OMVN2013

www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 1
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di “ www.siap-osn.blogspot.com ”
SOAL DAN PEMBAHASAN
OLIMPIADE MATEMATIKA VEKTOR NASIONAL 2013 SMP (OMVN 2013)
BABAK PENYISIHAN ( BAGIAN 1 )
BAGIAN 1
Berikan jawaban akhir!
1. Terdapat tiga lingkaran berjari-jari 𝑟 yang disusun sedemikian hingga setiap lingkaran melalui dua titik pusat
lingkaran yang lain. Berapakah luas daerah perpotongan ketiga lingkaran tersebut?
Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐵𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑙𝑖𝑕𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 ∶
𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 , 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶
∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶 = 60 𝑜
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝑟
𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =
1
2
. 𝐵𝐶 =
1
2
. 𝑟 =
𝑟
2
𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐴𝐵 = 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐴𝐶 = 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝐽𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶 ∶
𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶 =
60
360
. 𝜋 . 𝑟2
=
𝜋𝑟2
6
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝑂𝐵 ∶
𝑂𝐴 = 𝐴𝐵2 − 𝑂𝐵2
= 𝑟2 −
𝑟
2
2
= 𝑟2 −
𝑟2
4
=
3𝑟2
4
=
3 𝑟
2

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝐴𝐵𝐶 ∶
𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 =
1
2
. 𝐵𝐶 . 𝑂𝐴
=
1
2
. 𝑟 .
3 𝑟
2
=
3 𝑟2
4
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶 ∶
𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶 = 𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶 − 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶
=
𝜋𝑟2
6
−
3 𝑟2
4
𝐿 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 + 𝟑 . 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶
=
3 𝑟2
4
+ 𝟑 .
𝜋𝑟2
6
−
3 𝑟2
4
=
3 𝑟2
4
+
𝜋𝑟2
2
−
3 3 𝑟2
4
=
𝜋𝑟2
2
−
2 3 𝑟2
4
=
𝜋𝑟2
2
−
3 𝑟2
2
=
𝜋− 3 𝑟2
2
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕
𝜋− 3 𝑟2
2
2. 1 +
1
2
+
2
2
+
1
2
+
1
3
+
2
3
+
3
3
+
2
3
+
1
3
+ ⋯ +
1
2013
+
2
2013
+ ⋯ +
2013
2013
+ ⋯ +
2
2013
+
1
2013
= ⋯
Pembahasan :
1 +
1
2
+
2
2
+
1
2
+
1
3
+
2
3
+
3
3
+
2
3
+
1
3
+ ⋯ +
1
2013
+
2
2013
+ ⋯ +
2013
2013
+ ⋯ +
2
2013
+
1
2013
= 1 +
1+2+1
2
+
1+2+3+2+1
3
+ ⋯ +
1+2+⋯+2013+⋯+2+1
2013
= 1 +
4
2
+
9
3
+ ⋯ +
1+2+⋯+2013+⋯+2+1
2013
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2013
=
2013 . 2013+1
2
=
2013 .2014
2
= 2013 .1007
= 2027091
3. Untuk suatu bilangan tak negatif, 2013 𝑥
bersisa 7 ketika dibagi 10 . Berapakah sisa pembagian dari 2013𝑥
dibagi 1342 ?

Pembahasan :
31
= 3
32
= 9
33
= ⋯ 7 → 33
𝑏𝑒𝑟𝑠𝑖𝑠𝑎 7 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 10
20133
= ⋯ 7 → 20133
𝑏𝑒𝑟𝑠𝑖𝑠𝑎 7 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 10
𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑚𝑖𝑘𝑖𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 = 3
2013𝑥 = 2013 . 3
= 6039 → 6039 = 4 .1342 + 671
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 2013𝑥 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 1342 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 671
4. Persegi ABCD mempunyai luas 256 𝑐𝑚2
. Titik E adalah titik tengah sisi AD dan F adalah titik tengah EC.
Misalkan I adalah bisektor tegak lurus (garis sumbu) dari EC, dan I memotong AB di G. Berapa luas daerah
segitiga CEG ?
Pembahasan :
𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 ∶
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 = 256 = 16
𝐴𝐸 = 𝐷𝐸 =
1
2
. 𝐴𝐷 =
1
2
.16 = 8
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐸𝐴𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐸𝐼𝐺 ∶
𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐸𝐴𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐸𝐼𝐺 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝐸𝐺 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘
𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔 𝐺𝐴𝐸𝐼 , 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 ∶
𝐸𝐼 = 𝐴𝐸
𝐺𝐼 = 𝐴𝐺
𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
𝐺𝐼 = 𝐴𝐺 = 𝑥
𝐵𝐺 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝐺 = 16 − 𝑥
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐶𝐷𝐸 ∶
𝐶𝐸 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐸2
= 162 + 82

