Descreve o conceito de função, objetos, imagens, domínio e contradomínio.
1.
2. Através de um diagrama de setas, vamos estabelecer a correspondência entre o conjunto dos países, 𝐴 =
{Portugal, Espanha, França, Itália}, e o conjunto das capitais, 𝐵 = {Lisboa, Paris, Madrid, Roma}.
na fatura do supermercado, cada artigo surge associado ao seu preço;
no horário, cada aula está associada a uma hora do dia;
no boletim meteorológico, a cada cidade corresponde uma temperatura máxima;
cada freguesia corresponde a um concelho.
Portugal •
Espanha •
França •
Itália •
• Lisboa
• Paris
• Madrid
• Roma
𝑨 𝑩 Nesta correspondência observa-se que:
a cada elemento do conjunto 𝐴 (país) corresponde um elemento do
conjunto 𝐵 (capital);
a cada elemento do conjunto 𝐴 (país) corresponde apenas um
elemento do conjunto 𝐵 (capital), isto é, essa capital é única.
Quando uma correspondência verifica estas duas condições diz-se que é
uma função.
3. Em alternativa, pode dizer-se que a cada elemento do conjunto 𝐴 (país)
corresponde um e apenas um elemento do conjunto 𝐵 (capital). Portugal •
Espanha •
França •
Itália •
• Lisboa
• Paris
• Madrid
• Roma
𝑨 𝑩
Uma correspondência entre dois conjuntos, 𝐴 e 𝐵, que a cada elemento
de 𝐴 associa um único elemento de 𝐵, é uma função.
É usual representar-se uma função 𝑓 de 𝐴
em 𝐵 por 𝑓: 𝐴 ⟶ B, ou apenas por 𝑓
quando tal não for ambíguo.
Numa função, diferentes elementos de 𝐴 podem ter o mesmo
correspondente em 𝐵. Contudo, diferentes elementos de 𝐵 não
podem estar associados a um mesmo elemento de 𝐴.
4. Exemplo 𝟏:
É função, pois a cada elemento do conjunto 𝐴 corresponde um único
elemento do conjunto 𝐵.
−1 •
1 •
−2 •
2 •
• 1
• 2
• 3
• 4
𝑨 𝑩
−3 •
Exemplo 𝟐:
Não é função, pois existe um elemento do conjunto 𝐴, «−1», que não
tem qualquer correspondente no conjunto 𝐵.
−1 •
0 •
1 •
4 •
• 0
• 1
• 2
• 3
𝑨 𝑩
9 •
5. Exemplo 𝟑:
Não é função, pois existe um elemento do conjunto 𝐴, «1», com mais
do que um correspondente no conjunto 𝐵, «−1» e «1».
1 •
4 •
9 •
• −1
• 1
• 2
• 3
𝑨 𝑩
Exemplo 𝟒:
É função, pois a cada elemento do conjunto 𝐴 corresponde um único
elemento do conjunto 𝐵.
2 •
3 •
4 •
• 12
𝑨 𝑩
• 5
6. Observa a função 𝑓 representada no diagrama de setas ao lado.
As funções são geralmente designadas por letras minúsculas: 𝑓, 𝑔, ℎ, …
Cada elemento do conjunto 𝐵 que é correspondente de algum elemento do conjunto 𝐴 designa-se por
imagem.
Ao conjunto de todas as imagens dá-se o nome de contradomínio, e representa-se por 𝐷′𝑓 ou 𝐶𝐷𝑓.
Cada elemento do conjunto 𝐴 designa-se por objeto.
Ao conjunto de todos os objetos dá-se o nome de domínio da função
(ou conjunto de partida), e representa-se por 𝐷𝑓.
1 •
2 •
3 •
• 1
• 4
• 9
• 16
𝑨 𝑩
4 •
𝑓
• 25
𝐷𝑓 = 𝐴 = 1, 2, 3, 4
Ao conjunto 𝐵 dá-se o nome de conjunto de chegada.
𝐷′𝑓 = 1, 4, 9, 16
Repara que o contradomínio nem sempre é igual
ao conjunto de chegada.
