SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 19
Descargar para leer sin conexión
Funkcijas pētīšana
 Definīcijas apgabals, pārtraukuma punkti un
    nepārtrauktības intervāli.
   Pāra, nepāra vai periodiska funkcija.
   Krustpunkti ar koordinātu asīm.
   Funkcijas pozitīvās, negatīvās vērtības.
   Monotonitātes intervāli, ekstrēmi.
   Grafika izliekuma un ieliekuma intervāli,
    pārliekuma punktu koordinātas.
   Grafika asimptotas.
Intervālā augoša funkcija
 Funkciju y = f(x) sauc par augošu intervālā [a;
  b], ja katrai lielākai argumenta vērtībai no šī
  intervāla atbilst lielāka funkcijas vērtība, t.i.,
  jebkuriem x1, x2 [a; b] no nevienādības x1 <
  x2 izriet nevienādība f(x1) < f(x2). Tādējādi, ja
  x1 < x2, tad argumenta pieaugums x = x2 –
  x1 un funkcijas pieaugums y = f(x2) – f(x1)
  abi ir pozitīvi un to attiecība ir pozitīva

                       y
                           0
                       x
Intervālā augoša funkcija
 Patstāvīgi.
 Viens no mājas darba uzdevumiem.
Augšanas un dilšanas
nepieciešamā pazīme
 Ja intervālā (a; b) diferencējama funkcija y = f(x)
  ir augoša, tad jebkurā šī intervāla punktā f ’(x)   0.

 Dilšanas pazīme – mājās.
Funkcijas monotonitātes intervālu
atrašana
 Jāatrod funkcijas f ’(x) atvasinājums.
 Nosaka punktus, kuros f ’(x) ir vienāds ar nulli
  vai neeksistē.
      Šos punktus sauc par funkcijas kritiskajiem
       punktiem. Kritiskie punkti sadala funkcijas f(x)
       definīcijas apgabalu intervālos, kuros f ’(x)
       nemaina zīmi – monotonitātes intervālos.
 Katrā iegūtajā intervālā jānosaka f ’(x) zīme.
      Ja f ’(x) > 0, tad tas ir funkcijas augšanas
       intervāls. Ja f ’(x) < 0, tad tas ir funkcijas
       dilšanas intervāls.
Funkcijas maksimumi un
minimumi
 Pieņem, ka funkcija ir nepārtraukta intervālā
  (a; b). Šī intervāla punktu x0 sauc par
  funkcijas f(x) maksimuma punktu, ja
  funkcijas vērtība f(x0) šajā punktā ir lielāka
  nekā funkcijas vērtības visos citos punkta x0
  pietiekami mazas apkārtnes punktos x, t.i.,
  visiem x ≠ x0 ir pareiza vienādība f(x) < f(x0),
  ja vien starpības │x – x0│modulis ir
  pietiekami.
 Minimuma punkts – mājās.
Ekstrēma punkti
 Maksimuma un minimuma punktus sauc par
 ekstrēma punktiem (extremum lat.v. – galējs).
Ekstrēmu nepieciešamā pazīme
 Ja diferencējamai funkcijai f(x) punktā x0 ir
  ekstrēms, tad f ’(x0) = 0.
 Punktus, kuros funkcijas f(x) atvasinājums ir
  nulle, sauc par funkcijas stacionārajiem
  punktiem.
Ekstrēmu atrašanas algoritms
 Atrod punktus, kuros y = f(x) atvasinājums
  f ’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē.
 Izpēta atvasinājuma f ’(x) zīme kritisko punktu
  apkārtnēs.
     Ja argumentam, ejot caur kritisko punktu f ’(x),
      zīme mainās un f(x) kritiskajā punktā ir
      definēta, tad funkcijai f(x) šajā punktā eksistē
      ekstrēms
 Jāaprēķina funkcijas vērtība ekstrēma
  punktā.
 Ja stacionārajā punktā f ’’(x) < 0, tad tas ir
  minimuma punkts.
 Ja stacionārajā punktā f ’’(x) > 0, tad tas ir
  maksimuma punkts.
Funkcijas grafika ieliekums un
izliekums
 Diferencējamas funkcijas y = f(x) grafiku sauc
  par izliektu, ja tas atrodas zem grafika
  jebkuras pieskares minētajā intervālā.

 Ieliektas funkcijas grafiks – mājās.
 Ja funkcijai f(x) intervālā (a; b) eksistē otrās
  kārtas atvasinājums un visos intervāla
  punktos f ’’(x) < 0, tad funkcijas grafiks ir šajā
  intervālā izliekta, ja f f’’(x) < 0, ’’(x) > 0, tad
  ieliekts.

