Ma03 números racionales

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Ma03 números racionales

  1. 1. C u r s o : MatemáticaMaterial N° 03 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 3 UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD NÚMEROS RACIONALESNÚMEROS RACIONALES aLos números racionales son todos aquellos números que se pueden expresar en la forma bcon a y b números enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales serepresenta por la letra ». a  Q =  / a, b ∈ » y b ≠ 0  b FRACCIÓN PROPIA E IMPROPIASean a y b enteros positivos. ai) Si a < b ⇒ es una fracción propia. b aii) Si a ≥ b ⇒ es una fracción impropia. bOBSERVACIÓN: Toda fracción impropia se puede escribir como número mixto.IGUALDAD ENTRE NÚMEROS RACIONALES a c a c Sean , ∈ ». Entonces: = ⇔ a d=b c b d b dEJEMPLOS1. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número racional? 5 I) -6 3 II) 5 − 5 III) 2 – 22 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III
  2. 2. x 52. Con respecto a la igualdad = , es siempre verdadero que y 7 A) x = 5 e y = 7 B) x + y = 12 C) 7y = 5x x D) = 0,71… y E) 5y = 7x3. ¿Cuál de las siguientes fracciones es impropia y además irreductible? 7 A) 9 13 B) 39 16 C) 22 9 D) 7 34 E) 17 a4. Al amplificar la fracción , con a ≠ b, se obtiene: b I) Un racional equivalente. II) La unidad. III) Siempre una fracción impropia. Es (son) verdadera(s) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 55. Si a la fracción el numerador se disminuye y el denominador se aumenta en la 4 misma cantidad positiva, entonces la fracción resultante A) es mayor que la fracción original. B) es equivalente a la fracción original. C) es menor que la fracción original. D) es siempre negativa. E) es siempre positiva. 2
  3. 3. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES a cSi , ∈ », entonces: c b d a ad ± bc ± = b d bdOBSERVACIONES a a -a El inverso aditivo (u opuesto) de es - , el cual se puede escribir también como o b b b a . -b b El número mixto A se transforma a fracción con la siguiente fórmula: c b A c +b A = , con A ≥ 0 c cMULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES a cSi , ∈ Q, entonces: b d a c acMULTIPLICACIÓN = b d bdDIVISIÓN a c a d ad : = = , c≠0 b d b c bcOBSERVACIÓN -1 a a b El inverso multiplicativo (o recíproco) de es   = , con a y b ≠ 0 b b  aEJEMPLOS 21. 4 − − 5 = 3 2 A) -9 3 2 B) -1 3 1 C) - 3 1 D) 3 5 E) 3 3
  4. 4. 1 32. Si x = -3 e y = 5 + , entonces x + y = 4 8 1 A) -2 8 1 B) 2 8 5 C) 2 8 D) 3 3 4 5 E) 8 8 a − b 1 23. Si z= , con a = y b= , entonces el valor de z2 – 1 es b − a 3 5 A) -2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 1  1 1 1 7 1 4. El inverso aditivo del recíproco de −  :  −   es 4  3  5 7 5 3  A) -4 B) -1 1 C) - 4 1 D) 4 E) 4 7 75. La cuarta parte del doble de : 24 es igual al triple de 8 4 1 A) 2 B) 2 C) 3 D) 6 E) 12 4
  5. 5. RELACIÓN DE ORDEN EN » a c a c Sean , ∈» y b, d ∈ »+. Entonces: ≥ ⇔ ad ≥ bc b d b dOBSERVACIONES Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes procedimientos: • Igualar numeradores. • Igualar denominadores. • Convertir a número decimal.  b • Transformar a número mixto  A  .  c Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.EJEMPLOS 14 14 141. El orden decreciente de los números p = ,q= y r= es 6 11 3 A) r, p, q B) q, p, r C) p, q, r D) r, q, p E) q, r, p 1 3 112. El orden creciente de los números x = 2 ,y= y z= es 4 2 4 A) z, x ,y B) z, y, x C) y, x, z D) y, z, x E) x, y, z 13 6 73. El orden creciente de los números a = ,b= yc= es 15 7 9 A) c, b, a B) c, a, b C) a, c, b D) a, b, c E) b, c, a 5
