1. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
Л.Л. ДОСКОЛОВИЧ
РАСЧЕТ ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК
В РАМКАХ СТРОГОЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ТЕОРИИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний
С А М А Р А
Издательство СГАУ
2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. УДК 535.42
ББК 22.343
Д703
2
Инновационная образовательная программа
"Развитие центра компетенции и подготовка
специалистов мирового уровня в области аэро-
космических и геоинформационных технологий"ПРИО
РИТЕТНЫЕ
Н
А
Ц И О Н А Л Ь Н Ы
Е
ПРОЕКТЫ
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, профессор В.В. Ивахник,
д-р физ.-мат. наук, профессор И.П Завершинский.
Досколович Л.Л.
Д703 Расчет дифракционных решеток в рамках строгой электромаг-
нитной теории: учеб.пособие / Л.Л.Досколович. – Самара: Изд-во
Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. – 80 с.: 30 ил.
ISBN 978-5-7883-0607-0
Рассмотрены методы решения прямых и обратных задач дифракции на
одномерных и двумерных дифракционных решетках в рамках электромаг-
нитной теории. Прямые задачи состоят в расчете отраженного (прошедшего)
поля, возникающего при дифракции света на рельефе дифракционной ре-
шетки. Обратные задачи состоят в расчете профиля периода решетки из ус-
ловия формирования заданной интенсивности порядков дифракции. Методы
применимы к расчету многослойных покрытий и фотонных кристаллов.
Предназначено для студентов специальностей и направлений «Прикладные
математика и физика», «Прикладные математика и информатика».
УДК 535.42
ББК 22.343
ISBN 978-5-7883-0607-0 © Досколович Л.Л., 2007
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2007
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. 3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...................................................................................................................................4
1. Дифракция на идеально проводящих решетках со ступенчатым профилем.................5
1.1. ТЕ-поляризация.......................................................................................................7
1.2. ТМ-поляризация......................................................................................................9
2. Дифракция на идеально отражающих решетках с непрерывным профилем
(приближение Рэлея).......................................................................................................13
3. Дифракция на диэлектрических дифракционных решетках.........................................16
3.1. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем
(ТM-поляризация)..................................................................................................17
3.2. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТM-поляризация)........22
3.3. Дифракция на диэлектрических решетках с непрерывным профилем
(ТЕ-поляризация)...................................................................................................25
3.4. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках (ТЕ-поляризация) ........27
3.5. Примеры расчета решеток....................................................................................29
4. Градиентные методы решения обратной задачи расчета дифракционных решеток ...32
4.1. Расчет отражающих решеток со ступенчатым профилем .................................32
4.2. Расчет диэлектрических бинарных решеток.......................................................35
4.3. Расчет идеально проводящих решеток с непрерывным профилем
в приближении Рэлея.............................................................................................47
5. Дифракция на двумерных диэлектрических решетках ..................................................53
5.1. Дифракция на бинарных дифракционных решетках..........................................63
5.2. Синтез субволновых антиотражающих покрытий .............................................67
5.3. Расчет поля от линзовых растров ........................................................................72
Заключение ............................................................................................................................76
Список контрольных вопросов ............................................................................................77
Список специальных терминов............................................................................................78
Библиографический список..................................................................................................79
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. 4
ВВЕДЕНИЕ
Дифракционные решетки как прибор для пространственно-частотного
разделения компонент спектра оптического сигнала являются важными ком-
понентами большого числа оптических систем. Если характерные размеры
ступенек микрорельефа дифракционной решетки, на которых происходит ди-
фракция света, сравнимы с длиной волны, то скалярное приближение не по-
зволяет адекватно описать процесс дифракции. В этом случае требуется ис-
пользовать общую электромагнитную теорию света, основанную на уравнени-
ях Максвелла. В пособии приведены решения ряда прямых и обратных задач
дифракции на одномерных и двумерных дифракционных решетках в рамках
электромагнитной теории. В разделе 1 рассматривается дифракция плоской
волны на одномерной идеально отражающей дифракционной решетке, период
которой представляет собой набор прямоугольных ступенек различной глуби-
ны. Эта задача включает в себя задачу дифракции на одномерной бинарной
решетке. В разделе 2 рассматривается задача дифракции на одномерной отра-
жающей решетке с непрерывным профилем в приближении Рэлея. Приближе-
ние Рэлея представляет собой вариант использования строгой теории дифрак-
ции и приближенных граничных условий. В разделе 3 рассматривается задача
дифракции на одномерных диэлектрических решетках с непрерывным и би-
нарным рельефом. Для решения задачи дифракции использован удобный мат-
ричный формализм. В разделе 4 рассматриваются методы решения обратных
задач расчета одномерных дифракционных решеток. Обратные задачи состоят
в расчете профиля решеток из условия формирования заданных интенсивно-
стей дифракционных порядков. Методы решения обратных задач основаны на
минимизации функционалов-критериев с помощью градиентных методов. Ме-
тоды раздела 4 обобщают итерационные алгоритмы расчета дифракционных
решеток, разработанные в рамках скалярной теории дифракции. В разделе 5
рассматриваются задачи дифракции на двумерных диэлектрических дифракци-
онных решетках. С использованием представленных методов произведен синтез
двумерных антиотражающих покрытий и исследована работоспособность бинар-
ных линзовых растров с размерами линз всего в несколько длин волн.
Рассмотренные в пособии методы решения прямых и обратных задач ди-
фракции на дифракционных решетках непосредственно применимы к расчету
многослойных покрытий, фотонных кристаллов, композитных структур. Ма-
териал пособия также является дополнением к созданному в рамках
ПРОГРАММЫ программному обеспечению Grating для расчета и моделиро-
вания дифракционных решёток.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5. 1. ДИФРАКЦИЯ НА ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИХ РЕШЕТКАХ
СО СТУПЕНЧАТЫМ ПРОФИЛЕМ
Рассмотрим дифракционную решетку, изготовленную из абсолютно про-
водящего материала и имеющую K прямоугольных штрихов на периоде d
(рис. 1). Положение l-го штриха определяется координатой xl начала штриха,
шириной штриха cl и глубиной штриха hl. Предположим, что дифракционная
решетка освещается плоской монохроматической волной с единичной ампли-
тудой и волновым вектором
( ) (
5
)( )sin , cos , 0θ − θ
( )
22 2 2
0 0/ 2π/k c= ω = λ
0 0k= εk ,
где , λ0 — длина волны, ε - диэлектрическая проницае-
мость среды, θ - угол падения (рис. 1).
Рис. 1. Дифракционная решетка со ступенчатым профилем
( ),xВ среде с диэлектрической проницаемостью yε и магнитной прони-
цаемостью равной единице поле описывается следующими базовыми уравне-
ниями [1]:
( ) ( ) ( )
( )
0
0
, , , ,
, , .
ik x y x y z
x y z
− εH E
E H( )
, ,
, ,
rot x y z
rot x y z ik
⎧ =⎪
⎨
=⎪⎩
(1)
Поскольку свойства среды не зависят от переменной z, то электрическое и
магнитное поля имеют вид
( ) ( ), , , ( , ), , ( , )x y z x yE E x y z x y= =H H
0x y y x z
. (2)
Подставляя (2) в (1), получим
0 0, ,y z x x z yH ik E H ik E∂ = − ε − ∂ = − ε ∂ H H ik E− ∂ = − ε
0x y y x zE E ik H∂ − ∂ =
,
0 0, ,y z x x z yE ik H E ik H∂ = − ∂ = , (3)
∂
где x
x
∂ =
∂
. Используя (3), представим компоненты поля Ex, Ey, Hx, Hy через
компоненты Ez, Hz в виде
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

6. 6
0 0
1 1
, ,x y z y x zE H E H
ik
= ∂
ε εik
−
= ∂
0 0
1 1
,x y z y x zE H E
ik ik
−
= ∂ = ∂H , (4)
где компоненты Ez, Hz удовлетворяют уравнениям Гельмгольца
2 2 2
2 2
0,z zE E
k E
x y
∂ ∂ ∂ 2
2 2
0 02 2
0.z z
z z
H H
k H
x y
∂
+ + ε =
∂ ∂ ∂
(5)+ + ε =
∂
0, 0z zH
Задача дифракции плоской волны на одномерной дифракционной решетке
сводится к рассмотрению двух независимых задач: задачи дифракции плоской
волны с ТЕ-поляризацией ( E ≠ =
0, 0z zH E≠ =
0tE =
tE
~ 0
0
x y z
z
E H
E
) и задачи дифракции плоской волны
с ТМ-поляризацией ( ) [1]. При этом плоская волна с произволь-
ной ориентацией вектора поляризации может быть представлена в виде линей-
ной суперпозиции волн этих двух типов. Уравнения Гельмгольца (5) должны
быть дополнены граничными условиями. Граничное условие на поверхности
абсолютного проводника имеет вид
, (6)
где — тангенциальная составляющая электрического поля. Условие (6),
с учетом (4), принимает вид
∂ =⎧
⎨
=⎩
0
~ 0
z
y x z
E
E H
=⎧⎪
⎨
(7)
для горизонтальных участков профиля решетки и
(8)
∂ =⎪⎩
для вертикальных участков профиля решетки.
Кроме того, компоненты электрического поля должны быть непрерывны
при y=0. Граничные условия (7), (8) должны быть дополнены условием непре-
рывности тангенциальных компонент Hx, Hz магнитного поля при y=0 в облас-
ти штрихов, то есть при , 1,i i ix x x c i K≤ ≤ + = [1-6]. Компоненты магнитного
поля при y=0 между штрихами, в отличие от компонентов электрического по-
ля, терпят разрыв, равный плотности поверхностного тока.
Рассмотрим решение задачи дифракции c использованием так называемого
модового метода [1-6]. Метод основан на сшивке при y = 0 тангенциальных
компонент двух полей. Первое поле является решением уравнения Гельмголь-
ца внутри штрихов при , 0, 1,i ii ix x x c≤ ≤ + h y i K− ≤ < = , а второе – решени-
ем уравнения Гельмгольца в области над штрихами при y>0.
Поле в области над штрихами представляется в виде разложения Рэлея:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