 Funkcijas grafika punktu, kas atdala grafika
  izliekto daļu no ieliektas daļas, sauc par
  grafika pārliekuma punktu jeb infleksijas
  punktu.
 Ja punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas y = f(x)
  grafika pārliekuma punkts, tad f ’’(x) = 0 vai
  neeksistē.
 Ox ass punktus, kuros funkcijas f(x) otrās
  kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli
  vai neeksistē, sauc par otrās kārtas
  kritiskajiem punktiem.
 Ja, argumentam ejot caur punktu x = x0, otrās
  kārtas atvasinājums f ’’(x) maina zīmi, tad
  punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas f(x) grafika
  pārliekuma punkts.
Pārliekuma punktu atrašanas
algoritms
 Nosaka punktus, kuros funkcijas y = f(x) otrās
  kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli
  vai neeksistē, t.i., nosaka funkcijas kritiskos
  punktus.
 Atrod tos kritiskos punktus, kuri funkcijas
  grafika izliekuma intervālus atdala no
  ieliekuma intervāliem un kuros funkcija ir
  definēta. Šie kritiskie punkti ir pārliekuma
  punkti.
 Aprēķina katra pārliekuma punkta ordinātu.
Funkcijas y = f(x) grafika
pārliekuma punkti
 Atrod funkcijas atvasinājumus f ’’(x) un f ’’’(x).
 Uzraksta vienādojumu f ’’(x) = 0 un atrod šī
  vienādojuma visas reālās saknes, iegūstot
  otrās kārtas kritiskos punktus.
 Aprēķina f’’’(x) vērības katrā kritiskajā punktā.
 Atrod tos kritiskos punktus, kuros f ’’’(x) ≠ 0.
  Šiem kritiskajiem punktiem atbilstošie
  funkcijas grafika punkti ir pārliekuma punkti
Funkcijas grafika asmptotas
 Taisni sauc par līnijas y = f(x) asimptotu, ja
  līnijas punkts M(x; y), tiecoties uz bezgalību,
  neierobežoti tuvojas šai taisnei, t.i. attālums
  no punkta M līdz taisnei tiecas uz nulli.

 Funkcijas y = f(x) grafikam var būt vertikālas
  asimptotas, t.i., paralēlas Oy asij, un slīpas
  asimptotas. Pie slīpām asimptotam pieder arī
  horizontālas asimptotas.
Vertikālā asimptota
 Vertikālās asimptotas. Ja

               lim f
               x   a
                       x

 tad taisne

                       x=a
 Ir funkcijas y = f(x) vertikālā asimptota.
Slīpā asimptota
 Slīpās asimptotas vienādojums ir

                  y = kx + b
            f x
  k   lim
       x     x
                      b   lim
                          x
                                f x   kx

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

мпр т 1
мпр т 1мпр т 1
мпр т 1Ivan
 
τροπικη αφρικη
τροπικη  αφρικητροπικη  αφρικη
τροπικη αφρικηSylvia Nearchou
 
14.범주형자료분석
14.범주형자료분석14.범주형자료분석
14.범주형자료분석Yoonwhan Lee
 
ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ
ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ
ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣfotisalexoglou
 
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσειςChristos Loizos
 
Είδη και στοιχεία τριγώνων
Είδη και στοιχεία τριγώνωνΕίδη και στοιχεία τριγώνων
Είδη και στοιχεία τριγώνωνpstavro
 
B προσ. διαγώνισμα η ευθεία στο επίπεδο
B προσ. διαγώνισμα η ευθεία στο επίπεδοB προσ. διαγώνισμα η ευθεία στο επίπεδο
B προσ. διαγώνισμα η ευθεία στο επίπεδοnik_gkoutz
 
αντιδράσεις υποκατάστασης
αντιδράσεις υποκατάστασηςαντιδράσεις υποκατάστασης
αντιδράσεις υποκατάστασηςDimPapadopoulos
 
Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος με διαφορετική απόδειξη από την σχολική
Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος με διαφορετική απόδειξη από την σχολικήΤο αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος με διαφορετική απόδειξη από την σχολική
Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος με διαφορετική απόδειξη από την σχολικήΜάκης Χατζόπουλος
 
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!! Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!! Μάκης Χατζόπουλος
 
Limits And Derivative
Limits And DerivativeLimits And Derivative
Limits And DerivativeAshams kurian
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)Oanh MJ
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))Vassilis Markos
 
