1. Тема 2
1 Численное дифференцирование
Пусть дана
заданы значения
Необходимо вычислить и, в частности,
Найдем и положим
Примеры. n=1
i
k
ni
k
xLxf
nabhaxniihxxx iih /,;,...,0,: 00
_
xf k
ii fxf
xLk
n
i
k
xf
;
01
01
01
1
10
0
1
xx
ff
xx
f
xx
f
xL
01
0
1
10
1
01
xx
xx
f
xx
xx
fxL

2. n=2:
-h -2h h -h 2h h
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
02
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
fxL
2
0
22
1
22
0
12
2
12
1
02
2
02
2222 h
xx
f
h
xx
f
h
xx
f
h
xx
f
h
xx
f
h
xx
fxL
22212020
2
2
22
2
h
h
f
h
h
f
h
h
f
h
h
f
21002 43
2
1
fff
h
xL

3. 2
0
22
1
22
0
12
2
12
1
02
2
02
2222 h
xx
f
h
xx
f
h
xx
f
h
xx
f
h
xx
f
h
xx
fxL
2221212012
22 h
h
f
h
h
f
h
h
f
h
h
fxL
h
ff
ff
h
xL
22
1 02
2012
2222212022
2
2
2
2
2 h
h
f
h
h
f
h
h
f
h
h
fxL
21022 34
2
1
fff
h
xL

4. 2 Оценка погрешности
формул численного дифференцирования
xxxxxfxLxfxR nnnn 110 ,...,,,
xLxfxR
k
n
k
nk
xxxxxfC mk
n
m
n
k
m
m
k 110
0
,...,,,
:1j
x
xxxfxxxf nn ,...,,,...,,
lim 00
0
nxxxf ,...,, 0

5. nn xxxxfxxxxf ,...,,,,...,,,lim 00
0
:2j
nxxxf ,...,, 0
x
xxxfxxxf nn ,...,,,...,,
lim 00
0
x
xxxxfxxxxf nn ,...,,,,...,,,
lim 00
0
nxxxxf ,...,,, 0
nxxxxxf ,...,,,,2 0

6. Предположение индукции
m
(m-1) пара
m m
nn
m
xxxxxfmxxxf ,...,,,...,,!1,...,, 00
1
:mj
n
m
xxxf ,...,, 0
n
m
n
m
xxxfxxxf ,...,,,...,,
lim 0
1
0
1
0
x
xxxxfxxxxf
m nn ,...,,,...,,...,,,...,
lim!1 00
0
nn xxxxxfxxxxxf ,...,,,...,,...,...,,,,..., 00

7. итого m пар – разностей, тогда получаем:
m+1
m+1
частные случаи
k=1:
xRnk
nn
m
xxxxxfmxxxf ,...,,,...,,!,...,, 00
xxxxxxf
mk
k mk
nn
k
m
110
0
,...,,,,...,
!
!
bax
x
n
f
x
n
f
xR n
n
n
n
n
,,,
,
!2!1
21
1
2
2
1
1
1
1

8. если
тогда
k=2
если
bax
x
n
f
x
n
f
x
n
f
xR n
n
n
n
n
n
n
,,,,
,
!3!2
2
!1
321
1
3
3
1
2
2
1
1
1
2
,,...,0, nixx i
;,,,
!1
11
1
1
1 baxx
n
f
xR iin
n
in
,,...,0, nixx i
bax
x
n
f
x
n
f
xR
i
in
n
in
n
in
,,,
,
!2
2
!1
21
1
2
2
1
1
1
2

9. 3 О вычислительной погрешности формул
численного дифференцирования
• определение1.
Задача называется корректной(или корректно поставленной), если:
1. решение задачи существует и единственно при любом наборе
данных из некоторого класса,
2. решение устойчиво по входным данным.
• определение 2.
Решение задачи называется устойчивым, если оно непрерывно
зависит от входных данных, причем эта зависимость
равномерна по h:
- входные данные, приближенная формула -
yFyFyy
иhhдлячтотакиеhдля
hh
~,~
,,,,,0 00
yFhy

10. Пример
Пусть следовательно
;01
01
01
10
h
ff
xx
xfxf
xLxf
;,,;
22
1111 baxh
f
x
f
xR n
;,;
2
11 baxh
M
xR
;,, baxMxf
Exfxf 101100 ,max,,
;
2
, 2
01
2
h
E
r
h
r

11. ;hg
h
E
h
M
rRR
2
2
211
,
2
2 2
h
EM
hg 0hg ,0
2
2 2
h
EM
,0
2
4
2
2
h
EMh
,2
4
0
M
E
M
E
h
0
0
0
2
2 h
EMh
hg
E
ME
M
EM
2
2
2
2
,2 ME