7. Repara que nesta função:
1 é a imagem do objeto 1 e representa-se por 𝑓(1) = 1;
1 •
2 •
3 •
• 1
• 4
• 9
• 16
𝑨 𝑩
4 •
𝑓
• 25
4 é a imagem do objeto 2 e representa-se por 𝑓(2) = 4;
9 é a imagem do objeto 3 e representa-se por 𝑓(3) = 9;
16 é a imagem do objeto 4 e representa-se por 𝑓(4) = 16.
𝑓(4) = 16 lê-se «𝑓 de 4 é igual a 16»
ou «a imagem de 4 por 𝑓 é 16».
𝒇 𝐨𝐛𝐣𝐞𝐭𝐨 = 𝐢𝐦𝐚𝐠𝐞𝐦
De uma maneira geral, para nos referirmos a um objeto usamos a letra 𝒙 e
para nos referirmos a uma imagem usamos a letra 𝒚.
Uma vez que tanto uma como outra letra podem representar vários
valores, designam-se por variáveis, sendo 𝒙 a variável independente e 𝒚 a
variável dependente.
𝒙 • • 𝒚 = 𝑓(𝒙)
𝑨 𝑩
𝑓
8. A imagem de 2 é 4
𝑓 2 = 4 lê-se «𝑓 de 2 é igual a 4» ou «a
imagem de 2 por 𝑓 é 4».
9. x é a variável independente
y é a variável dependente
10. 𝐚) Justifica que 𝑔 é uma função.
Considera a função 𝑔, representada no diagrama de setas seguinte.
𝐛) Completa as seguintes expressões:
𝐜𝟏) o domínio, o contradomínio e o conjunto de chegada da função 𝑔.
𝐜) Indica:
𝐜𝟐) a imagem do objeto 4.
𝐜𝟑) o(s) objeto(s) cuja imagem é 4.
𝐛𝟏) 𝑔 … = 16 𝐛𝟐) 𝑔 −3 = …
−2 •
2 •
−3 •
3 •
• 4
• 9
• 16
• 25
𝑨 𝑩
4 •
𝑔
Sugestão de resolução:
𝐚) 𝑔 é função, pois a cada elemento do conjunto 𝐴 corresponde um e um só elemento do conjunto 𝐵.
𝐛)
𝐛𝟏) 𝑔 4 = 16 𝐛𝟐) 𝑔 −3 = 9
𝐜)
𝐜𝟏) 𝐷𝑔 = −3, −2, 2, 3, 4 , 𝐷′𝑔 = 4, 9, 16 e o conjunto de chegada é o conjunto 𝐵 = 4, 9, 16, 25 .
𝐜𝟐) A imagem do objeto 4 é 16. 𝐜𝟑) Os objetos −2 e 2 têm imagem 4.
Passar
21. Definição – Dá-se o nome de função afim a uma expressão cuja expressão é do
tipo 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, em que a é o declive e b a
ordenada na origem.
(0, b)
O gráfico de uma função afim é uma reta oblíqua que passa no
ponto de coordenadas
Função Afim
𝑓 0 = 𝑏
22.
23.
24. Considera as funções afins 𝑝 e 𝑞 definidas por 𝑝 𝑥 = −2𝑥 − 1 e 𝑞 𝑥 = −2𝑥 + 2.
Retas paralelas
As retas que representam as funções 𝑝 e 𝑞, definidas
respetivamente por 𝑝 𝑥 = −2𝑥 − 1 e 𝑞 𝑥 = −2𝑥 + 2
são retas paralelas, pois têm o mesmo declive, que é −2.
Duas funções afins com o mesmo valor do parâmetro 𝑎
são representadas por retas com o mesmo declive e,
portanto, por retas paralelas.
25. Função linear
Um caso particular da função afim é a função linear, cuja expressão algébrica é do
tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, sendo 𝑎 um número racional.
O gráfico de uma função linear está contido numa reta que passa na origem do
referencial.
Ao fixar o parâmetro 𝑏 em zero, na função afim, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏,
obtém-se uma função linear.
26. Considera a função linear 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) = 2𝑥.
Função linear | EXEMPLO 1
𝑥
𝑔(𝑥)
• 𝑔(−2)
• 𝑔(0)
• 𝑔(1)
−2
= 2 × −2 = −4
−4
= 2 × 0 = 0
0
0
1
2
= 2 × 1 = 2
O gráfico da função linear 𝑔 está contido numa reta que
passa na origem do referencial. Os pontos de coordenadas
−2, −4 , 0,0 e 1,2 pertencem ao gráfico da função.
