Efecto Stark
El efecto Stark se produce cuando un átomo es colocado en un campo eléctrico constante
y uniforme. Se observa...
donde la función l1m resulta de la aplicación de las reglas de selección para la parte angular
( l = 1 y m = 0; 1). Tenemo...
para estados degenerados. Vamos a hacerlo para el primer estado excitado (n = 2) para el
cual la energía no perturbada es
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donde
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cuyas raíces resultan ser
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2 = 3e0a0E
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2 = 3e0a0E
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Usamos estas raíces en el sistema de...
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Efecto stark

  1. 1. Efecto Stark El efecto Stark se produce cuando un átomo es colocado en un campo eléctrico constante y uniforme. Se observa que las líneas espectrales se dividen en varias componentes. El fenómeno fue descubierto por Stark en 1913 y aunque la teoría de Bohr permitió explicar algunos aspectos, fue sólo con la Mecánica Cuántica que se logró la comprensión y explicación cabal del fenómeno. Para resolver el problema, Schrödinger utilizó la teoría de perturbaciones, esto es, el campo eléctrico es un potencial que "perturba" al átomo, siempre y cuando no sea demasiado intenso ( 104 5 Volts/cm) (el potencial coulombiano es aproximadamente 109 Volts/cm). El potencial perturbativo lo escribimos entonces como sigue: ^H0 = eE r o bien, tomando la dirección z en la dirección del campo: ^H0 = e0Ez donde E es la intensidad del campo. La aproximación hasta segundo orden para la energía será: En = E0 n + e0Eznn + e2 0E2 0 X l jzlnj2 E0 n E0 l Si n se re…ere a un nivel no degenerado, la función de onda no perturbada n posee paridad bien de…nida, por lo que la integral znn = Z nz nd3 x es cero pues el integrando es impar. Por lo tanto, los estados atómicos (o moleculares) no degenerados, incluyendo el estado base, no poseen efecto Stark lineal, sino sólo efecto cuadrático (proporcional a E2 ). Este es el caso del átomo hidrogenoide, esto es, su estado base es no degenerado y no posee efecto Stark lineal, sino cuadrático. Sin embargo, los niveles excitados (n 2) sí son degenerados y exhiben por tanto efecto Stark lineal. Veamos el efecto cuadrático en el estado base. La corrección a la energía es: E00 1 = e2 E2 0 X l jzl1j2 E0 1 E0 l Veamos la integral que aparece en la suma: jzl1j2 = jh 100j z j l1mij2 1
  2. 2. donde la función l1m resulta de la aplicación de las reglas de selección para la parte angular ( l = 1 y m = 0; 1). Tenemos entonces: jzl1j2 = Z R10Y10r cos Rl1Y1mr2 sin drd d 2 = Z 1 0 R10r3 Rl1dr Z Y10 cos Y1m sin d d 2 = 1 3 Z 1 0 R10r3 Rl1dr 2 = a2 0 3 28 l7 (l 1)2l 5 (l + 1)2l+5 a2 0 3 F (l) de modo que E00 1 = e2 E2 a2 0 3 0 X l F (l) E0 1 E0 l pero E0 l = Z2 me4 2h2 l2 de modo que E0 1 E0 l = Z2 me4 2h2 1 l2 1 Por lo tanto E00 1 = e2 E2 a2 02h2 3Z2me4 0 X l F (l) 1 1 l2 = 2a3 0 3Z2 E2 1X l=2 l2 F (l) l2 1 La suma puede expresarse en forma cerrada aunque no es simple hacerlo. El proced- imiento puede consultarse en el libro de Luis de la Peña (pag. 429): E00 1 = 1 4 a3 0E2 4 + 5Z2 Efecto Stark lineal en el átomo hidrogenoide Recordemos que el potencial perturbativo lo hemos expresado como ^H0 = e0Ez El efecto lineal se presenta, como ya hemos comentado, para los estados excitados del átomo hidrogenoide, los cuales son degenerados. Así, es necesario utilizar la teoría de perturbaciones 2
