MISKONSEPSI SLIDE

1. TUGASAN 1
(TAJUK 3 : MISKONSEPSI DALAM MATEMATIK)
SME 6014
TEACHING OF MATHEMATICS
SITI NURIDAYU BINTI MOHD ZAHID M20141000965
NURUL ASYIKIN BINTI AHMAD M20141000963
NUR AMIRA BINTI SABRI M20141000940
SITI NAQUIAH BINTI AB. RAZAK M20141000933

2. Miskonsepsi
1. Trigonometri
2. Statistik dan
Kebarangkalian
3. Kalkulus

3. MISKONSEPSI
DALAM TOPIK
TRIGONOMETRI

4. KOMPONEN TRIGONOMETRI
T1. Sukatan Membulat
1. Radian.
2. Panjang lengkok sesuatu bulatan.
3. Luas sektor sesuatu bulatan.
T2. Fungsi Trigonometri
1. Sudut positif dan sudut negatif dalam darjah dan radian.
2. Enam fungsi trigonometri bagi sebarang sudut.
3. Graf fungsi sinus, kosinus dan tangen.
4. Identiti Asas:
𝑠𝑖𝑛2
𝐴 + 𝑘𝑜𝑠2
𝐴 = 1, 𝑠𝑒𝑘2
𝐴 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝐴, 𝑘𝑜𝑠𝑒𝑘2
𝐴 = 1+, 𝑘𝑜𝑡2
𝐴
5. Rumus Penambahan dan Rumus Sudut Berganda:
sin 𝐴 ± 𝐵 , kos 𝐴 ± 𝐵 , tan 𝐴 ± 𝐵 , sin 2𝐴, 𝑘𝑜𝑠2𝐴 , 𝑡𝑎𝑛2𝐴
SUKATAN PELAJARAN MATEMATIK TAMBAHAN
TINGKATAN 5

6. KONSEP
• Konsep adalah satu gagasan idea (idea yang
baru) yang abstrak untuk dijadikan satu dasar
dalam membina atau membuat sesuatu
perkara (perbuatan / tindakan)
• Gagasan idea yang abstrak ini menjadi dasar
atau panduan bagi pelajar membina pemikiran
mereka hasil daripada pembelajaran sesuatu
yang baru.

7. MISKONSEPSI
Menurut Subahan (1999) terdapat tiga sumber
penyumbang kepada miskonsepsi iaitu:
1. Idea daif yang berpunca daripada pengalaman dan
bahasa pelajar itu sendiri.
2. Kesalahan semasa aktiviti pengajaran yang
berpunca daripada kefahaman yang tidak kukuh
terhadap sesuatu konsep yang dijelaskan oleh guru
3. Pengajaran guru @ pensyarah yang tidak tepat
atau salah.

8. TIGA GENERALISASI MISKONSEPSI DALAM
TRIGONOMETRI
1. Banyak salah faham yang berkaitan dengan suatu
konsep yang menghasilkan objek dan simbol
matematik. Cth: Sinus@sin adalah satu konsep dan
juga simbol dalam trigonometri.
2. Banyak salah faham yang berkaitan dengan proses;
keupayaan untuk menggunakan operasi.
3. Banyak salah faham yang melibatkan ‘Procept’ iaitu
gabungan proses dan konsep.
~(Hülya GÜR,2009)

9. CONTOH-CONTOH MISKONSEPSI DALAM
TRIGONOMETRI
csc 𝑥 . tan 𝑥 =
1
𝑠𝑖𝑛
.
𝑠𝑖𝑛
𝑐𝑜𝑠
=
1
𝑐𝑜𝑠
= 𝑠𝑒𝑐
(SALAH)
* Setiap fungsi trigonometri perlu ada ‘argument’ atau
‘input’,jika tidak ianya adalah salah.
csc 𝑥 . tan 𝑥 =
1
sin⁡( 𝑥)
.
sin⁡( 𝑥)
cos⁡( 𝑥)
=
1
cos⁡( 𝑥)
= sec 𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(𝐵𝐸𝑇𝑈𝐿)
CONTOH 1

10. 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = cos(𝑥2)
CONTOH 2
(SALAH)
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = (cos 𝑥)2
= cos ⁡ 𝑥 cos⁡(𝑥)
(BETUL)
𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖⁡𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ⁡𝑗𝑖𝑘𝑎⁡𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖⁡𝑥 = 𝜋
𝑖)⁡𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = cos(𝜋 2
)
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= −0.902685. .
𝑖𝑖)⁡𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = (cos 𝜋)2
= cos 𝜋 cos⁡( 𝜋)
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= (−1)2⁡= 1
∴ 𝐽𝑎𝑑𝑖⁡𝑘𝑖𝑡𝑎⁡𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡i⁡⁡𝑐𝑜𝑠2
𝑥 ≠ cos(𝑥2
)
*NOTE
- Miskonsepsi semasa
Algebra dibawa ke
Trigonometri.