7. ( ) ( )( )
7
( )( )0expn n nik x yε α +β0 0 0, exp
n
u x y ik x y R
∞
=−∞
= ε α −β + ∑ , (9)
где Rn — коэффициенты отражения дифракционных порядков (рис. 1),
( ) 0n
d
λ
+
ε
2
1n nsinnα = θ , = − α . (10)β
Скалярная функция u(x,y) в (9) соответствует компоненте Еz(x,y) для слу-
чая ТЕ-поляризации и компоненте Hz (x,y) для случая ТМ-поляризации. Разло-
жение Рэлея (9) является решением уравнения Гельмгольца (5), представлен-
ным в виде суперпозиции плоских волн (порядков дифракции). Отметим, что
разложение (9) содержит однородные плоские волны ( )2
1nα <
( )2
1nα >
и неоднородные
плоские волны , экспоненциально-затухающие при удалении от по-
верхности дифракционной решетки. Слагаемое ( )0n dλ ε в (10) вытекает из
теоремы Флоке и характеризует наличие постоянного фазового сдвига между
соседними периодами решетки.
Решение задачи дифракции состоит в определении коэффициентов отра-
жения Rn из граничных условий при y =0. Представление для компонент поля
внутри штрихов решетки различно для случаев ТЕ и ТМ-поляризации.
1.1. ТЕ-поляризация
(Для ТЕ-поляризации электрическое поле ),l
zE x y
2
0 0l l
z zE k EΔ + ε =
внутри l-го штриха
удовлетворяет уравнению Гельмгольца
(11)
( )( ),
, 0
l
l
z x y C
E x y
∈
= , (12)с граничным условием
[ ], ,0l lx x y h= ∈ − ,где Cl — контур штриха, состоящий из трех отрезков
,l lx c= + [ ] [ ], , l lx x cx ,0ly h∈ − и l ly h x= − ∈ + .
Условие (12) является конкретизацией условий (7), (8). Используя метод раз-
деления переменных для решения уравнения Гельмгольца, получим поле внутри
l-го штриха в виде следующего разложения по ортогональным функциям:
( ) ( ) ( )( )sinl ln lx x y h
⎛ ⎞
μ +⎜ ⎟
⎝ ⎠1
π
, sinl l
z n
n l
n
E x y B
c
∞
=
= −∑ , (13)
где
2
0
π
,
l
n
k k k
c
⎛ ⎞2 2
lnμ = − = ε⎜ ⎟
⎝ ⎠
. (14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

8. 8
nR l
nB
Дальнейшее решение задачи дифракции сводится к нахождению коэффи-
циентов и из граничных условий при y=0. Запишем условие непрерыв-
ности z-компоненты электрического поля ( ),zE x y при y = 0:
( ) ( )
( ) ( )sin ,n l ln lB x x h
⎛ ⎞
= − μ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
0
1 1
exp exp
/ 2 π
rect sin
n n
n
K
ll l
l nl l
ik x R ik x
x x c n
c c
∞
=−∞
∞
= =
α + α =
⎛ ⎞− −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑ ∑
(15)
1, 0,5
rect
0, 0,5
x
x
x
⎧ ≤⎪
= ⎨
>⎪⎩
( ), ,pik x p− α = −∞ ∞
где .
Заменим уравнение (15) условием равенства коэффициентов Фурье в раз-
ложении правой и левой частей данного уравнения. Для этого умножим (15) на
и проинтегрируем по периоду. В результате получим
следующую систему линейных уравнений:
exp
( )
1 1
K
p
l n
R p
∞
= =
+ δ = ∑∑ , ,l l
pn nAA B p = −∞ ∞
( )
1, 0
0, 0
p
p
p
=⎧
δ = ⎨
≠⎩
, (16)
где ,
( )
( ) ( )exp dp
l
m
i
⎛ ⎞
0
sin π
exp sin
lkc
lm ll
pm p l
h
AA ik x
kd kc
μ
= − α ξ − α⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )nR=
∫ ξ ξ . (17)
Система линейных уравнений (16) содержит две последовательности ко-
эффициентов и ( )R l
nB=B
~
. Для того, чтобы найти второе уравнение
связи между наборами коэффициентов R и B, воспользуемся условием непре-
рывности для тангенциальных составляющих магнитного поля. Тангенциаль-
ная составляющая магнитного поля Hx y zE∂ должна быть непрерывной при
y=0 в области штрихов, то есть при , 1,l l lx x x c l K≤ ≤ + =
~
. Условие непре-
рывности x y zH E∂ при y=0 имеет вид
( ) ( )
( ) ( )
exp i
cos
n n n
l lm l
R k x
x h
∞
0 0
1
exp
π
sin
n
l
m lm
m l
ik ik x ik
m
B x
c
∞
=−
∞
=
− β α + β α =
⎛ ⎞
− μ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= μ
∑
∑
(18)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

9. ( )( )/ ,l lx csin π m x −
9
при ,l l l 1,x x x c l K≤ ≤ + = ,m = −∞ ∞. Умножая (18) на
и интегрируя по x на отрезке [ ],l l lx x c+ , получим выражение для коэффици-
ентов разложения внутри l-го штриха в виде:
( )
( )( ) l
n n mnR n DD= β − δ
2
cos
l
m
nlm lm l
ik
B
h
∞
=−∞μ μ
∑ , (19)
где
( ) ( )exp i d .n
l l
m⎛ ⎞
0
1 π
exp i sin
lkc
l
mn n lDD k x
kc kc
= α ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ α ξ ξ (20)
Подставляя (19), (20) в (16), получим систему линейных уравнений для на-
хождения коэффициентов Рэлея:
, ,s pR D p⋅ = = −∞ ∞
( )ps s ps
ps
s
AA
∞
=−∞
∑ , (21)
AA M p s= β − δ − , (22)где
( )
( )
*ln l l l
ns np
ln
h
DD DD
μ
μ
( )0 0p pD M p= β + δ
1 1
2 K
ps l
l n
tgik
M c
d
∞
= =
= ∑∑ , (23)
. (24)
При расчете система бесконечного числа линейных уравнений (21) заме-
няется конечной системой из 2N + 1 уравнений:
⋅ =AA R D , (25)
( ) ( ) ( ), ,N N N
ps NAA R= =AA R p N p ND− − −=Dгде . (26)
При этом ряды в (19) заменяются суммами из , 1,ln l K=
( ),l
z
членов. Эта замена
предполагает, что для представления поля внутри l-го штриха достаточно nl членов.
1.2. ТМ-поляризация
Решение для случая ТM-поляризации во многом аналогично рассмотрен-
ному решению для ТЕ-поляризации. Внутри l-го штриха решетки магнитное
поле H x y удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
2
00,l l
z zH k k= = ε
( )
H kΔ + (27)
с граничным условием
( ),
,
0
l
l
z
x y C
H x y
∈
=
∂n
∂
, (28)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

10. где n — вектор нормали к контуру штриха Cl. Условие (28) являются следствием
общих граничных условий (7), (8). Используя метод разделения переменных для
уравнения Гельмгольца (27), получим ( ),l
zH x y в виде следующего ряда:
( ) ( ) ( )( )cosl ln l
1
π
, cosl l
z n
n l
n
H x y B x
c
∞
=
= −∑ x y h
⎛ ⎞
μ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
nR l
nB
( ),z
, (29)
где коэффициенты μln определены в уравнении (14).
Для нахождения коэффициентов и воспользуемся граничными ус-
ловиями при y = 0. Условие непрерывности z-компоненты магнитного поля
H x y при y = 0 в области штрихов решетки дает следующее функциональ-
ное уравнение:
( ) ( ) ( ) ( )cosl ln l
n
x x h
⎛ ⎞
− μ⎜ ⎟
⎝ ⎠
l l
0
1
π
exp exp cosl
n n n
n n l
ik x R ik x B
c
∞ ∞
=−∞ =
α + α =∑ ∑ , (30)
lx x x c≤ ≤ + 1,l K=
~
где и . Граничное условие для тангенциальной состав-
ляющей электрического поля x y zE H∂ требует при y = 0 равенства нулю про-
изводной y zH∂ на горизонтальных участках профиля и непрерывности произ-
водной
10
y zH∂ l l lв области штрихов (при x x x c≤ ≤ + , 1,l K=
nR l
nB
)
). Данные условия
дают второе функциональное уравнение для коэффициентов и в виде
( ) (
( ) ( )sin .l lm lB x x h
=
⎛ ⎞
− μ⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 0
1 1
exp exp
/ 2 π
Rect cos
n n n
n
K
ll l
m lm
l ml l
ik ik x ik R ik x
x x c m
c c
∞
=−∞
∞
= =
− β α + β α
⎛ ⎞− −
= − μ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑ ∑
(31)
( )( )cos π m x / , ,l lx c m−Умножая (30) на = −∞ ∞
[
и интегрируя по x на от-
резке ],l l lx x c+ , получаем следующее уравнение для коэффициентов разло-
жения внутри l-го штриха:
( )
( )( )l l
n mnR n DD
∞
=−∞
+ δ∑
2
cos
m
nlm l
B
h
=
μ
, (32)
( )где ( )
π
exp dn
l l
m
i
kc
⎛ ⎞
0
1
exp cos
lkc
l
mn n lDD ik x
kc
= α ξ α⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ξ ξ . (33)
Далее заменим уравнение (31) условием равенства коэффициентов Фурье
для правой и левой частей. В результате получим следующую систему линей-
ных уравнений:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