2 krkesa, oferta, ekuilibri
2 krkesa, oferta, ekuilibri2 krkesa, oferta, ekuilibri
2 krkesa, oferta, ekuilibriMenaxherat
 

La actualidad más candente (16)

мпр т 1
мпр т 1мпр т 1
мпр т 1
 
τροπικη αφρικη
τροπικη  αφρικητροπικη  αφρικη
τροπικη αφρικη
 
14.범주형자료분석
14.범주형자료분석14.범주형자료분석
14.범주형자료분석
 
maa_talk
maa_talkmaa_talk
maa_talk
 
ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ
ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ
ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ
 
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
 
Είδη και στοιχεία τριγώνων
Είδη και στοιχεία τριγώνωνΕίδη και στοιχεία τριγώνων
Είδη και στοιχεία τριγώνων
 
B προσ. διαγώνισμα η ευθεία στο επίπεδο
B προσ. διαγώνισμα η ευθεία στο επίπεδοB προσ. διαγώνισμα η ευθεία στο επίπεδο
B προσ. διαγώνισμα η ευθεία στο επίπεδο
 
αντιδράσεις υποκατάστασης
αντιδράσεις υποκατάστασηςαντιδράσεις υποκατάστασης
αντιδράσεις υποκατάστασης
 
Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος με διαφορετική απόδειξη από την σχολική
Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος με διαφορετική απόδειξη από την σχολικήΤο αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος με διαφορετική απόδειξη από την σχολική
Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος με διαφορετική απόδειξη από την σχολική
 
τυπολόγιο αοθ κεφ1 5
τυπολόγιο αοθ κεφ1  5τυπολόγιο αοθ κεφ1  5
τυπολόγιο αοθ κεφ1 5
 
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!! Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
Σημειώσεις στα πολυώνυμα για προχωρημένους!!
 
Limits And Derivative
Limits And DerivativeLimits And Derivative
Limits And Derivative
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
 
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
Συναρτήσεις - Μάθημα 1ο (Μαθηματικά Προσνατολισμού Γ' Λυκείου))
 
2 krkesa, oferta, ekuilibri
2 krkesa, oferta, ekuilibri2 krkesa, oferta, ekuilibri
2 krkesa, oferta, ekuilibri
 

Similar a 1.2.funkcijas pētīšana

2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini
2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini
2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķiniMaija Liepa
 
1.1.augstaku kartu atvasinajumi
1.1.augstaku kartu atvasinajumi1.1.augstaku kartu atvasinajumi
1.1.augstaku kartu atvasinajumiMaija Liepa
 

Similar a 1.2.funkcijas pētīšana (6)

4.1.funkcijas
4.1.funkcijas4.1.funkcijas
4.1.funkcijas
 
7.2.
7.2.7.2.
7.2.
 
5.1.robezhas
5.1.robezhas5.1.robezhas
5.1.robezhas
 
2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini
2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini
2.vairāk argumentu funcijas diferenciālrēķini
 
1.1.augstaku kartu atvasinajumi
1.1.augstaku kartu atvasinajumi1.1.augstaku kartu atvasinajumi
1.1.augstaku kartu atvasinajumi
 
6.1.
6.1.6.1.
6.1.
 

Más de Maija Liepa

My trip to Kaunas
My trip to KaunasMy trip to Kaunas
My trip to KaunasMaija Liepa
 
The arithmetic and geometric progression
The arithmetic and geometric progressionThe arithmetic and geometric progression
The arithmetic and geometric progressionMaija Liepa
 
Darbs un energija
Darbs un energijaDarbs un energija
Darbs un energijaMaija Liepa
 
Programmas izstrādes posmi
Programmas izstrādes posmiProgrammas izstrādes posmi
Programmas izstrādes posmiMaija Liepa
 
4.noteiktais integrālis
4.noteiktais integrālis4.noteiktais integrālis
4.noteiktais integrālisMaija Liepa
 
3.2.nenoteiktais integraalis
3.2.nenoteiktais integraalis3.2.nenoteiktais integraalis
3.2.nenoteiktais integraalisMaija Liepa
 
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralisMaija Liepa
 
1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi
1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi
1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļiMaija Liepa
 
Romanian students 20
Romanian students 20Romanian students 20
Romanian students 20Maija Liepa
 
V. levski burgas
V. levski burgasV. levski burgas
V. levski burgasMaija Liepa
 
Atmospheric pollution bulgaria, bourgas
Atmospheric pollution bulgaria, bourgasAtmospheric pollution bulgaria, bourgas
Atmospheric pollution bulgaria, bourgasMaija Liepa
 