11. CONTOH 3
sin⁡ 2𝑥 = sin ⁡ 𝑥 sin⁡⁡( 𝑥) (SALAH)
𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖⁡𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ⁡𝑗𝑖𝑘𝑎⁡𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖⁡𝑥 =
𝜋
2
sin 2𝑥 = sin⁡(2.
𝜋
2
) = 0
sin ⁡ 𝑥 sin⁡⁡( 𝑥) = sin⁡(
𝜋
2
) sin⁡(
𝜋
2
)
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡= (1)(1) = 1
∴ 𝐽𝑎𝑑𝑖⁡𝑘𝑖𝑡𝑎⁡𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡i⁡⁡sin⁡ 2𝑥 ≠ sin ⁡ 𝑥 sin⁡⁡( 𝑥) *NOTE
- Miskonsepsi semasa
Algebra dibawa ke
Trigonometri.

12. cos ⁡ 3𝑥 = 3 cos ⁡(𝑥)
𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖⁡𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ⁡𝑗𝑖𝑘𝑎⁡𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖⁡𝑥 = 𝜋
𝑗𝑎𝑑𝑖⁡ cos ⁡ 3𝑥 = cos ⁡ 3𝜋 = −1
𝑛𝑎𝑚𝑢𝑛, 3⁡𝑐𝑜𝑠⁡ 𝑥 = 3 cos ⁡ 𝜋 = 3 −1 = −3
∴ 𝐽𝑎𝑑𝑖⁡𝑘𝑖𝑡𝑎⁡𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡𝑖 ⁡cos ⁡(3𝑥) ≠ 3 cos ⁡(𝑥)
𝑐𝑜𝑠−1 𝑥 =⁡
1
cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖⁡𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ⁡𝑗𝑖𝑘𝑎⁡𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖⁡𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠−1
0 =
𝜋
2
but⁡
1
cos⁡(0)
= 1
∴ 𝐽𝑎𝑑𝑖⁡𝑘𝑖𝑡𝑎⁡𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡𝑖⁡𝑐𝑜𝑠−1
𝑥 ≠⁡
1
cos(𝑥)
CONTOH 4
CONTOH 5
*NOTE
- Miskonsepsi semasa
Algebra dibawa ke
Trigonometri.

13. CONTOH 6
sin 𝐴 + 𝐵 = sin 𝐴 + sin⁡( 𝐵) (SALAH)
𝑆𝑒𝑏𝑎𝑔𝑎𝑖⁡𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ⁡𝑗𝑖𝑘𝑎⁡𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖⁡A = 300⁡𝑑𝑎𝑛⁡𝐵 = 600
sin 𝐴 + 𝐵 = sin 300 + 600 = sin⁡(900) = 1
sin 𝐴 + sin 𝐵 = sin 300
+ sin(600
)
=
1
2
+
3
2
≈ 1.366
∴ 𝐽𝑎𝑑𝑖⁡𝑘𝑖𝑡𝑎⁡𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡𝑖 ⁡sin 𝐴 + 𝐵 ≠ sin 𝐴 + sin⁡( 𝐵)
*𝑀𝑒𝑟𝑢𝑗𝑢𝑘⁡𝑘𝑒𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑐′ 𝑜𝑚𝑝𝑜𝑢𝑛𝑑⁡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒⁡𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎′ 𝑦𝑎𝑛𝑔⁡𝐵𝐸𝑇𝑈𝐿⁡𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ⁡
sin 𝐴 + 𝐵 = si𝑛 𝐴 cos ⁡ 𝐵 + cos 𝐴 sin⁡( 𝐵)

14. CONTOH 7
Miskonsepsi dalam ‘Cancelation @ Slashing’
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
sin(𝑥)
=
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
sin(𝑥)
= sin 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) (SALAH)
𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − sin(𝑥) 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
sin(𝑥)
=
sin(𝑥) [𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)]
sin(𝑥)
= 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
(BETUL)
*NOTE
- Miskonsepsi semasa
Algebra dibawa ke
Trigonometri.

15. Miskonsepsi dalam menentukan nilai Radian (pie@𝜋) dan Darjah
(°)
• Keliru untuk menukarkan Radian kepada Darjah (°) dan
Darjah (°) kepada Radian.
CONTOH 8
• Kalkulator dalam ‘mode’ yang salah.
• Jika soalan memerlukan jawapan dalam
‘Radian@rad’ alihkan ‘mode’ kalkulator
kepada ‘Rad’ dan jika sebaliknya tukar
kepada mode ‘Deg’.