= 256 + 64
= 320
= 64 .5
= 8 5
𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐸𝐴𝐺 + 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐵𝐺 + 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐸𝐺 + 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐷𝐸 = 𝐿 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷
1
2
. 𝐴𝐸 . 𝐴𝐺 +
1
2
. 𝐶𝐵 . 𝐵𝐺 +
1
2
. 𝐶𝐸 . 𝐺𝐼 +
1
2
. 𝐶𝐷 . 𝐷𝐸 = 256
1
2
.8 . 𝑥 +
1
2
.16 . 16 − 𝑥 +
1
2
.8 5 . 𝑥 +
1
2
.16 .8 = 256
4𝑥 + 8 . 16 − 𝑥 + 4 5 𝑥 + 64 = 256
4𝑥 + 128 − 8𝑥 + 4 5 𝑥 + 64 = 256
4 5 𝑥 − 4𝑥 + 192 = 256
4 5 𝑥 − 4𝑥 = 256 − 192
4 5 − 4 𝑥 = 64
𝑥 =
64
4 5 −4
𝑥 =
64
4 5 −1
𝑥 =
16
5 −1
.
5+1
5+1
𝑥 =
16 . 5+1
5
2
−12
𝑥 =
16 . 5+1
5 −1
𝑥 =
16 . 5+1
4
𝑥 = 4 . 5 + 1
𝑥 = 4 5 + 4
𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐸𝐺 =
1
2
. 𝐶𝐸 . 𝐺𝐼
=
1
2
.8 5 . 𝑥
=
1
2
.8 5 . 4 5 + 4
= 4 5 . 4 5 + 4
= 16 .5 + 16 5
= 80 + 16 5
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐸𝐺 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 80 + 16 5 𝑐𝑚2
5. Tom, Rian, Yaya, Dzeko, dan Paijo akan melakukan suatu permainan dan membutuhkan 15 bola. Yaya membawa
bola sejumlah kelipatan tiga. Jika masing-masing dari mereka paling sedikit membawa satu bola, banyak cara
mereka membawa bola adalah …

Pembahasan :
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐵𝑜𝑙𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑜𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 3 𝑆𝑖𝑠𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑌𝑎𝑦𝑎 𝑇𝑜𝑚 𝑅𝑖𝑎𝑛 𝐷𝑧𝑒𝑘𝑜 𝑃𝑎𝑖𝑗𝑜
3
9 1 1 1
4!
3!
= 4
8 2 1 1
4!
2!
= 12
7 3 1 1
4!
2!
= 12
7 2 2 1
4!
2!
= 12
6 4 1 1
4!
2!
= 12
6 3 2 1 4! = 24
6 2 2 2
4!
3!
= 4
5 5 1 1
4!
2! .2!
= 6
5 4 2 1 4! = 24
5 3 3 1
4!
2!
= 12
5 3 2 2
4!
2!
= 12
4 4 3 1
4!
2!
= 12
4 4 2 2
4!
2! .2!
= 6
4 3 3 2
4!
2!
= 12
3 3 3 3 1
6
6 1 1 1
4!
3!
= 4
5 2 1 1
4!
2!
= 12
4 3 1 1
4!
2!
= 12
4 2 2 1
4!
2!
= 12
3 3 2 1
4!
2!
= 12
3 2 2 2
4!
3!
= 4
9
3 1 1 1
4!
3!
= 4
2 2 1 1
4!
2! .2!
= 6
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 231
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑒𝑘𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 231

6. 12
− 22
+ 32
− 42
+ ⋯ + 20112
− 20122
+ 20132
= ⋯
Pembahasan :
12
− 22
+ 32
− 42
+ ⋯ + 20112
− 20122
+ 20132
= 12
−22
+ 32
− 42
+ 52
− ⋯ − 20122
+ 20132
2012 𝑠𝑢𝑘𝑢
= 12
+32
− 22
+ 52
− 42
+ ⋯ + 20132
− 20122
= 1 + 3 − 2 . 3 + 2 + 5 − 4 . 5 + 4 + ⋯ + 2013 − 2012 . 2013 + 2012
2012
2
= 1006 𝑠𝑢𝑘𝑢
= 1 + 1 . 5 + 1 . 9 + ⋯ + 1 . 4025
= 1+ 5 + 9 + ⋯ + 4025
𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎
= 1 +
1006
2
. 5 + 4025
= 1 + 503 . 4030
= 1 + 2027090
= 2027091
7. Dari gambar dibawah ini, berapakah luas daerah yang diarsir?
Pembahasan :
𝐵𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑙𝑖𝑕𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 ∶
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐺 = 7
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 49 .2 = 7 2

𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶
𝐴𝐹 = 𝐸𝐹 = 𝐺𝐸 = 𝑟
𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 − 𝐶𝐺 − 𝐺𝐸 = 7 2 − 7 − 𝑟
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑢𝑎 𝑏𝑢𝑎𝑕 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 𝐴𝐹𝐸 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 ∶
𝐴𝐹
𝐴𝐵
=
𝐴𝐸
𝐴𝐶
𝑟
7
=
7 2−7−𝑟
7 2
7 2 . 𝑟 = 7 . 7 2 − 7 − 𝑟
7 2 𝑟 = 49 2 − 49 − 7𝑟
7 2 𝑟 + 7𝑟 = 49 2 − 49
7 2 + 7 𝑟 = 49 2 − 49
𝑟 =
49 2−49
7 2+7
𝑟 =
7 7 2−7
7 2+1
𝑟 =
7 2−7
2+1
.
2−1
2−1
𝑟 =
7 2−7 . 2−1
2
2
−12
𝑟 =
7 .2−7 2−7 2+7
2−1
𝑟 =
14−14 2+7
1
𝑟 = 21 − 14 2 → 𝐴𝐹 = 𝐸𝐹 = 𝐺𝐸 = 𝑟 = 21 − 14 2
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∶
𝐿 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 . 𝐵𝐶
= 7 .7
= 49
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐵𝐶𝐷 ∶
𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐵𝐶𝐷 =
90
360
. 𝜋 . 𝑅2
=
1
4
. 𝜋 . 𝐶𝐺2
=
1
4
.
22
7
. 72
=
77
2

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐵𝐶𝐷 ∶
𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐶𝐷 =
1
2
. 𝐵𝐶 . 𝐶𝐷
=
1
2
. 7 .7
=
49
2
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐷 ∶
𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐷 = 𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐵𝐶𝐷 − 𝐿 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐶𝐷
=
77
2
−
49
2
=
28
2
= 14
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 ∶
𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 𝜋 . 𝑟2
= 𝜋 . 𝐸𝐹2
=
22
7
. 21 − 14 2
2
=
22
7
. 441 − 588 2 + 196 .2
=
22
7
. 441 − 588 2 + 392
=
22
7
. 833 − 588 2
= 2618 − 1848 2
𝐿 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎 𝑕 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 𝐿 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 2 . 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐷 − 2 . 𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙
= 49 − 2 . 14 − 2 . 2618 − 1848 2
= 49 − 28 − 5236 + 3696 2
= −5215 + 3696 2
= 3696 2 − 5215
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 3696 2 − 5215 𝑐𝑚2
8. Suatu bilangan disebut torec apabila :
a. Memiliki 8 digit
b. Terdiri dari digit digit 2, 0, 1, dan 3 masing-masing tepat dua.
Contoh : Bilangan 20132013 adalah torec.
Banyak bilangan torec yang habis dibagi 11 adalah …
Pembahasan :
𝑇𝑜𝑟𝑒𝑐 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 8 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘
𝑏𝑜𝑙𝑒𝑕 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝑜𝑙
𝑆𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 8 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 "𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑕" 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11 𝑗𝑖𝑘𝑎 ∶
𝑕𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∶ 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 + 𝑒 − 𝑓 + 𝑔 − 𝑕 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶
𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝑡𝑜𝑟𝑒𝑐
𝐾𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛
𝐴𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓
𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓
𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝑝𝑒𝑛𝑦𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘
𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛
20132013 2 − 0 + 1 − 3 + 2 − 0 + 1 − 3 = 0
0 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠
𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11
2, 1, 2, 1
4!
2! .2!
= 6
6 .6 = 36
0, 3, 0, 3
4!
2! .2!
= 6
32013201 3 − 2 + 0 − 1 + 3 − 2 + 0 − 1 = 0
3, 0, 3, 0
3!
2!
= 3
3 .6 = 18
2, 1, 2, 1
4!
2! .2!
= 6
33221100 3 − 3 + 2 − 2 + 1 − 1 + 0 − 0 = 0
3, 2, 1, 0 3 .3! = 18
18 .24 = 432
3, 2, 1, 0 4! = 24
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑟𝑒𝑐 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 = 36 + 18 + 432 = 486
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑟𝑒𝑐 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 486
9. Bola 𝐴 dan bola 𝐵 digantung pada suatu kawat lurus seperti pada gambar berikut.
Diameter lingkaran pertama dan kedua berturut-turut adalah 8 dan 18. Jika jarak ujung tali 𝑙 dan 𝑛 pada kawat
adalah 5 dan panjang tali 𝑙 adalah 10, maka panjang minimum tali 𝑛 agar kedua tali bisa sejajar dan bola tidak
saling menekan adalah …
Pembahasan :

