Geometria com dobraduras para séries iniciais

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ADRIANA MARIN TIZON
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GEOMETRIA COM DOBRADURAS PARA
AS SÉRIES INICIAIS
PONTA GROSSA
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2001
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ADRIANA MARIN TIZON
GEOMETRIA COM DOBRADURAS PARA
AS SÉRIES INICIAIS
Monografia apresentada para obtenção do
Título de Especialista no Curso de Pós-
Graduação em Administração, Supervisão
e Orientação Educacional : a gestão do
trabalho na escola, da Universidade
Estadual de Ponta Grossa.
Professora Orientadora:
Ms Marlene Perez
PONTA GROSSA
2001

A Deus,
meu porto seguro, que com sua luz sábia,
iluminou minha mentepara que eu pudesse
concluir esse trabalho,
A todos os professores do curso de especialização,
que souberam repartir seu conhecimento, dando a
oportunidade de ampliar os horizontes do saber.
Aos alunos da 2a
e 4a
séries, do ensino fundamental,
responsáveis pela minha vontade de procurar novos
caminhos no trabalho em sala de aula.
À Prof". Maria Ivone, por ceder sua turma e colaborar
na pesquisa, agradeço a colaboração.
À Prof". Ms Marlene, pela dedicação, respeito e
amizade com que conduziu a orientação,
A todos, meus sinceros agradecimentos!
iii

SUMÁRIO
RESUMO VI
INTRODUÇAO 1
CAPÍTULO I - A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA 6
1.1 A MATEMÁTICA ESCOLAR FRENTE ÀS EXIGÊNCIAS SOCIAIS 6
1.2 O TRABALHO DO PROFESSOR DAS SÉRIES INICIAIS FRENTE À
PROPOSTA DA SME-PG EM RELAÇÃO À GEOMETRIA 11
1.3 ESPAÇO E FORMA NA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO
GEOMÉTRICO 15
1.4 METODOLOGIA PARA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO 19
CAPÍTULO 11 - RECURSOS DIDÁTICOS PARA EXPLORAR A
GEOMETRIA 21
2.1 HISTÓRIADAMATEMÁTICA : AGEOMETRIAATRAVÉSDO
TEMPO 21
2.2 A DOBRADURA NO ENSINO DA GEOMETRIA.................... 24
CAPÍTULO m- O TRABALHO DESENVOLVIDO EM SALA DE
AULA 27
3.1 OS ALUNOS ENVOLVIDOS NA PESQUISA..................................... 27
3.2 ATIVIDADES PROPOSTAS 29
3.3 DESCRIÇÕES, ANÁLISES E CONCLUSÕES A PARTIR DO TRA-
BALHO DESENVOLVIDO.......... 42
iv

CONSIDERAÇÕES FINAIS 46
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 48
ANEXOS 50
v

RESUMO
A pesquisa realizada por uma professora de Matemática que atua nas séries
iniciais do ensino fundamental levanta as causas que levam a Geometria a ser
esquecida neste grau de ensino. Dentre elas, o despreparo do professor, porque
não domina conteúdos, a falta de um programa de formação de docentes e a
própria negligência com esse saber matemático. O trabalho se fortalece quando
busca fundamentos teóricos e práticos para explicar a construção do
conhecimento e propõe uma metodologia alternativa. Esta, se utiliza da
dobradura, como principal recurso para facilitar a compreensão de conceitos
geométricos. Beneficiando-se, também, da História da Geometria, o trabalho
pretende ampliar a visão que os alunos das séries iniciais têm sobre a
matemática, um mundo limitado a números e cálculos, iniciando o estudo do
espaço e formas. O objetivo principal é criar estratégias para promover a
verdadeira diferenciação entre as formas tri e bidimensionais.
vi

INTRODUÇÃO
Existem investigações sobre a Geometria a ser desenvolvida no ensmo
fundamental e médio; portanto, há esforços de vários autores, no sentido de
promover a qualidade do ensino-aprendizagem deste tema tão polêmico. Os
estudos realizados apontam inúmeras deficiências no ensino- desta disciplina;
porém, a carência de conhecimentos geométricos necessários à realização de
uma prática pedagógica satisfatória e a falta de articulação entre os eixos
matemáticos (números, geometria e medidas) são as causas que mais influem
para esta realidade. Ainda que nos graus de ensino supracitados a formação
tenha ocorrido na área de educação matemática, esta, por si só, não garante
uma boa prática docente. Seria interessante, no curso de licenciatura, que o
futuro professor de matemática construísse um referencial teórico sólido para
fundamentar o ensino de Geometria, principalmente nas séries iniciais do
ensino fundamental. Como exemplo desta carência: não se estuda na
Universidade a Geometria Euclidiana. A obra "Elementos de Euclides" (séc.
Ill a.C.), mais do que qualquer outra, representa, ainda não esgotado, o caráter
dedutivo da Geometria grega. Mesmo questionada, a Geometria Euclidiana
tornou-se modelo e permaneceu até o século passado influenciando toda a
evolução da história da Matemática.
"Geometria plana"; "geometria espacial"; "formas bidimensionais";
"formas tridimensionais" - são expressões da Geometria Euclidiana presentes
nas atuais propostas curriculares para as séries iniciais elaboradas, tendo os
Parâmetros Curriculares Nacionais como referencial. Embora se esteja
trabalhando para a eliminação da prática pedagógica leiga, a formação do
professor para esse nível de ensino se dá, inclusive, em nível médio e, também
superior, só que em áreas diversas do conhecimento. É visto que o trabalho da
Geometria para esse professor é um campo não explorado, pois, é importante
salientar, que, ainda hoje, nota-se, por exemplo, a insistência no trabalho com

2
conjuntos e técnicas operatórias nas séries iniciais. Não se quer afirmar com
isso que seria necessário que esses profissionais precisassem se graduar em
Matemática, porque se assim fosse, teriam que se tomar especialistas em
História, Geografia, Língua Portuguesa entre outros. Falhas existem, e na
prática dos educadores iniciais que trabalham com as diversas áreas de
conhecimento, facilmente, observa-se a polarização de uma ou mais disciplinas
em detrimento, às vezes, da matemática, especialmente quando esta se refere à
Geometria. Como estes professores irão trabalhar Geometria se não tiveram a
oportunidade de compreendê-Ia enquanto estudante de 10
Grau ou curso de
Magistério?
Estas deficiências encontradas no ensmo da Geometria, possivelmente,
seriam superadas, se o tema estivesse presente num programa de formação
continuada de docentes.
Pode-se, assim, compartilhar do ponto de vista de FUSARI; RIOS, ao
definirem alguns pressupostos para a política de capacitação de docentes, "( ...)
os problemas da prática dos educadores ... deverão ser considerados como o
ponto de partida e o ponto de chegada do processo, garantindo-se uma reflexão
com auxílio de fundamentação teórica que amplie a consciência do educador
em relação aos problemas e que aponte caminhos para uma atuação
competente". (1988, p. 39).
Atualmente, observando o trabalho da Geometria nas séries iniciais ainda
se verifica que:
• este fica limitado a algumas abordagens sem significação com
conteúdos a serem memorizados;
• não se desenvolve de modo a favorecer a compreensão dos conceitos
geométricos básicos, estabelecendo-se as articulações necessárias para
a passagem de figuras espaciais para o plano, por exemplo.
Diante deste quadro, surgiu o interesse pela pesquisa que leva ao seguinte
questionamento:

3
É possível, através do trabalho com dobraduras, oportunizar a
construção de conceitos geométricos referentes à formas tridimensionais,
bidimensionais e unidimensionais?
A dobradura fornece inúmeras possibilidades para o desenvolvimento do
lado criativo do aluno e já é reconhecida como um eficiente recurso didático.
Permite a prática interdisciplinar, podendo ser usada, tanto na Educação
Artística, Geografia como em História e Língua Portuguesa. Em Matemática,
as formas planas e espaciais, ângulos, bissetrizes, são alguns dos
conhecimentos que podem ser construídos com a sua utilização.
Reunir dados teóricos e práticos para o trabalho da geometria com
dobraduras que subsidiem a formação da professora/pesquisadora e pessoas
envolvidas na pesquisa, toma-se o objetivo geral da investigação que ainda tem
por finalidades:
• verificar como os professores de P a 4a
série de uma escola do
ensino fundamental do município de Ponta Grossa trabalham a
geometria neste nível de ensino.
• contribuir para o processo de formação continuada de professores
com alternativas que tomam o trabalho mais criativo e prazeroso nas
séries iniciais.
Trata-se, desta forma, a investigação como uma abordagem qualitativa do
tipo pesquisa-ação.
THIOLLENT (1986, p. 13), ao se referir sobre a publicação de ELLIOT,
um educador inglês, verifica a maneira com que este difunde a idéia do
professor como pesquisador. E diz que as práticas constituem o meio através
do qual o educador elabora e comprova suas próprias teorias, pois adquirem a
categoria de hipóteses a se comprovar. Tanto para ELLIOT como para outros
autores que tomam a pesquisa-ação como base para melhoria da ação prática, a
característica mais marcante dessa abordagem é a de ser um processo que se
modifica continuamente em espirais de reflexão e ação que incluem:

4
• O diagnóstico da situação prática ou problema prático que se quer
melhorar ou resolver;
• A formulação de estratégias de ação;
• O desenvolvimento dessas estratégias e avaliação de sua eficiência;
• A avaliação e compreensão da nova situação (situação resultante);
• Extensão dos mesmos procedimentos para a nova situação prática.
Este tipo de pesquisa está hoje, assumindo uma grande importância por
oferecer uma via especialmente significativa para os binômios teoria-prática,
educador- investigador.
Tendo-se em vista o pressuposto que o sujeito constrói e seu
conhecimento mediatizado por ações com os outros e com o objeto do
conhecimento, no desenvolvimento desse trabalho é oportuno concordar com
THIOLLENT ao definir a pesquisa-ação como: "( ...) uma estreita associação
com uma ação ou com a resolução de um problema coletivo no qual os
pesquisadores e os participantes estão envolvidos de modo cooperativo ou
participativo". (1986, p. 14).
Buscando-se uma melhor compreensão e maior esclarecimento do
conteúdo existente neste trabalho mono gráfico, no primeiro capítulo
encontram-se algumas considerações sobre o ensino da matemática, proposto
para as séries iniciais nos PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) e Plano
Curricular das Escolas Municipais de Ponta Grossa, destacando a importância
do trabalho com geometria, um dos três eixos matemáticos. São apresentados
os relatos de algumas professoras das séries iniciais sobre o trabalho da
geometria e observações que esclarecem os temas Espaço e Forma, noções
necessárias para a construção do conhecimento geométrico.
No segundo capítulo, descreve-se um pouco sobre a História da
Matemática e o uso da dobradura, recursos didáticos de grande valor no
ensino-aprendizagem da Geometria.