16. CARA-CARA MENGATASI MISKONSEPSI
1. Guru perlu kreatif dan kritis
dalam mencari dan mencipta alat
bantu mengajar.
2. Menguji kefahaman pelajar
sebelum masuk topik baru.
3. Galakkan pelajar membuat peta
kosep,nota ringkas,peta minda
dll.
4. Perbincangan secara
berkumpulan yang melibat guru
dan para pelajar.
5. Perbanyakkan latih tubi.

17. Guru boleh mencegah atau mengurangkan banyak salah faham yang biasa
dan mampu mengenalpasti pelajar yang masih dengan kefahaman mereka
tersendiri dan memberi peluang kepada pelajar untuk menunjukkan dan
menjelaskan pemikiran mereka. Itulah jenis pengajaran matematik yang
layak bagi setiap pelajar.
~ Steven Leinwand
KESIMPULAN
Guru yang efektif sentiasa memahami bahawa kesilapan dan kekeliruan
adalah peluang ke arah pembelajaran yang lebih baik.
~ Steven Leinwand
Melalui pengajaran dan program pemulihan yang baik dan terancang,
kefahaman konsep dapat diterapkan dalam minda guru-guru agar mereka
tidak menurunkan miskonsepsi kepada pelajar mereka.
~ Subahan (1999)

18. MISKONSEPSI DALAM
TOPIK
STATISTIK
&
KEBARANGKALIAN

19. STATISTIK

20. DEFINISI STATISTIK
Statistik sebagai satu disiplin
yang berurusan dengan semua
aspek pengumpulan,
pemprosesan, persembahan dan
interpretasi data.
(Freund & Perles, 2004; Clarke &
Cooke, 2005; Moore, 2005)
Statistik sebagai proses lelaran pembelajarn
tentang dunia di sekeliling kita dan proses
yang terdiri daripada empat langkah iaitu:
1. merumuskan teori,
2. mengumpul data,
3. meringkaskan keputusan, dan
4. menafsir keputusan dan
membuat keputusan.
(Aliaga & Gunderson, 2008)
Berdasarkan Kamus Oxford
Etimologi Bahasa Inggeris,
statistik adalah lebih berkaitan
dengan meneroka, merumus dan
membuat kesimpulan mengenai
keadaan sistem yang kompleks.
(Onion, 2003)

21. Definisi Statistik
Statistik sebagai cabang
Matematik
Statistik mempunyai
asas dalam Matematik
dan telah dianggap
sebagai kesimpulan
kebarangkalian
berdasarkan Matematik.
(Nicholls, 2002)
Statistik bukan
cabang Matematik
Moore (2005) telah menekankan
bahawa statistik adalah disiplin
yang berasingan di dalam
dirinya sendiri, dengan konsep
dan jenis penaakulan yang
tersendiri, dan dengan ciri-ciri
mod pemikiran yang lebih asas
daripada teori Matematik atau
kaedah tertentu.

22. PERSEDIAAN PELAJAR MEMPELAJARI
TOPIK STATISTIK
MATEMATIK
TINGKATAN 2
- Statistik I
Tingkatan 3
- Statistik II
Tingkatan 4
- Statistik III
MATEMATIK
TAMBAHAN
Tingkatan 4
- S1: Statistik

23. Sukatan Pelajaran Matematik Kurikulum Bersepadu
Sekolah Menengah
Statistik
•Pengumpulan data.
•Kekerapan, jadual kekerapan dan selang kelas.
•Piktograf, carta palang, carta pai dan graf garis.
•Histogram dan poligon kekerapan.
•Kekerapan longgokan dan ogif.
•Ukuran kecenderungan memusat : mod, min dan
median.
•Sukatan serakan: julat dan julat antara kuartil.

24. Sukatan Pelajaran Matematik Tambahan Kurikulum
Bersepadu Sekolah Menengah
StatistikKomponen Statistik
•S1: Statistik
1. Sukatan kecenderungan memusat: min, mod,
median.
2. Sukatan serakan: julat, julat antara kuartil, varians,
sisihan piawai.

25. KONSEP DAN MISKONSEPSI
Miskonsepsi
dalam
statistik
1.Pengumpulan
Data
2. Perwakilan
Data
3. Sukatan
Kecenderungan
Memusat
4 .Sukatan
Serakan

26. 1. Pengumpulan Data
Pengumpulan data : salah satu cara yang biasa
digunakan untuk menguruskan data.
Pengumpulan dan pengurusan data.
• Belajar bagaimana data dikumpulkan dan
diuruskan dengan kaedah yang bersesuaian.
• Belajar mengenali pembolehubah dan jenis-
jenis data.
• Belajar bagaimana hendak mengumpulkan
data mengikut taburan-taburan tertentu.

