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Trigonometria y ejercicios de aplicacion
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Trigonometria y ejercicios de aplicacion

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  • 1. Prof. Elba M. Sepúlveda, M. A.Ed., ABD
  • 2. Contenido Las caricaturas de hoy Trigonometría básica Ley de seno Ley de coseno Ejercicios de aplicación
  • 3. Las caricaturas de hoy…
  • 4. Las caricaturas de hoy…
  • 5. Instrucciones Esta presentación muestra como obtener las ecuaciones para contestar problemas de trigonometría. Puedes leer cada problema y tratar de resolverlo. Luego puedes cotejar tu solución con la respuesta demostrada en la próxima página. Cualquier duda puedes escribirme a elbamsepulveda@gmail.com
  • 6. La trigonometría de los ángulosrectos Trigonometría- estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos. Triángulo rectángulo- triángulo que contiene un ángulo recto o de 90°.
  • 7. Funciones trigonométricas a sen = c c  csc = a b cos = c c  sec = b a c tan = a b b  cot = a b
  • 8. Ejemplo #1 Conociendo 2 de estas 2 variables podemos resolver 1 cualquier problema 30° relacionado. b Ejemplo # 1. Nos podemos aprender por lo menos un dato interesante: sen 30°= ½ Determina la medida del lado b. Usando el teorema de
  • 9. Resultado #1 2 1 2 2 2 30° c a b 2 2 2 b= √ 3 b c a 2 2 2 b 2 1 2 b 4 1 2 b 3 b 3
  • 10. 2 1 30° b= √ 3 Para un de 30° entonces: sen 30° = ½ csc 30° = 2 cos 30° = √ 3/2 sec 30° = 2/ √ 3 tan 30° = 1/ √ 3 cot 30° = √ 3
  • 11. ¿Cuál es el sen de 60° y tan 60°? sen 60°  sen 60° = √ 3/2 =_________  cos 60° = ½ cos  tan 60° = √ 3 60°=__________  sec 60° = 2/ √ 3 tan  csc 60° = 2 60°=__________  cot 60° = 1/ √ 3 sec 60° =_________ csc 60°=__________
  • 12. Ejemplo #2: Un triángulo de 45° Determina la hipotenusa c 2 2 c = a + b 2 1 c2 = 12 + 12 c 2= 1 + 1 1 c2 = 2 c= √2 Determina: sen 45°, cos 45°, tan 45°, csc 45°, sec 45° y cot 45°
  • 13. Ejemplo #3 Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 37°. El lado adyacente mide 4 m. Determina la longitud del lado opuesto al ángulo dado. ? ? 4m Determina la hipotenusa
  • 14. Resultado #3 ? ? tan = op/ady op = ady tan = 4m tan 37 4m op = 3m cos q = ady/hip hip = ady/cos = 4m/cos37 hip= 5m
  • 15. LEY DEL SENO
  • 16. Ley del seno Existen ciertas relaciones entre los C lados y los ángulos de los triángulos aunque b a éstos no sean rectos. y Esto sucede con la ley de los senos. A M B c Consideremos cualquier triángulo ABC
  • 17. Ley del seno En <AMC y/b = sen A  y= b sen A En <BMC y/a = sen B  y= a sen B b sen B = a sen A Entonces: C b sen A = a sen B b a y b a = M sen B sen A A B c
  • 18. Para cualquier <ABC: Ley de los senos: a b c = = sen A sen B sen C C b a y M A B c
  • 19. Ejemplo #4 En este <ABC, A=30°, B=40° y a= 10 m determina b y c C b a A B c
  • 20. Resultado #4 a b c = = sen A sen B sen C b= a sen b/sen a  c= a sen c/sen a = (10m) (sen  = (10m) (sen 40°)/(sen30°) 110°)/(sen30°) = 12.85m  = 18.79m =13 m  =19 m  El lado c mide 19 m El lado b mide 13 m
  • 21. LEY DEL COSENO
  • 22. (x,y)Ley del coseno a c y x b-x M b Otra relación entre los lados y los ángulos de cualquier triángulo. Dado un < supongamos que conocemos el tamaño de los lados a y b y la medida de c.
  • 23. (x,y)<aMb tiene lados: y, c , b-x a c Usando el teorema de Pitágoras: y c2= y2 + (b – x)2 x b-x = y2 + b2 – 2bx + x2 2= (x2 +y2) + b2– 2bx M c b <gMb tiene lados: x, y, a por lo tanto: a2 = x2 + y2 entonces podemos sustituir en la ecuación anterior: c2= (a2 ) + b2– 2bx Del < Mb también podemos obtener que cos = x/a  x= a cos sustituyendo: c2= a2 +b2 – 2b(a cos )
  • 24. (x,y)En resumen: a c y Ley del coseno x b-x M ba2= b2 +c2 – 2bc cos b2= a2 +c2 – 2ac cos c2= a2 +b2 – 2ab cos
  • 25. Ejemplo #5 En el siguiente triángulo a= 60°, b= 3m y c=4m. ¿Cuánto es a? a c=4m 60° b=3m
  • 26. Resultado #5 a2= b2 +c2 – 2bc cos a2= (3m)2 +(4m)2 – 2(3m)(4m) cos 60° = 9m2 +16m2 – 24m2 (0.5)a= 3.6 m = 25m – 12m 2 2 = 13m2 a= √13 m2 = 3.606 m a c=4m a= 3.6 m 60° b=3mEl lado a mide 3.6 m
  • 27. Ejemplo #6: Resuelve
  • 28. Resultado #6 a= c senA /sen C = (50m) sen 30° / sen110° C = 26.6 m La distancia es de 27m  sen B = y/a b a  sen 40°= y/26.6m y  y= (26.6 m) sen 40°  = 17m A M B La distancia es de 17m c