2a
e 4a
séries, utilizando-se a dobradura como principal recurso para construção
do conhecimento geométrico. Análises, descrições e conclusões do trabalho
desenvolvido finalizam esse capítulo.
Na práxis diária, entende-se que sem conceitos claros não é possível
formular proposições com sentido e, muito menos, estabelecer qualquer
encadeamento lógico de raciocínio. Esta capacidade de estabelecer relações se
traduz na capacidade de precisar problemas, formular hipóteses e criar
soluções. Portanto, conforme enfatizado por VASCONCELLOS (1995, p. 12),
acredita-se que:
A sala de aula é o centro da educação escolar, pois a formação básica do educando
se dá no espaço de interação entre os sujeitos, mediados pela realidade. No ato de
educar, nas quatro paredes e no contato com os alunos é que o professor sente, por
um lado, o volume de problemas concretos, sem solução, a anti-pedagogia do dia-a-
dia e, por outro lado, a desvinculação da formação acadêmica, o pedagogês, que não
dá conta da vida escolar.
São muitas as linguagens e as formas de expressão de discursos, no
entanto, o valor do discurso é determinado pela capacidade de desencadear
ações transformadoras. Sem o caráter transformador, qualquer discurso torna-
se inofensivo ou limitado ao universo estritamente acadêmico.
Estes são os paradigmas do processo pedagógico, o foco da contribuição
substancial e a força da escola, ou seja, o conhecimento. [grifo nosso].

CAPÍTULO I
A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA
1.1 A MATEMÁTICA ESCOLAR FRENTE ÀS EXIGÊNCIAS SOCIAIS
"Inegavelmente, hoje não se pode ser operacional no mundo sem dominar
matemática, mesmo que seja de uma forma não reconhecida nas escolas".
[D' AMBRÓSIO In CADERNOS CEDES, n. 40, 1996, p. 14].
A importância da Matemática é inegável na sociedade atual, pois permite
resolver problemas do cotidiano e fazer uma leitura da realidade, porém, é
grande a insatisfação diante dos fracassos que tem apresentado o ensino-
aprendizagem no contexto em que ela se insere.
Esse quadro revela que há problemas a serem enfrentados. É visto que o
mundo mudou; porém, o ensino não acompanhou essas mudanças, tampouco o
da Matemática.
Além de educar de modo a atender às novas exigências da sociedade, é
preciso pensar na formação do cidadão. À medida que se avança no campo do
conhecimento, enfatizam-se os campos de alta abstração. Quer dizer, quanto
maior o volume de informações adquiridas, maior o nível de raciocínio e maior
a exigência na capacidade de domínio das linguagens sociais. Nesta esfera,
isso é ainda mais importante, no que se refere em nível de Brasil, onde se
constata haver pouca consciência do que seja cidadania e o exercício da
mesma, acompanhada de uma elevada gama de desigualdade social.
Neste aspecto, D'AMBRÓSlO ln CADERNOS CEDES (1996, p. 14)
coloca:
Naturalmente a Matemática tem sua dimensão política, inclusive na definição dos
currículos escolares. E nessa definição pode-se orientar o ensino da Matemática
para preparar indivíduos subordinados, passivos, acrílicos, praticando-se uma
educação de reprodução ou pode-se orientar o currículo matemático para a
criatividade, para a curiosidade e para crítica e questionamento permanentes.
Espera-se que a Matemática contribua para a formação de um cidadão na sua
plenitude. Não se trata de meramente instrumentar o individuo para o trabalho. É

7
ilusório pensar, como proclamam os conteudtstas, se ainda os há, que a matemática é
o instrumento de acesso social e econômico. Dificilmente um pobre sai da sua
condição, porque, como aluno, foi bom em matemática. Os fatores de iniquidade
social são tantos que se sair bem em Matemática pouco tem a ver com a luta social de
cada indivíduo (..) no modelo tradicional (..) a educação matemática é
apassivadora, conduz a indivíduos sem capacidade de crítica e algumas vezes
alienador.
No atual momento, presenciamos muitas mudanças em todos os níveis da
sociedade: político, social, econômico que podem ser atribuídas ao fenômeno
da globalização. O modelo neoliberal redefine, também, o papel da escola.
Faz-se necessário, a formação de recursos humanos exigindo-se um novo perfil
de trabalhador com as seguintes características: visão de totalidade de
processos produtivos, sensibilidade, espírito crítico, criatividade, capacidade
adaptativa, dentre outras impostas pelo novo padrão econômico. A rapidez
com que se processam as inovações nos campos da economia, da política, da
cultura requer novos padrões de produtividade e novos conhecimentos. Novas
competências exigem indivíduos mais capacitados para utilizar diferentes
tecnologias e linguagens, instalando novos ritmos de produção, de assimilação
rápida de informações, propondo e resolvendo problemas em equipe.
Todas essas habilidades podem ser adquiridas em grande parte na
aprendizagem da matemática. Calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar
informações estatisticamente, entre outras são capacidades a serem
desenvolvidas, inclusive, no ensino-aprendizagem da matemática. Este,
prestará sua contribuição à medida que forem exploradas metodologias que
priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a
argumentação e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa
pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria
capacidade de conhecer e enfrentar desafios.
Constata-se frente aos resultados obtidos por estatísticas educacionais que
o ensino da matemática não tem vindo ao encontro das expectativas da
sociedade atual. É necessário redefinir quais são os conhecimentos

8
matemáticos essenciais à vida, hoje; portanto, dos quais os cidadãos devem se
apropnar.
Conforme consta nos PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais -
Matemática, 1997), em 1980, a National Coucil of Teachers of Mathematics -
NCTM dos Estados Unidos apresentou recomendações para o ensino da
matemática no documento "Agenda para Ação". Nele, destacavam-se a
resolução de problemas como foco de ensino da matemática nos anos 80.
Também, a compreensão da relevância dos aspectos sociais, antropológicos,
lingüísticos, na aprendizagem da matemática, imprimiu novos rumos às
discussões curriculares.
Essas idéias influenciaram várias propostas elaboradas em diferentes
países e também no Brasil. No entanto, é importante salientar que, ainda hoje,
nota-se, por exemplo, a insistência no trabalho com conjuntos nas séries
iniciais, o predomínio absoluto da álgebra nas séries finais do ensino
fundamental, a formalização precoce de conceitos e pouca vinculação da
matemática às suas aplicações práticas.
No sentido de apontar caminhos e metas do projeto educativo, flexíveis e
estimuladores a discussões pedagógicas foram elaborados os Parâmetros
Curriculares Nacionais pelo MEC (Ministério da Educação e Cultura).
Acompanhando essas diretrizes surgiram inúmeros trabalhos desenvolvidos
por grupos de pesquisas ligados a universidades e a outras instituições, todavia,
são bastante desconhecidas de parte considerável dos professores, que, por sua
vez, não têm uma visão clara dos problemas que motivam as reformas. O que
se verifica é que idéias ricas e inovações não chegam a todos os educadores, ou
são incorporadas superficialmente, recebendo interpretações inadequadas, sem
provocar as mudanças desejáveis.
Enfrentar os desafios para uma nova educação matemática não e uma
tarefa simples, nem pode ser feita solitariamente. Só a busca coletiva de

9
instrumentos trarão soluções para o ensino-aprendizagem nessa área do
conhecimento.
Para formar o profissional que acompanha o ritmo das mudanças, deve-se
incentivar o aprendizado autônomo e a resolução de problemas. Desafios
matemáticos levam o aluno ao desenvolvimento de suas capacidades
cognitivas para enfrentar problemas práticos da vida diária de modo a ampliar
os recursos necessários para o exercício da cidadania.
Embora o uso da matemática seja menor que nas ciências fisicas e
naturais (Física, Química, Astronomia), ela também constitui um subsídio
importante em função da formação de conceitos, linguagens e atitudes que tem
suas aplicações em sociologia, psicologia, medicina, economia e política.
Os desafios matemáticos propostos devem partir de aspectos da vida
cotidiana. Há inúmeras opções que propiciam a integração da matemática com
outras áreas e um trabalho voltado para o desenvolvimento da cidadania-
trabalho, arte, eleições, leis entre outros tema atuais.
IMENES; JAKUBO colocam que os conhecimentos essenciais à vida em
sociedade incluem a compreensão e o uso de informações numéricas e
geométricas usadas hoje em todo mundo. Por isso, o ensino de matemática
deve incluir nas séries iniciais:
• "Geometria - instrumento para produção e interpretação de plantas
baixas e mapas;
• Estatística - meio para organizar e interpretar informações
numéricas, tabelas e gráficos;
• Cálculo mental - auxiliar para avaliar, estimar e tomar decisões".
(1997, p. 7).
A Geometria é um dos eixos matemáticos em que mais se encontram os
motivos dos insucessos escolares, principalmente, a partir do terceiro ciclo até
o final da educação básica. Nas séries iniciais ela quase não é trabalhada.

10
Pode, ainda, ser considerada como um extenso bloco do conhecimento
matemático que pode e deve ser trabalhado em conexão com outros blocos:
números e medidas.
As modernas tendências no ensino da matemática valorizam o ensino da
Geometria.
••
Segundo IMENES; JAKUBO "(...) atualmente, percebe-se que o trabalho
com formas geométricas leva a criança a adquirir senso de organização e de
orientação espacial, desenvolver coordenação viso-motora, melhorar a leitura,
compreender com mais rapidez gráficos, mapas e outras informações visuais
típicas de nossa sociedade". (1997, p. 35).
O campo de aplicações da Geometria é muito vasto: para os profissionais
da construção civil ao desenhar e executar as obras, o fazendeiro que calcula a
superfície de um galpão, aos atletas que estabelecem distâncias para acertar
seus alvos entre outros.
Pode-se, assim, compartilhar com LORENZATO:
(...) para justificar a necessidade de se ter Geometria na escola, bastaria o argumento
de que sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou o
raciocínio visual, e sem essa habilidade, elas dificilmente conseguirão resolver as
situações de vida que forem geometrizadas; também não poderão se utilizar da
Geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e resolução de
questões de outras áreas do conhecimento humano. Sem conhecer a Geometria a
leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação das idéias fica
reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida. (1995, p. 20).
E neste aspecto, entende-se que através de ações elevadas ao nível
racional, a realidade pode ser transformada e, ao mesmo tempo, o
conhecimento é produzido. Ou seja, se cada profissional da área educacional,
especificamente, esta a que está sendo referida, se conscientizar do
compromisso com a sociedade, pode-se afirmar que a realidade em que os
alunos apreendem o conhecimento vai ser modificada para melhor. Sendo que,
a totalidade dos conceitos e suas relações, social e historicamente produzidas,
forma a ciência integrando o acervo cultural da humanidade.