27. Miskonsepsi dalam tajuk
pengumpulan dan pengurusan data.
1.2.
Kesalahan memasukkan satu
data ke dalam lebih daripada
satu selang kelas
1.1.
Sukar untuk
mendapatkan selang
kelas yang pertama

28. • Selang kelas : Kategori pengelompokan data
terkumpul untuk membantu dalam mendapatkan
taburan kekerapan terkumpul.
• Kegunaan selang kelas : bagi menguruskan suatu
kumpulan data yang besar.
• Kebiasaannya, selang kelas yang mudah ialah bersaiz
10.
1.1 Sukar untuk mendapatkan selang kelas
yang pertama

29. •Murid tidak tahu cara untuk mendapatkan
selang kelas yang pertama.
•Murid selalu beranggapan selang kelas
dimulakan dengan 0 bagi selang kelas yang
pertama.
Miskonsepsi
berkaitan
selang kelas
•Guru perlu menerangkan tatacara untuk
mengumpulkan data dalam bentuk jadual
mengikut kategori-kategori tertentu atau kelas-
kelas tertentu bagi memudahkan pemahaman
murid.
•Guru menegaskan kepada murid selang kelas
yang mudah digunakan ialah bersaiz 10.
•Guru perlu menggunakan data bagi
menunjukkan cara yang tepat untuk mencari
selang kelas pertama.
Mengatasi
miskonsepsi
berkaitan
selang kelas

30. Contoh :
Soalan : Murid diberikan Jadual 1 yang berkaitan
dengan berat murid dalam kelas 3 Cengal.
Jadual 1
Jawapan murid : Berdasarkan jadual di atas, selang
kelas yang pertama ialah 0 – 15.
29 25 18 21 23 19 22
32 28 16 30 27 41 35
26 13 31 22 17 26 38
32 24 36 31 37 37 29

31. Cara mengatasinya :
1. Guru mengadakan aktiviti kumpulan bersama murid.
2. Setiap kumpulan diberi jadual data yang berlainan.
3. Murid diminta untuk mencari data minimum dan data
maksimum bagi menentukan selang kelas.
Jawapan :
Berdasarkan jadual data di atas
Data minimum = 13
Data maksimum = 41
Selang kelas = 10 – 20

32. •Terdapat murid yang
memasukkan satu data ke dalam
lebih daripada satu selang kelas.Miskonsepsi
•Guru perlu menunjukkan cara
asas bagi memasukkan satu
data ke dalam selang kelas.
Mengatasi
miskonsepsi
1.2. Kesalahan memasukkan satu data ke
dalam lebih daripada satu selang kelas

33. Contoh:
Soalan :
Selang kelas yang disediakan oleh murid ialah
10 – 20, 20 – 30, 30 – 40. Jika 20 diambil sebagai data,
selang kelas yang manakah 20 akan dimasukkan ?
Jawapan murid:
Selang kelas 10 – 20 dan 20–30.

34. Cara mengatasinya:
1. Guru membantu murid dengan memaparkan beberapa
jadual.
2. Murid diingatkan supaya berhati-hati ketika
membentuk sesuatu selang kelas agar data
dapat dimasukkan ke dalam satu selang kelas
sahaja.
3. Guru membimbing murid membuat gundalan.
Jawapan: Murid menghasilkan jadual berikut

35. 2. Perwakilan Data
• Perwakilan data :
pengumpulan, pengurusan, perwakilan, analisis dan
tafsiran/interpretasi data yang berkaitan dengan
pelajar.
• Konsep perwakilan data:
pelajar perlu memiliki daya kefahaman yang tinggi
terhadap sesuatu maklumat yang diberi.

36. Miskonsepsi dalam Perwakilan
Data
• Miskonsepsi :
i. Banyak berlaku dalam kalangan murid semasa
menginterpretasikan data ke dalam bentuk carta
dan graf (contoh: carta pai)
ii. Melakukan perwakilan data secara simbol dan
gambar (contoh: piktogram).

37. Interpretasi Carta Pai yang Mengelirukan
• Murid melukis carta pai dengan
tidak betul menyebabkan
maklumat yang hendak
disampaikan tidak jelas.
Miskonsepsi
membina carta
pai
• Guru menunjukkan langkah-
langkah yang perlu semasa
melukis carta pai.
Mengatasi
miskonsepsi

38. Contoh:
Soalan:
Diberi jadual hasil sebuah ladang dalam tahun 2012
seperti berikut

39. Cara mengatasinya:
1. Tahu sudut ditengah-tengah bulatan ialah 360
darjah.
2. Guna protaktor untuk mencari sudut bahagian
bahagian pai.
3. Langkah-langkah melukis carta pai:
a. Lukis bulatan
b. Tentukan saiz sudut sektor.