  6. 6. 4. Si x es un número racional mayor que 2, ¿cuál es la relación de orden correcta entre 7 7 7 las fracciones a = ,b= y c= ? 2+x x − 2 x A) a<b<c B) a<c<b C) c<b<a D) c<a<b E) b<a<c 5 9 45. El orden de los números mixtos x = 3 ,y=3 , y z= 3 , de menor a mayor es 6 10 5 A) x, y, z B) x, z, y C) z, y, x D) z, x, y E) y, z, x 2 9 36. Sean las fracciones: p = , q= y r= , entonces se cumple que 5 14 7 A) q>p>r B) p>q>r C) r>p>q D) p>r>q E) q>r>p7. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor? 6 A) 29 2 B) 9 3 C) 13 5 D) 22 4 E) 19 6
  7. 7. NÚMEROS DECIMALESAl efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene undesarrollo decimal, el cual puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales tengan los números en conjunto. División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.TRANSFORMACIÓN DE DECIMAL FINITO A FRACCIÓNSe escribe en el numerador todos los dígitos que forman el número decimal y en eldenominador una potencia de 10 con tantos ceros como cifras decimales tenga dichonúmero.EJEMPLOS 31. El desarrollo decimal de la fracción es 500 A) 0,0006 B) 0,006 C) 0,015 D) 0,06 E) 0,62. El valor de (0,25 – 0,7) 2 es A) -1,1 B) -0,9 C) -0,45 D) 0,9 E) 1,9 7
  8. 8. 3. 0,20 0,03 1,2 es igual a A) 0,00060 B) 0,00072 C) 0,0060 D) 0,0072 E) 0,072 0,002 0,34. El valor de es igual a 0,12 A) 0,000005 B) 0,0005 C) 0,005 D) 0,02 E) 5.000 c5. Si a = 0,2 , b = 0,004 y c = 0,000008, entonces es igual a ab A) 0,0001 B) 0,001 C) 0,01 D) 1 E) 106. Si x = 2,044, y = 2,004 y z = 2,04, ¿cuál de las siguientes alternativas indica un orden creciente? A) x<y<z B) x<z<y C) y<x<z D) y<z<x E) z<y<x 8
  9. 9. EJERCICIOS 2 5 11. − + = 3 6 12 1 A) - 6 2 B) - 21 1 C) - 12 1 D) 12 19 E) 12 3 7 2 -42. − 7 − 7  = 4 8   20 A) - 8 B) 0 1 C) 2 D) 1 3 E) 2 143. 9 − es igual a 1 5 − 3 26 A) 3 B) 6 8 C) 3 3 D) - 2 E) -5 9
  10. 10. 14. El recíproco de sumado con el inverso aditivo de -3 es igual a 3 A) 0 2 B) 3 8 C) 3 10 D) 3 E) 65. Si al triple de 1,2 se le resta el doble de 2,1, entonces resulta A) -3 B) -0,6 C) 0,6 D) 1,5 E) 7,8 2 1 5 56. − = 3 6 4 7 28 A) - 15 1 B) - 15 1 C) 30 3 D) 10 23 E) 30 -17. = 1 1+ -1 1+ 1 1+ 4 3 A) - 4 1 B) - 6 1 C) - 3 1 D) 3 1 E) 6 10
  11. 11. 58. ¿Cuál es el doble de la tercera parte de los de 2,4? 8 A) 0,1 B) 0,5 C) 1 D) 9 E) 10 259. Si a 400 se le restan los de su mitad, entonces el resultado es 100 A) -350 B) 300 C) 350 D) 360 1 E) 400 – 32 1 1 110. Se ha vendido , y de una rifa, de la cual aún quedan 3 números por vender. 4 2 8 ¿Cuál es la cantidad total de números vendidos de la rifa? A) 3 B) 6 C) 12 D) 21 E) 24 1511. Si los de una cantidad corresponden a 120.000, ¿cuál es la mitad de la cantidad? 35 A) 20.000 B) 40.000 C) 60.000 D) 140.000 E) 280.00012. Si al precio de un artículo que es $ 180.000 se aumenta en su tercera parte y el nuevo precio se disminuye a su tercera parte, entonces el precio final es A) $ 80.000 B) $ 90.000 C) $ 160.000 D) $ 180.000 E) $ 320.000 11
  12. 12. 19 3 3713. Dados los racionales p = ,q= y r= , entonces se cumple que 13 2 26 A) p>r>q B) r>p>q C) r>q>p D) P>q>r E) q>p>r14. Alicia comparte sus dos barras de chocolate iguales con sus dos amigas Francisca y 8 7 Claudia. A Francisca le da de una barra y a Claudia de la otra barra, quedándose 9 9 Alicia con el resto del chocolate. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)? 1 I) Alicia se quedó con de la cantidad de chocolate que tenía. 3 II) Entre Alicia y Claudia comieron más que Francisca. III) Quien recibió más chocolate fue Francisca. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.15. 0,2 − 0,2  (0,2 + 0,2)  0,2 = A) 0 B) 0,024 C) 0,056 D) 0,08 E) 0,12 0,004 + 0,02 + 0,616. = 0,13 − 0,01 A) 0,0052 B) 0,1 C) 4,457… D) 5,02 E) 5,2 12
