O documento discute uma proposição sobre matrizes de transformações lineares entre espaços vetoriais. A proposição afirma que a aplicação que associa uma transformação linear à sua matriz em relação a bases fixas dos espaços é uma bijeção. A demonstração mostra que a aplicação é injetora e sobrejetora. O exemplo ilustra o cálculo da matriz de uma transformação linear dado seus efeitos nas bases.

1. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Curso de Álgebra Linear
Matriz de uma Transformação Linear
Prof. Esp.: Thiago VedoVatto
Universidade Federal de Goiás
Campus Jataí
Coordenação de Matemática
1 de dezembro de 2011

2. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo
Parte I
Matriz de uma Transformação Linear

3. Objetivos da Aula Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo

4. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente Exemplo

5. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.

6. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora

7. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F , G ∈ L(U , V )

8. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C
então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C

9. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C
então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C
são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n)

10. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C
então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C
são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado
n
u= αi ui ∈ U,F (u )
i =1

11. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C
então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C
são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado
n n
u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui )
i =1 i =1

12. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C
então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C
são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado
n n
u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui ) =
i =1 i =1
n
αi G (ui )
i =1

13. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C
então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C
são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado
n n
u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui ) =
i =1 i =1
n
αi G (ui ) = G (u )
i =1

14. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C
então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C
são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado
n n
u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui ) =
i =1 i =1
n
αi G (ui ) = G (u ), ou seja F = G
i =1

15. Álgebra Linear
Proposição
Thiago VedoVatto
Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m
Proposição
respectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e Exemplo
C = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicação
F → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F em
relação às bases B e C é bijetora.
Demonstração.
Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora.
Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C
então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C
são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado
n n
u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui ) =
i =1 i =1
n
αi G (ui ) = G (u ), ou seja F = G .
i =1
Sobrejetora (Para casa)

16. Álgebra Linear
Example Thiago VedoVatto
Dada a matriz Proposição
Exemplo
−1 2 3
M=
4 5 −6
Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendo
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenha
M = (F )B ,C .

17. Álgebra Linear
Example Thiago VedoVatto
Dada a matriz Proposição
Exemplo
−1 2 3
M=
4 5 −6
Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendo
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenha
M = (F )B ,C .
Da denição de matriz de F decorre que devemos ter

18. Álgebra Linear
Example Thiago VedoVatto
Dada a matriz Proposição
Exemplo
−1 2 3
M=
4 5 −6
Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendo
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenha
M = (F )B ,C .
Da denição de matriz de F decorre que devemos ter:
F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)
F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)
F (0, 1, 2) = 3(1, 0) − 6(1, 1) = (−3, −6)

19. Álgebra Linear
Example Thiago VedoVatto
Dada a matriz Proposição
Exemplo
−1 2 3
M=
4 5 −6
Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendo
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenha
M = (F )B ,C .
Da denição de matriz de F decorre que devemos ter:
F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)
F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)
F (0, 1, 2) = 3(1, 0) − 6(1, 1) = (−3, −6)
Seja (a, b, c ) ∈ R3

20. Álgebra Linear
Example Thiago VedoVatto
Dada a matriz Proposição
Exemplo
−1 2 3
M=
4 5 −6
Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendo
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenha
M = (F )B ,C .
Da denição de matriz de F decorre que devemos ter:
F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4)
F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5)
F (0, 1, 2) = 3(1, 0) − 6(1, 1) = (−3, −6)
Seja (a, b, c ) ∈ R3 . Supondo que:
(a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2)

21. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
(a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição
Exemplo

22. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
(a, b , c ) =
x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição
Exemplo
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z )

23. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
(a, b , c ) =
x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição
Exemplo
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z )
= (x , y + z , 2z )

24. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
(a, b , c ) =
x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição
Exemplo
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z )
= (x , y + z , 2z )
Deste modo temos o sistema linear:
 a x

=
b = y +z
c = 2z


25. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
(a, b , c ) =
x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição
Exemplo
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z )
= (x , y + z , 2z )
Deste modo temos o sistema linear:
 a x

=
b = y +z
c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c e z = c
2 2

26. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
(a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição
Exemplo
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z )
= (x , y + z , 2z )
Deste modo temos o sistema linear:
 a x

=
b = y +z
c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c e z = c . Deste modo temos
2 2
que:
(a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2)

27. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
(a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição
Exemplo
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z )
= (x , y + z , 2z )
Deste modo temos o sistema linear:
 a x

=
b = y +z
c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c e z = c . Deste modo temos
2 2
que:
(a, b , c ) =
x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2)
c c
= a(1, 0, 0) + b − (0, 1, 0) + (0, 1, 2)
2 2

28. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
(a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição
Exemplo
= (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z )
= (x , y + z , 2z )
Deste modo temos o sistema linear:
 a x

=
b = y +z
c = 2z

Cuja solução será x = a, y = b − c e z = c . Deste modo temos
2 2
que:
(a, b , c ) =
x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2)
c c
= a(1, 0, 0) + b − (0, 1, 0) + (0, 1, 2)
2 2

29. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo
Donde resulta que:
c c
F (a, b, c ) = aF (1, 0, 0) + b − F (0, 1, 0) + F (0, 1, 2)
2 2

30. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo
Donde resulta que:
c c
F (a, b, c ) = aF (1, 0, 0) + b − F (0, 1, 0) + F (0, 1, 2)
2 2
c c
= a(3, 4) + b − (7, 5) + (−3, −6)
2 2

31. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo
Donde resulta que:
c c
F (a, b, c ) = aF (1, 0, 0) + b − F (0, 1, 0) + F (0, 1, 2)
2 2
c c
= a(3, 4) + b − (7, 5) + (−3, −6)
2 2
11c
= 3a + 7b − 4c , 4a + 5b −
2

32. Álgebra Linear
Thiago VedoVatto
Proposição
Exemplo
Donde resulta que:
c c
F (a, b, c ) = aF (1, 0, 0) + b − F (0, 1, 0) + F (0, 1, 2)
2 2
c c
= a(3, 4) + b − (7, 5) + (−3, −6)
2 2
11c
= 3a + 7b − 4c , 4a + 5b −
2