41. c. Bahagi bulatan mengikut saiz sudut sektor.

42. d. Labelkan sektor-sektor itu selepas mengira peratus
keseluruhan.

44. Interpretasi Piktogram
• Piktogram :
i. satu bentuk paparan data bergambar khas untuk
data kuantitatif (data diskret dan data selanjar)
ii. perwakilan data yang paling mudah, menggunakan
gambarajah yang diwakili oleh siri simbol yang
piawai (sama nilai).

45. • Murid tidak dapat memindahkan
maklumat dari piktograf kepada
nombor.
• Simbol dilukis secara tidak sekata,
berbeza saiz dan ruang antara simbol
serta tidak kemas.
Miskonsepsi
dalam
menginterpretasi
piktogram
• Guru berperanan menjelaskan cara-
cara menginterpretasikan piktogram
dengan betul langkah demi langkah.
• Murid diingatkan agar meniliti setiap
perwakilan nombor dan kekunci yang
diberi.
Mengatasi
miskonsepsi

46. Contoh:
Soalan:
Berdasarkan piktogram dibawah
1. Buah manakah yang paling banyak antara kesemua
buah-buahan tersebut?
2. Cari jumlah kesemua buah-buahan tersebut.
3. Buah manakah mempunyai bilangan yang sama?

47. Cara mengatasinya:
1. Murid dikehendaki membaca simbol bagi setiap jenis
buah.
2. Murid perlu mengira jumlah bilangan buah- buahan
tersebut terlebih dahulu.

48. 3. Sukatan Kecenderungan
Memusat
• Sukatan kecenderungan memusat :
ukuran purata yang menunjukkan ukuran pusat
sesuatu taburan data.
• 3 pengukuran statistik digunakan bagi sukatan
kecenderungan memusat:
i. min
ii. mod
iii. median

49. Miskonsepsi dalam Sukatan
Kecenderungan Memusat
• Pelajar tidak dapat mengenal pasti nilai yang tidak
dinyatakan apabila diberi nilai min.
Contoh soalan:
Markah bagi tiga ujian bulanan Matematik Anis ialah
80, 93 dan 91. Berapakah markah ujian seterusnya yang
perlu Anis perolehi supaya beliau memperolehi markah
purata bagi keempat-empat ujian tersebut ialah 90?

50. Miskonsepsi :
Murid beranggapan nilai min hanya untuk ketiga-tiga
ujian ataupun murid akan menambah jumlah markah
ketiga-tiga ujian dengan nilai min yang diberi.
Cara mengatasinya:
Guru berulang kali bersoal jawab dengan murid
mengenai maksud min dan formulanya.

51. Cara penyelesaian:
1. Murid diminta menambah markah ketiga- tiga ujian.
Jawapan murid : 80 + 93 + 91 = 262.
2. Minta murid cari min yang diberi bagi keempat-empat ujian.
Jawapan murid: 90.
3. Minta murid darabkan 90 dengan 4 bagi mencari jumlah markah bagi
keempat-empat ujian.
Jawapan murid: 90 x 4 = 360.
4. Guru bersoal jawab dengan murid berapakah markah bagi ketiga-tiga
ujian dan berapakah markah bagi keempat-empat ujian? Cari beza
kedua-dua markah tersebut.
Jawapa murid: 360 – 262 = 98.
Jawapan:
98 markah yang perlu diperolehi Anis untuk mendapatkan min 90.

52. 4. Sukatan Serakan
• Sukatan serakan :
amaun sebaran antara nilai-nilai dalam set data
sukatan serakan terdiri daripada julat, sisihan piawai
dan varian yang berdasarkan kuartil.

53. Miskonsepsi dalam Sukatan
Serakan
• Miskonsepsi terhadap julat.
• Julat :
satu ukuran serakan yang mencari perbezaan antara
nilai terbesar dan nilai terkecil dalam sesuatu set data
itu.

54. • Miskonsepsi :
murid menganggap bahawa julat boleh digunakan
dengan tepat untuk menentukan serakan semua jenis
set data.
• Konsep :
i. Bagi set data yang besar, nilai julat tidak
memberi gambaran yang tepat mengenai sebaran
data itu.
ii. Julat hanya sesuai untuk mengira set data yang
kecil dan tidak mempunyai nilai ekstremum (nilai
terpencil).
Julat boleh digunakan dengan tepat untuk menentukan
serakan bagi mana-mana satu set data.