11. 11
,l l
m pmB AA p( )0
1 1
K
p p
l m
p R i
∞
= =
−β δ +β = ∑∑ = − ∞ ∞ , (34)
( )
( ) ( )π
exp dp
l
m
i
kc
⎛ ⎞
0
sin
exp cos
lkc
lm ll lm
pm p l
h
AA ik x
kd k
μ μ⎛ ⎞
= − α ξ − α⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )ps p
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ξ ξ . (35)
Подставляя (32), (33) в (34), получим систему линейных уравнений отно-
сительно коэффициентов Рэлея в виде (21), (25), где
psAA M p s= −β δ − , (36)
( ) ( )
*l l
ln l ns nph DD DD= μ
( )0 0p pD M p= − −β δ
1 1
2
tg
K
l
ps
l n ln
cki
M
d
∞
= = μ
∑ ∑ , (37)
. (38)
В скалярном приближении Кирхгофа интенсивности дифракционных по-
рядков определяются как квадраты модулей коэффициентов Фурье
2
nc функ-
ции ( )(i xϕ )exp ( )x, где функция ϕ описывает набег фазы, формирующийся
при отражении плоской волны от профиля решетки. Введем понятие интен-
сивности порядка для отражающей решетки в рамках электромагнитной тео-
рии. Рассмотрим область D, ограниченную снизу профилем решетки, сверху
отрезком прямой x = p, p > 0, справа и слева – отрезками прямых x = 0, x = d.
Используя закон сохранения энергии, приравняем к нулю поток вектора Умо-
ва—Пойнтинга ( ) *
8π Re ,c ⎡ ⎤= ⎣ ⎦S E H через область D [1]. В результате полу-
чим следующее условие нормировки [1]:
2
0 n n
n U
R
∈
∑β = β , (39)
где { }2
1nU n= α <
nβ
— множество индексов, соответствующих распростра-
няющимся отраженным плоским волнам (порядкам дифракции) в (9). Величи-
ны определены в (16) и равны косинусам углов между осью Oy и направ-
лениями отраженных порядков. Уравнение (39) имеет ясную физическую ин-
терпретацию: энергия падающей волны равна сумме энергий отраженных по-
рядков. Согласно (39), под интенсивностями порядков следует понимать сле-
дующие нормированные значения коэффициентов Рэлея:
2
n nI R
0
, 1 .n
n
n U
I
∈
β ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟β ⎝ ⎠
∑ (40)
Пример 1. Рассмотрим работу простейшей бинарной решетки с одним штри-
хом длины d/2 на периоде d. На рис. 2 приведены зависимости интенсивно-
стей 0-го и –1-го порядков от глубины штриха h. Интенсивности порядков
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

12. 12
2 sm d⋅λ = − ⋅
рассчитывались по формулам (25),
(36) — (38) при d=λ и угле падения
θ = 30° для случая ТМ-поляризации.
Отметим, что при указанных пара-
метрах выполняется условие Брэгга
[1,4] при m = –1.
В этом случае существуют только
0-й и –1-й распространяющиеся
порядки. При этом направление
распространения –1-го порядка
противоположно направлению па-
дающей волны. Все остальные по-
рядки соответствуют неоднород-
ным волнам
( )in θ
( )2
1nα >
h ≈
, экспоненци-
ально затухающим при удалении от
поверхности решетки. Рис. 2 пока-
зывает следующие интересные мо-
менты в работе бинарной решетки.
Во-первых, при глубинах штриха
0,1λ, 0,42λ, 0,57λ и 0,93λ энер-
гия делится пополам между 0-м и –
1-м порядками, то есть решетка
работает как делитель пучка. Во-
вторых, при глубинах штриха 0,22λ
и 0,72λ энергия падающей волны
концентрируется в –1-м порядке,
т.е. при данных глубинах решетку
можно использовать как дефлектор
(отклонитель) пучка. По общему
виду графиков на рис. 2 можно
предположить, что интенсивности
0-го и –1-го порядков меняются
периодически. На рис. 3 приведена зависимость интенсивностей порядков би-
нарной решетки от глубины штриха для ТЕ-поляризации. Для ТЕ-поляризации
бинарная решетка не обладает свойством концентрировать излучение в –1-ом
порядке. Как делитель пучка решетка работает при глубине штриха 0,55λ.
1
I-1
I0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
h/λ0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 2. Зависимость интенсивностей –1-го
( ) ( )1I− и 0-го 0I порядков бинарной
решетки от высоты штриха для ТМ-
поляризации при d = λ, θ= 30°
I-1
I0
h ≈
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
h/λ0,6 0,80,2 0,4
1
Рис. 3. Зависимость интенсивностей –1-го
( ) ( )1I− и 0-го 0I порядков бинарной
решетки от высоты штриха для ТЕ-
поляризации при d = λ, θ = 30°
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

13. 2. ДИФРАКЦИЯ НА ИДЕАЛЬНО ОТРАЖАЮЩИХ РЕШЕТКАХ
С НЕПРЕРЫВНЫМ ПРОФИЛЕМ (ПРИБЛИЖЕНИЕ РЭЛЕЯ)
13
( )( )0
max
x d
Рассмотрим решение задачи дифракции на идеально отражающей дифрак-
ционной решетке (период d) с непрерывным профилем y=f (x) в приближении
Релея [1,5,6]. Согласно (9), поле над профилем дифракционной решетки при
y a f x
≤ ≤
> =
( )
представляется в виде разложения Рэлея. Из этого не сле-
дует, что при y < a поле также описывается разложением Рэлея. Однако при не-
глубоком и гладком профиле f (x) эту гипотезу можно считать оправданной.
Приближение Рэлея предполагает, что разложение (9) описывает поле не только
над решеткой при y > a, но и внутри решетки при y < a. Напомним, что скаляр-
ная функция u (x,y) в (9) соответствует компоненте Ez электрического поля для
ТЕ-поляризации или компоненте Hz магнитного поля для ТМ-поляризации.
Для расчета коэффициентов Рэлея Rn в (9) достаточно воспользоваться
граничным условием (6) при y=f (x). Согласно (6), поле (9) должно удовлетво-
рять граничному условию
( )
, 0y f x
u x y =
= (41)
для ТЕ-поляризации и граничному условию
( )
( )
d ,
0
d y f x
u x y
=
=
n
) ) ( )( )0exp 2ik f x= − − β
, ,n pR B p⋅ = = −∞ ∞
( ) ( )( )0n
(42)
для ТМ-поляризации, где n — единичный вектор нормали к профилю решетки.
Подставляя (9) в (41), получаем в случае ТЕ-поляризации для расчета ко-
эффициентов Rn следующее уравнение:
( ) ( ) (( )( 0 0expn n n
n
R ik x f x
∞
=−∞
α − α + β −β∑ . (43)
Заменяя (43) условием равенства коэффициентов Фурье в разложении пра-
вой и левой частей, получим для расчета Rn следующую систему линейных
уравнений:
pn
n
AA
∞
=−∞
∑ , (44)
( )
2π
0
exppnAA i n= ξ −∫ p i H d+ β −β ξ ξ
( )( )02 dB i H ip
где , (45)
2π
0
expp = − − β ξ − ξ ξ∫ , (46)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

14. 14
( )
2π
d
H kf
ξ⎛ ⎞
ξ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(47)
— нормированная высота.
Проводя аналогичные вычисления, несложно получить в случае ТМ-поляриза-
ции для расчета коэффициентов Rn систему линейных уравнений вида (44), где
( ) ( )
2π
0
exppn n nAA H i n p
d
λ⎛ ⎞′ ( ) ( )( )0 dni H= β − α ξ ξ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ + β −β ξ ξ , (48)
( )
2π
0 0
0
exppB H
d
λ⎛ ⎞′= β + α ξ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ( )( )02 di H ip− β ξ − ξ ξ
⋅ =AA R B
( )
. (49)
На практике для расчета коэффициентов Rn используется конечная система
из 2N+1 уравнений:
, (50)
( ) ( ), ,N N N
pn NAA= =AA R n N n NR B− − −=B
d >> λ
где .
При приближении Рэлея переходит в приближение Фраунгофера.
Действительно, при ( )0 0n ( ) ( )d >> λ β −β ≈ и 0d H′λ ξ ≈
2π
. В этом случае
матрица АА в (50) становится диагональной ( =AA ) и коэффициенты
Рэлея будут пропорциональны коэффициентам Фурье в разложении функции
, где функция
E
( ))x(exp iϕ
( ) ( )02 / 2πx k f xdϕ = − β ⋅ (51)
описывает набег фазы, формируемый при отражении плоской волны от решет-
ки с высотой ( )2πf xd
( ) ( )
1
0
. Интересно отметить, что приближение Фраунгофера
соответствует выбору первого члена в асимптотическом разложении для ко-
эффициентов Рэлея. Действительно, используя матричное разложение
j
j
∞
−
=
+ = −∑E C C ,
представим коэффициенты Рэлея в виде
( )
( )
1 1
2π
1
2π
−
∞
= ⋅ =
= − ⋅
R AA B E
AA B ( )
1
1
1 1
0 1
,
j k
j j
−
∞
= =
+ =
= ± − − ⋅∑ ∑
AA B
F AA F
1AA
/ 2π, ,
/ 2π 1, .
pn
pn
(52)
где F — вектор коэффициентов Фурье, а — матрица с элементами
A
1 pn
A p n
AA
AA p n
≠⎧⎪
= ⎨
⎪⎩ − =
(53)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

15. Пример 2. Для оценки точности приближения Рэлея рассмотрим работу коси-
нусоидальной решетки с профилем
( )
15
2π
cos
2
h x
f x
d
⎛ ⎞
= ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
. (54)
Для характеристики точности приближения Рэлея введем относительную ошибку
( )
( )
( )
Int Rel
n n
Int
n
I
n
h I h
I h
−
hε = , (55)
( ) (где h — амплитуда профиля, ),Int Rel
n nI h I h
ε-1
— интенсивности n-го порядка,
рассчитанные точным интегральным методом [1,5,6] и в приближении Рэлея
по формулам (44) — (47).
На рис. 4 приведены
графики относительной
ошибки для интенсивно-
стей 0-го и –1-го порядков
в зависимости от норми-
рованной амплитуды про-
филя h/λ при периоде d=λ
и угле падения θ = 30° для
ТЕ-поляризации. Из рис. 4
видно, что приближение
Рэлея дает ошибку менее
10% при h < 0,325λ. При-
веденный пример показы-
вает, что приближение
Рэлея применимо при глад-
ких неглубоких профилях
(h < d/3), даже при перио-
дах близких к длине волны.
ε0
0
10
20
n
h/λ0,25 0,30,2 0,35
5
15
25
Рис. 4. Ошибка приближения Рэлея
для интенсивностей –1-го ( )( ) ( )( )1 h−ε и 0-го 0 hε
порядков косинусоидальной решетки в зависимости
от амплитуды для ТЕ-поляризации при d = λ, θ = 30°
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