Activities v. levski burgas
Activities  v. levski burgasActivities  v. levski burgas
Activities v. levski burgasMaija Liepa
 
Global warming sl
Global warming slGlobal warming sl
Global warming slMaija Liepa
 

Más de Maija Liepa (20)

Virknes
VirknesVirknes
Virknes
 
My trip to Kaunas
My trip to KaunasMy trip to Kaunas
My trip to Kaunas
 
The arithmetic and geometric progression
The arithmetic and geometric progressionThe arithmetic and geometric progression
The arithmetic and geometric progression
 
Darbs un energija
Darbs un energijaDarbs un energija
Darbs un energija
 
22
2222
22
 
Programmas izstrādes posmi
Programmas izstrādes posmiProgrammas izstrādes posmi
Programmas izstrādes posmi
 
Blogi
BlogiBlogi
Blogi
 
Ms Word
Ms WordMs Word
Ms Word
 
Windows vide
Windows videWindows vide
Windows vide
 
5.presentation4
5.presentation45.presentation4
5.presentation4
 
4.noteiktais integrālis
4.noteiktais integrālis4.noteiktais integrālis
4.noteiktais integrālis
 
3.2.nenoteiktais integraalis
3.2.nenoteiktais integraalis3.2.nenoteiktais integraalis
3.2.nenoteiktais integraalis
 
3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis3.1.nenoteiktais integralis
3.1.nenoteiktais integralis
 
1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi
1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi
1.augstāku kārtu atvasinājumi un diferenciāļi
 
Transport
TransportTransport
Transport
 
Romanian students 20
Romanian students 20Romanian students 20
Romanian students 20
 
V. levski burgas
V. levski burgasV. levski burgas
V. levski burgas
 
Atmospheric pollution bulgaria, bourgas
Atmospheric pollution bulgaria, bourgasAtmospheric pollution bulgaria, bourgas
Atmospheric pollution bulgaria, bourgas
 
Activities v. levski burgas
Activities  v. levski burgasActivities  v. levski burgas
Activities v. levski burgas
 
