REPASOTransformaciones isométricas.Miss Yanira Castro Lizana
Transformaciones IsométricasLas transformaciones isométricas son movimientosque solo producen cambios de posición, manten...
TraslaciónMovimiento que desliza o mueve una figura,reproduciendo su diseño y manteniendo su forma,tamaño y posición.Una...
Elementos de una traslaciónDirección: Puede ser vertical, horizontal u oblicua.Sentido: Puede ser norte, sur, este, oest...
En la figura, F se traslada 5 cm. en dirección horizontal hacia la derecha y 3 cm. endirección vertical hacia abajo, dando...
Traslación en ejes de coordenadasEn la figura, el triángulo ABC, situado en un sistemacoordenado, experimenta una traslaci...
Vector de traslaciónEn la figura siguiente, los puntos A’, B’ y C’ son producto del trasladadode los respectivos puntos de...
RotacionesUna rotación es un movimiento de giro de una figuraen torno a un punto, denominado centro derotación.Una rotac...
La figura B se ha obtenido a partir de unarotación en el plano de la figura A.
Esta rotación corresponde a giros sucesivos en 90° con centroen la punta del ala del ave, tal como lo muestran las figuras...
Elementos de una rotaciónMagnitud del giro: Medida del ángulo determinado porun punto cualquiera de la figura original, e...
Rotación en ejes de coordenadasComo ya sostuvimos, una rotación o giro es unaisometría en que todos los puntos giran en u...
Giro positivo: Existe un giro positivo cuando se realiza en sentido contrario almovimiento de los punteros del reloj. Tamb...
Una rotación considera:•Un centro de rotación (P) que es un punto del plano elegido en formaconvencional.•Medida del ángul...
Volúmenes a partir de rotación de figura planasSupongamos, para iniciar, que un rectángulo ABCD, con lados paralelos al ej...
De modo similar, un triángulo rectángulo ABC puede generar uncono cuando gira en torno de uno de sus catetos AC.El volumen...
SimetríasUn eje de simetría es una recta que divide una figuraen 2 partes congruentes, siendo una la imagenespecular de l...
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Simetría con respecto a un eje (simetría axial). Movimiento que conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia s...
Simetría con respecto a un punto (simetría puntual).Para hallar la simetría con respecto a un punto se debeprolongar, en ...
Simetría con respecto a ejes de coordenadasLas simetrías con ejes de coordenadas, comoreferencia, serán horizontales con ...
EjemploLa figura, ABCD es simétrica con respecto al eje Y con la figura A’B’C’D’.La figura, ABCD es simétrica con respecto...
Simetrías sucesivasDos simetrías sucesivas con respecto a ejes paralelos son equivalentesa un movimiento de traslación
Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes perpendiculares son equivalentes auna simetría con respecto al punto de inters...
Teselaciones (Embaldosados)Se conoce con el nombre de teselación a una configuracióngeométrica obtenida por el acoplamien...
Teselaciones a partir de figuras simples Triángulos Cuadrados Hexágonos
El embaldosado con Transformaciones IsométricasLa simple observación y análisis de embaldosados nos permite comprobar que ...
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  1. 1. REPASOTransformaciones isométricas.Miss Yanira Castro Lizana
  2. 2. Transformaciones IsométricasLas transformaciones isométricas son movimientosque solo producen cambios de posición, manteniendosu forma y tamaño.Son 3:TraslaciónRotaciónSimetría
  3. 3. TraslaciónMovimiento que desliza o mueve una figura,reproduciendo su diseño y manteniendo su forma,tamaño y posición.Una traslación mantiene sus lados de igualmedida y paralelos a los de la figura de origen.
  4. 4. Elementos de una traslaciónDirección: Puede ser vertical, horizontal u oblicua.Sentido: Puede ser norte, sur, este, oeste, izquierda,derecha, arriba, abajo, etc.Magnitud: Distancia que existe entre la posicióninicial y final de cualquier punto de la figura que sedesplaza.
  5. 5. En la figura, F se traslada 5 cm. en dirección horizontal hacia la derecha y 3 cm. endirección vertical hacia abajo, dando origen a la figura F’. En este caso, solo se haespecificado la traslación del punto B a B’, pero TODOS los puntos de la figura F hanexperimentado la misma transformación:
  6. 6. Traslación en ejes de coordenadasEn la figura, el triángulo ABC, situado en un sistemacoordenado, experimenta una traslación oblicua, generandovértices homólogos A’, B’ y C’.
  7. 7. Vector de traslaciónEn la figura siguiente, los puntos A’, B’ y C’ son producto del trasladadode los respectivos puntos de la figura F.Observamos que la coordenada de Aes (3, 7) y que la de A’, su imagen,es (8, 4). Entonces, concluimos queel punto A se desplazó 5 unidadeshacia la derecha y 3 unidades haciaabajo.Es posible verificar que ocurre lomismo con B y C, con respecto a B’y C’ y, en general, con todos lospuntos de la figura F.Se dice, entonces, que el vector detraslación de la figura F es (5, -3),también señalado como 5i – 3j, queindica que cada punto de la figuraoriginal F se desplaza 5 unidades ala derecha (por el signo positivo) y 3unidades hacia abajo ( por el signonegativo).En general, un vector de traslación se denota por (x, y) = xi + yj
  8. 8. RotacionesUna rotación es un movimiento de giro de una figuraen torno a un punto, denominado centro derotación.Una rotación transforma la figura original,manteniendo su forma y tamaño pero cambiando suposición.