16. 3. ДИФРАКЦИЯ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТКАХ
16
( ) )
Рассмотрим дифракцию плоской волны с волновым вектором
( )( 0 0s ,0 , k k− θ = εsin , cok= θk на диэлектрической решетке с профилем
y = f (x) и периодом d. Геометрия задачи дифракции приведена на рис. 5, где Rn
и Tn — коэффициенты отражения и пропускания дифракционных порядков.
Для приведенной геометрии задачи имеются три зоны с различной диэлектри-
ческой проницаемостью ε. Зона 1 соответствует области над решеткой при
y > a, где a — максимальная высота профиля решетки. Зона 2 соответствует зоне
профиля решетки 0 < y < a. Зона 3 соответствует области подложки y<0. В зонах
1 и 3 диэлектрическая проницаемость постоянна. Без ограничения общности
будем считать, что в первой зоне ε = 1, а в третьей зоне ε > 1. Во второй зоне –
зоне модуляции, диэлектрическая проницаемость является функцией ε = ε (x,y).
y=f(x)
y k
a
θ
Tn
b
0
Rn
d
2
1
3 ε>1
ε ε= (x,y)
x
ε=1
0,z ≠
0zH = 0, 0z zH E
Рис. 5. Геометрия задачи дифракции на диэлектрической решетке
Как и в пункте 1, достаточно рассмотреть две независимых задачи ди-
фракции; задачу дифракции плоской волны с ТЕ-поляризацией ( E
) и задачу дифракции плоской волны с ТМ-поляризацией ( ≠ =
( )( )0expn n nik x yα +β
).
В зонах 1 и 3 z-компоненты полей являются решениями уравнений Гельмголь-
ца (5). Решения уравнений Гельмгольца могут быть представлены в виде раз-
ложений Рэлея (суперпозиций плоских волн). В зоне 1 z-компоненты полей
имеют вид
( ) ( )( )0 0 0, exp
n
u x y ik x y R
∞
=−∞
= α −β + ∑ , (56)
( ) 20
, 1 .n nn
d
λ
+sinnα = θ β = − α (57)где
Как и ранее, функция u (x,y) представляет компоненту Еz (x,y) электриче-
ского поля для случая ТЕ-поляризации и компоненту Hz (x,y) магнитного поля
для случая ТМ-поляризации. В зоне 3 z-компоненты имеют вид
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

17. 17
( )( )0, expn n nik x y= α −β%( )
n
u x y T
∞
=−∞
∑ , (58)
где 2
n nβ = ε − α%
2
0u k uΔ + =
2 2
0k k= 2 2
0k k= ε
( ) ( )
. (59)
Разложения Рэлея (56), (58) являются решениями уравнения Гельмгольца
(60)
при и , соответственно.
3.1. Дифракция на диэлектрических решетках
с непрерывным профилем (ТM-поляризация)
В зоне модуляции поле описывается системой дифференциальных уравне-
ний, различных для случаев ТЕ- и ТМ-поляризаций. Для TM-поляризации
( )( ), 0,0, ,zx y H x y=H уравнения (1) примут вид
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
, , , ,
, , , ,
, 0,
x
y
( )
( )
( ) ( ) ( )0
, 0,
, 0,
, , , .
z y
z x
x y y x z
E x y
E x y
E x y E x y ik H x y
∂ =
∂ −∂ = −
∂ = (61)( )
( )
y z
x z
z
H x y ik x y E x y
H x y
E x y =
ik x y E x y
∂ = − ε
∂ = ε
Из первых двух уравнений в (61) получим:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
0 0
1 1
, , .
, ,
x zH x y
x y
= ∂
ε ε
, , ,x y z yE x y H x y E x y
ik x y ik
−
= ∂ (62)
Подставляя (62) в последнее уравнение в (61), будем иметь:
( )
( )
( )
( )
( )
,
, 0z
z
x y
H x y
y
⎛ ⎞
2 2
0 0
,1 1
, ,
zH x y H
x x yk x y k x y
⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂
+ + =⎟⎟∂⎝ ⎠
( )
⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ε ε⎝ ⎠
. (63)
Для дальнейших выкладок удобно ввести функцию:
( )
( ) 2
0
,1
,
zH
,x
x y
yk x y
∂
∂ε
( ),xE x y%
E x y =% . (64)
Введение функции (64) оказывается удобным, поскольку, согласно (62),
функция пропорциональна второй тангенциальной компоненте поля
Ex(x,y) на границах зоны модуляции y=0, y=a. Представим (63) в виде системы
из 2-х уравнений:
( )
( )
( ) ( )
( )
, ,
, .z
z
H x y
2
2
,
, ,
1
zH x y
k E x y
y
E x y
H x y
x
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
∂⎝ ⎠y x k
⎧∂
=⎪
∂⎪
⎨
∂ ∂∂⎪ = −
⎪ ∂ ∂⎩
%
%
(65)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

18. 18
( , )zH x y
)
является квазипериодической [1,5-9]:Функция
( ) ( ) ( ( )0 0 0p , sink x= α α = θ
(
, , exzH x y v x y i , (66)
)где ,x yν (— периодическая по x функция с периодом d. Разлагая )x, yν
( ,z
в
ряд Фурье по переменной x, представим H )x y
)0 0 0, /m m
в виде
( ) ( ) (, expz m
m
H x y H y ik x m d
=−∞
= α α = α + λ∑
( ),xE x y%
( ) ( )0, expx m mE y ik x
∞
= α% %
∞
. (67)
Функция также является квазипериодической:
( )
m
E x y
∞
=−
∑ . (68)
( ),xE x y% ( , )z, HВ дальнейшем будем считать, что функции x y в зоне мо-
дуляции могут быть аппроксимированы отрезками своих рядов (57), (58) с
2N+1 членами.
( ) ( )2
0k x y k= ⋅Функции 2
, ,x yε ( )и 2
1/ ,k x y
( )
( )
являются периодическими по
x с периодом d:
( )
( )
( )
( )
12
2
,
n
n
n
n
k x y c
k x y
∞
=−∞
∞
=−∞
=
=
∑
∑ 2
2π
, exp ,
1 2π
exp .
y i nx
d
c y i nx
d
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(69)
Подставим разложения (67) — (69) в систему (65) и, при учете 2N+1 чле-
нов разложений, получим:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) (
0 0
2
0
0 0
d
exp exp
d
d 2π
exp exp
d
exp exp
N N
m
m l l
m N l N n
N
m
m n
m N n
N N
l l l m
l N m N
H y
ik x E y ik x
E y
ik x c y i n
y x
ik H y ik x H y ik
∞
=− =− =−∞
∞
=− =−∞
=− =−
α = α ⋅
∂ ⎛
α = − ⎜
∂ ⎝
⎞
× α α −⎟
⎠
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
%
%
)
1
0
2π
exp ,
.
n
m
c y i nx
y d
x
d
x
⎫⎛ ⎞
⎪⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎪
⎪⎪⎛ ⎞
× ⎬⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎪
⎪
⎪α
⎪⎭
∑
(70)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях
2
exp ,i mx
d
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,m N N= − , приведем уравнения (70) к системе 4N+2 дифференциальных
уравнений, не зависящих от x:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
22
0
d
d
d
d
N
p
l p l
l N
N
p
p l p l l
l N
H y
E y c y p
y
E y
k c y H
y
−
=−
−
=−
⎧
= =⎪
⎪
⎨
⎪
= α α −⎪
⎩
∑
∑
%
%
, , ,
, , .p
N N
y H y p N N
−
= −
(71)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

19. Таким образом, в зонах 1 и 3 решения имеют вид (56) и (58), а в зоне мо-
дуляции необходимо решать систему уравнений (71). Для поиска общего ре-
шения системы (61) необходимо найти 4N+2 линейно-независимых частных ре-
шений. При отсутствии модуляции ( ( ),x yε = ε ) система (71) принимает вид
( )
( ) ( )
19
( ) ( )
( ) ( )
1
0
22 2
0 0
d
d
d
d
p
p
p
p p
H y
E y c p
y
E y
k c H y
y
⎧
= =⎪
⎪
⎨
⎪
= α −⎪
⎩
%
%
, , ,
, , ,p
N N
H y p N N
−
= −
(72)
( ) ( )1 22 2
0 0 0 0, 1/c k c k= ε = ε
( )
. (73)где
Базисные решения системы (72) имеют вид
( )
( ) ( )
0
0
exp
exp
p
H y ik
i
E y
k
±
±
⎧ = ±
⎪⎪
⎨ β
= ± ±⎪
ε⎪⎩
%
%
%
0
, , ,
, , .
p p
p p
y p N N
ik y p N N
β = −
β = −%
(74)
Для согласования решения в зоне модуляции с решением (74) в зоне 3,
граничные условия для системы (71) определим в виде
( )
( ) ( )0
, , ,
0 , , , ,
j N N
k m j N N
= −
ε = −
1, 0,
0, 0.
m
m
m
=⎧
⎨
≠⎩
( )
( )
( )
( )
0 0
,..., .
0 0
N N
N N
− −
− −
⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
H H
E E% %
( )
0 ,mj m j
mj m m j
H m
E i
−
−
⎧ = δ⎪
⎨
= β δ⎪⎩
m
m %% m
(75)
где δ =
Для удобства выкладок введем 4N + 2 объединённых векторов начальных
условий вида
( )
( )
( )
( )
0 0
,..., ,
0 0
N N
N N
+ +
− −
+ +
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
H H
E E% %
(76)
Обозначим , 1, 4 2i y i NΨ = +
( )
( )
... , ,N N
N N
y y
y y
− −
− −
⎛ ⎞⎛ ⎞Ψ
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠⎝ ⎠
%
вектора функций:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, ... , , ,N N
N N
y y
y y
+ +
−
+ +
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ψ Ψ Ψ
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ψ Ψ Ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
% % %
(77)
являющихся решениями системы (71) с граничными условиями (76). При этом
общее решение системы принимает вид
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