55. Contoh:
Diberi set data : 25 28 119 22 27 31
Julat = 119 – 22 = 97
Julat 97 membayangkan set data tersebar meluas.
Sebenarnya set data ini tidak menunjukkan bagaimana
data tersebar di antara kedua-dua nilai itu.
Jika diperhatikan sebarannya di antara 22 dan 31.
119 adalah nilai ekstremum dalam set data tersebut.

56. Cara mengatasinya:
1. Guru perlu memberi contoh lain dengan
menggunakan pelbagai set data (data terkumpul dan
data tak terkumpul).
2. Guru menegaskan tentang nilai ekstremum yang
mempengaruhi serakan data.

57. Miskonsepsi :
murid menganggap data bagi set data yang mempunyai
julat yang sama juga mempunyai serakan yang sama.
Konsep:
dua set data yang mempunyai nilai julat yang sama
tidak semestinya mempunyai sebaran data yang sama.
Dua set yang mempunyai julat yang sama juga
mempunyai serakan data yang sama

58. Contoh :
Set data A : 3 5 9 10 12
Julat = 12 – 3 = 9
Set data B : 3 4 12 12 12
Julat = 12 – 3 = 9
Kedua-dua set mempunyai julat yang sama, 9 tetapi sebaran
data-data itu adalah berbeza.
Cara mengatasinya:
1. Guru perlu memberi penegasan kepada murid bahawa
nilai julat yang sama tidak boleh dijadikan ukuran yang
serakan data-data tersebut adalah sama.
2. Murid perlu memerhatikan serakan data-data yang
diberikan sebelum membuat keputusan.

59. Kesimpulan
Miskonsepsi yang berlaku dalam pengajaran dan
pembelajaran statistik berkait dengan :
1. Aspek pedagogi : kaedah pengajaran dan
pembelajaran yang memberi penekanan kepada
pengiraan algoritma dan teknik hafalan tanpa
menitikberatkan pemahaman kontekstual.
2. Aspek kognitif : kelemahan dalam menguasai
pengetahuan prasyarat serta kesukaran istilah dan
bahasa .

60. Menurut Robert Gagne (seorang profesor dan ahli
psikologi), pembelajaran konsep matematik yang berkesan
memerlukan beberapa teknik penyampaian :
1. Memberi berbagai-bagai contoh konkrit untuk
membuat generalisasi.
2. Memberi contoh yang berbeza tetapi berkaitan supaya
dapat membuat perbezaan.
3. Memberi contoh-contoh yang tidak ada kaitan dengan
konsep yang diajarkan untuk membuat perbezaan dan
generalisasi.

61. KEBARANGKALIAN

62. KEBARANGKALIAN
Kesukaran
Pelajar dalam
Topik
Kebarangkalian
Miskonsepsi
dalam Topik
Kebarangkalian
Persediaan
Pelajar dalam
Topik
Kebarangkalian
Definisi
Kebarangkalian

63. Definisi Kebarangkalian
Konold (1995)
o Penaakulan kebarangkalian banyak diaplikasikan dalam
kehidupan seharian.
o Manusia menggunakan pelbagai kaedah heuristik untuk
menentukan kebarangkalian.
Hirsch dan O’Donnell (2001)
o Kajian mengenai kemungkinan atau kesempatan pada suatu
keadaan yang akan atau telah berlaku.
o Memainkan peranan penting dalam semua profesion dan juga
digunakan untuk membuat keputusan harian.
o Seperti membuat ramalan kaji cuaca, penyelidikan genetik dan
hasil undian yang dilakukan semasa pilihan raya.

64. Kebarangkalian
1. Ruang sampel
2. Peristiwa
3. Kebarangkalian satu peristiwa
4. Kebarangkalian peristiwa lengkap
5. Peristiwa bergabung
6. Kebarangkalian peristiwa bergabung
SUKATAN PELAJARAN MATEMATIK TINGKATAN 4 DAN 5
PERSEDIAAN PELAJAR DALAM
TOPIK KEBARANGKALIAN

65. KOMPONEN STATISTIK
S2. Pilihatur dan Gabungan
1. Pilihatur
2. Gabungan
S3. Kebarangkalian mudah
1. Kebarangkalian sesuatu peristiwa
2. Kebarangkalian peristiwa saling eksklusif
3. Kebarangkalian peristiwa tak bersandar
S4. Taburan Kebarangkalian
1. Pemboleh ubah rawak diskret dan taburan binomial
2. Pemboleh ubah rawak selanjar dan taburan normal.
SUKATAN PELAJARAN MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5
PERSEDIAAN PELAJAR DALAM
TOPIK KEBARANGKALIAN