Global warming sl
Global warming slGlobal warming sl
Global warming sl
 

1.2.funkcijas pētīšana

  • 2.  Definīcijas apgabals, pārtraukuma punkti un nepārtrauktības intervāli.  Pāra, nepāra vai periodiska funkcija.  Krustpunkti ar koordinātu asīm.  Funkcijas pozitīvās, negatīvās vērtības.  Monotonitātes intervāli, ekstrēmi.  Grafika izliekuma un ieliekuma intervāli, pārliekuma punktu koordinātas.  Grafika asimptotas.
  • 3. Intervālā augoša funkcija  Funkciju y = f(x) sauc par augošu intervālā [a; b], ja katrai lielākai argumenta vērtībai no šī intervāla atbilst lielāka funkcijas vērtība, t.i., jebkuriem x1, x2 [a; b] no nevienādības x1 < x2 izriet nevienādība f(x1) < f(x2). Tādējādi, ja x1 < x2, tad argumenta pieaugums x = x2 – x1 un funkcijas pieaugums y = f(x2) – f(x1) abi ir pozitīvi un to attiecība ir pozitīva y 0 x
  • 4. Intervālā augoša funkcija  Patstāvīgi.  Viens no mājas darba uzdevumiem.
  • 5. Augšanas un dilšanas nepieciešamā pazīme  Ja intervālā (a; b) diferencējama funkcija y = f(x) ir augoša, tad jebkurā šī intervāla punktā f ’(x) 0.  Dilšanas pazīme – mājās.
  • 6. Funkcijas monotonitātes intervālu atrašana  Jāatrod funkcijas f ’(x) atvasinājums.  Nosaka punktus, kuros f ’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē.  Šos punktus sauc par funkcijas kritiskajiem punktiem. Kritiskie punkti sadala funkcijas f(x) definīcijas apgabalu intervālos, kuros f ’(x) nemaina zīmi – monotonitātes intervālos.  Katrā iegūtajā intervālā jānosaka f ’(x) zīme.  Ja f ’(x) > 0, tad tas ir funkcijas augšanas intervāls. Ja f ’(x) < 0, tad tas ir funkcijas dilšanas intervāls.
  • 7. Funkcijas maksimumi un minimumi  Pieņem, ka funkcija ir nepārtraukta intervālā (a; b). Šī intervāla punktu x0 sauc par funkcijas f(x) maksimuma punktu, ja funkcijas vērtība f(x0) šajā punktā ir lielāka nekā funkcijas vērtības visos citos punkta x0 pietiekami mazas apkārtnes punktos x, t.i., visiem x ≠ x0 ir pareiza vienādība f(x) < f(x0), ja vien starpības │x – x0│modulis ir pietiekami.  Minimuma punkts – mājās.
  • 8. Ekstrēma punkti  Maksimuma un minimuma punktus sauc par ekstrēma punktiem (extremum lat.v. – galējs).
  • 9. Ekstrēmu nepieciešamā pazīme  Ja diferencējamai funkcijai f(x) punktā x0 ir ekstrēms, tad f ’(x0) = 0.  Punktus, kuros funkcijas f(x) atvasinājums ir nulle, sauc par funkcijas stacionārajiem punktiem.
  • 10. Ekstrēmu atrašanas algoritms  Atrod punktus, kuros y = f(x) atvasinājums f ’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē.  Izpēta atvasinājuma f ’(x) zīme kritisko punktu apkārtnēs.  Ja argumentam, ejot caur kritisko punktu f ’(x), zīme mainās un f(x) kritiskajā punktā ir definēta, tad funkcijai f(x) šajā punktā eksistē ekstrēms  Jāaprēķina funkcijas vērtība ekstrēma punktā.
  • 11.  Ja stacionārajā punktā f ’’(x) < 0, tad tas ir minimuma punkts.  Ja stacionārajā punktā f ’’(x) > 0, tad tas ir maksimuma punkts.
  • 12. Funkcijas grafika ieliekums un izliekums  Diferencējamas funkcijas y = f(x) grafiku sauc par izliektu, ja tas atrodas zem grafika jebkuras pieskares minētajā intervālā.  Ieliektas funkcijas grafiks – mājās.
  • 13.  Ja funkcijai f(x) intervālā (a; b) eksistē otrās kārtas atvasinājums un visos intervāla punktos f ’’(x) < 0, tad funkcijas grafiks ir šajā intervālā izliekta, ja f f’’(x) < 0, ’’(x) > 0, tad ieliekts.  Funkcijas grafika punktu, kas atdala grafika izliekto daļu no ieliektas daļas, sauc par grafika pārliekuma punktu jeb infleksijas punktu.
  • 14.  Ja punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas y = f(x) grafika pārliekuma punkts, tad f ’’(x) = 0 vai neeksistē.  Ox ass punktus, kuros funkcijas f(x) otrās kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē, sauc par otrās kārtas kritiskajiem punktiem.  Ja, argumentam ejot caur punktu x = x0, otrās kārtas atvasinājums f ’’(x) maina zīmi, tad punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas f(x) grafika pārliekuma punkts.
  • 15. Pārliekuma punktu atrašanas algoritms  Nosaka punktus, kuros funkcijas y = f(x) otrās kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē, t.i., nosaka funkcijas kritiskos punktus.  Atrod tos kritiskos punktus, kuri funkcijas grafika izliekuma intervālus atdala no ieliekuma intervāliem un kuros funkcija ir definēta. Šie kritiskie punkti ir pārliekuma punkti.  Aprēķina katra pārliekuma punkta ordinātu.
  • 16. Funkcijas y = f(x) grafika pārliekuma punkti  Atrod funkcijas atvasinājumus f ’’(x) un f ’’’(x).  Uzraksta vienādojumu f ’’(x) = 0 un atrod šī vienādojuma visas reālās saknes, iegūstot otrās kārtas kritiskos punktus.  Aprēķina f’’’(x) vērības katrā kritiskajā punktā.  Atrod tos kritiskos punktus, kuros f ’’’(x) ≠ 0. Šiem kritiskajiem punktiem atbilstošie funkcijas grafika punkti ir pārliekuma punkti
  • 17. Funkcijas grafika asmptotas  Taisni sauc par līnijas y = f(x) asimptotu, ja līnijas punkts M(x; y), tiecoties uz bezgalību, neierobežoti tuvojas šai taisnei, t.i. attālums no punkta M līdz taisnei tiecas uz nulli.  Funkcijas y = f(x) grafikam var būt vertikālas asimptotas, t.i., paralēlas Oy asij, un slīpas asimptotas. Pie slīpām asimptotam pieder arī horizontālas asimptotas.
  • 18. Vertikālā asimptota  Vertikālās asimptotas. Ja lim f x a x  tad taisne x=a  Ir funkcijas y = f(x) vertikālā asimptota.
  • 19. Slīpā asimptota  Slīpās asimptotas vienādojums ir y = kx + b f x k lim x x b lim x f x kx

Notas del editor

  1. ‘(