11
Por mais que este legado sofra um processo de contínua transformação,
abrangendo a capacidade econômica, a estrutura social e o desenvolvimento
científico, historicamente se comprova que o desenvolvimento econômico e o
social acionam e fomentam o desenvolvimento científico inclusive, através da
matemática.
Nesta práxis, entende-se que este enfoque epistemológico, enquanto
resposta à relação sujeito/objeto do conhecimento, vem desembocar na mútua
relação transformadora da natureza, da sociedade e da escola, e dela se
alimenta.
1.2 O TRABALHO DO PROFESSOR DAS SÉRIES INICIAIS FRENTE
À PROPOSTA CURRICULAR DA SECRETARIA MUNICIPAL DE
EDUCAÇÃO DE PONTA GROSSA EM RELAÇÃO À GEOMETRIA
Esta investigação também conta com a aplicação de um questionário
(Anexo 1) a cinco professoras da Escola Prof' Guitil Federmann - Educação
Infantil e Ensino Fundamental. Dessas professoras, quatro são regentes de
turmas de P, 23
, 33
e 43
séries da rede municipal de ensino e têm formação
superior - Pedagogia, História e Geografia - uma professora atua, inclusive na
rede particular de ensino e está cursando o 3° grau. O tempo de serviço dessas
professoras, varia de 2 a 24 anos em escolas públicas municipais de Ponta
Grossa.
Na rede pública municipal, são 72 escolas, cerca de 23 mil alunos e 700
professores. Todos os estabelecimentos contam com o serviço de supervisão e
orientação educacional.
Descreve-se abaixo algumas passagens específicas da Geometria, um dos
três eixos matemáticos, feitas na última proposta (1994) pela SME/PG que
ainda está em vigência. Assim, pode ser feita uma relação entre a proposta e a
prática observada após análise do questionário.

12
GEOMETRIA
A criança deve explorar o espaço para situar-se nele e analisá-lo, percebendo a
posição dos objetos neste mesmo espaço - o que está em cima, embaixo
(profundidade), o que está à direita e à esquerda (lateralidade), o que está na frente e
atrás (anterioridade) - para poder representá-Ios.
A criança no princípio tomará contato com algumas noções topolôgicas (interior e
exterior, vizinhança, fronteira), além de desenvolver as noções intuitivas de distância
(longe, perto) e posição.
As crianças devem manipular objetos presentes no seu dia-a-dia (caixas, bolas,
garrafas, embalagens de todos os tipos, folhas de árvores, tocos de madeira etc),
observando características, tais como:
- forma;
semelhança, diferença;
coisas que param em pé ou não;
coisas que rolam ou não;
coisas que tem 'pontas' (vértices) ou não etc.
Constata-se, então, que a partir dessas observações as crianças podem
trabalhar com uma coleção de objetos na forma de: "prismas, pirâmides, cubos
etc".
Contudo, é nessa fase, que deverão utilizar objetos que tenham relação
com as formas geométricas menos usuais, ou seja, "cone de lã, casquinha de
sorvete, chapéu de palhaço etc, para lembrar o cone; latas de azeite e latas de
cera etc, para lembrar o cilindro; embalagens, enfeites etc", isso para lembrar
as formas de pirâmides; além "das caixas comuns que lembram as formas de
prismas".
Vê-se que essas sugestões de atividades seguem traçando o contorno das
faces desses objetos, onde "as crianças trabalharão com figuras planas
triangulares, quadrangulares, circulares etc, sem dissociá-las dos sólidos que as
originaram. O professor deverá apresentar figuras que estimulem a percepção
visual dos objetos tridimensionais representados em planos, sem prejuízo da
verdadeira diferenciação entre sólido e plano".
Isso permite constatar, ainda, que trata-se de um trabalho importante em
que "a planificação das figuras espaciais, pode ser feita, por exemplo,
montando e desmontando caixas, embalagens etc, usando o conceito de
ângulo reto, poderemos chegar a uma classificação das figuras planas".

13
Entende-se, pelo exposto, que é preciso também que as crianças explorem
"situações que levem à idéia de 'forma' como atributo dos objetos". Para isto,
é sugerido que pode-se "usar vários materiais, entre eles, o geoplano, elástico
de dinheiro, Tangran, massa de modelar, argila etc".
Portanto, "o trabalho de Geometria com as crianças começa no espaço e
não na reta ou no ponto ou no plano". (1994, p. 72).
Embora, tenha-se citado apenas temas específicos de Geometria é
importante, inclusive, observar no mesmo plano curricular: "( ...) é necessário
ter sempre presente que, embora cada eixo tenha sua especificidade eles não
devem ser trabalhados de maneira isolada, pois é na inter-relação entre
Números e Medidas que as idéias matemáticas e o vocabulário matemático
ganham significado". (1994, p. 64).
Na análise do questionário aplicado às professoras verificou-se em
algumas respostas a importância da Geometria e algumas relacionaram com
lateralidade, medidas e números. Porém, uma professora colocou que esse
conhecimento deve ocorrer só na educação informal e trabalhado quando
surgido da curiosidade da criança.
Quando questionadas sobre possíveis dificuldades na abordagem de temas
geométricos, três professoras responderam que não encontraram problemas.
Uma professora colocou que tem dúvidas quando da conceituação de algumas
situações: "triângulo ou região triangular, lado ou face". Outra professora
disse que os alunos têm dificuldades em diferenciar figuras planas dos sólidos
geométricos.
São oportunas estas colocações, se relacionadas com as respostas dadas à
seguinte pergunta:
- Que recursos materiais você usa em suas aulas de Geometria? Existem
outros que você considera bons, mas que não possui?

14
Três professoras citaram os blocos lógicos. Em todas as situações
observadas em que este material foi utilizado a finalidade era sempre a
diferenciação entre as formas planas. Como exemplo, cita-se:
• dois blocos, um deles com "quatro lados" e outro com "três lados", são
classificados como quadrilátero e triângulo. Desta maneira, formas
tridimensionais passam por bidimensionais.
Situações equivocadas como esta, levam a formação incorreta de
conceitos geométricos. Sendo o objetivo, a classificação das figuras planas
com a utilização dos blocos lógicos sugere-se o contorno das faces desses
objetos.
Mais uma vez, volta-se a afirmar a importância do processo de formação
continuada de docentes. Aqui, é visível que há deficiências no domínio de
conteúdos básicos de Geometria, embora poucos admitam. Todo problema
encontrado na prática escolar deve ser o ponto de partida da formação
contínua. O questionário traz outras colocações que só vão fortalecendo a
existência dos problemas levantados no início deste trabalho - o pouco tempo
dispensado com o estudo da Geometria e quando este ocorre, a abordagem sem
significação que não leva à compreensão de conceitos geométricos básicos.
Por outro lado, afirmar que nenhum aluno chega vazio à sala de aula
significa dizer que ele traz consigo uma bagagem de conhecimentos, um jeito
de atuar na realidade. Esta realidade posiciona a tarefa escolar noutro viés.
Quer dizer, num mundo em que o volume dos conhecimentos é inimaginável e
se multiplica cada vez mais rapidamente, como se pode afirmar que a escola é
a detentora e a transmissora do conhecimento historicamente produzido?
Novos papéis estão sendo solicitados às instituições escolares: ensinar a
"aprender a aprender"; a acessar, processar e produzir informação; a criar
atitudes, hábitos e procedimentos científicos; a interagir em grupo; a
familiarizar-se com as diferentes tecnologias e linguagens que compõem esse
universo em que se insere o conhecimento.

1.3 ESPAÇO E FORMA NA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO
GEOMÉTRICO
"A filosofia está escrita nesse grande livro que é o Universo e na linguagem das
Matemáticas; seus caracteres são os triângulos, os círculos e outras .figuras
geométricas, sem os quais é humanamente impossível compreender uma única de suas
palavras". [Galileu Galilei).
Existe uma íntima relação entre inteligência racional e inteligência
emocional. Variáveis de ordem emocional interferem profundamente no
processo do conhecimento. Certos fatores, como: prazer, medo, desafio,
realização pessoal, status, auto-estima e tantos outros estão intimamente
intrincados com os processos racionais.
A interferência destas variáveis emocionais ocorre, não apenas nos níveis
da sensação e da percepção da realidade, mas, também, em processo de alta
abstração.
Cabe mencionar, que tão importante como o raciocínio lógico-matemático
é a inteligência estruturada nas ramificações da matemática, como a
Geometria, por exemplo, que é apenas, uma delas.
A escola que não estiver atenta às novas formas de conhecimento e
prática social não estará respondendo às necessidades nem proporcionando
novas oportunidades aos seus alunos.
O foco central do processo epistemológico não é o sujeito pensante nem o
objeto pensado, mas o confronto entre os dois, social e historicamente
contextualizados.
No confronto com a realidade, utilizando os conceitos adquiridos, é que
se produzem os novos conhecimentos. Neste sentido, impõem-se algumas
mudanças no currículo, nos recursos, na didática, na sistemática avaliativa, no
uso do tempo e do espaço escolares; sem contar que, uma escola reduzida a
quatro paredes tende mais para prisão do que para a interação social e

16
científica, enquanto a revolução digital pode transformar o mundo numa
imensa sala de aula.
Quanto maior e mais diversificado for o contato do aluno com a realidade,
mais se abrem os horizontes e os interesses pelo conhecimento. É evidente
que, através do conhecimento, o mundo adquire outra dimensão, garantindo-se
desta forma a dinâmica dialética entre ciência e realidade, entre sociedade e
cidadania.
Em se referindo à Geometria nas séries iniciais, as propostas destinam-se
à construção de relações no espaço, ou seja, às noções referentes à posição,
localização e movimentação de pessoas e objetos. Assim, são sugeri das as
explorações de mapas e maquetes. Quanto ao estudo das formas, além da
observação de semelhanças e diferenças, deve-se atentar aos aspectos da
simetria, ampliação, redução, composição e decomposição.
Para CAMARGO; PEREZ "(...) o estudo da geometria deve ser iniciado
pelo espaço e pelos objetos que povoam esse espaço, o desenvolvimento deste
estudo se dará no sentido espaço-plano, sem no entanto, ter necessidade de
obedecer um sentido obrigatório único". (1998, p. 22).
O corpo é o primeiro ponto de referência que a cnança usa para se
orientar; num primeiro momento ela é incapaz de considerar qualquer outro
elemento. Gradualmente, ela percebe que os diferentes aspectos sob os quais
os objetos se apresentam para ela são perfis de uma mesma coisa, tomando
consciência do deslocamento do próprio corpo. Nesse processo estão as
primeiras noções de direção, distância, ângulo etc - o início do pensamento
geométrico.
"O espaço percebido pela cnança - espaço perceptivo, em que o
conhecimento dos objetos resulta de um contato direto com eles - lhe
possibilitará a construção de um espaço representativo - em que ela, por
exemplo, é capaz de evocar os objetos em sua ausência". (RADESPIEL, 1999,
p. 284).