66. MISKONSEPSI
Terdapat 4 jenis miskonsepsi dalam kebarangkalian:
1) Perwakilan (representativeness)
2) Berat sebelah kebarangkalian-sama (equiprobability
bias)
3) Kepercayaan
4) Kawalan manusia
(Ang, L. H., & Shahrill, M. ,2014)

67. MISKONSEPSI
1) PERWAKILAN (REPRESENTATIVENESS)
(Kahneman & Tversky, 1982)
 Pelajar membuat keputusan mengenai kesudahan yang mungkin dalam
suatu peristiwa adalah sama mengikut ciri-ciri sesuatu peristiwa
sebelumnya, di mana hal ini mencerminkan ciri-ciri utama proses di
mana ia dihasilkan.
 Contoh: lambungan syiling
 Pelajar menganggap bahawa satu peristiwa lambungan syiling mesti
mempunyai satu siri yang hampir sama bagi muka gambar ‘kepala’ dan
muka angka ‘ekor’ berbanding dengan satu siri yang mempunyai muka
angka ‘ekor’ melebihi muka gambar ‘kepala’.
 Hakikatnya kedua-dua siri mempunyai kebarangkalian yang sama

68. CONTOH MISKONSEPSI
PERWAKILAN
Pelajar yang memilih jawapan (a) H T H T mempunyai miskonsepsi
perwakilan. Ini menunjukkan bahawa keputusan hasil daripada
lambungan dadu secara berulang mesti mempunyai jumlah yang sama
bagi muka gambar (kepala) dan muka angka (ekor). Sekiranya pelajar
mengira kebarangkalian bagi setiap peristiwa, mereka akan mendapati
bahawa semua urutan di atas mempunyai kebarangkalian yang sama (e)

69. MISKONSEPSI
2) BERAT SEBELAH KEBARANGKALIAN-SAMA
(equiprobability bias)
(Lecoutre, 1984)
 Kecenderungan yang sering dilakukan oleh pelajar dengan
menentukan bahawa semua kesudahan yang mungkin dalam
semua peristiwa mempunyai kebarangkalian yang sama.

70. MISKONSEPSI
3) KEPERCAYAAN
(Truran, K.M ,1994)
 kesudahan yang mungkin daripada suatu peristiwa bergantung
pada suatu daya yang di luar kawalan mereka.
 Contoh daya seperti angin, nasib

71. MISKONSEPSI
4) KAWALAN MANUSIA
(Nicolson,2005)
 penyelidikan dijalankan untuk mengkaji keupayaan kanak-
kanak menentukan tingkah laku penjana rawak seperti dadu,
syiling dan roda berputar
 hasil kajian menunjukkan bahawa segelintir kanak-kanak
berfikir bahawa keputusan yang mereka peroleh bergantung
pada cara seseorang mengendalikan alat-alat tersebut

72. Kesukaran pelajar
dalam topik kebarangkalian
Lemah dalam
konsep asas
pecahan, angka
perpuluhan, peratusan,
nombor genap, nombor
ganjil dan sebagainya
Tidak
memahami
istilah yang
digunakan
uji kaji, kesudahan yang
mungkin, ruang sampel,
peristiwa
KESUKARAN PELAJAR
DALAM TOPIK KEBARANGKALIAN

74. Kalkulus adalah ilmu mengenai
perubahan, sebagaimana
geometri adalah ilmu mengenai
bentuk dan algebra adalah ilmu
mengenai pengerjaan untuk
memecahkan persamaan serta
aplikasinya.
Kalkulus (Bahasa Latin : calculus,
maksudnya “batu kecil”, untung
menghitung)
Kalkulus mempunyai aplikasi yang
luas dalam bidang-bidang sains,
ekonomi, dan teknikal; serta dapat
menyelesaikan pelbagai masalah
yang tidak dapat diselesaikan
dengan algebra asas.
Cabang ilmu matematik yang
mencakupi had, terbitan, kamiran,
dan deret tak terhingga.
Kalkulus
Sumber : Wikipedia

75. Tingkatan 4 Tingkatan 5

76. Komponen Kalkulus

77. • Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu
kalkulus pembezaan dan kalkulus kamiran yang
saling berhubungan melalui teorem asas kalkulus.
• Teorem asas kalkulus – perkaitan antara dua operasi
pusat kalkulus iaitu pembezaan dan pengamiran.

78. Kajian tentang Miskonsepsi
Pelajar Terhadap Kalkulus
Idea had dan pembezaan
• Dalam kehidupan seharian, istilah ‘had’ sering
digunakan, misalnya had laju, had panjang, had
kesabaran,had ketinggian dan sebagainya.
• Had bermakna batas / ‘limit’
• Dalam matematik, idea had merupakan pengetahuan
asas kepada pembelajaran kalkulus
• Pembezaan dan kamiran adalah suatu cabang
kalkulus.