  3. 3. para estados degenerados. Vamos a hacerlo para el primer estado excitado (n = 2) para el cual la energía no perturbada es E0 2 = RhZ2 4 con R = me4 0 2h3 (constante de Rydberg) El nivel con n = 2 es 4-degenerado y sus funciones asociadas son las siguientes: 0 1 = 200 = R20 (r) Y00 ( ; ) = 1 p 4 R20 (r) 0 2 = 210 = R21 (r) Y10 ( ; ) = r 3 4 R21 (r) cos 0 3 = 211 = R21 (r) Y11 ( ; ) = r 3 4 R21 (r) sin p 2 ei 0 4 = 21 1 = R21 (r) Y1 1 ( ; ) = r 3 4 R21 (r) sin p 2 e i Si reemplazamos y por sus correspondientes coordenadas cartesianas las funciones son las siguientes: (esto lo hacemos para mostrar de manera más clara la paridad de las funciones) 0 1 = f1 (r) 0 2 = f2 (r) z 0 3 = f2 (r) x + iy p 2 0 4 = f2 (r) x iy p 2 donde f1 (r) = 1 p 4 R20 (r) f2 (r) = r 3 4 R21 (r) r Para obtener los coe…cientes de las combinaciones lineales de las funciones anteriores (0) 2 = 4X i=1 ci 0 i deberemos resolver el sistema de ecuaciones siguiente: c1 (H0 11 E0 2) + c2H0 12 + c3H0 13 + c4H0 14 = 0 c1H0 21 + c2 (H0 22 E0 2) + c3H0 23 + c4H0 24 = 0 c1H0 31 + c2H0 32 + c3 (H0 33 E0 2) + c4H0 34 = 0 c1H0 41 + c2H0 42 + c3H0 43 + c4 (H0 44 E0 2) = 0 3
  4. 4. donde H0 ij = Z 0 i ^H0 0 j d3 x = e0E Z 0 i z 0 j d3 x Al integrar sobre todo el volumen puede verse inmediatamente que casi todas integrales se anula debido a que su integrando es impar en alguna de sus coordenadas. Las únicas integrales diferentes de cero son H0 12 y H0 21. Calcularemos ahora estas integrales, que por cierto, resultan ser iguales: H0 12 = H0 21 = e0E Z f1 (r) f2 (r) z2 d3 x o bien H0 12 = H0 21 = p 3e0E 4 Z R20R21r cos2 d3 x Sustituimos las expresiones para R20 y R21: R20 = 1 p 2 Z a0 3=2 1 Zr 2ao e Zr=2a0 R21 = 1 2 p 6 Z a0 5=2 re Zr=2a0 y por tanto tenemos: H0 12 = H0 21 = e0E 16 Z a0 4 Z 1 0 r4 1 Zr 2ao e Zr=a0 dr Z cos2 sin d d = e0E 24 Z a0 4 Z 1 0 2r4 Zr5 ao e Zr=a0 dr y considerando que Z 1 0 xs e x dx = (s + 1) = s! entonces H0 12 = H0 21 = 3e0a0E Utilizando estos resultados para los elementos de matriz debemos resolver el siguiente determinante: E0 2 3e0a0E 0 0 3e0a0E E0 2 0 0 0 0 E0 2 0 0 0 0 E0 2 = 0 Esto nos lleva a la siguiente ecuación: (E0 2) 2 h (E0 2) 2 (3e0a0E)2 i = 0 4
  5. 5. cuyas raíces resultan ser E 0(1) 2 = 3e0a0E E 0(2) 2 = 3e0a0E E 0(3) 2 = E 0(4) 2 = 0 Usamos estas raíces en el sistema de ecuaciones para obtener los coe…cientes: c (1) 1 = c (1) 2 = 1 p 2 ; c (1) 4 = c (1) 4 = 0 c (2) 1 = c (2) 2 = 1 p 2 ; c (2) 3 = c (2) 4 = 0 c (3) 1 = c (3) 2 = 0; c (3) 3 ; c (3) 4 6= 0 c (4) 1 = c (4) 2 = 0; c (4) 3 ; c (4) 4 6= 0 Así, podemos ver que el nivel n = 2 del átomo hidrogenoide se desdobla en tres niveles, cuyas energías son: E2 = E0 2 + 8 < : 3e0a0E 0 3e0a0E Como puede verse, la degeneración se redujo, pero no se removió por completo. Las funciones asociadas a estos valores de energía son: (1) = 1 p 2 ( 200 + 210) ; E2 = E0 2 3e0a0E (2) = 1 p 2 ( 200 210) ; E2 = E0 2 + 3e0a0E y para la energía E2 = E0 2 no podemos establecer en forma explícita los coe…cientes c3 y c4. Es decir, este estado es 2-degenerado. Este procedimiento puede extenderse para estudiar los distintos estados excitados, aunque el proceso puede ser muy laborioso. Existe un método más sencillo para resolver este problema, el cual se basa en el uso de coordenadas parabólicas en lugar de coordenadas esféricas. La aplicación del método de perturbaciones en ese problema conduce a la siguiente fórmula general para el efecto Stark lineal: E0 n = 3 2 nke0a0E en donde k (llamado número cuántico eléctrico) puede tomar los valores (n 1), (n 2), , 1, 0, 1, , n 1. 5

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