17
No espaço perceptivo há elementos que apenas são concebidos de
maneira ideal, mas não pertencem a ele. O ponto, a reta e o quadrado fazem
parte desse mundo sensível.
Com isso, pode-se, então, deduzir que a Geometria começa no mundo
sensível e o estrutura no mundo geométrico, onde estão as superfícies, os
volumes, as linhas e os pontos.
"Devem ser desenvolvidas várias estratégias de trabalho que
proporcionem a passagem do mundo sensível ao mundo geométrico,
permitindo a criança penetrar no domínio da representação dos objetos e,
assim, distanciar-se do espaço sensorial ou físico". (RADESPIEL, 1999,233).
Algumas ações são fundamentais para apreensão do espaço no primeiro
ciclo, primeira e segunda séries:
o aluno deverá ser estimulado a estabelecer pontos de referência em seu entorno,
para efeito de localização. Atividades em que a criança dê e receba instruções de
localização - esquerda, direita, deslocamento, giro, acima, abaixo, ao lado, na
frente, atrás,perto.
O a construção de itinerários, sempre dando pontos de referência. Aqui é interessante
que os alunos relatem oralmente como é este trajeto e também desenhem.
(RADESPIEL, 1999, p. 233).
No segundo ciclo, terceira e quarta séries, a autora sugere que pode-se
aprofundar o trabalho de localização com o uso de diagramas, malhas, tabelas
e mapas.
Através da observação e experimentação as crianças começam a discernir
as características de uma figura e a usar as propriedades para conceituar classes
de formas. Então, elas começam a reconhecer formas distintas, tri e
bidimensionais, planas e espaciais. Aqui, é necessário o trabalho constante de
construção das formas através da composição e decomposição dessas,
percebendo a simetria como característica de algumas figuras. Dessa
exploração resultará o reconhecimento de figuras tridimensionais (cubos,
paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides, etc) e bidimensionais

,-1.------------7 -------0-- -Ó:Ó»
de suas propriedades.
Há muitas atividades que permitem a exploração de situações que levem a
idéia de "forma" como atributo dos objetos. Isso pode ocorrer em atividades
que a criança possa explorar as formas da natureza: flores, elementos
marinhos, casas de abelha, teiade aranha entre outros. Ou as formas em obras
de arte, escultura, arquitetura, e, ainda, desenhos feitos em tecido, vasos,
papéis decorativos, mosaicos etc.
Pode-se, também, proporcionar atividades com o geoplano, Tangran,
dobraduras entre outros.
O essencial é que todo trabalho de Geometria comece no espaço e não
com o ponto, reta ou plano. Esta premissa é fundamental para planejar e
desenvolver qualquer projeto pedagógico estruturado para a Geometria; pois, o
processo cognitivo tem que partir e destinar-se à compreensão e à
transformação do contexto histórico-social em que a escola se insere, sem
perder de vista o caráter globalizante da ciência e da realidade atual.
Para uma escola eficiente, não basta a mudança de perspectiva, é
necessário incorporar, dialeticamente, a perspectiva da contextualização social
do saber. De fato, sem sociedade não haveria sequer conhecimento. Tão
importante como o conhecimento é a socialização deste. Toda produção
científica tem uma matriz social e histórica. Perder este horizonte é divagar
num inatismo ou num psicologismo insustentáveis.

19
1.4 METODOLOGIA PARA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO
Retomando-se a questão levantada no início desse trabalho: é possível
através do trabalho com dobraduras oportunizar a construção de conceitos
geométricos referentes à formas tridimensionais e bidimensionais? - faz
referência à construção do conhecimento. Essa prática em sala de aula requer
intencionalidade, metodologia e planejamento.
Numa perspectiva dialética o conhecimento é construído pelo sujeito na
sua relação com os outros e com o mundo.
LIBÂNEO (1985, p. 30), aponta que o conhecimento se dá, basicamente,
em três grandes momentos: a Síncrese, a Análise e a Síntese.
Segundo VASCONCELLOS ( 1995, p. 46), uma metodologia dialética de
construção do conhecimento poderia ser expressa através de três grandes
dimensões, eixos ou preocupações do professor no decorrer do seu trabalho:
• Mobilização para o conhecimento.
• Construção do conhecimento.
• Elaboração e expressão da síntese do conhecimento.
Aqui, elas estão separadas com a finalidade de melhor compreensão e
especificidade de cada uma. Em sala de aula, as três dimensões são
indispensáveis para uma efetiva construção do conhecimento.
• Mobilização para o conhecimento:
É imprescindível e necessário o esforço pedagógico para dar
significação ao objeto a ser conhecido, para que o sujeito o encare
como um desafio.
• Construção do conhecimento:
Deve-se possibilitar o confronto entre o sujeito e o objeto. A
construção do conhecimento se dá através da elaboração de relações
que se tornam cada vez mais abrangentes e complexas com a
colaboração do educador.

20
• Elaboração e expressão da síntese do conhecimento:
É a dimensão relativa à sistematização de conhecimentos que vêm
sendo adquiridos, bem como, da sua expressão. Aqui se dá
incorporação paulatina de novos conceitos pelo aprendiz.
Esses três momentos não sugerem uma seqüência rígida, mas a passagem
entre eles.
Como explica LIBÂNEO (1985, p. 36):
Numa fórmula: 'do sincrético, pelo analítico para o sintético. A síncrese
corresponde à visão global indeterminada, confusa, fragmentada da realidade; a
análise consiste no desdobramento da realidade em seus elementos, a parte
como parte do todo; a síntese é o resultado da integração de todos os
conhecimentosparciais num todo orgânico e lógico, resultando em novasformas
de ação'.
Pretendendo-se desenvolver atividades que possibilitem a construção de
conhecimentos geométricos em turmas de 2a
e 4a
séries, procurou-se planejar
este trabalho, seguindo a orientação de VASCONCELLOS ao propor as três
dimensões supracitadas no trabalho do professor. Mas, segundo o mesmo
autor: "... este método não deve ser pensado em termos de uma aula; sua
aplicação demanda um conjunto de aulas, a totalidade de um curso". (1995, p.
47).

CAPÍTULO 11
RECURSOS DIDÁTICOS PARA EXPLORAR A GEOMETRIA
2.1 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A GEOMETRIA ATRAVÉS DO
TEMPO
"A Geometria teve alguma vez um início?"
Essa é uma pergunta feita por J. Coolidge no Livro "Uma História de
Métodos Geométricos" (1963), e constitui uma passagem do livro de Paulos
Gerdes, sobre o despertar do pensamento geométrico.
Ele responde: "Qualquer que seja a nossa defrnição sobre Homo Sapiens,
ele deve ter tido algumas idéias geométricas, de fato, a geometria existiria,
mesmo se não tivesse havido Homines sapientes nenhum". (1992, p. 1).
A Geometria surge no Egito devido à necessidade de medir as terras,
quando o Rio Nilo baixava após ter inundado as terras vizinhas. Só assim, o
Faraó podia cobrar precisamente os impostos.
Com os gregos ela não apresenta esse caráter intuitivo. Ela ganha a
estrutura de ciência, primeiramente com Tales (séc. VI a.C.) que havia estado
no Egito e na sua volta à Grécia, aplicou à Geometria o método dedutivo dos
gregos. Euclides aplicou à Geometria, um método próprio - o método
axiomático (este é usado pela matemática para constituir-se como ciência, tal
qual as ciências experimentais utilizam-se do método experimental).
Desde o seu aparecimento na terra, o homem tem recorrido à matemática.
Precisava a posição de um animal na estepe, de um cume na montanha, talvez
de um astro, dizendo: "trace uma linha reta que passe por estas duas árvores,
um palmo para a esquerda, e então, encontrará o lugar ao qual me refiro ... "-
e isto já era praticamente uma construção geométrica.
Pode-se afirmar que a Geometria nasceu das necessidades práticas do
homem. Conhecia-se antes de cogitar em lhes dar designação. Se aí, a forma

22
matemática foi concebida e desenvolvida com fins utilitaristas, tinha que mais
cedo ou mais tarde, passar a nova etapa: a criação do conceito matemático
abstrato, cuja origem não há como se afirmar em que fase se realizou.
Entre todos os teoremas e cálculos, alguns surgiram antes, na fantasia, na
imaginação de algum sonhador e não, simplesmente, numa folha de papel;
mas, para serem aceitos como verdades, precisaram ser provados. , Outros,
surgiram das necessidades práticas do homem. A propósito, a idéia de que
num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado
da hipotenusa, é um bom exemplo para ilustrar o caráter utilitarista que a
Geometria assume desde o seu surgimento.
Os exemplos podem ser multiplicados e a história da matemática pode
oferecer uma importante contribuição ao ensino da Geometria. Ao revelar a
matemática como uma criação humana ao mostrar necessidades e
preocupações das diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao
estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do
passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva
atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento.
A matemática precisa ser vista como ciência dinâmica que foi construí da
por seres sociais e históricos. Como afirma FERREIRA; "(. ..) esta ciência
tem que ser apropriada pelos alunos, na sua formação como cidadãos, vivendo
em momento histórico, mas reflexo cultural de toda história da humanidade
construída durante séculos, de maneira participativa, conscientes de que eles
também são construtores deste saber". (1996, p. 6).
Por abordar conceitos em conexão com sua história, a matemática torna-
se um instrumento de resgate da própria identidade cultural.
Ao prefaciar a obra de Paulo Gerdes, D' AMBRÓSIO, escreve: "( ...) ele
VaI buscar justamente na Geometria, a disciplina que representa a espinha
dorsal do conhecimento científico moderno e normalmente identificada como

23
herança cultural grega, o elemento contestador da propalada hegemonia do
modo de pensar ocidental no pensamento moderno". (1992, p. 6).
O avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a herança cultural de
gerações passadas. O aluno vai compreender isso ao verificar o alto nível de
abstração matemática de algumas culturas antigas.
O recurso à história da matemática pode esclarecer idéias geométricas que
estão sendo construí das pelo aluno, dando respostas a alguns "porquês".
Entretanto, essa abordagem não deve ser entendida simplesmente que o
professor deva situar no tempo e no espaço cada item do programa de
matemática ou contar sempre em suas aulas trechos da história, adotando-se
um estilo de almanaque, mas que o encare como um recurso didático com
possibilidades para desenvolver diversos conceitos, sem reduzi-Ia a fatos, datas
e nomes a serem memorizados.
D' AMBRÓSIO enfatiza como uma das principais finalidades da história
da matemática: "(...) situar a matemática como uma manifestação cultural de
todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os
valores, as crenças e os hábitos, e como tal, diversificada nas suas origens e na
sua evolução". (1996, p. 10).
A coleção paradidática - "Vivendo a Matemática", de Luis Márcio
Imenes, Nilson José Machado e outros, são livros interessantes para introdução
da história da matemática nas séries iniciais; pois, toma-se imperativo
proporcionar ao aluno condições e atividades que permitam construir
permanentemente seu próprio conhecimento em um processo de interação
social.
Neste aspecto, o ensino da matemática deve estar baseado na primazia da
ação do aluno. Esta ação demanda uma pedagogia de projetos e uma pedagogia
da pesquisa para garantir resultados eficientes. Sem a ação do aluno não há
aprendizagem. No entanto, não se deve esquecer de que todo conhecimento
procede da ação.