𝑎 = 𝑔 1 = 2
27. Função linear
Sendo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 a expressão algébrica de uma função linear, tem-se:
• 𝑎 = 𝑓(1), logo 𝑎 é a ordenada do ponto de abcissa 1, do gráfico de 𝑓;
• 𝑎 =
𝑓(𝑥)
𝑥
, sendo 𝑥 diferente de zero, ou seja, 𝑎 é o quociente entre a ordenada e
a abcissa de qualquer ponto do gráfico de 𝑓, à exceção da origem do
referencial;
• 𝑎 designa-se por declive da reta que representa graficamente a função.
28. Definição
Uma função linear é uma função do tipo y = ax.
FUNÇÃO LINEAR
O gráfico de uma função linear é uma reta não horizontal que passa pela
origem.
A a também se chama declive da reta que representa graficamente a função.
Forma canónica,
sendo a o coeficiente
do x.
29. Considera a função linear ℎ definida por ℎ 𝑥 = −2𝑥.
Função linear | EXEMPLO 2
𝑥
ℎ(𝑥)
• ℎ(−2)
• ℎ(−1)
• ℎ(1)
−2
= −2 × −2 = 4
4
= −2 × −1 = 2
−1
2
1
−2
= −2 × 1 = −2
O gráfico da função linear ℎ está contido numa reta que
passa na origem do referencial e os pontos de coordenadas
−2,4 , −1,2 e 1, −2 pertencem ao gráfico da função. 𝑎 = ℎ 1 = −2
30. Função linear
Como se verificou nos exemplos da função linear, a reta que representa graficamente
a função contém a origem do referencial, mas, sendo 𝑎 diferente de zero, o valor do
parâmetro 𝒂 influencia a direção da reta que é o gráfico da função linear.
𝒂 > 𝟎
𝑎 = 1 𝑎 = 2 𝑎 = 3
31. Função linear
Como se verificou nos exemplos da função linear, a reta que representa graficamente
a função contém a origem do referencial, mas, sendo 𝑎 diferente de zero, o valor do
parâmetro 𝒂 influencia a direção da reta que é o gráfico da função linear.
𝒂 < 𝟎
𝑎 = −1 𝑎 = −2 𝑎 = −3
32. Função linear
𝒂 > 𝟎 𝒂 < 𝟎
Se 𝑎 = 0, então o gráfico coincide
com o eixo das abcissas.
Se 𝑎 > 0, a reta atravessa o
primeiro e o terceiro quadrantes.
Dizemos que «a reta sobe».
Se 𝑎 < 0, a reta atravessa o
segundo e o quarto quadrantes.
Dizemos que «a reta desce».
Quanto maior é o valor absoluto
de 𝑎, mais a reta se aproxima do
eixo das ordenadas.
33. Função constante
Um outro caso particular da função afim é a função
constante, cuja expressão algébrica é do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑏,
sendo 𝑏 um número racional.
O gráfico de uma função constante está contido numa
reta horizontal.
Ao fixar o parâmetro 𝑎 em zero, na função afim, definida
por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, obtém-se uma função constante.
Se 𝑏 = 0, então o gráfico está
contido no eixo das abcissas.
34. As funções 𝑖 e 𝑗, definidas por 𝑖(𝑥) = 3 e 𝑗 𝑥 = −2
são funções constantes.
As retas que representam as funções 𝑖 e 𝑗, definidas
respetivamente por 𝑖(𝑥) = 3 e 𝑗 𝑥 = −2, são retas
paralelas, pois têm o mesmo declive, que é 0.
𝑖 𝑥 = 0𝑥 + 3
𝑗 𝑥 = 0𝑥 − 2
Quando o declive é zero, as retas são horizontais, ou
seja «não sobem nem descem».
Função constante | EXEMPLO
36. EXERCÍCIO
Considera a função 𝑓 definida por 𝑓 𝑥 = −
2
3
𝑥 − 2.
a) Justifica, sem a representar, que a origem do referencial não pertence ao gráfico
da função 𝑓.
b) Indica as coordenadas do ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo
das ordenadas.
c) Determina a abcissa do ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo
das abcissas.
d) Mostra que o ponto de coordenadas −
9
2
, 1 pertence ao gráfico da função 𝑓.
e) Representa graficamente a função 𝑓.