79. (Bezuidenhout, 2001; Cornu, 1991; Davis & Vinner,
1986; Tall, 1992; Tall & Vinner, 1981; Williams, 1991)
• Miskonsepi murid biasanya berlaku apabila mereka
mempelajari dan memahami konsep had secara
informal
Williams (1991)
• Konsep tentang had sering dikaitkan dengan isu-isu
seperti fungsi boleh mencapai hadnya, had adalah
sempadan dan had merupakan proses dinamik atau
objek statik

80. (Davis & Vinner, 1986; Tall, 1992)
• Miskonsepsi dalam konsep had disebabkan oleh
beberapa sebab.
• Salah satunya adalah pengaruh bahasa atau
perkataan yang akan menganggu murid dalam
memahami konsep matematik.
• Contohnya frasa-frasa ‘tends to’, ‘approaches’ atau
‘gets close to’.
• Frasa-frasa ini akan menyebabkan murid mempunyai
tanggapan bahawa had ialah suatu nilai yang boleh
dihampiri tetapi tidak capai nilai tersebut.

81. Monaghan (1991)
• Miskonsepsi murid berkaitan dengan perkataan had
disebabkan oleh penggunaan perkataan had dalam
kehidupan seharian.
• Pelajar menghubungkan konsep had ini kepada had laju, had
fizikal dan mental yang tidak boleh terlebih.
Tall & Vinner (1981)
• Permulaan konsep had dibincangkan dalam bentuk dinamik
“f(x) approaches c as x approaches a”.
• Contohnya bagi lim
𝑥→∞
2
𝑥
, apabila nilai x menjadi ketakterhingga,
nilai had itu akan sama dengan sifar.
• Miskonsepsi berlaku apabila murid menjelaskan bahawa nilai
had itu akan menghampiri sifar, tetapi tidak akan sama
dengan nilai sifar.
• Dalam kes ini murid menggambarkan had adalah proses
dinamik, bukannya objek statik

82. Jenis-jenis miskonsepsi yang berhubung dengan
had/limit :
• Keliru sama ada had yang sebenar dicapai
• Keliru mengenai ciri statik had
• Tidak pasti sama ada had adalah proses dinamik atau
objek statik

83. Apakah nilai bagi 0.1 10, (0.1)20, (0.1)30?
• Didapati bahawa apabila 𝑛 semakin bertambah,
(0.1) 𝑛
semakin berkurang
• had
𝑛→∞
(0.1) 𝑛= 0
• 𝑛 → ∞ tidak bermakna 𝑛 = ∞,tetapi 𝑛 mendekati ∞
• Pembezaan 𝑎𝑥 𝑛 ; jika 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑛, maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑎𝑛𝑥 𝑛−1

84. •
𝑑𝑦
𝑑𝑥
sebagai had
𝛿𝑥→0
𝛿𝑦
𝛿𝑥
• Proses untuk menentukan
𝑑𝑦
𝑑𝑥
dengan menggunakan
idea had disebut pembezaan dengan prinsip pertama.

85. Pengamiran sebagai
songsangan bagi pembezaan
• Jika y adalah satu fungsi x dan
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥 ,maka
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑦
• Pengamiran 𝑎𝑥 𝑛
; 𝑎𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑎𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝑐

86. RUJUKAN
• Ang, L. H., & Shahrill, M. (2014). Identifying students’ specific misconceptions in
learning probability. International Journal of Probability and
Statistics, 3(2), 23-29.
• Anway, D., & Bennett, E. (2004). Common misperceptions in probability among
students in an elementary statistics class. In ARTIST Roundtable
Conference on Assessment in Statistics held at Lawrence University (pp. 1-
4).
• Aisyah, M. N., Sumintono, B., & Ismail, Z. (2014). PEMAHAMAN SISWA PADA
POKOK BAHASAN PELUANG: STUDI KASUS DI SATU SEKOLAH
MENENGAH DI JOHOR BAHRU, MALAYSIA. Jurnal Pengajaran
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, 19(1), 10.
• Haslinda Sulaiman. 2013. Miskonsepsi Pengurusan
Data.https://www.scribd.com/doc/217015248/Hasil-Tugasan-1-Krm-3043-
Miskonsepsi-Pengurusan-Data#scribd. [26 Mac 2015].
• Reys E.R., Lindquist M.M., Lambdin D.V., Smith N.L., Suydam M.N. 2004.
Helping Children Learn Mathematics. Ed. Ke – 7. Hoboken, NJ: John
Wiley & Sons.