20. ( ) ( )
N N
m j mj
j N j N
( ), , ,j mjH y C y− −
=− =−
= Ψ +∑ ∑ C y m N N+ +
Ψ = − (78)
( ) ( )
N N
m j mj
j N j N
E y C y C− −
=− =−
= Ψ +∑ ∑% % ( ), , .j mj y m N N+ +
Ψ = −%
( ),z
(79)
Для определения коэффициентов пропускания Tn и отражения Rn в уравне-
ниях (56), (58) воспользуемся условиями непрерывности функций H x y
( ),xE x y%
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
exp
0 0 exp
n n
nj n
ik x
ik x+
α =
⎛ ⎞
Ψ α =⎟
⎝ ⎠
,
на границах зоны модуляции при y=0 и при y=a.
Условия непрерывности при y=0 дают следующие функциональные уравнения:
( )
( )
( ) ( )0
exp 0
exp ,
N N
n n
n N n N
N N N
j nj j
n N j N j N
N
n n n
n N
T ik x H
C C
C C ik x
=− =−
− − +
=− =− =−
− +
=−
α =
= Ψ +⎜
= + α
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
(80)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
exp
exp .
N N
n n n
n N n N
N N N
j nj j nj
n N j N j N
N
n
n n n
n N
i
T ik x
k
C C
i
C C ik x
k
=− =−
− − + +
=− =− =−
+ −
=−
− 0 0
0
0 exp
0 0 exp
n n
n
E ik x
ik x
β α =
ε
= Ψ +⎜
β
= −
ε
∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
%
% %
%
α =
⎛ ⎞
Ψ α =⎟
⎝ ⎠
α
%
(81)
20
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях
2
exp ,i px
d
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,p N N= − , получим:
,p p p pT C C T− +
= + − = , ,p pC C p N N− +
− + = − . (82)
Решение системы линейных уравнений (82) имеет вид:
, 0, ,pC p N N− +
= = = −p pT C . (83)
Согласно (83), поле в зоне модуляции имеет вид:
( ) ( )
( ) ( )
N N
m mj
j j
j N j Nm mj
H y y
C T
E y y
−
=− =−
⎛ ⎞Ψ Ψ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Ψ Ψ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑%
( )
, ,
( )
mj
mj
y
m N N
y
− −
− −
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
% % . (84)
( ),z ( )H x y ,Условия непрерывности функций ,xE x y% на верхней границе
зоны модуляции (y=a) дают следующие уравнения:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

21. 21
( ) ( )0expn n nH a ik x( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0
0
exp exp
exp ,
N N
n N n N
N N
j nj n
n N j N
R i ik x a
T a ik x
=− =−
−
=− =−
+ α −β = α =
⎛ ⎞
= Ψ α⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑
(85)
( )( ) ( )( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0exp .
N
j nj n
ik x a
a ik x( ) ( )
0
0 0
exp exp
exp
N
n
n n n
n N
N N
n n
n N n N j N
i i
R ik x a
k k
E a ik x T
=−
−
=− =− =−
β β
α +β − α −β =
⎛ ⎞
Ψ α⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑= α =
∑
∑ ∑% %
(86)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях
2
exp ,i px
d
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,p N N= − , получим две системы линейных уравнений вида:
0 0 0 ), , ,ik a p N N− β = −( ) exp( ) exp(
N
j pj p p p
j N
T a R ik a−
=−
Ψ = β + δ∑ (87)
( ) 0
0
0 0
) , , .
i
k a p N N
k k
β
β = −0 0exp( ) exp(
N
p
j pj p p p
j N
i
T a R ik a i−
=−
β
Ψ = β −δ −∑ % (88)
Системы линейных уравнений (87), (88) представим в матричном виде:
( )01 02 0 0
01 02
exp ,
( ), exp(p j pj p j p j
ik a
0 ), , , ,pH a H i−
−
⋅ = + − β ⋅
= Ψ = δ ⋅
H T H R δ
k a p j N Nβ = −
(89)
( )
( )
0
11 12 0 0
0
11 12 0
0
exp ,
, e
p
p j pj p j p j
i
ik a
k
i
xp( ), , , .pH a H i
k
−
−
β
⋅ = − − β ⋅
β
= Ψ = δ ⋅
H T H R δ
%
(90)
k a p j N Nβ = −
( )
1
01 11
−
ββ − ⋅ ⋅H D H δ
Здесь δ — вектор столбец, центральный элемент которого равен единице, а
остальные элементы равны нулю. Из уравнений (89), (90) получим вектора
коэффициентов Рэлея в виде:
( )0 02exp ik a= −T , (91)
( )0 0exp 2ik a+ −1
12 11
−
= ⋅ β ⋅T δ
βD
R H H , (92)
0 / , ,pk i p N Nβ = −где — диагональная матрица с элементами .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

22. 3.2. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках
(ТM-поляризация)
В случае решетки с непрерывным профилем для решения системы (71)
используются численные методы типа метода Рунге — Кутта. Для бинарной
решетки коэффициенты Фурье функций ( )2
,k x y , ( )2
1/ ,k x y (69) не зависят
от переменной y:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
0
11
2 2
02
0
1
1
1 ex
2π
1
K
j
j
n
K
j
j
ik
c
k
d
=
=
⎧ ε −
⎪
⎪
= ⎨
ε −⎪
+ −⎪
⎩
∑
∑
2π
p , 0,
1 , 0,
j
j
i nx n
n d
k x n
⎛ ⎞
− − ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
(93)
( )
( )
( )
22
( )
( )
2π
p , 0,
, 0,
j
j
j
i nx n
d
k x n
⎛ ⎞
− − ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
1 2, ... ,
2
2
102
2
2
0 2
10
1/ 1
1 ex
2π
1/ 1
1/ 1
K
j
j
n
K
j
i
nk
c
k d
=
=
ε −⎧
⎪
⎪
= ⎨
ε −⎪ + −⎪
⎩
∑
∑
(94)
xгде К — число штрихов решетки, Kx — координаты границ штрихов (см.
рис. 6). В этом случае поле в зоне модуляции описывается системой дифференци-
альных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:
( )
( )
( )
( )
TM
y y
y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
H H
A
E E% %
( )
d
dy
, (95)
( ),y yH E% – вектора из функций ( ) ( )где , , ,p pH y E y% p N N= − TM
A
2
0 1
2
0
0
k
α α
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
T
D T D E
, - мат-
рица системы.
Согласно (71), матрица системы имеет вид
10
0
TM ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠2
F
A
F
, (96)
где нули обозначают матрицы с нулевыми элементами, F1, F2 - матрицы вида
( ) ( )1 22
1 , 2 , 0i j i j i j i j i j, , , ,i jF c F k c− −= = α i j N N−α − δ = − , (97)
T1, T2 — матрицы из Фурье коэффициентов функций ε(x,y) и 1/ε(x,y)
( ) ( )1
1 , 0 2 ,/ ,i j i j i jT c k T= = 22 2
0 , , 1,2 1i jk c i j N− − = + , (98)
E-единичная матрица, Dα- диагональная матрица c элементами , ,i i N Nα = − .
Отметим, что система (95) 4N+2 дифференциальных уравнений первого по-
рядка может быть также сведена к системе 2N+1 дифференциальных уравне-
ний второго порядка
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

23. ( ) ( )
2
2
1 2 02
d
( ) ( )1 2y y k
dy
= ⋅ ⋅ =H F F H yα α −T D T D E H , (99)
23
k
θ
1
2
3
0
Rny
a
b
x x x x x x1 2 3 4 2K-1 2K
x
Tn
Рис. 6. Геометрия задачи дифракции на бинарной диэлектрической решетке
Решение системы (95) с постоянными коэффициентами для вектора гра-
ничных условий X может быть представлено в компактном матричном виде:0
( )
( ) 0exp TM
y
⎛ ⎞
= ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
A X
01H 11H
( )exp TM
a= ⋅ ⋅A BC
( )
( )
0 0
,
0 0
N N
N N
− −
− −
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
EH H
DE E% %
( )
y
y
H
E% . (100)
Матричное представление (100) позволяет компактно выразить матрицы
и в (91), (92) через матрицу системы и граничные условия в виде:
01
11
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
H
H
, (101)
где матрица BC составлена из второй половины векторов граничных условий
(75), (76):
( )
( )
, ...−
−
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
BC , (102)
где E — единичная матрица размера (2N +1)×(2N+1), а D — диагональная мат-
рица с элементами 0/ , ,ji k j N N− β ε = −%
( )
.
Рассмотренный метод решения задачи дифракции на бинарной решетке
обладает медленной сходимостью, особенно для случая комплексной диэлек-
трической проницаемости. Напомним, что система дифференциальных урав-
нений (95), (96) была получена при учете 2N+1 членов в разложении функций
( ) ( ) ( )2 2
, , , 1/ ,, , ,z xH x y E x y% k x y k x y в (67) — (69). Медленная сходимость
в данном случае означает, что для стабилизации результатов расчета требуется
учет большого числа членов в разложении функций ( ) ( ) ( )2
, , , , ,z x,H x y E x y k x y%
( )2
1/ ,k x y , превышающего в десятки раз число распространяющихся порядков
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