  9. 9. La figura B se ha obtenido a partir de unarotación en el plano de la figura A.
  10. 10. Esta rotación corresponde a giros sucesivos en 90° con centroen la punta del ala del ave, tal como lo muestran las figurassiguientes
  11. 11. Elementos de una rotaciónMagnitud del giro: Medida del ángulo determinado porun punto cualquiera de la figura original, el punto derotación como vértice y el punto correspondiente en latransformación obtenida.Sentido de giro: Puede ser a la derecha, negativa uhorario (en sentido de las manecillas del reloj), o a laizquierda, positiva o antihorario (en sentido contrario a lasmanecillas del reloj).
  12. 12. Rotación en ejes de coordenadasComo ya sostuvimos, una rotación o giro es unaisometría en que todos los puntos giran en un ánguloconstante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y lacantidad de giro se denomina ángulo de rotación.O sea, todos los puntos de la figura son rotados através de círculos concéntricos respecto de un origenO y describen los mismos arcos (en medida angular)de estos círculos.
  13. 13. Giro positivo: Existe un giro positivo cuando se realiza en sentido contrario almovimiento de los punteros del reloj. También se denomina sentido antihorario.Giro negativo: Se realiza en el mismo sentido de los punteros del reloj.También se denomina sentido horario.
  14. 14. Una rotación considera:•Un centro de rotación (P) que es un punto del plano elegido en formaconvencional.•Medida del ángulo (α) es el giro en que se efectuará la rotación.•Sentido de la rotación, que puede ser positivo o negativo.En la figura, el triángulo F, con vértices ABC,será girado en 90º en sentido antihoraio,con centro en el origen O,
  15. 15. Volúmenes a partir de rotación de figura planasSupongamos, para iniciar, que un rectángulo ABCD, con lados paralelos al eje de coordenadas,realiza un giro de 360º con eje en su lado AD. En estas condiciones, genera un cilindro de radio AB yaltura AD.El volumen V del cilindroobtenido es V = π  r2 hsiendo el radio r = AB y laaltura h = AD.
  16. 16. De modo similar, un triángulo rectángulo ABC puede generar uncono cuando gira en torno de uno de sus catetos AC.El volumen V del cono obtenido es V = 1/3  π  r2 h,
  17. 17. SimetríasUn eje de simetría es una recta que divide una figuraen 2 partes congruentes, siendo una la imagenespecular de la otra.De ese modo, si pudiera doblarse la figura por el ejede simetría, ambas partes coincidirían perfectamente.
  18. 18. simetría verticalsimetríahorizontalsimetría en letras del alfabetoNingún eje desimetría1 eje de simetríavertical1 eje de simetríahorizontal1 eje de simetría verticaly otro horizontal
  19. 19. Simetría con respecto a un eje (simetría axial). Movimiento que conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia suposición. Dos puntos simétricos, tienen igual distancia al eje de simetría, el segmentoque une ambos puntos es perpendicular al mismo eje.
  20. 20. Simetría con respecto a un punto (simetría puntual).Para hallar la simetría con respecto a un punto se debeprolongar, en igual distancia, la recta que une un punto dela figura con el punto de simetría.Sea el punto O, el punto de simetría, entonces
  21. 21. Simetría con respecto a ejes de coordenadasLas simetrías con ejes de coordenadas, comoreferencia, serán horizontales con respecto al ejeX y verticales con respecto al eje YSi el eje de simetría de un punto P(x, y), es el ejeX, tendrá siempre como punto simétrico a (x, -y).Si el eje de simetría de un punto P(x, y), es el ejeY, tendrá siempre como punto simétrico a (-x, y).
  22. 22. EjemploLa figura, ABCD es simétrica con respecto al eje Y con la figura A’B’C’D’.La figura, ABCD es simétrica con respecto al eje X con la
  23. 23. Simetrías sucesivasDos simetrías sucesivas con respecto a ejes paralelos son equivalentesa un movimiento de traslación
  24. 24. Dos simetrías sucesivas con respecto a ejes perpendiculares son equivalentes auna simetría con respecto al punto de intersección de los ejes de simetría.
  25. 25. Teselaciones (Embaldosados)Se conoce con el nombre de teselación a una configuracióngeométrica obtenida por el acoplamiento de una figura o pieza debase, que se repite invariablemente hasta cubrir completamente unplano.•Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundodesde los tiempos más antiguos para recubrir suelos y paredes,e igualmente, como motivos decorativos de muebles,alfombras, tapices, vestuario, tal como lo muestran las figuras siguientes:
  26. 26. Teselaciones a partir de figuras simples Triángulos Cuadrados Hexágonos
  27. 27. El embaldosado con Transformaciones IsométricasLa simple observación y análisis de embaldosados nos permite comprobar que estosse construyen sobre la basede transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos:

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