629552797516120280724446648927278556806690909888110316705625724487754615483690633109809735471194503895449052239848950297742201565852682694231227717291518800371595421374409790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531019722509200823209915788146763749167609813846040015017278090942224585038077569174022301206040891938626467130521521568154601233718721996749910252580752124478985401999928750140444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484203084022767070507216788659214662124944849868324778782887976038124155620654786209315645098968795301893876074571199162540112300740176425613776434382989918144872887510173657830770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476771175595278874690679696256367956197778648609394568020322652248618163781504084535217983464551824681499425890554734964224349365465193073417499513582689572583054043018472896279387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768731177020276065801985678778229331374875655293179470175082827961733344660234083192432168763513494997437745435213324819888576181171950574520502147087113914823533280535360483183662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310980973547119450389544905223984895029774220156585268269423122771729151880037159542137440979082685462014233529635831006294651053812826618947529959195753508370488308172084853101972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230120604089193862646713052152156815460123371872199674991025258075212447898540199992875014044443470087390693124114514966581075489226199121434424095606350006713929073505191648420308402276707050721678865...
  68. 68. 685.4. RECTAS Y CIRCUNFERENCIA.POSICIÓN RELATIVA Una recta respecto de lacircunferencia puede ser: Exterior, si no la corta en ningún punto Tangente, si la corta en un solo punto Secante, si la corta en dos puntosExteriorTangenteSecante Dos circunferenciaspueden ser entre sí: Exteriores Tangentes interiores Tangentes exteriores Secantes Interiores ConcéntricasConcéntricasExterioresTangentesinterioresTangentesexterioresSecantesInteriores
  69. 69. 695.5. DETERMINACIÓN DE UNACIRCUNFERENCIA. Por un punto A pasaninfinitas circunferencias.A Por dos puntos A y B pasaninfinitas circunferencias.AB Por tres puntos no alineadospasa una única circunferenciaABC
  70. 70. 705.6. ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIAÁngulos CaracterísticasEl vértice del ángulo central coincide con elcentro de la circunferencia.El vértice del ángulo interior es un punto interiora la circunferencia.El vértice del ángulo inscrito es un punto de lacircunferencia y los lados son rectas secantes.El vértice del ángulo semiinscrito es un punto dela circunferencia y los lados son una rectasecante y otra tangente a la circunferencia.El vértice del ángulo exterior es un punto exteriora la circunferencia y los lados pueden ser: Rectas secantes Una recta secante y la otra tangente Rectas tangentesÁngulocentralÁngulointeriorÁnguloinscritoÁngulosemiinscritoÁngulosexteriores
  71. 71. 71MEDIDA DE LOS ÁNGULOS EN UNACIRCUNFERENCIA Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondienteABCO        Og g
  72. 72. 72 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,son igualesggggg180º90º Todos los ángulosinscritos que abarcanun diámetro, sonrectos.experimentaexperimenta
  73. 73. 6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS1 . M I D I E N D O S U P E R F I C I E S2 . Á R E A S D E L O S P O L Í G O N O S M Á S S E N C I L L O SA . E L Á R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E SB . Á R E A D E L T R I Á N G U L OC . Á R E A D E L R O M B O I D ED . Á R E A D E L R O M B OE . Á R E A D E L T R A P E C I O3 . Á R E A D E U N P O L Í G O N O .4 . Á R E A D E L C Í R C U L O .5 . Á R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S .6 . R A Z Ó N E N T R E L A S Á R E A S D E D O S F I G U R A SS E M E J A N T E S .