24
2.2 A DOBRADURA NO ENSINO DA GEOMETRIA
Etimologicamente, ORIKAMI, OR! (dobrar) e KAMI (papel).
É uma arte milenar chinesa. Talvez, as primeiras dobraduras tenham sido
feitas em tecidos de seda e tinham caráter religioso.
Por volta do ano 200 a.C., o origami chegou aos japoneses vindo com as
famílias chinesas expulsas do seu país e que encontraram abrigo no Japão.
Árabes e espanhóis fizeram os primeiros contatos com o origami ao viajar
em busca de especiarias como chás, pimentas e também seda.
O crescimento do origami criativo no Ocidente iniciou-se na década de
50, embora fosse uma tradição espanhola sem importância e praticada pela
criatividade individual ocasionalmente, antes daquela época. Curiosamente,
desde aquela década, esta arte também passou por uma evolução criativa no
Japão, tanto que há, hoje, várias centenas de livros impressos na língua
Japonesa, a maiona contendo novos trabalhos. Inclusive, está vindo do
Oriente, toda sorte de estilos dispondo da encantadora simplicidade à
espantosa complexidade e da expressividade à Geometria.
A tradição coloca o origami sem o uso de cola ou tesoura. Na sala de aula
podemos transformá-Io usando cola, papéis variados e tesoura. O importante é
verificar sua eficiência como mais um recurso didático.
O origami faz parte do currículo desde a pré-escola à universidade nos
Estados Unidos, China, Japão e alguns países da Europa.
No ensino da Geometria fornece subsídios para o ensino/aprendizagem
em todas as etapas da educação básica.
Não é exagero afirmar que num trabalho com poucas dobras possam ser
compreendidos conceitos geométricos que muitos alunos do ensino médio
desconhecem. Embora se saiba que alguns conhecimentos precedem outros
necessários e que se deve escolher um certo percurso, não existem, por outro

25
lado amarras tão fortes como algumas que podem ser observadas, quando, por
exemplo, o professor acha que se deve partir do ponto ou reta para ensinar
Geometria. Portanto, o nível de aprofundamento nos conceitos geométricos
dependerá da observação e planejamento flexível do professor. O que não se
pode, é privar o aluno da riqueza do conteúdo seguindo uma forma
esquemática, pré-organizada em função de conhecimentos prévios, de pré-
requisitos para séries ou ciclos.
Crianças pequenas também produzem matemática, são capazes de realizar
grandes descobertas e se sentirem felizes com isso. O que pode parecer, à
primeira vista, divertimento, é uma oportunidade para trabalhar a habilidade
visual, a interpretação e a observação.
Assim, é possível através do origami, atividade de cunho perceptivo,
estabelecer articulações necessárias para a elaboração de conceitos
geométricos.
No ensino da Geometria é possível observar uma polarização entre as
atividades perceptivas (observação e manipulação de objetos) que são
predominantes nas quatro séries iniciais e as atividades de sistematização do
conhecimento geométrico (teoremas) que ocorrem nas séries seguintes. No
processo de construção do conhecimento geométrico a ênfase dada a qualquer
um desses dois estágios traz prejuízos, pois, só as atividades concretas de
manipulação são insuficientes e a sistematização de conceitos toma-se muito
difícil sem as relações com atividades de percepção dos objetos.
Pela atividade física ou mental da produção do saber, o aluno e o
professor vão adquirindo não só novos conhecimentos, como também,
confiança e segurança em si mesmos, exercendo, desta forma a sua cidadania e
cumprindo seu papel social no mundo do trabalho. Pela produtividade, se é ou
não é um bom aluno ou um bom professor, isso ficará a critério de cada um no
decorrer do tempo, pois, conforme enfatizado por MACHADO (1995, p. 53),
". .. não é necessário em sentido algum organizar a geometria tendo por base
----..---

26
um vetor com ongem nas atividades perceptivas e extremidade na
sistematização formal: é fundamental articular a percepção e a concepção,
divisando degraus - ou canais - convenientes para possibilitar um trânsito
natural entre ambas, com dupla mão de direção".
Na seqüência do desenvolvimento deste trabalho serão mostrados alguns
dos inúmeros conceitos geométricos que podem ser entendidos a partir de
dobraduras bem simples que podem ser feitas por alunos de 2a
, 3a
e 4a
séries do
ensino fundamental.

CAPÍTULO rn
O TRABALHO DESENVOLVIDO EM SALA DE AULA
3.1 OS ALUNOS ENVOLVIDOS NA PESQUISA
Anteriormente já foi comentado que esta investigação caracteriza-se como
pesquisa-ação.
Aqui, professora-pesquisadora com seus alunos de 23
série e professora
colaboradora na pesquisa com sua turma de 43
série, do ensino fundamental,
envolvem-se num trabalho que objetiva a construção de conceitos geométricos
relativos a formas planas e espaciais usando como principal recurso a
dobradura, sendo que muitas das atividades propostas são comuns às duas
turmas.
Pode-se notar na Proposta Curricular da SME-PG até um maior
aprofundamento da Geometria para a 43
série, entretanto, o ponto de partida
necessita ser o mesmo para todas as séries/ciclos: "espaço". Daí o porquê de se
partir de uma mesma atividade para ambas as turmas.
Com o trabalho espera-se que o aluno identifique características próprias
das formas tri e bidimensionais, percebendo semelhanças e diferenças entre
elas. A terminologia própria (arestas, faces, vértices, lado, ângulo) precisa ser
utilizada, mas para crianças de 13
e 23
séries, não se deve priorizar o uso da
nomenclatura. Pode-se admitir o emprego de termos como: pontos, bicos,
cantos ...
Seria demasia afirmar que os encontros, que não chegaram a dez, entre
professora - pesquisadora e alunos de 43
série, fossem suficientes para o
trabalho de todos os temas propostos. Já com a 23
série, houve mais tempo;
essa turma já está participando da pesquisa desde o início do ano. Entretanto,

28
o progresso pôde facilmente ser observado nas atitudes dos alunos a cada nova
atividade proposta.
Tanto para a 4a
, quanto para a 2a
série, foi feita a seguinte pergunta:
o que se estuda em Matemática?
Os alunos de 4a
série responderam: "números, contas, tabuadas,
problemas e operações (+, x, """,-).
Abaixo algumas colocações doa alunos de 2a
série:
"A matemática é muito importante porque ela educa as pessoas, usamos em toda parte.
Exemplo: na escola, na rua. nos bares. nas lojas ete. Matemática me ensinou muitas coisas
como fazer de + - x i 7. Tudo isso faz parte da matemática essa matéria é a que eu mais
gosto. A matemática há em todas as partes principalmente nas músicas e nos brinquedos e
em todos os lugares que você pode imaginar". [a-1].
"A matemática é importante porque ajuda em algumas coisas que usamos na nossa vida
ajuda nós a fazer as contas. Eu gosto muito de matemática é como estrela, retângulo.
quadrado e círculo. Eu acho legal matemática". [a-2].
"A matemática são contas. problemas. numerais. tabuadas. A Matemática é o ensino de
várias coisas, por exemplo: contas novas. A Matemática é um exemplo de ensino da escola.
A Matemática, são formas até o nosso corpo tem Matemática. Por exemplo: os olhos. as
mãos os dedos. A Matemática é Música. A Matemática são jogos". [a-3].
"Números. problemas. contas. trocos no mercado. uma cerâmica, um quadro, uma roda, um
olho, uma construção etc", [a-4].
"Porque nós aprendemos as formas, jogos, operações, tabuadas, problemas e contas". [a-5].
"A Matemática se usa em outras coisas, Mercado, instrumentos musicais e na data do ano".
[a-6].
A seguir as duas turmas, em dias distintos, assistem ao filme: "Donald no
país da Matemática".
Este é um excelente recursos para mostrar quanta matemática existe além
daquela que foi relatada pelos alunos anteriormente. Neste filme, a Geometria
é o principal foco da Matemática. Sem deixar de se referir à Geometria antiga
(Pitágoras: Pai da Matemática e da Música, escala musical, pentagrama,
arquitetura) o vídeo ainda traz de modo interessante a Geometria nas formas da
natureza (estrela do mar, colméia, teia de aranha), a matemática nos jogos (a
tabela que incluiu cálculos precisos utilizando ângulos e frações, no jogo de
bilhar), a transformação de formas planas em formas espaciais (o surgimento
da esfera e do cone através da rotação do círculo e triângulo, respectivamente),

29
e o funcionamento de algumas máquinas mostrando que as formas geométricas
estão presentes nas engrenagens.
Todos os alunos denotaram interesse ao assistir ao vídeo e alguns
relataram sobre o que mais lhes chamou a atenção.
O objetivo do uso do filme foi o de mostrar que nas formas encontradas à
nossa volta, também tem matemática: a Geometria e esta será explorada nas
atividades seguintes.
3.2 ATIVIDADES PROPOSTAS:
• eatividade [23
e 43
séries]
Familiarização com formas tri e bidimensionais
• Objetivos:
- Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço,
identificando formas tridimensionais e bidimensionais na situação em
que envolve a construção de um sólido geométrico.
Seguir etapas pré-determinadas para transformação de uma forma
bidimensional' para uma forma tridimensional.
1 . Coletivamente foram citadas algumas formas encontradas na sala de
aula.
~ Porta => material dourado
~ Livro => lápis
~ caixa de giz => folha de papel
~ caixa de sapato => cartazes etc.
2 . Comparação entre uma folha de sulfite e uma caixa de sapato: um
aluno diz que o papel é fino e a caixa é alta. Outro diz que o sulfite é parecido
com a tampa da caixa. Assim, a professora pôde aproveitar essa comparação e
I Aqui uma folha de papel sulfite é usada para representar um retângulo, forma bidimensional. O retângulo,
como outros polígonos não tem espessura, é uma construção abstrata.

30
colocar: na caixa e no papel sulfite temos 6 "parte s"z . Pode-se perceber esse
aspecto, também, em outros objetos da sala: armário, tampo da carteira, muitas
folhas de papel sulfite empilhadas etc.
3 . Outros objetos são apresentados. Estes são pnsmas e pirâmides,
embora esta terminologia própria, ainda não seja usada. Com isso, pretende-se
que os alunos observem o que há de semelhante e diferente entre estes e a
folha de sulfite. Assim, coloca-se os => termos que classificam as figuras
geométricas, segundo a propriedade que lhes é característica:
~ Figuras não-planas / espaciais / tridimensionais
~ Figuras planas / bidimensionais.
Neste aspecto, TOLEDO define:
"Figura plana é aquela em que todos os pontos se apoiam sobre a
superfície que repousa ... Figura não-plana é aquela em que parte dos pontos
se apoia na superficie e parte não, ficando fora dela ... ". (1997, p. 235).
4 . Apresentação do desenho de uma pirâmide (representação no plano) e
uma pirâmide de papel (figura tridimensional).
No desenho vemos todas as "partes" da pirâmide?
A resposta é negativa. O desenho (Anexo 2) sugere uma figura
tridimensional, mas não conseguimos ver todas "partes" (faces) como é
possível com a pirâmide de papel quando a movimentamos.
5 . Situação-problema:
É possível transformar uma folha de papel com forma quadrada numa
pirâmide?
Alguns alunos sugerem que se cortem vários triângulos e um quadrado e
cole-os.
2 A denominação é utilizada neste momento, e posteriormente será substitui da pelo termo "faces".

