1. このプログラムは停止するだろうか?
── 数理パズルで小手調べ ──
わんくま同盟茶藝部顧問
Microsoft MVP for VC++ 2004~
episthmh episteme@cppll.jp
わんくま同盟 東京勉強会 #45

2. 「鳩ノ巣原理」
問：「一辺が70cmの正方形の的に50発の弾
痕がある。このとき、弾痕間の距離が15cm
以下である二つの弾痕の組が少なくともひと
つあることを証明せよ」
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3. 「鳩ノ巣原理」
問：「一辺が70cmの正方形の的に50発の弾
痕がある。このとき、弾痕間の距離が15cm
以下である二つの弾痕の組が少なくともひと
つあることを証明せよ」
一辺が10cmの
7×7 = 49個の箱
その中に50個の弾痕が
あるのだから
少なくとも一つの箱には
二つ以上の弾痕がある。
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4. 「対角線論法」
問：「0以上1未満の実数と自然数との間で
一対一の対応を付けることはできない(前者
がはるかにたくさんある)ことを証明せよ」
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5. 「対角線論法」
問：「0以上1未満の実数と自然数との間で
一対一の対応を付けることはできない(前者
がはるかにたくさんある)ことを証明せよ」
「自然数との間で一対一の対応を付ける」と
は、
「無限の長さを持つ表のどこかにその数が現
れる(列挙可能)」ということに等しい。
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6. 「対角線論法」
二進数表記にして 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
テキトーに列挙してみた。
0. １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
(実際は縦/横とも無限)
0. 0 １ 0 １ 0 １ 0 １ 0 １
0以上1未満の実数は
0. １ 0 １ 0 0 １ １ 0 １ 0
すべてこの表に現れる
だろうか。 0. １ 0 １ １ １ １ １ １ １ １
0. 0 １ １ １ １ 0 １ 0 １ 0
0. １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
0. 0 １ １ 0 １ １ １ １ １ 0
0. １ １ 0 １ １ １ １ １ 0 １
0. 0 １ １ １ １ 0 １ １ １ １
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7. 「対角線論法」
0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
対角線上に並ぶ
0. １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
0/1をそれぞれ
0. 0 １ 0 １ 0 １ 0 １ 0 １
反転して作られ
0. １ 0 １ 0 0 １ １ 0 １ 0
る
0. １ 0 １ １ １ １ １ １ １ １
数はこの表には
１ １ １ １ １ １
存在しない
── すなわち ──
0. 0 0 0 0
0. １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
どんなに大きな表
を用意しても、 0. 0 １ １ 0 １ １ １ １ １ 0
その中に存在しな 0. １ １ 0 １ １ １ １ １ 0 １
い実数がある。 0. 0 １ １ １ １ 0 １ １ １ １
→ 列挙不能!
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8. 「チューリングマシンの停止性問題」
問：「プログラムPにデータdを与えて実行
する
ことをP(d)と表すことにする。
如何なるPとdの組み合わせに対しても、
P(d)が有限時間内に停止するか否かを判定す
るプログラム S(P,d) は存在しないことを証
明せよ」
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9. 「チューリングマシンの停止性問題」
以下のようなプログラムF(x)を書くことがで
きる
F(x) {
if ( S(x,x)の答 が”停止する” ) {
loop: goto loop; // 停止しない無限ループ
} else {
return; // 停止する
}
さて、F(F)は停止するだろうか?
}
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10. 「チューリングマシンの停止性問題」
さて、F(F)は停止するだろうか?
F(F) {
if ( S(F,F)の答 が”停止する” ) {
loop: goto loop; // 停止しない無限ループ
} else {
return; // 停止する
}
} S(F,F)はF(F)が停止するかを判定するはず
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11. 「チューリングマシンの停止性問題」
さて、F(F)は停止するだろうか?
F(F) {
if ( F(F) が”停止する” ) {
loop: goto loop; // 停止しない無限ループ
} else {
return; // 停止する S(P,d)は存在しない!
} F(F)は停止するなら停止せず、
} 停止しないなら停止する。
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