24. в зонах 1 и 3. При этом для случая ТЕ-поляризации такого эффекта не наблю-
далось. В 1996 году в работах [10-12] была предложена другая форма системы
дифференциальных уравнений, устраняющая медленную сходимость. В рабо-
тах [10-12] было предложено вместо системы уравнений (85), (86) использо-
вать систему вида
( )
( )
( )
( )
2 1
0 2
0
y yk
y y
−
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
−⎝ ⎠⎝ ⎠
H HT
E EE %
1 1
2 1,
1
1
0d
dy −
α α
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠ D T D% . (103)
Система (103) получается из исходной системы (95), (96) формальной за-
меной матриц T1, T2 на матрицы − −
T T , соответственно. Теоретическое
обоснование использования системы в виде (103) приведено в работе [12]. В
этой работе показано, что система (103) обеспечивает равномерное выполне-
ние граничных условий на вертикальных участках профиля решетки в зоне
модуляции. Отметим, что на вертикальных участках нормальная составляю-
щая вектора электрического смещения Dx непрерывна, а компонента Еx терпит
разрыв. Система в виде (103) обеспечивает равномерную сходимость по N ря-
да (68) к функции ( ),xE x% y на вертикальных участках профиля, а исходная
система (95) – неравномерную. Равномерное выполнение граничных условий
на вертикальных участках профиля и приводит к улучшению сходимости
метода. Система (103) может быть также представлена в системы дифферен-
циальных уравнений второго порядка
( )
2
2 1
0 22
d
( ) ( )1
1y k y− −
α α= −D T D E H
dy
H T . (104)
В заключение отметим, что матричное представление (100) для бинарной
решетки может быть использовано для решения задачи дифракции на решетке
с непрерывным профилем. Действительно, введем разбиение , 0, ,iy i N=
0 0, Ny y a= = 1i iy y y−зоны модуляции на N слоев. В каждом слое ≤ ≤ непре-
рывный профиль аппроксимируем бинарным профилем. Полагая при
в (71)
24
1i iy y y− ≤ ≤ ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )1 1
,n n ic y c y 2 2
n n ic y c y≈ ≈% % (, где )1 / 2i i iy y y−= +%
1i iy y y− ≤ ≤
11H
( ) ( )( )
( )( )
1 2 2 1
1 ,
TM
i i i
y y y
y y −
,
аппроксимируем при систему дифференциальных уравнений (71)
с переменными коэффициентами системой уравнений с постоянными коэффи-
циентами. Используя матричное представление (100) для решения системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, получим мат-
рицы и в виде01H
( ) ( )( )(
( )( )) ( )
01
11
1
1 1
exp ... exp
exp exp
TM
N N
TM TM
i N
y a y
y y y
−
⋅
=
⎛ ⎞
= ⋅ − × ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
× ⋅ = ∏
H
A A
H
A BC A% %
⋅ − ×
⎛ ⎞
⋅ − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
BC
% %
(105)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

25. ( )где BC — матрица граничных условий (102), а TM
iyA % — матрица системы (71)
при ( )
( ) ( )
(1 1
n nc y c y= % )i
( )
( ) (
()
и )2
n ic y%
( ) ( )( )1
TM
i i iy y y −⋅ −%
( )1 0i i iy y y −Δ = − →
( ) ( )
2
nc y = . При этом коэффициенты Rn, Tn также
определяются по формулам (91), (92). Отметим, что произведение матриц
1
( ) expTM
N
i N=
Ω = ∏A A , (106)
в пределе, при и N→∞ соответствует мультипликативно-
му интегралу [13], представляющему решение системы дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами. Произведение (106) соответствует
стандартной аппроксимации мультипликативного интеграла при сведении ре-
шения системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициента-
ми к решению N систем с постоянными коэффициентами [13].
3.3. Дифракция на диэлектрических решетках
с непрерывным профилем (ТЕ-поляризация)
( ( )), 0,0, ,zx y E x y=EДля ТЕ-поляризации базовые уравнения (1)
примут вид:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
, ,
, ,
, 0,
, 0,
, 0,
, ,
y z x
x z y
z
z y
z x
x y y x
E x y ik H x y
E x y ik H x y
H x y
H x y
H x y
( ) ( )0
,
,
, , .zH x y H x y
∂ =
∂ = −
=
∂ =
∂ =
∂ − ∂
(107)
ik x y E x y= − ε
( ) ( ), , ,x yH x y H x y :Выразим из первых двух уравнений в (107) компоненты
( ) ( ) ( )
25
( )
0 0
1
, ,y x z
1
, , ,x y zH x y E x y H x
ik
= ∂ y E x y
ik
= − ∂
( )
. (108)
( ), , ,x yHПодставляя x y H x y
( ),zE x y
в последнее уравнение в (107), получим
для компоненты уравнение Гельмгольца:
( ) ( ) ( )2
, , , 0z zk x y E x y =
( ),zE x y
( ) ( )0expz m mE y ik x
∞
= α
E x yΔ + . (109)
Функция является квазипериодической [1,5-9]:
( ),
m
E x y
∞
=−
∑ . (110)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

26. Подставляя (110) и (69) в (109), получим систему 2N+1 дифференциаль-
ных уравнений 2-го порядка:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
12 2
02
d
d
N
n
n n n m m
m N
E y
k E y c y E
y
−
=−
− α + ∑ 0, ,y n N N= = − . (111)
Для поиска общего решения системы (111) необходимо найти 2(2N+1) ли-
нейно-независимых частных решений. При отсутствии модуляции ( ( ),x yε = ε
( )
)
базисные решения системы (111) имеют вид
( ) 0 , ,p pik y p N Nβ = −%expE y±
= ± . (112)
Для согласования решения в зоне модуляции с решением (112) в зоне 3,
определим 2(2N+1) векторов граничных условий для системы (111) в виде
( )
( )
0
0 ,
0
mj m j
mj
E
E
ik
y
−
⎧ = δ
⎪
∂⎨
= β⎪
∂⎩
m
m
%m
26
, , , .m m j m j N N−δ = −
(113)
При этом общее решение системы (111) принимает вид
( ) ( )
N N
m j mj
j N j N
E y C E y− −
=− =−
= +∑ ∑ ( ), ,j mjC E y m N N+ +
= −
( )mjE y±
( , )zE x y
0( ) exp( )j mj mE y ik x+⎛ ⎞
α⎟
⎝ ⎠
, (114)
где решения системы (111) с граничными условиями (113). Подставляя
(114) в (110) получим, что в зоне модуляции имеет вид:
( , ) ( )
N N N
z j mj
m N j N j N
E x y C E y C− − +
=− =− =−
= +⎜∑ ∑ ∑ . (115)
Для определения коэффициентов пропускания Tn и отражения Rn в (46),
(48) запишем условия непрерывности тангенциальных компонент поля
( ),zE x y ( ) ( ), ~ ,x y zH x y E x y∂
p pT C−
= 0pC+
на границах зоны модуляции при y =0 и y=a.
Из условия непрерывности тангенциальных компонент на нижней границе
зоны модуляции несложно получить, что, как и в случае ТМ-поляризации,
, а = . При этом решение в зоне модуляции принимает вид
0( )exp( )j mj mT E y ik x−
= α
( )( )0 0 0 0
)
xp ,ik x a
α =
β + α −β
( , )
N N
m N j N
E x y
=− =−
∑ ∑ . (116)
На верхней границе зоны модуляции условия непрерывности тангенци-
альных компонент поля имеют вид:
( )( )
0( ) exp(
exp e
N N
j m j m
m N j N
N
m m m
m N
T E a ik x
R ik x a
−
=− =−
=−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= α +
∑ ∑
∑
(117)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

27. ( )( )
0
0 0
( )
exp( )
exp
N N
m j
j m
m N j N
N
m m m m
m N
E a
T ik
y
ik R ik x a ik
−
=− =−
=−
⎛ ⎞∂
α =⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
= β α +β −
∑ ∑
∑ ( )( )0 0 0 0 0exp .
x
ik x aβ α −β
(118)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях
27
2
, ,i mx m N N
d
π⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 0 0 ), ,ik a p N N− β = −
exp , получим две системы линейных уравнений вида:
( ) exp( ) exp(
N
j p j p p p
j N
T E a R ik a−
=−
= β + δ∑ , (119)
0 0
( )
exp( )
, .
N
p j
j p p
j N
E a
T ik R ik
y
p N N
−
=−
∂
= β β −
∂
= −
∑ 0 0 0 0exp( ),p pa ik ik aδ β − β
(120)
Системы (119), (120) представим в матричном виде
( )01 02 0 0
01 02 0
exp ,
( ), exp(p j pj p j p j
ik a
E E a E i−
−
⋅ = + − β
= = δ
E T E R δ
), , , ,pk a p j N Nβ = −
(121)
( )11 12 0 0 0 0
11 12 0 0
exp ,
( )
, e
pj
p j p j p j p
ik ik a
E a
E E ik
y
−
−
⋅ = − β − β
∂
= = δ β
∂
E T E R δ
xp( ), , , .pik a p j N Nβ = −
( )
(122)
Из уравнений (121), (122) получим вектора коэффициентов Рэлея в виде:
( )
1
0 11 01a
−
β− ⋅E D E δ
( )0 0exp 2ik a= + − βT δ
βD
0 0 02 expik ik= − β − βT , (123)
1
02 01
−
R E E , (124)
0 , ,pik p N Nβ = −где — диагональная матрица с элементами , а δ — вектор
столбец, у которого все нули кроме единицы в центре.
3.4. Дифракция на бинарных диэлектрических решетках
(ТЕ-поляризация)
( )
Для бинарной решетки коэффициенты Фурье
1
nc не зависят от перемен-
ной y. В этом случае поле в зоне модуляции описывается системой дифферен-
циальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