31
6 . A apresentação da dobradura da pirâmide com base quadrada: (Anexo
3).
Dirigida passo a passo pela professora aos alunos dispostos em grupos
com cinco elementos que ainda contam com a prancha. (Cartaz onde estão
todos os passos da dobradura).
7 . Exploração do sólido construído: faces, arestas e vértices.
Comparando-se a pirâmide construída com uma caixa de giz (cúbica)
pede-se aos alunos que comparem os dois objetos, seguindo alguns critérios:
- movimentá-los de diversas maneiras sobre a carteira;
contar as "partes" que tem em cada uma.
Os alunos percebem que de qualquer modo que se apoie a caixa sobre a
carteira ela apresenta na parte superior uma "parte" quadrada e na pirâmide as
"partes" observadas não são todas iguais.
A professora coloca que essas "partes" que na Caixa são seis e na
pirâmide são cinco, são chamadas faces. Os alunos contam na pirâmide quatro
faces triangulares e uma face quadrada.
A identificação de arestas e vértices pode ser realizada com alunos a partir
da 33
série.
Pede-se aos alunos que expliquem como se dá o encontro das faces da
pirâmide. Estes, percebem que isso caracteriza as dobras. Utilizando-se giz
colorido numa pirâmide maior feita com papel branco, a professora marca
essas dobras e facilmente os alunos podem contar as arestas. A seguir, os
alunos verificam que as arestas encontram-se num ponto chamado vértice.
8 . Planificação através da abertura da caixa.
~ Marca-se os pontos que são as quatro pontas da estrela e os quatro
pontos do quadrado (base da pirâmide).

32
~ Une-se os pontos e consegue-se visualizar-se as 5 faces da pirâmide.
Anexos:
2 . As mais belas pirâmides
3 . Passos para a dobradura da pirâmide
2a
atividade (2a
e 4a
séries)
Reproduzindo figuras não-planas
~ Objetivos
Construir através de dobradura um cubo.
- Identificar número de faces, arestas e vértices (só 4a
série)
Classificar figuras não-planas em dois grupos: corpos redondos (que
rolam) e poliedros (que não rolam).
1 Organiza-se a turma em grupos com cinco alunos e são distribuídos objetos
que representam cubos, prismas, pirâmides, esferas, cilindros e cones.
Alguns desses objetos: dados, barrinhas que representam a dezena e centena
no material dourado, caixas de fósforos, pingentes (pirâmide), bolinhas de

0--- - -.-r -;) ---,r--7
alunos apoiem esses objetos sobre a carteira de modo a mantê-los em
equilíbrio de qualquer modo que sejam colocados. Eles logo percebem que
isso não é possível com todos os objetos, pois, nem todos tem todas as faces
planas. Assim a professora sugere que sejam separados os objetos que não
pertencem à solução anterior, isto é, sólidos que não tem todas as faces
planas (cones, cilindros e esferas) e que estes sejam empurrados sobre a
carteira. Destaca-se, então, a classificação das figuras não-planas:
~ Corpos redondos => podem rolar quando empurrados sobre uma
superficie plana. Exemplos: esfera (bola de gude, futebol), cilindro
(latas, lápis), cone (casquinha de sorvete, cones de lã).
~ Poliedros'' -> poli - muitas, e edro - faces ( vem da palavra grega
hedra que significa face). São figuras com todas as faces planas, isto
é, que sempre permanecem em equilíbrio sobre uma superficie plana.
Os poliedros também não rolam quando empurrados. Exemplos:
prismas (dados e caixas) e pirâmides.
Os dados são anotados pelos alunos.
2 . Pede-se que da coleção de objetos os alunos retirem dois poliedros de
acordo com os seguintes critérios:
o primeiro que tenha todas as faces com quatro lados,
o segundo com faces triangulares."
Na Caixa objetos com essas características poderiam ser: o dado, as
barrinhas do material dourado, as caixas de fósforo e sapato - para o primeiro
3 Definição elaborada de acordo com observações dos alunos e critérios sugeridos pela professora.
4 Os alunos participantes desta pesquisa pertencem segundo a teoria de Piaget ao terceiro estágio de
desenvolvimento cognitivo - operações concretas. A inclusão de classe é uma característica desse período.
Pôde se perceber que o grupo conseguiu estabelecer relações segundo critérios, mas isso, só foi possível com a
manipulação de objetos. Só após os 12 anos, a criança será capaz de raciocinar em termos abstratos
(proposições verbais ou hipotéticas).

34
objeto pedido. A pirâmide (construí da anteriormente) e o pingente desta
mesma forma caracterizam o segundo objeto descrito.
Uma segunda arrumação é pedida segundo os critérios:
- objetos em que todas as faces tem 4 lados;
- objetos que mostram faces com o mesmo formato (polígonos que
compõem as faces) quando colocado de todas as maneiras possíveis
sobre a carteira.
A professora, então, visita os grupos e observa que logo os alunos
descartam as pirâmides na classificação. Por serem caixas com estampas e
rótulos, os alunos confundiram-se na classificação de acordo com o segundo
critério, pois, não incluíram no grupo o dado (usado nos jogos) e uma caixa de
giz (cúbica), mas os cubos que representam a unidade simples e a unidade de
milhar foram incluídos. Então, foram desmontadas as caixas de giz e coladas
com o avesso para fora. Assim, pode-se perceber que as peças do material
dourado e as caixas possuíam todas as 6 faces iguais - mesmo tamanho,
portanto, poderiam ser incluídas no grupo.
A característica desses objetos é que representam figuras não-planas que
tem seis faces quadradas. Neste aspecto, todas tem a forma cúbica, por
exemplo, o dado usado nos jogos.
3 . Construção de um cubo só com dobradura de papel (Anexo 4).
Os grupos de alunos se utilizam de pranchas para construção do sólido.
4 . Planificação - contorno das faces através da rotação do sólido.
- marca-se os pontos A,B,C,D e gira-se o cubo marcando-se os outros
pontos (os vértices);
- une-se os pontos e obtêm-se as 6 faces do cubo.

35
A B
C D
I
Com os alunos de 4a
série volta-se e propõe-se a observação dos
elementos neste sólido obtendo-se:
~ 6 faces
~ 12 arestas
~ 8 vértices
(exploração já utilizada na primeira atividade)"
3a
atividade (2a
e 4a
séries)
Reproduzindo polígonos
~ Objetivos
- Estabelecer diferenças entre alguns quadriláteros quando representá-
los nas dobraduras.
- Utilizar a régua para medir lados dos polígonos.
Montagem num painel com algumas formas espaciais e planas
1 . Formas não planas/tridimensionais:
a) Poliedros
5 Anexo 4 - Prancha da dobradura do cubo.

36
pnsmas { cubo (dobraduras)
paralelepípedos - caixas, tijolos
- pirâmide (dobradura)
b) Corpos redondos
cilindro (lápis e latas)
- cone (canudinho de refrigerante, cone de lã)
esfera (bolas)
2 . Figuras planas / bidimensionais:
Classificação de algumas formas planas observando-se a figura
tridimensional que as originaram.
a) Quadrado e retângulo (prismas).
b) Triângulo e quadrado (pirâmide com base quadrada).
c) Círculo e retângulo (cilindro).
d) Círculo inteiro e ~ de círculo (um modelo de cone).
Todas as figuras tridimensionais foram desmontadas de modo a facilitar a
observação das figuras planas que as originaram. A planificação dos sólidos
feita anteriormente, também, proporciona esta observação.
3 . Pede-se aos alunos que comparem um quadrado e um retângulo
apontando semelhança (s) e diferença (s).
A maioria dos alunos de 4a
série determinam a diferença quanto às
medidas dos lados, mas não apontam a semelhança quanto ao número de lados
e ângulos (este último elemento ainda não foi citado no trabalho).
Os alunos de 2a
série também apontam a mesma diferença. Entretanto,
com alunos de outra 2a
série que não estão participando da pesquisa, não se
chegou a esta identificação.

37
Segundo Piaget só a partir dos 9 ou 10 anos a criança se interessa pelas
propriedades métricas dos objetos como o comprimento dos lados, abertura
dos ângulos dos polígonos etc.
Faz-se, então, o levantamento das características desses polígonos:
quatro lados
quatro "cantos" (ângulos)"
Confirma-se a diferença entre eles medindo-se o comprimento dos lados.
Os dois polígonos são classificados como quadriláteros. Nesse mesmo
grupo estão os trapézios, losangos e paraIelogramos.
Contornando-se as faces da pirâmide encontramos uma forma diferente
dos quadriláteros. Na pirâmide as faces laterais são triângulos.
4 . Numa folha de sulfite (29 em x 21 em) são feitas dobras e chega-se a
representação dos polígonos: quadrado, retângulo, trapézio, losango,
paralelogramo e triângulo.
(Anexo 5: Dobradura das figuras planas).
4a
atividade (4a
série)
Introduzindo o conceito de ângulo
~ Objetivo
apontar semelhanças e diferenças entre os dois polígonos apresentados
para conceber a noção de ângulo.
1 . Os grupos recebem as seguintes formas planas cortadas em papel
sulfite e respondem ao questionamento:
6 Neste momento, ainda não foi possível falar de ângulos retos. Na próxima atividade, os alunos começam a
observar este elemento nos polígonos.

