Unidad IV : GeometríaUnidad IV : GeometríaTRANSFORMACIONESTRANSFORMACIONESISOMÉTRICAS.ISOMÉTRICAS.
LOS EJE DECOORDENADAPlano cartesiano
• El plano cartesiano está formadopor dos rectas numéricas, unahorizontal y otra vertical que secortan en un punto. La rec...
Localización de un punto en elplano cartesiano• ubicación del punto (4,3)A) B(-3,4)B) C(1,1)C) D(-2,-4)
TRANSFORMACIONESEn una transformación isométrica:1) No se altera la forma ni el tamaño de lafigura.2) Sólo cambia la posic...
Unidad de aprendizaje: Transformaciones IsométricasTraslacionesRotaciones ReflexionesSon traslacionesRegulares ysemi-regul...
Tipos de transformaciones isométricas
Ejemplos de transformacionesisométricas en la naturaleza.-
Se puede considerar una simetría comoaquel movimiento que aplicado a unafigura geométrica, produce el efecto de unespejo.
Axial (reflexión respecto de un eje)Central (reflexión respecto de un punto)O
Cada punto y su imagen o simétricoequidistan del eje de simetría.El trazo que une un punto con su simétricoes perpendicula...
El centro de rotación es el punto medio deltrazo que une un punto con su simétrico.Una simetría central equivale a una rot...
En torno al eje XEl simétrico deP(a,b) es P’(a,-b)En torno al eje YEl simétrico deP(a,b) es P’(-a,b)En torno al origenEl s...
Se puede considerar una traslación como elmovimiento que se hace al deslizar unafigura, en línea recta, manteniendo suform...
Al deslizar la figura todos los puntosdescriben líneas rectas paralelas entresí.
En una traslación se distinguen treselementos:Dirección (horizontal, vertical u oblicua).Sentido (derecha, izquierda, arri...
En este caso se debe señalar lascoordenadas del vector de traslación.Estas son un par ordenado de números(x,y), donde x re...
En el par ordenado la primera componenterecibe el nombre de abscisa y la segundacomponente el nombre de ordenada.
•A(4,6)•A’ (2,3)Traslación de A(4,6)a través del vector v(-2,-3)Traslación de B(-5,2)a través del vector v(4,4)•B(-5,2)•B’...
Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda.Signo positivo: desplaza...
Una rotación es el movimiento que seefectúa al girar una figura en torno a unpunto.Este movimiento mantiene la forma y elt...
El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual seefectúa la rotación.La magnitud de rotación, que corre...
Rotación en 90º en torno al origen:AxyAxyA’A’x’y’x’y’Entonces: x’ = -y y’ = xLuego: A(x,y) => A’(-y,x)
Rotación en 180º en torno al origen:AxyA’x’y’AxyA’x’y’Entonces: x’ = -x y’ = -yLuego: A(x,y) => A’(-x,-y)
ImportanteToda transformación isométrica,mantiene la forma y tamaño de unafigura geométrica, por lo tanto elperímetro y el...
ABCA’B’C’A’’B’’C’’A’’’B’’’C’’’TRASLACIÓN DE FIGURAS11 UNIDADES A LA DERECHA5 UNIDADES ABAJO8 UNIDADES A LA DERECHA Y 8 ABAJO
A’B’C’ABCA’’C’’90ºROTACIÓN DE FIGURAS
ABCA’B’C’A’’B’’C’’A’’’B’’’C’’’REFLEXIÓN DE FIGURASCON EL EJE YCON EL EJE XCON RESPECTO A LA RECTA mm
ABCA’B’C’A’’B’’C’’HOMOTECIA DE FIGURAS
Teselaciones de Martin Cornelis ESCHER• Hablar de Martin Cornelis Escher  el cual fue unhombre dedicado al arte y que tení...
Teselaciones de Escher• Realmente el trabajo, y lasimágenes sonextraordinarios! Queoperan en el venerableprincipio de last...
Teselaciones de Escher
37TESELACIONES DEESCHER
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Teselaciones de Escher y Aplicaciones• Transformador de Escher"se deriva de MC Escher deldiseño de un pilar dehormigón pin...
Otros ejemplos deTeselaciones de Escher
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Tranformaciones isometricas

  1. 1. Unidad IV : GeometríaUnidad IV : GeometríaTRANSFORMACIONESTRANSFORMACIONESISOMÉTRICAS.ISOMÉTRICAS.
  2. 2. LOS EJE DECOORDENADAPlano cartesiano
  3. 3. • El plano cartesiano está formadopor dos rectas numéricas, unahorizontal y otra vertical que secortan en un punto. La rectahorizontal es llamada eje de lasabscisas o de las equis (x), y lavertical, eje de las ordenadas ode las yes, (y); el punto dondese cortan recibe el nombre deorigen.
  4. 4. Localización de un punto en elplano cartesiano• ubicación del punto (4,3)A) B(-3,4)B) C(1,1)C) D(-2,-4)
  5. 5. TRANSFORMACIONESEn una transformación isométrica:1) No se altera la forma ni el tamaño de lafigura.2) Sólo cambia la posición (orientación osentido de ésta).ISOMÉTRICAS
  6. 6. Unidad de aprendizaje: Transformaciones IsométricasTraslacionesRotaciones ReflexionesSon traslacionesRegulares ysemi-regulares.-Se obtiene conun vector (i,, j)Se obtiene conUn ángulo de giroSe obtiene entornoA un eje desimetría y a un centro.T. De ESCHERT. De ESCHERTransformacionesIsométricasTeselaciones
  7. 7. Tipos de transformaciones isométricas
  8. 8. Ejemplos de transformacionesisométricas en la naturaleza.-
  9. 9. Se puede considerar una simetría comoaquel movimiento que aplicado a unafigura geométrica, produce el efecto de unespejo.