28. 28
( ) ( ) 0TE
y y+ ⋅ =E A E
2
2
d
dy
, (125)
( ), ,E y p N N= − TE
Aгде Е(y) – вектор из функций , - матрица системы:p
( )1
, , ,j i jk c i j N N− −+ = −2 2
, 0
TE
i j i i= − α δA . (126)
Запишем решение системы дифференциальных уравнений (125) для гра-
ничного условия с номером m в (113) в матричном виде [13]
)(( ) ( ) ( )
( )sin
cos 0TE
m my y
0
TE
m
TE
y
y
−⋅ ∂
+
∂
A E
A
01E 11E
− −
= ⋅E A E . (127)
Матричное представление (127) позволяет выразить матрицы и в
(123), (124) через матрицу системы (126) и граничные условия (113) в виде
( )
( )
( ) ( )
,
cos ,
TE
TE
TE
a
a a
β01
11
sin
cos
sin
TE
TE TE
a
β
⎧
⎪ = ⋅ ⋅ +⎪
⎨
⎪
= − ⋅ ⋅⎪
⎩
E A E
E A A
⋅
⋅
+ ⋅ ⋅
A
D
A
E A D
(128)
где Е, Dβ — единичная и диагональная матрица с элементами 0 , ,jik j N N= −
01E 11E
( )1exp TE
a
⎛ ⎞
= ⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
E
A
DE
1
TE
TE
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
0 E
A
A 0
− β .
Матрицы и также можно выразить через матричную экспоненту в
виде, аналогичном представлению (101) для случая ТМ-поляризации. Дейст-
вительно, заменим систему 2N+1 дифференциальных уравнений 2-го порядка
(125) эквивалентной системой 4N+2 дифференциальных уравнений 1-го по-
рядка и получим
01
11
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
E
E
, (129)
где , E — единичная матрица.
Как и для случая ТМ-поляризации, матричные представления (128), (129) для
бинарной решетки могут быть использованы для решения задачи дифракции на
решетке с непрерывным профилем [5,6]. Действительно, аппроксимируя непре-
рывный профиль набором N бинарных слоев и используя для расчета дифракции
на слое соотношение (129), получим коэффициенты Rn, Tn в виде (123), (124). При
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

29. 29
( )01 a ( )11 11 a=E Eэтом матрицы и01 =E E в (123), (124) вычисляются, как и для
случая ТМ-поляризации, через мультипликативный интеграл.
3.5. Примеры расчета решеток
В данном пункте мы рассмотрим работу простейших решеток. Под интен-
сивностями отраженных и прошедших порядков будем понимать следующие
нормированные значения квадратов модулей коэффициентов Рэлея [1,5,6]
1 2
1R T
n n
n U n U
I I
∈ ∈
⎛ ⎞2 2
0 0
, ,R Tn n
n n n nI R I T
β β
= = ε
β β
%
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ , (130)
1 2
1R T
n n
n U n U
I I
∈ ∈
⎛ ⎞2 2
0 0
, ,R Tn n
n n n nI R I T
β β
= = + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑β εβ
%
(131)
для ТЕ- и ТМ-поляризаций, соответственно. U1, U2 в (130), (131) - являются
множествами индексов, соответствующих распространяющимся отраженным
и прошедшим порядкам;
{{ } ( ) }2
/ 1n nn2
1 21 ,U n U= α < = α ε < . (132)
Эти формулы аналогичны уравнению (39) для случая дифракции на иде-
ально отражающей решетке.
Пример 3. Рассмотрим работу простейшей бинарной решетки с одним штри-
хом шириной d/2 на периоде d. На рис. 7 приведены графики интенсивностей
0-го отраженного и 0-го и –1-го прошедших порядков в зависимости от высо-
ты штриха a для случая ТЕ-поляризации. Расчет интенсивностей порядков
проводился по формулам (123), (124), (129) при следующих параметрах: d=λ0,
угол падения θ=30°, ε=2,25. Рис. 7 показывает ряд интересных моментов в
работе бинарной решетки. Во-первых, при высоте штриха a∼0,8λ0 энергия рав-
номерно распределена между 0-ым и +1-ым прошедшими порядками, то есть
при данной высоте решетку можно использовать в качестве делителя пучка. Во-
вторых, при высоте штриха a ≈ 1,6λ0 около 95% энергии падающей волны перете-
кает из 0-го в –1-ый прошедший порядок, то есть при данной высоте решетку
можно использовать как дефлектор (отклонитель) пучка. По общему виду графи-
ков на рис. 7 можно также предположить, что интенсивности прошедших 0-го и
-1-го порядков меняются периодически.
На рис. 8 приведена зависимость интенсивностей порядков бинарной ре-
шетки от высоты штриха для случая ТМ-поляризации. Для ТМ-поляризации
бинарная решетка работает как делитель пучка при высоте штриха a∼λ0. При
a∼2λ0 более 95% энергии падающей волны содержится в -1-ом прошедшем
порядке, то есть решетка работает как дефлектор пучка.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

30. Пример 4. Рассмотрим работу решетки c треугольным профилем
[ ]
( )
( ) ( ) [ ]
1 1
1 1
/ , 0, ,
/ , , ,
ax d x d
f x
a x d d d a x d d
⎧ ∈⎪
= ⎨
− − − + ∈⎪⎩
(133)
где d1 — абсцисса вершины решетки.
На рис. 9 — 11 для ТМ-поляризации приведены интенсивности порядков
для симметричной треугольной решетки (d1 = d/2), для правой пилообразной
решетки (d1=d) и для левой пилообразной решетки (d1 = 0). Расчет интенсив-
ностей порядков проводился по формулам (91), (92), (105) при периоде d = λ0,
угле падения θ = 30° и ε=2,25. При расчетах треугольный профиль был ап-
проксимирован шестнадцатью бинарными слоями, что соответствует кванто-
ванию треугольного профиля решетки по 17 уровням. Из рис. 9 можно видеть,
что при высоте профиля a ≈
1,7λ энергия равномерно
распределена между 0-ым и
–1-ым прошедшими поряд-
ками и решетка работает как
делитель пучка. При a~3,4λ
более 95% энергии содер-
жится в –1-ом прошедшем
порядке, то есть при данной
высоте решетка работает как
дефлектор пучка. Таким об-
разом, симметричная тре-
угольная и бинарные решет-
ки на рис. 7, 8 обладают
свойствами делить пучок и
собирать энергию в –1 по-
рядке. Для симметричной
треугольной решетки дан-
ные эффекты происходят
при примерно в полтора
раза большей высоте про-
филя.
30
Графики интенсивно-
стей порядков для правой
и левой пилообразных ре-
шеток на рис. 10, 11 показы-
вают, что, варьируя высотой
профиля, нельзя сконцен-
трировать энергию в –1-ом
прошедшем порядке. Таким
I
Рис. 7. Зависимость интенсивностей –1-го и 0-го
прошедших ( )1 0
T
( )0,T
I I−
R
и 0-го отраженного I
порядков бинарной решетки от высоты штриха
для ТЕ-поляризации при d = λ0, θ = 30°, ε = 2,25
I
Рис. 8. Зависимость интенсивностей –1-го и 0-го
прошедших ( )1 0
T
( )0,T
I I−
R
и 0-го отраженного I
порядков бинарной решетки от высоты штриха
для ТМ-поляризации при d = λ0, θ=30°, ε=2,25
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

31. образом, несимметричные пилообразные решетки не могут быть использова-
ны как дефлекторы пучка. При этом левая пилообразная решетка (рис. 11) в
отличие от правой пилообразной решетки (рис. 10) не позволяет равномерно рас-
пределить энергию между 0-ым и –1-ым прошедшими порядками.
31
I I
Рис. 9. Зависимость интенсивностей –1-
го и 0-го прошедших порядков (
Рис. 10. Зависимость интенсивностей –1-
го и 0-го прошедших порядков ( )
правой пилообразной решетки от
высоты штриха для ТМ-поляризации
при d = λ0, θ = 30°, ε = 2,25
)1 0,T T
I I−
симметричной треугольной решетки от
высоты профиля для ТМ-поляризации
при d = λ0, θ = 30°, ε = 2,25
1 0,T T
I I−
Рис. 11. Зависимость интенсивностей -1-го и 0-го прошедших порядков
левой пилообразной решетки от высоты штриха для ТМ-поляризации
при d = λ0, θ = 300
, ε = 2,25
( )1 0,T T
I I−
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

32. 4. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
РАСЧЕТА ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТОК
4.1. Расчет отражающих решеток со ступенчатым профилем
Решение прямой задачи дифракции на решетке со ступенчатым профилем,
изготовленной из идеально проводящего материала, приведено в разделе 1. В
данном пункте рассматривается градиентный метод решения обратной задачи,
состоящей в расчете параметров ( )1 1 1, ,..., , ,...,K K K,...,x x c c h h профиля решетки
(см. рис. 1) из условия формирования заданных значений интенсивностей ди-
фракционных порядков [5,6,14]. Интенсивности порядков определены в урав-
нении (40) и пропорциональны квадратам модулей коэффициентов Рэлея.
Для построения градиентной процедуры расчета профиля дифракционной
решетки введем некоторую функцию ошибки ( )ε p
nI
nI%
( ) ( )( )ε = εp I p ,I%
( )1 1 1, ,..., , ,...,
, характеризующую отли-
чие рассчитанных значений интенсивности в дифракционных порядках от
требуемых значений :
, (134)
,...,
32
где K K Kx x c c h h
( )
=p — вектор параметров, K — число штрихов
на периоде решетки, ( ),
MM
n nM M
I I− −
= =I I% %
( )1n n t+ = − ⋅∇εp p p
— вектора рассчитанных и требуе-
мых значений интенсивности порядков. Градиентная процедура минимизации
функции ошибки состоит в итерационной коррекции параметров профи-
ля по правилу
( )ε p
, (135)
где n — номер итерации, t — шаг градиентного алгоритма,
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
,..., , ,...,
K Kx x c
∂ε ∂ε ∂ε ∂ε
∇ε =
∂ ∂ ∂
p p p p
p , ,...,
Kc h h
∂ε ∂ε⎛ ⎞
⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
p p
( )∇ε p
— градиент функ-
ции ошибки. Рассмотрим вычисление градиента функции ошибки . Со-
гласно (134), (40), элементы вектора градиента ( ) ip∂ε p ∂ , где pi — компонен-
та xi, ci или hi вектора p, имеют вид
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