37. EXERCÍCIO | Resolução
a) A função não é do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, logo 𝑓 não é uma função linear e, portanto, o
seu gráfico não contém a origem do referencial.
b) As coordenadas do ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo das
ordenadas são (0, −2).
Observa que, em 𝑓 𝑥 = −
2
3
𝑥 − 2, a ordenada na origem é −2.
c) Um ponto pertencente ao eixo das abcissas tem ordenada igual a zero.
Assim, pretendemos determinar o objeto 𝑥 cuja imagem é zero, ou seja:
𝑓 𝑥 = 0 ⇔ −
2
3
𝑥 −
2
1
=
0
1
× 3 × 3
⇔ −
2
3
𝑥 −
6
3
=
0
3
⇔ −2𝑥 − 6 = 0 ⇔
⇔
−2𝑥
−2
=
6
−2
⇔ 𝑥 = −3
A abcissa do ponto de interseção é −3.
𝑓 𝑥 = −
2
3
𝑥 − 2
⇔ −
2
3
𝑥 − 2 = 0
38. EXERCÍCIO | Resolução (continuação)
d) As coordenadas dos pontos pertencentes ao gráfico de uma função 𝑓 são do
tipo (𝑥, 𝑓(𝑥)).
Assim, para mostrar que o ponto de coordenadas −
9
2
, 1 pertence ao gráfico
da função 𝑓, vamos mostrar que 𝑓 −
9
2
= 1.
e) Sabemos que o ponto de coordenadas (0, −2) pertence ao gráfico da função e,
como a abcissa do ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo das
abcissas é −3, sabemos que o gráfico interseta o eixo das abcissas no ponto de
coordenadas (−3, 0).
𝑓 −
9
2
= −
2
3
× −
9
2
− 2 =
9
3
− 2 = 3 − 2 = 1
𝑓 𝑥 = −
2
3
𝑥 − 2
39. EXERCÍCIO | Resolução (continuação)
e) Ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo das ordenadas: (0, −2)
Ponto de interseção do gráfico da função 𝑓 com o eixo das abcissas: (−3, 0)
Observa que o gráfico da função é uma reta e
que para definir uma reta são suficientes dois
pontos.
𝑓 𝑥 = −
2
3
𝑥 − 2
40.
41.
42. Nº de
cadernos
Custo
(em euros.)
1 2
2 4
3 6
4 8
Se a quantidade de
cadernos for representada
por x, então o custo
correspondente é
representado por 2x
X 2
2 = 2 x 1
4 = 2 x 2
6 = 2 x 3
8= 2 x 4
2x
Se Custo = y então y = 2 x
x
Expressão Algébrica
A Marta foi a uma papelaria comprar um caderno e
pagou 2 euros.
Expressão Algébrica
43. Expressão algébrica
A função fica definida por:
O custo depende da quantidade,
logo diz-se que:
y Variável dependente
x Variável independente
f(x) = 2 x y = 2x
f: x y = 2x
ou
ou
Nº de bolos Custo
(em
euros.)
1 2
2 4
3 6
4 8
X 2
Nº de cadernos Custo
(em
euros.)
1 2
2 4
3 6
4 8
2x
x
44. Gráfico da Função
1 2 3 4
8
6
4
2
x
y
0
Representação gráfica
Pode-se calcular e representar a
imagem de qualquer objeto dado
através da expressão analítica
f(x) = 2x
x Y = f(x)
1 2
2 4
3 6
4 8
y Variável dependente
x Variável independente
Gráfico = {(1;2), (2,4), (3;6), (4,8)}
y = 2 x
50. DETERMINAR A EXPRESSÃO ALGÉBRICA DE UMA FUNÇÃO AFIM
1 - 0
3 - 1
5 - 3
f
g
0 - 2
Função f
Função g
Determinar a ordenada na origem, b.
y = -2x + b
b = 2
y = - 2x + 2
O valor de b é - 2 y = x - 2
Determinar o declive, a.
Determinar o declive, a.
y = -2 x + b
2 = -2 x 0 + b
a = = 1
2
2
a = = -2
-2
1