𝐷𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎𝑕𝑢𝑖 ∶
𝐴𝐹 = 𝐷𝐸 =
1
2
.8 = 4
𝐵𝐶 =
1
2
.18 = 9
𝐴𝐵 = 𝐴𝐹 + 𝐵𝐶 = 4 + 9 = 13
𝐸𝐹 = 𝐴𝐷 = 5
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑙 = 10
𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝐷𝐵 ∶
𝐵𝐷 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝐷2
= 132 − 52
= 169 − 25
= 144
= 12
𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 − 𝐵𝐶
= 12 − 9
= 3
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑛 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑙 + 𝐷𝐸 + 𝐶𝐷
= 10 + 4 + 3
= 17
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑛 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑒𝑘𝑎𝑛
𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 17
10. Barisan 1, 2, −3, 4, 5, −6, 7, 8, −9, … , 𝑘 memiliki rata-rata 2013. Nilai 𝑘 yang merupakan suku terakhir dari
barisan tersebut jika 𝑘 habis dibagi 27 adalah …
Pembahasan :
𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑘 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 27, 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 𝑘 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 3, 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶
1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ −𝑘
𝑘
= 2013
1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ 𝑘−1 + −𝑘
𝑘
= 2013
1+2+4+5+7+8+⋯+ 𝑘−1 + −3 + −6 + −9 + −𝑘
𝑘
= 2013
1+2+4+5+7+8+⋯+ 𝑘−1 −3−6−9−⋯−𝑘
𝑘
= 2013
1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+ 𝑘−1 +𝑘−3−6−9−⋯−𝑘−3−6−9−⋯−𝑘
𝑘
= 2013
1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+𝑘− 3+6+9+⋯+𝑘+3+6+9+⋯+𝑘
𝑘
= 2013

1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+𝑘−2 . 3+6+9+⋯+𝑘
𝑘
= 2013
𝑘 . 𝑘+1
2
−2 .
𝑘
3
2
. 3+𝑘
𝑘
= 2013
𝑘2+𝑘
2
−
𝑘
3
. 3+𝑘
𝑘
= 2013
𝑘2+𝑘
2
−𝑘−
𝑘2
3
𝑘
= 2013
3 . 𝑘2+𝑘
6
−
6𝑘
6
−
2𝑘2
6
𝑘
= 2013
3𝑘2+3𝑘
6
−
6𝑘
6
−
2𝑘2
6
𝑘
= 2013
3𝑘2+3𝑘−6𝑘−2𝑘2
6
𝑘
= 2013
𝑘2−3𝑘
6𝑘
= 2013
𝑘 𝑘−3
6𝑘
= 2013
𝑘−3
6
= 2013
𝑘 − 3 = 6 . 2013
𝑘 − 3 = 12078
𝑘 = 12078 + 3
𝑘 = 12081
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑕𝑖𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 12081
PENGECEKAN SOAL NO. 10
𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 𝑘 = 12081 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶
1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ −𝑘
𝑘
=
1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ −12081
12081
=
1+2+4+5+7+8+⋯+12080+ −3 + −6 + −9 +⋯+ −12081
12081
=
1+2+4+5+7+8+⋯+12080−3−6−9−⋯−12081
12081
=
1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+12080+12081−3−6−9−⋯−12081−3−6−9−⋯−12081
12081
=
1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+12080+12081−2. 3+6+9+⋯+12081
12081
=
12081 . 12081 +1
2
−2.
12081
3
2
. 3+12081
12081

=
12081 .12082
2
−
12081
3
.12084
12081
=
12081 .6041−12081 .4028
12081
=
12081 . 6041−4028
12081
=
12081 .2013
12081
= 2013 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)
𝑇𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑘 = 12081 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 27 , 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑘 = 12081 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 3 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛
𝑠𝑜𝑎𝑙 𝑕𝑎𝑟𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑎𝑙𝑎𝑡 ∶
Barisan 1, 2, −3, 4, 5, −6, 7, 8, −9, … , 𝑘 memiliki rata-rata 2013. Nilai 𝑘 yang merupakan suku terakhir dari
barisan tersebut jika 𝑘 habis dibagi 3 adalah …
11. Pada posting berikutnya di : www.siap-osn.blogspot.com

OMVN2013

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to OMVN2013

Similar to OMVN2013 (20)

More from Sosuke Aizen

More from Sosuke Aizen (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

OMVN2013