38
~ Qual o número de lados de cada figura?
~ Podemos incluí-Ias no grupo dos quadriláteros? Por quê?
~ Quais são as medidas dos lados de cada um desses polígonos?
~ Ambas têm o mesmo de lados e a mesma medida para todos os lados.
Então elas são iguais?
~ Coloquem um quadrilátero sobre o outro. Elas são semelhantes?
~ Qual é, então, a diferença entre elas?
~ Para esta última questão, algumas das respostas:
Q o losango tem "cantos" mais pontudos.
Q Os lados do losango são inclinados.
Q O quadrado tem "cantos" mais retos e no losango tem cantos mais
abertos.
Os alunos começam, então, a perceber que a diferença entre o losango e
quadrado tem a ver com a "abertura" dos seus ângulos / "cantos".
Pede-se, desta forma, que coloquem um quadrilátero sobre o outro de
modo a comparar os "cantos" e, observar a sua abertura.
É o momento em que se coloca a palavra ângulo relacionando-a com a
abertura dos lados dos polígonos. Na sala também podemos observar vários
ângulos: uns são como o quadrado (canto do quadro, porta, carteira e outros
com menor abertura) o ângulo da letra A, o triângulo no cartaz do palhaço. Os

39
ângulos no quadrado são chamados ângulos retos. Estes medem 90° (noventa
graus). Propõe-se que os alunos confirmem os exemplos que deram de
ângulos retos e para isto, utilizam o esquadro de papel.
2 . Usar o esquadro de papel:
q Verificar os ângulos retos na sala de aula
q Comparar os ângulos das figuras planas reproduzi das
anteriormente (quadriláteros e triângulos).
TOLEDO (1997, p. 246) sugere uma atividade de ladrilhamento com
polígonos para introduzir o conceito de ângulo como "abertura" dos lados dos
polígonos. O conceito de ângulo como mudança de direção, também, pode ser
trabalhado a partir da seguintes atividades:
~ posição dos ponteiros do relógio em momentos diferentes;
~ posições da porta, desde fechada até totalmente aberta (os alunos
marcam essas posições no chão, usando giz;
~ o contorno com o dedo em discos de cartolina, dobrado ao meio, dá-se
meia volta.
(Anexo 6 - esquadro de papel).
sa atividade (4a série)
Classificando triângulos pela medida dos lados.
~ Objetivos
q Reproduzir triângulos e classificá-los quanto ao número de lados.
I O Trabalho com triângulos.
a) Leitura comentada do texto informativo - História dos ângulos: O
triângulo mágico (Anexo 7).
b) Demonstração prática, segundo o procedimento explicado no texto
com o uso de uma placa de isopor, barbante e palitos.

40
2 . Um aluno desenha numa cartolina um triângulo como o do texto: com
um ângulo reto e para os lados medidas maiores, assim, todos podem
visualizar. A professora sugere, então: 30 em, 40 em e 50 em. Outros dois
triângulos são apresentados para a turma. Um aluno faz a medida dos lados
dos três triângulos, obtendo em centímetros:
10
triângulo: 30, 40 e 50
20
triângulo: 30, 30 e 40
3° triângulo: 30, 30 e 30
3. Reproduzir através de dobraduras triângulos semelhantes aos
observados utilizando uma folha de papel sulfite. (Anexo 8).
a) o primeiro com três lados de mesma medida
b) o segundo com três lados de medidas distintas
c) o terceiro com dois lados de mesma medida
Recortar os triângulos e confirmar as medidas com a régua.
Classificam-se, então, os triângulos de acordo com as medidas de seus
lados como:
~ equilátero - apresentam os três lados congruentes;
~ isósceles - apresentam apenas dois lados congruentes;
~ escaleno - apresentam os três lados com medidas diferentes.
6a
Atividade (4a
Série)
Reconhecendo polígonos
Objetivo
~ Identificar polígonos utilizando terminologia própria em dobraduras
variadas

41
1 Os alunos escolhem numa pasta duas dobraduras de animais que irão
fazer. Eles já estão familiarizados com os polígonos de três e quatro lados.
Pretende-se nesta atividade ampliar esta classificação com o emprego de uma
terminologia apropriada. Aqui, a professora aproveita para dizer que nos
polígonos, o número de lados é igual ao número de vértices e de ângulos
internos. Também mostra que em alguns deles há relação entre os nomes e o
número de lados (ou de ângulos) da figura. Ao confeccionarem as duas
dobraduras que passo a passo são dirigidas pela professora, os alunos vão
classificando os polígonos que surgem. No momento que surgem figuras que
desconhecem a professora chama a atenção e coloca a nova denominação.
Após as duas atividades chega-se ao seguinte diagrama:
FIGURAS PLANAS
N° DE LADOS NOME DOS POLÍGONOS*
3 Triângulo
4 Quadrado.retângulo e trapézio
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9** exágono
10 decágono
11 undecágono
12 dodecágono
15 pentadecágono
20 isoságono
Anexo 9 - Dobraduras:
a) Coruja que dá cambalhotas
b) Peixe
* Polígonos: vem do grego, poli - "Muitos" e ganas - "ângulos". Os polígonosnáo relacionados no
quadro são denominados simplesmente pelo seu número de seus lados, por exemplo: "poligonos de
treze lados".
** Os polígonos com n° de lados maior que oito não foram observados nas dobraduras realizadas.

3.3 DESCRIÇÕES, ANÁLISES E CONCLUSÕES A PARTIR DO
TRABALHO DESENVOLVIDO
As atividades desenvolvidas foram planejadas no sentido de promover a
construção do conhecimento geométrico nas séries iniciais através da
dobradura, principalmente, quanto à diferenciação de formas tri e
bidimensionais.
No início do trabalho, isto constituiu o problema investigado. Pode-se
concluir que a resposta foi afirmativa porque o progresso e crescimento foram
facilmente observados nas atitudes dos alunos durante o desenvolvimento de
cada nova atividade proposta. Entretanto, como já foi colocado: "a construção
do conhecimento é um método que demanda um conjunto de aulas, a
totalidade de um curso" (VASCONCELLOS, 1995, p. 47), e é por isso que não
se pode garantir que a organização de conteúdos utilizada em certos momentos
poderia ser adequada a outras situações, como em outras turmas, por exemplo.
Tendo-se em vista que é necessário estabelecer relações com outras
disciplinas, e, também, com os temas transversais (Meio Ambiente,
Plural idade Cultural, Ética etc) devem ser feitas outras considerações para
organizar os conteúdos de modo a lhes conferir significado.
A dobradura foi o principal recurso empregado, mas ainda pôde-se contar
com o uso de vídeo e textos (aqui estes valorizam a matemática como
conhecimento produzido histórica e socialmente), embalagens de produtos
alimentícios, materiais escolares etc. Por se tratar de um auxílio já empregado
por muitos professores em diversas disciplinas, surgiu o interesse de tomar a
dobradura o recurso didático central no trabalho.
Todas as formas conseguidas dobrando-se papéis está repleta de conceitos
geométricos. Além disso, as crianças adoram. Tornando-se o ensino mais
criativo e prazeroso, tem-se maior garantia de aprendizagem. No trabalho com
as séries iniciais estas qualidades são indispensáveis.

43
No planejamento e desenvolvimento das atividades procurou-se atender
às três dimensões propostas por VASCONCELLOS num método de
construção do conhecimento. Pode-se, resumidamente, descrever estes três
. .
eIXOSassim:
,--
/ -
r>
r:
r-
r
r:
r
J
Embora a determinação mecânica de objetivos seja combatida, a definição
destes foi necessária para todas as atividades; e talvez a prática tecnicista na
formulação deles foi abandonada quando não ficou restrita ao papel da
professora, a não ser no momento da organização do trabalho pedagógico. Ao
propor uma atividade lúdica, chamando a atenção para o conhecimento que o
aluno já tinha sobre o objeto de estudo (elementos correlatos e pertinentes que
permitem uni maior número de relações) pretendia-se a Mobilização para o
Conhecimento e sua manutenção durante a aula.
A problematização nas atividades, possibilitou que os alunos fossem
estimulados para uma tarefa criativa onde precisaram elaborar hipóteses na
tentativa de resolver o desafio. O levantamento de alternativas, a elaboração
de estratégias e a testagem delas, já foi praticamente, a Construção do
Conhecimento. Aqui, a intervenção da professora foi necessária, ajudando os
alunos na organização das atividades, na promoção da interação entre os
elementos envolvidos e na problematização.
Quando os alunos faziam relações, estabelecendo semelhanças e
diferenças entre as várias formas planas e espaciais, quando utilizavam a
terminologia apropriada para as formas tri e bidimensionais, ao relacionarem
os conceitos geométrico ao meio em que vivem e ao representarem no plano
formas espaciais, percebeu-se o que VASCONCELLOS (1995), define como
"Síntese do Conhecimento ".
Nas atividades desenvolvidas, houve a integração entre a Geometria e os
outros eixos matemáticos (números e medidas)?
Não foi possível realizar todas as articulações que as atividades
favoreciam, entretanto, algumas merecem destaque:

44
~ A representação decimal dos números ao medir os lados das figuras
planas;
~ A utilização de instrumentos de medidas USUaiSou não ao medir
ângulos;
~ A contagem do número de faces, arestas, vértices, lados e ângulos;
~ Os números fracionários: Yz, 'l4 da folha de papel nos passos seguidos
para as dobraduras.
Outras possibilidades abertas a partir deste trabalho:
~ Números: equivalência e comparação entre frações e representação do
número decimal (leitura, escrita e uso da vírgula);
~ Medidas: histórico de unidades arbitrárias e padrão, unidade padrão e
as mais usuais (metro, centímetro, milímetro e quilômetro) como
frações do metro.
O cálculo de área das figuras planas será o próximo conteúdo de
matemática na 4a
série. Certamente, as atividades realizadas serão úteis na
resolução de problemas, porque a questão das formas bidimensionais foi bem
trabalhada.
No decorrer da pesquisa, houve a necessidade crescente na busca de
fundamentos que a tomasse válida e eficiente no sentido de comprovar a
hipótese que foi levantada. As três dimensões propostas por
VASCONCELLOS para a construção do conhecimento e um pouco sobre a
História da Matemática não foram leituras de obras específicas de Geometria.
Para o entendimento destas, não é necessário a formação na área da
Matemática.
As propostas pedagógicas atuais estabelecem uma metodologia de
trabalho em sala de aula sob uma perspectiva dialética. Com a intenção de
superar uma prática tradicional, procurou-se adaptar o método de
VASCONCELLOS para a construção do conhecimento, nessa pesquisa o
conhecimento geométrico.

45
Alguns textos sobre a História da Matemática foram retirados de
publicações recentes destinadas ao ensino fundamental.
Essas últimas colocações são feitas para esclarecer que, apesar desta
pesquisa ter sido dirigida por uma professora de matemática, a metodologia
empregada para trabalhar os conteúdos, de Geometria não pertencem só ao
conhecimento matemático, por isso deveriam ser domínio de todos os docentes
que atuam na educação fundamental.
Conforme foi visto, há muitos comentários sobre o descaso com o ensino
da Geometria, e considerando-se a falta de conhecimentos geométricos
essenciais para uma prática pedagógica satisfatória, reafirma-se a necessidade
do tema estar presente no processo de formação continuada dos professores
das séries iniciais. Afmal, ninguém pode ensinar o que não sabe.
Na explicação de LORENZATO: "(...) a geração que não estudou
Geometria não sabe como ensiná-Ia é preciso romper com esse círculo vicioso
de ignorância geométrica, mesmo porque já passou o tempo de Ler, Escrever e
Contar". (1995, p. 4).