12. h
R
2/Mh
2
/2 hE
0h
hg
0
EM2

13. если погрешность округления
имеет тот же порядок, что и погрешность аппроксимации
тогда
с другой стороны, если величина Е задана,
тогда должны быть ограничения на h
;
2
11
Mh
R
;
2
2
h
E
r
;
2
2 Mh
h
E
;
4
2
Mh
E ;2
hΟE
,20
M
E
hh

14. продолжение примера
;, 01
10
h
xfxf
yyFh
;0xfF
1010
~,~y, yyFyF hh
;, 1100 xfyxfy
h
;~, 1100 xfyxfy
1100
~ yyyyyy
1010 ,y, yyFyF hh

15. 4 Метод Рунге
Для задачи
построили приближенные формулы
в частности, был рассмотрен пример
Остаточный член (погрешность) последней формулы
Последнее представление погрешности очевидным образом вытекает
из рассуждений:
xfF
hF
h
xfxf
xFh
01
h
f
xR
2
11

16. Отсюда следует, что, например,
...
!32
200
0
01
h
xf
h
xf
xf
h
xfxf
...
!32
3
01
02
01
0
01001 xx
xf
xx
xf
xxxfxfxf
В общем виде погрешность можно представить,
где
не зависит от h.
Главный член погрешности
1pp
hΟhxψxR
xψ

17. если выбрать шаг где r – целое
вычтем второе равенство из первого
главный член погрешности, который можно вычислить
rh
1pp
rhrh rhΟrhxψRFF
1pp
hh hΟhxRFF
1
1 ppp
rhh hΟrhxFF
1
1
p
p
rhhp
hΟ
r
FF
hx

18. приводим к общему знаменателю
новая формула численного дифференцирования
1
1
p
p
rhh
h hΟ
r
FF
FF
1
1
p
p
rhh
h hΟ
r
FF
FF
1
1
p
p
rhh
p
hΟ
r
FFr
F

19. Пример
Задание №7: доказать, что для (*) и (**)
в общей формуле погрешности р = 2
F
h
xfxf
xf
3
03
5.1
hF
h
xfxf
xf 12
5.1
hF3
0x 1x
2
3x
3x2x
2p
3r
303123
2
3
2
3
99
8
1
13
3
hΟ
h
ff
h
ff
hΟ
FF
F hh
3
3210 2727
24
1
hΟffff
h
F

20. 5 Другие постановки задач интерполирования и
приближения функций
Тригонометрическая интерполяция.
Если f(x) периодическая функция с периодом l , то естественно
строить приближения с помощью функций
Т. о. тригонометрическая интерполяция состоит в
замене f(x) тригонометрическим многочленом:
nk
l
kx
b
l
kx
ax kkk ,...,1,0,sincos)(
Пример 1:
,)sincos()(
1
0
0
n
k
kk
n
k
kn
l
kx
b
l
kx
aaxxT

21. коэффициенты которого отыскиваются из системы
уравнений (условия интерполяции):
,12,...,1),()( njxfxT jjn
где
lxxxxx nn 0121210 ,...

22. Приближение рациональными функциями.
Пусть f(х) задана в узлах
nxxx ...10
требуется построить функцию
,
...
...
)(
01
1
1
01
1
1
bxbxbx
axaxaxa
x l
l
l
k
k
k
k
kl
njxfx jjkl ,...,1,0),()(
l, k – заданы, для которой выполнены условия интерполяции:
Пример 2:

23. Дробно-линейная интерполяция (Частный случай
примера 2).
Если значения f(x) заданы в тогда построим функцию ( l =k=1)
0
00

jj
k
i
i
jij
i
j
k
i
i xfxbfxa
,,, 11 iii xxx
0
01
)(
bx
axa
x
Пример 3:
.,...,,,,...,, 11010 bbbааa к
Последние равенства являются системой из (n+1) уравнения
с (k+ l +1) неизвестными
Если потребовать, чтобы n+1=k+ l , тогда имеем систему:
где j=0,1,…,k+l

24. Паде-аппроксимантом функции является дробь
разложение в степенной ряд этой функциии
совпадает со степенным рядом f(x)
с точностью до коэффициента при x L+M.

25. Пример
Паде-аппроксимация наиболее эффективна для функций, имеющих полюса на
комплексной плоскости в окрестностях точки разложения. Функция
Поэтому она неэффективно аппроксимируется степенным рядом
(до шестой степени включительно),
но хорошо аппроксимируется по Паде
со степенями числителя и знаменателя равными 4 и 2.

26. оба графика были построены на основе одной и той же информации - значения
функции и шести производных.
При этом Паде-аппроксимация почти совпадает с графиком функции,
а степенной ряд заметно отклоняется за пределами узкой области