33. ( ) ( ) ( ) ( )
33
( ) ( )
*
0
j j
j j
j i
R R
I p
∂ β⎛ ⎞∂
⋅ =⎜ ⎟
∂ ∂ β⎝ ⎠
I% %
*
0
2Re .
M M
j M j Mi j i
M
j j
j
j M j i
I
p I p
R
R
I p
=− =−
=−
∂ε ∂ε∂ε
= =
∂ ∂ ∂
⎛ ⎞∂ε β ∂
⎜ ⎟=
⎜ ⎟∂ β ∂
⎝ ⎠
∑ ∑
∑
I,I I,pp
I,I p%
(136)
Уравнение (136) удобно представить в виде реальной части скалярного
произведения
( ) ( )
2Re , ,
i ip p
∂⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
p R p
L
∂ε
(137)
векторов
( )( ) ( )
( )
0
M
j j
, ,
M
M
j j j
j M j
R
I=−
∂ε∂ β
=
∂ β
∑
I,I%
M
j i M
R
L L
p p −
−
⎛ ⎞∂
= =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
pR p
L . (138)
Коэффициенты Рэлея Rj в (138) определяются из решения системы линей-
ных уравнений (25). Для расчета вектора производных коэффициентов Рэлея в
(137) продифференцируем систему (25) по переменной pi:
( )
i ip p
∂ ⋅
i ip p
∂ ∂ ∂
= ⋅ + ⋅ =
∂ ∂ ∂ ∂
R D
R AA
AA R AA
. (139)
Согласно (139), вектор производных имеет вид
1
i i ip p p
− ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= − ⋅⎜ ⎟
∂ ∂ ∂⎝ ⎠
R D AA
AA R . (140)
Таким образом, компоненты градиента функции ошибки вычисляются по
формулам (137), (138), (140). Матрицы ,
ip
∂
∂
AA
AA и вектора , ,
ip
∂
∂
D
R D в (140)
рассчитываются из уравнений (22) — (25) для случая ТЕ-поляризации и из
уравнений (25), (36) — (38) для случая ТМ-поляризации. В частности, для слу-
чая ТЕ-поляризации производные ip∂ ∂AA ip∂и ∂D могут быть получены из
(23) — (25) в виде
p 0p
l l
D AA
p p
∂ ∂
=
∂ ∂
, (141)
( )
( )
( )
*ln l l l
ns np
l ln
h
DD DD
μ
∂ μ
2
1
tg2ps
s s p l
n
AA k
c
x d
∞
=
∂
= −β α − α ∑ , (142)
( )
( )
*2 1 l l
ns np
ln l
DD DD
hμ2
1 cos
ps
s l
nl
AA ik
c
h d
∞
=
∂
= β
∂
∑ , (143)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

34. ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 3 2
1
*
π sin 2 2tg2
2 cos
tg
,
ps
l
ln l lln l
s
n ln l ln ln l
ln l l l
l s p ns np
ln
AA
c
n hhik
d c
h
ic MD DD
∞
=
∂
=
∂
⎛ − μ +μ
⎜=
*n l l l
ns np
h
DD DD
h
⎛ ⎞μ
β + +⎜ ⎟
⎜ ⎟μ⎝ ⎠
⎜ μ μ
⎝
μ ⎞
+ α −α ⋅ ⋅ ⎟
μ ⎠
∑ (144)
( ) ( )exp dn l
m
i c
⎛ ⎞
0
1 π
exp sin
k
l
mn n lMD ik x
k k
= α
34
где ξ α⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ξ ξ . (145)
ipДля ТМ-поляризации расчет производных ∂ ∂AA ip∂, ∂D
( )
N
аналогичен и
состоит в дифференцировании уравнений (36) — (38).
Для исследования целесообразности расчета решеток в рамках электро-
магнитной теории оценим работоспособность решеток, рассчитанных в при-
ближении Кирхгофа для формирования M = 2N + 1 равных порядков. Для ха-
рактеристики работы решеток будем использовать значения энергетической
эффективности
j
j N
E M I
=−
= ∑ (146)
и среднеквадратичной ошибки формирования заданной равной интенсивности
порядков
( ) ( )
1
221 1 N
j
j N
M I I
I M =−
⎡ ⎤
−⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑δ = , (147)
где ( )/I E M M= — среднее значение интенсивности.
Пример 5. Для исследования была выбрана 11-порядковая бинарная дифрак-
ционная решетка с глубиной штрихов h=λ/4 и с координатами штрихов
(x1,c1)=(0, 0,06857), (x2,c2) = (0,20885, 0,23582), (x3, c3) = (0,5293, 0,19171), (x4,
c4) = (0,72854, 0,13583). Приведенные координаты штрихов нормированы на
период решетки. Данная решетка в скалярном приближении имеет энергетиче-
скую эффективность E=76,6% при среднеквадратичной ошибке δ менее 1%
[15]. Для оценки применимости скалярного приближения Кирхгофа был про-
веден расчет интенсивностей порядков при следующих размерах периода d:
7,2λ, 15,2λ, 25,2λ, 35,2λ. Расчет проводился для случая ТЕ-поляризации по
формулам (22) — (25) при нормальном падении плоской волны. Значения
среднеквадратичной ошибки δ и энергетической эффективности E составили
30,2% и 83,8% при d = 7,2λ, 17% и 78,9% при d = 15,2λ, 12,1% и 78,5% при
d=25,2λ, 10,6% и 83,8% при d = 35,2λ. Результаты расчетов показывают, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

35. для 11-порядковой решетки при периоде d > 25λ ошибка δ ~ 10% и скалярное
приближение дает приемлемую точность. В то же время при d =7,2λ расчет в
скалярном приближении приводит к значительной ошибке δ >30%. Приведен-
ный пример демонстрирует актуальность точных процедур синтеза решеток в
рамках электромагнитной теории при малых (относительно длины волны) пе-
риодах.
Пример 6. Градиентный метод (135), (137), (140) был использован для расчета
бинарных решеток с равными порядками. В качестве функции ошибки исполь-
зовалась квадратичная функция
( ) ( )( )
2N
j j
j N
35
I I
=−
ε = −∑p p % . (148)
В таблице 1 приведены результаты расчета решеток при нормальном паде-
нии плоской волны для случая ТЕ-поляризации. Данные таблицы 1 показыва-
ют работоспособность градиентного метода. В частности, рассчитанная для
d=7,2λ 11-порядковая решетка, в отличие от решетки рассчитанной в скаляр-
ном приближении, имеет в 4 раза меньшую среднеквадратичную ошибку δ.
Градиентный метод позволяет рассчитывать не только бинарные решетки, но и
решетки с различной глубиной штрихов. В качестве примера была рассчитана
5-порядковая решетка. Решетка имеет на периоде d = 3,2λ два штриха с глуби-
ной 0,1λ и 0,2584λ и с координатами (x1, c1) = (0,034224, 0,173889), (x2, c2) =
(0,465776, 0,308846). Значения энергетической эффективности E и среднеквад-
ратичной ошибки δ для этой решетки составили 89,6% и 2,9%. Оптимизация с
учетом глубины штрихов hi позволяет достичь высокой энергетической эф-
фективности и малой ошибки δ при существенно большей ширине минималь-
ного штриха ( )( )1n ,i i i i ic x x c+ − +miΔ = . В частности, 5-порядковая решетка со
штрихами разной глубины имеет почти такие же значения E и δ, как бинарная
решетка в таблице 1, но при почти в 2 раза большей величине минимального
штриха.
4.2. Расчет диэлектрических бинарных решеток
В разделе 3 приведено решение прямой задачи дифракции на диэлектриче-
ской решетке. В данном пункте рассмотрен градиентный метод решения об-
ратной задачи расчета бинарной диэлектрической решетки [5,6,16,17]. Метод
состоит в расчете координат штрихов профиля (рис. 6) из условия формирова-
ния заданных интенсивностей дифракционных порядков. Отметим, что метод
решения прямой задачи в разделе 3 позволяет моделировать решетки, изготов-
ленные из материала с комплексной диэлектрической проницаемостью. По-
этому обратную задачу можно формулировать как для прошедших, так и для
отраженных порядков. Рассмотрим для определенности расчет координат
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

36. штрихов профиля из условия формирования заданных интенсивностей поряд-
ков , ,nI n M M= −% , соответствующих прошедшим волнам в (58). Интенсивно-
сти порядков пропорциональны квадратам модулей коэффициентов пропуска-
ния Tn
36
2
n n nI t T= ⋅
nt
, (149)
где коэффициенты определены в уравнениях (130), (131).
Таблица 1. Результаты расчета бинарных отражающих решеток в рамках
электромагнитной теории
Средне-
квадра-
тичная
ошибка
δ (%)
Энергети-
ческая эф-
фектив-
ность
Глубина
штрихов
Число
поряд-
ков
Число
штри-
хов
Нормированные
координаты штрихов
Период
(d/λ)
(xi, ci) / d(h/λ)
E (%)
3 1 3,2 (0, 0,5) 92 0
(0, 0,089204),
5 2 3,2 0,25 87,2 3,5
(0,397067, 0,29625)
7 2 3,2 0,2241
(0,098974, 0,453849),
99,4 1,9
(0,751026, 0,146244)
9 3 5,2 0,2450
(0,117498, 0,095706),
91,2 4,1(0,401101, 0,066281),
(0,643485, 0,289262)
(0,043523, 0,030163),
11 5 7,2 0,2363
(0,196521, 0,094899),
(0,331266, 0,013970), 86,5 7,5
(0,381802, 0,161684),
(0,651364, 0,282746)
Расчет профиля решетки состоит в градиентной минимизации функции
ошибки (134), представляющей отличие рассчитанных значений интенсивности
(вектор ) в порядках от требуемых значений (вектор ). Градиентная мини-
мизация функции ошибки состоит в итерационной коррекции координат
штрихов (вектора
I I%
( 1 2,..., K )x x=p ) по правилу (135). Рассмотрим вычисление
градиента функции ошибки ( )∇ε p для случая ТМ-поляризации. Согласно
(134), частные производные ( ) mx∂ε ∂p
( )
имеют вид
( ) ( )
( ) ( ) ( )*
2Re 2Re , ,
M
j
j Mm j m
M
j
j j
j M j m m
I
x I x
T
t T
I x x
=−
=−
∂ε ∂∂ε
= =
∂ ∂ ∂
⎛ ⎞∂ε ∂ ∂⎛ ⎞
⎜ ⎟= = ⎜ ⎟
⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
∑
I,I pp
I,I p T p
L
%
%
(150)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»