CONSIDERAÇÕES FINAIS
Em vários momentos deste trabalho comentou-se sobre o despreparo do
professor das séries iniciais para trabalhar a Geometria assim como a
negligência dele, por não conhecer as possibilidades que esse saber
matemático pode proporcionar. Na pesquisa, foi necessário descrever esse
panorama, entretanto, a resposta positiva obtida a partir da hipótese levantada
foi o "porquê", a "razão" para realizar o trabalho.
Outro objetivo alcançado, este por se tratar de uma pesquisa-ação, foi
uma melhora significativa na prática pedagógica da pesquisadora. A partir dos
resultados obtidos, toma-se possível avaliar a eficiência ou não das estratégias
empregadas e a extensão desses procedimentos em outras práticas.
Também merece destaque considerar que a pesquisa-ação é viável na
prática docente objetivando a contribuição no ensino-aprendizagem com
compreensão. Esse professor atenta, ainda, para a observação das possíveis
mudanças de comportamento dos alunos, a partir do seu trabalho. Assim com
as crianças das séries iniciais a mobilização para construir o conhecimento
adquire uma certa carga de afetividade.
Observar o sorriso no rosto de uma cnança ou de um adolescente
realizando um trabalho, ficando feliz com o resultado e conquistando novos
conhecimentos é o momento de realização do professor.
Justificam e são suficientes para validar todo este trabalho de pesquisa, os
seguintes relatos dos alunos da Quarta série que participaram das atividades
durante algumas semanas.
"Nós aprendemos que os egípcios faziam aquelas pirâmides, aprendemos as dobraduras, e
aprendemos que a geometria é que faz parte da matemática".
"Gostei de aprender que a matemática não é só contas e problemas, mas, também, tem as
formas planas e espaciais que são muito interessantes".

47
"Fazendo as dobraduras, aprendi que a matemática é usada para muitas coisas".
"A natureza é cheia de Matemática. Nas dobraduras aprendi formas planas e espaciais. No
filme vi a matemática que eu não conhecia".
Nesses dias fizemos as dobraduras que são: pirâmide, cubo, prismas, cilindro, quadrado,
losango,trapézio, eu gostei muito. Hoje, eu aprendi o triângulo escaleno, equilátero, isósceles
e fazer a dobradura da coruja e por último o peixinho".
"Eu achei que essas aulas foram muito legais: assistimos vídeo que nos mostrou que a
matemática não é só número. A matemática também é diversão e tem jogos. Aprendemos
formas geométricas que nós pensamos que não existia e fizemos dobraduras de várias
formas".
"Simplesmente eu digo que adorei porque desenvolveu a minha inteligência e cada dia eu
sabia que ia aprender uma coisa diferente. Com muito respeito digo que adorei, amei a
geometria com dobraduras".
A questão final e mars importante: o aluno que participou da pesquisa
ampliou sua visão em relação à Matemática, até então, a ciência dos números e
descobriu a beleza das formas com o estudo da Geometria.
"A Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo".
(GALILEU GALILEI).
--"-------------------

48
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSUMPÇÃO, Sérgio L. Orgami. In: SEMINÁRIO ÁREAS DO
CONHECIMENTO. Curitiba: SEED, 1998, p. 93-95.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Matemática. Brasília, 1997.
CAMARGO, J. A.; PEREZ, M. Reflexões sobre o ensino/aprendizagem da
Geometria. In : SEMINÁRIO ÁREAS DO CONHECIMENTO. Curitiba:
SEED, 1998, p. 19-32.
D' AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. São
Paulo: Papirus, 1996.
CADERNOS CEDES, 40. Centro de Estudos Educação e
Sociedade. História e Educação matemática. Campinas-SP.: Papirus, 1996.
DANTE, Luis Roberto. Didática da matemática na pré-escola. São Paulo:
Ática, 1994.
DUHALDE, Maria Elena. Encontros iniciais com a matemática:
contribuições à educação infantil. (Trad. M" Cristina Fontana). Porto Alegre:
Artes Médicas, 1998.
FUSARI, José Cerchi. A educação do educador em serviço: o treinamento
de professores em questão. São Paulo: PUC, 1988.
GÊNOVA, A. Carlos. Origami escolar: dobraduras. São Paulo: Rideel,
1998.
GERDES, Paulus. Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba:
UFPR, 1992.
GIL, Antônio Carlos. Como elaborar projetos de pesquisa. 3. ed. São
Paulo: Atlas, 1991.
IMENES, L. M. P.; JAKUBO, L. Novo Caminho: Matemática - 48
série.
São Paulo: Scipione, 1997.

49
LIBÂNEo, José Carlos. Democratização da escola pública: a pedagogia
crítico-social dos conteúdos. São Paulo: Loyola, 1985.
LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar geometria: a educação
matemática em revista. SBEM, Ano III, 1° Sem., 1995.
MACHADO, Nilson José. Epistemologia e didática: as concepções do
conhecimento e inteligência e a prática docente. São Paulo: Cortez, 1995.
___ o Atividades de geometria. São Paulo: Atual, 1996.
MONTGOMERY, Mary. Aprendendo e ensinando Geometria. (Trad:
Higino H. Domingues). São Paulo: Atual, 1994.
O'BRIEN, Thomas. Abaixo a matemática do papagaio. Revista Nova Escola,
agosto/2000.
RADESPIEL, Maria. Alfabetização sem segredos: novos tempos-
Matemática. Contagem-MG: Iemar, 1999.
RIOS, Terezinha A. Educação, ética e política: noção de competência na
prática educativa. São Paulo: PUC, 1988.
SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO E CULTURA. Plano
curricular das escolas municipais. Ponta Grossa: SMEC, 1994.
TAHAN, Malba. 1895-1974. O homem que calculava. 4. ed. Rio de
Janeiro: Ed. Record, 1999.
THIOLLENT, Michel. Metodologia da pesquisa-ação. 3. ed. São Paulo:
Cortez, 1986.
TOLEDO, Marília. Didática da matemática: como dois e dois - a construção
da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
TRIVrNOS, Augusto N. S. Introdução à pesquisa em ciências sociais. São
Paulo: Atlas, 1987.
VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Construção do conhecimento em
sala de aula. São Paulo: Cadernos do Libertad, 1995.

ANEXO 1 QUESTIONÁRIO
PROFESSORA : srnIE :
AGOSTO / 2000
1. Professora. você considera importante o trabalho da geometria nas sé-
ries iniciais? Por quê?
2. NÚmeros, medidas e geometria - blocos de conteúdos matemáticos para as
séries iniciais. Você faz articulações com números e medidas ao trabalhar
geometria? Descr~va uma situação em que isto foi possível.
3. Até o final do primeiro semestre que assuntos de geometria foram trab~
lha40s na sua turma?
4. Que estratégias/ metodologias você utilizou?
5. Houve alguma dificuldade na abordagem destes temas? Comente •
••6. Como voee avalia seus alunos nos trabalhos de geometria?
7. Que recursos materiais você usa em suas aulas de geometria? Existe ou-
tros que você considera bons mas que não possui?

ANEXO 2 FOTO DA PIRÂMIDE ( extraída do livro As mais be~as p~ram~aes)

ANEXO 3 - DOBRADURA DA PIRÂMIDE
* Usar papel fotocopiadora papel para origami. Aqui medida
,
Bcm Xpara ou a e
Bem.
A. B
, ,-
/
-, /
,.
/
,.
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"- /
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"-
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,
~ /
,-
,.
"/
/
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/
"-
/
/
/
<,
/
/
C~iG D
- .. Marque as diagonais AlD e BC. 2.Dobre A e D observando a fiRura ac!
Desdobre .. ma .•Repita nas quatro pontas ..Desd~
breo
Dobre levando A até B. Dobre
mais uma vez.(o quadrado inicial
fica dividido em quatro partes
iguais)
4. Corte n~s lugares em que a~arecem
os pentagonos. Dobre como e de -
monstrado. ( quatro vezes)
~..Para montar a pir;mide usa-se um pingo de cola em todos os cantos que sur-
giram ap~s o corte, fixando~os uns sobre os outros.

ANEXO 4 - DOBRA DURA DO CUBO
* Aqui a medida usada é 7cm X 7cm. Para cubos que podem ser usados como da-
dos para jogos sugere-se um papel 150m X 15cm.
(Repetir 6 vezes os passos abaixo. 2.
~ A B A B
c D
c
D
B B
.J,
- - - - -
c
---"
5 o
6. C
B k~------~----,A
-r-,
~
~C D
D
7. 8.
A
D
"
,-.
r>
D

ANEXO .5 FIGURAS PLANAS
r>
'vBRAR UMA FOlliA DE SULFITE ( 28 eM / 21 eM ) NO SENTILO LONGITUDINAL OBTENOO
IvIS RET1lliGULOS.
1. 2.
A. QUADRAm
~e. TRIANGULO
D. RETANG ULO
E o PARALELOGRJilVIO
F o LOSANGO
B o TR.llPEZIO

r
ANEXO 7 - TEXTO
História dos ângulos
Você tem idéia
de como se fazia, na
a n t í g ü id a d e, para obter
~~~~~~~""'-,ângulos retos em construções? Leia
o texto a seguir e conheça
algumas curiosidades
'sobre isto.
o triângulo magrco
Milhares de anos atrás, no antigo Egito, havia homens conhecidos como
esticadores de cordas. A função deles era demarcar os limites dos terrenos e as
fundações das casas, templos e palácios.
Os egípcios antigos preferiam terrenos e edifícios quadrados ou -=-=:::::>l
retangulares, com ângulos perfeitamente retos. Mas não tinham todos
os instrumentos de medição que hoje possuímos. Tinham apenas o triângulo
"mágico"! .
Para fazer um ângulo reto, os esticadores de cordas usavam uma longa
corda com as pontas amarradas uma na outra. A corda tinha doze nós a
espaços regulares, como marcas de uma régua.
Para começar, os esticadores de cordas enfiavam uma estaca no
-oe:::::::===--
chão, no lugar onde queriam o ângulo. Colocavam um dos nós nessaj' '! '
estaca. Depois, contavam três nós, puxavam a corda bem esticada e cravavam
outra estaca no chão, no lugar do terceiro nó.
Voltando à estaca do canto, pegavam a outra parte da corda. Contavam
quatro nós, puxavam a corda e cravavam uma .estaca no lugar do quarto nÓ.E
assim, como num passe de mágica, tinham o triângulo com o ângulo reto que
precisavam para ~um terreno ou edííicio.
O que os csticadores de corda fizeram, foi construir um triângulo retângulo
- um triângulo que tern um ângulo reto em um dos cantos. O truque,
evidentemente, estava em saber em que nós cravar as estacas.
Em um dos lados do ângulo, a corda esticada tinha três espaços. No
outro lado, tinha quatro espaços. E no lado oposto ao canto, havia cincoc::::::~
espaços. Assim, os lados do triànqulo.rínham três, quatro e cinco espaços
de comprimentos. E toda vez que você tiver um triângulo com lados que
apresentam esta relação de três, quatro e cinco, ele será um triângulo retângulo.
O MUNDO DA CRIANÇA. Rio deJaneiro. - Delta, 1988. U 11

ANEXO 8 - TIPOS DE TRIÂNGULO
." ,.1-:J,J ca
II
c
/
/
15,5 c.
A. EQUILATERO
I
B. lSO-SCELES
B
c.
c
•
A

C. ESCALENO

,.-.
ANEXO 9 - DOBRA DURA DO PEIXE E CORUJA
r

Geometria com dobraduras para séries iniciais

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