  10. 10. Axial (reflexión respecto de un eje)Central (reflexión respecto de un punto)O
  11. 11. Cada punto y su imagen o simétricoequidistan del eje de simetría.El trazo que une un punto con su simétricoes perpendicular al eje de simetría.A’A
  12. 12. El centro de rotación es el punto medio deltrazo que une un punto con su simétrico.Una simetría central equivale a una rotaciónen torno al centro de simetría en un ángulo de180º.OA’A
  13. 13. En torno al eje XEl simétrico deP(a,b) es P’(a,-b)En torno al eje YEl simétrico deP(a,b) es P’(-a,b)En torno al origenEl simétrico deP(a,b) es P’(-a,-b)PP’•••• PP’•P•P’
  14. 14. Se puede considerar una traslación como elmovimiento que se hace al deslizar unafigura, en línea recta, manteniendo suforma y tamaño.
  15. 15. Al deslizar la figura todos los puntosdescriben líneas rectas paralelas entresí.
  16. 16. En una traslación se distinguen treselementos:Dirección (horizontal, vertical u oblicua).Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).Magnitud del desplazamiento (distanciaentre la posición inicial y final decualquier punto)
  17. 17. En este caso se debe señalar lascoordenadas del vector de traslación.Estas son un par ordenado de números(x,y), donde x representa eldesplazamiento horizontal e yrepresenta el desplazamiento vertical.
  18. 18. En el par ordenado la primera componenterecibe el nombre de abscisa y la segundacomponente el nombre de ordenada.
  19. 19. •A(4,6)•A’ (2,3)Traslación de A(4,6)a través del vector v(-2,-3)Traslación de B(-5,2)a través del vector v(4,4)•B(-5,2)•B’(-1,6)Traslación de C(-4,-2)a través del vector v(7,1)•C(-4,-2)• C’(3,-1)
  20. 20. Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda.Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.
  21. 21. Una rotación es el movimiento que seefectúa al girar una figura en torno a unpunto.Este movimiento mantiene la forma y eltamaño de la figura.
  22. 22. El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual seefectúa la rotación.La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste estádeterminado por un punto cualquiera de la figura, el centro derotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figuraobtenida después de la rotación.El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)OMM’N’N.
  23. 23. Rotación en 90º en torno al origen:AxyAxyA’A’x’y’x’y’Entonces: x’ = -y y’ = xLuego: A(x,y) => A’(-y,x)
  24. 24. Rotación en 180º en torno al origen:AxyA’x’y’AxyA’x’y’Entonces: x’ = -x y’ = -yLuego: A(x,y) => A’(-x,-y)
  25. 25. ImportanteToda transformación isométrica,mantiene la forma y tamaño de unafigura geométrica, por lo tanto elperímetro y el área no sufrenvariación.
  26. 26. ABCA’B’C’A’’B’’C’’A’’’B’’’C’’’TRASLACIÓN DE FIGURAS11 UNIDADES A LA DERECHA5 UNIDADES ABAJO8 UNIDADES A LA DERECHA Y 8 ABAJO
  27. 27. A’B’C’ABCA’’C’’90ºROTACIÓN DE FIGURAS
  28. 28. ABCA’B’C’A’’B’’C’’A’’’B’’’C’’’REFLEXIÓN DE FIGURASCON EL EJE YCON EL EJE XCON RESPECTO A LA RECTA mm
  29. 29. ABCA’B’C’A’’B’’C’’HOMOTECIA DE FIGURAS
  30. 30. Teselaciones de Martin Cornelis ESCHER• Hablar de Martin Cornelis Escher  el cual fue unhombre dedicado al arte y que tenía el deseo de romperlas limitaciones que impone el plano, para poder mostrarque un plano es capaz de ilusiones ópticas de granprofundidad.• En la mezquita de Córdoba están sus obras para haceraparecer en ellas dibujos matemáticos y por ellotuvo muchas críticas y comprendió que su audiencia nopodía ser convencional, por lo que  dijo: “A pesar de queno tengo ningun conocimiento ni enseñanza - dematemáticas -, habitualmente me parece que tengo máscosas en común con los matemáticos que con miscompañeros artistas”.  •  Si observamos  detalladamente alguna de sus obraspodemos descubrir su dominio de la geometría. • A Escher le maravillaba todo tipo de teselados,regulares o irregulares, y especialmente lo que él llamó“metamorfosis”, donde las figuras cambian einteractúan entre sí, y hasta a veces salen del plano.
  31. 31. Teselaciones de Escher• Realmente el trabajo, y lasimágenes sonextraordinarios! Queoperan en el venerableprincipio de lastereopticon, estas cartastienen un objetivo paracada ojo, una imagen casiidéntica para cada lente, yun agujero en el medio paradar cabida a la nariz.Usted ajustar el enfoquede apretar el plegado delas tarjetas.
  32. 32. Teselaciones de Escher
  33. 33. 37TESELACIONES DEESCHER
  34. 34. 38
  35. 35. Teselaciones de Escher y Aplicaciones• Transformador de Escher"se deriva de MC Escher deldiseño de un pilar dehormigón pintada en eledificio de la Oficina deGestión de los RecursosHídricos en Haarlem, PaísesBajos (1962). El diseñoincorpora tres relacionadoscon el agua motivos(Simetría Nos 111, 112, 113)que flujo entre sí paracrear una vertical de lametamorfosis "de vuelo deaves y peces" en "barco devuelo y los peces" y, porúltimo, en "barco y lospeces". 
  36. 36. Otros ejemplos deTeselaciones de Escher

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