  13. 13. 17. Javier, Matías y Diego son jugadores de ajedrez que demoran en promedio por jugada 6,03; 6,09 y 6,12 segundos, respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La suma de las centésimas de los tiempos de Javier y Matías resultan ser las centésimas del tiempo de Diego. II) El que juega más rápido es Matías. III) Javier demora 9 centésimas menos que Diego. A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III18. ¿Cuánto se obtiene si el producto 0,04 0,0064 se divide por el producto 1,6 0,032? A) 0,00005 B) 0,0005 C) 0,005 D) 0,05 E) 0,519. Una herencia de $ 9.000.000 será repartida entre los 5 hijos de un matrimonio en partes iguales. Si uno de estos hijos a su vez repartirá su parte entre sus 3 hijos, ¿cuánto recibirán 2 de estos nietos del matrimonio? A) $ 300.000 B) $ 450.000 C) $ 600.000 D) $ 900.000 E) $1.200.00020. Un tambor está con agua hasta la mitad de su capacidad. Si se saca 6 litros, entonces queda sólo hasta la octava parte de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del tambor? A) 6,85 litros B) 7,50 litros C) 13,70 litros D) 15,00 litros E) 16,00 litros 13
  14. 14. 2 521. Don José vende de su fundo, posteriormente vende del resto al mismo precio el 5 6 metro cuadrado. Si la venta total le recaudó $ 3.600.000, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) De vender lo que le queda, recaudaría un total de $ 3.960.000. 1 II) Le quedó del fundo. 10 III) La diferencia de ingresos entre ambas ventas fue de $ 400.000. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II, III 2 322. Pedro, Juan y Diego inician una empresa, aportando Pedro y Juan, y del capital 5 20 inicial, respectivamente, y Diego el resto. ¿Cuál es el decimal que representa la fracción que aportó Diego? A) 0,15 B) 0,40 C) 0,45 D) 0,55 E) 0,8023. Se desea pintar una pandereta de 62 metros de largo por 1,9 metros de alto. Si el tarro de pintura tiene un valor de $ 7.100 y rinde 4,1 m2, agregando la mano de obra del maestro que cobró $ 1.970 el metro cuadrado. ¿Cuál sería, estimativamente, el costo total de este trabajo? A) $ 210.000 B) $ 240.000 C) $ 330.000 D) $ 436.061 E) $ 450.000 124. En un corral se tienen conejos, gallinas y patos. Si de la mitad son conejos, 20 son 3 2 gallinas y éstas representan del total de patos, ¿cuántos animales hay en total en el 5 corral? A) 50 B) 60 C) 84 D) 105 E) 140 14
  15. 15. 25. Un tambor tiene capacidad para 75 litros y está lleno de leche. Se saca un quinto del contenido, luego se restituye 5 litros; se vuelve a sacar un quinto del contenido y se repone 2 litros. Si por última vez se saca un noveno del contenido, ¿cuál es la cantidad de leche que queda en el tambor? A) 30 litros B) 45 litros C) 48 litros D) 60 litros E) 75 litros r26. La expresión , con p, q y r números enteros, p y q ≠ 0 es positiva si : p q r (1) <0 y p<0 q (2) p q > 0 y r no negativo. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional27. Se puede determinar el numerador de cierta fracción si : (1) El denominador de la fracción es 100. (2) El decimal asociado a la fracción es 1,25. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional28. Los alumnos de un curso debieron elegir sólo una asignatura entre Química, Física y 1 Biología. Si del curso eligió Química, se puede determinar el número de alumnos que 4 eligieron Física si se sabe que : (1) El curso tiene 80 alumnos. 6 (2) del curso no eligió Química. 8 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 15
  16. 16. 29. Se puede determinar la fracción de suero por minuto, que se le suministra a un paciente desde una bolsa de 1.000 ml si : (1) La mitad de la tercera parte de la bolsa de suero se consume en 10 minutos. (2) La bolsa de suero se consume en una 1 hora. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional xy30. Se puede determinar el valor numérico de si : z (1) x y = 0,20 (2) z es la quinta parte de x y. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional DMDMA03 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web http://www.pedrodevaldivia.cl/ 16

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