  74. 74. 74ÁREAS DE LOS POLÍGONOS MÁSSENCILLOSPara medir superficies es necesarioadoptar una unidad patrón y compararla conla extensión de dicha superficie.Las unidades patrón de superficie en elSMD son Mm2, Km2, Hm2, Dm2, m2, dm2, cm2,mm2. Sin embargo, para medir terrenos, seutilizan las llamadas unidades agrarias:Hectárea(Hm2), área (Dm2) y centiárea (m2).43 u2 46,5 u2bh Área del rectángulo=Base x altura A=b.hll Área del cuadrado=lado x lado A=l2
  75. 75. 75ÁREAS DE CUADRILÁTEROS2alturabase2romboidedelÁreatrapeciodelÁreahb bhbhÁrea del romboide=Base x altura A=b.hddD 2alturabaserombodelÁrea2dDAB bB+bBbh 2hbBAexperimenta
  76. 76. 76ÁREA DEL TRIÁNGULO, TRAPEZOIDE,POLÍGONO REGULAR E IRREGULAR.hb bh2alturabasetriángulodelÁrea2hbAÁrea del trapezoide opolígono irregular==Suma de las áreas delos triángulosÁrea del polígono regular==Suma de las áreas de los triángulos==nºde triángulos x área de uno de los triángulos2apotemaPerímetro2aP2alnAal
  77. 77. UN PROBLEMA CLÁSICO:EL ÁREA DEL CIRCULO77Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo dela matemática en el periodo helénico:La duplicación del cubo o problema de Delos, consiste en determinar el lado de un cubode volumen doble del otro cubo de lado dado.La trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes igualescon regla y compás.La cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el áreade un círculo, consiste geométricamente en determinar con regla y compás el lado de uncuadrado equivalente a un círculo de radio dado.2r2rr22apotemaPerímetrocírculodelÁrea r2rA 
  78. 78. 78ÁREA DE OTRAS FIGURASCIRCULARESRrÁrea de corona circular==Área circulo mayor-Área círculo menor 2222rRrRA Rαº360RcircularsectordelÁrea2º360R2nciacircunferedearcoundeLongitud
  79. 79. 79EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLESbbaa. Toma una cartulina en forma de cuadrado y córtala como se muestra en las figuras.El área del cuadrado se conserva= = + +(a+b)2 = a2 + 2ab + b2a+b(a+b)2a ba2ababb2(a-b)2a - b=a+-a2 ab ab b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
  80. 80. 80EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLESa-bba+bb. Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de susesquinas.a - b=a-a2 b2(a+b)(a-b) = a2 - b2a-b=Recuerda:(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2(a + b) (a - b) = a2 - b2
  81. 81. 81RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOSFIGURAS SEMEJANTESC’EDABCFA’B’D’E’F’rPPAFFAFEEFEDDEDCCDCBBCBAABLa razón de las áreas de dos polígonos semejantes esigual al cuadrado de la razón de semejanza entre ellos: experimenta2rAAl’ll’l4AA2ll9AA3ll
  82. 82. ÁREAS DE FIGURAS PLANASNOMBRE FORMA ÁREATRIÁNGULOS(Polígono de tres lados) TriánguloCUADRI-LÁ-TEROS(Polígonode cuatrolados)PARALE-LOGRA-MOS(tienen losladosparalelos dosa dos)CuadradoRectánguloRomboRomboideTRAPE CIOS(Tienen dosladosparalelos)Trapecio (rectángulo,isósceles o escaleno)TRAPE-ZOIDESTrapezoide Se divide en 2 triángulos y se sumansus áreasPOLÍGONOSDE n LADOSPolígono regularPolígono irregular Se divide en triángulos y se sumansus áreasCircunferenciaCírculo82bhlbhDdbhBbhhb21A 2lA hbA 2dDAh2bBA hbA al 2aPArr2L 2rA 
  83. 83. 83MOVIMIENTOS A TRAVÉS DE LOSMOSAICOSEs posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos, ahora bien,¿has pensado lo que sucedería si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de polígonoregular?Las baldosaspentagonales norecubrenperfectamente elplanoNo todos los polígonos regularesrecubren exactamente el plano. Sólotres tipos de mosaicos poligonalestienen esta particularidadMosaicoshexagonalesMosaicoscuadrangularesMosaicostriangulares
  84. 84. 84MOSAICOSPuesto que todas las piezas han de ser iguales, podemos imaginar que una baldosa genera otravecina por diferentes tipos de movimientos. La siguiente tabla nos muestra algunos de estosmovimientos.T TraslaciónS SimetríaG Giro de 180º decentro el puntomedio de un lado:G90ºGiro de 90ºrespecto deun vértice:G180ºGiro de 180ºrespecto deun vértice:
  85. 85. 85
  86. 86. 86
  87. 87. 87Parte de lo anterior está basado en sumayoría en el libro GEOMETRÍA YEXPERIENCIAS de la Biblioteca de RecursosDidácticos Alhambra nº 20 en el que se puedeencontrar ejercicios sobre los temas vistos en

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