1. Tr­êng THPT Quúnh L­u 2 ®Ò thi kh¶o s¸t chÊt l­îng líp 12- LÇn 2 n¨m 2012
Tæ: To¸n M«n: To¸n - Khèi A-B. Thêi gian lµm bµi: 180 phót
A. PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm)
C©u I: ( 2,0 ®iÓm) Cho hµm sè
1
4 2
+
+
=
x
x
y
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè.
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng 1
2
1
+-= x y .
C©u II: ( 2,0 ®iÓm)
1. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh:
ïî
ï
í
ì
=---+
=--+-
0 2 3 1
0 2 3 3
2 2 2
2 3 3
y y x x
x y y x
2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
2
tan
2
cos 4 sin
2 sin 2
2 2
2
x
x
x
x
=
-
-
C©u III: ( 1,0 ®iÓm) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi: e x x y
x
x
y ==== ; 1 ; 0 ;
2
ln
C©u IV: ( 1,0 ®iÓm) Cho h×nh chãp S.ABC cã SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC), ®¸y lµ tam gi¸c ABC vu«ng
c©n ®Ønh C, c¹nh bªn SC=a. Gäi a lµ gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABC).
1. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp theo a vµ a .
2. Víi a cè ®Þnh, x¸c ®Þnh a ®Ó thÓ tÝch khèi chãp lín nhÊt. TÝnh gi¸ trÞ ®ã.
C©u V: ( 1,0 ®iÓm) Cho x,y,z lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n: 1=++ yz xz xy
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
x z
z
z y
y
y x
x
A
+
+
+
+
+
=
2 2 2
B. PhÇn riªng (3,0 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®­îc lµm mét trong hai phÇn (phÇn a hoÆc b).
a. Theo ch­¬ng tr×nh chuÈn:
C©u VIa: (1,0 ®iÓm) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é cho tam gi¸c víi mét c¹nh cã trung ®iÓm lµ M(-1;1), cßn hai c¹nh kia
cã ph­¬ng tr×nh lµ: 0 2 =-+ y x vµ 0 3 6 2 =++ y x . H·y x¸c ®Þnh to¹ ®é c¸c ®Ønh cña tam gi¸c.
C©u VIIa: (1,0 ®iÓm) ViÕt ph­¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®­êng th¼ng d:
2
1
1 1
2 +
==
-
- z y x
trªn mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh: 0 1 2 2 =-+- z y x
C©u VIIIa: (1,0 ®iÓm) Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 3 2 =+- i z . T×m sè phøc z cã m«®un nhá nhÊt.
b. Theo ch­¬ng tr×nh n©ng cao:
C©u VIb: (1,0 ®iÓm) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn (C) ®i qua ®iÓm A(6; 4) vµ tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng D cã
ph­¬ng tr×nh 0 5 2 =-+ y x t¹i ®iÓm B(3;1).
C©u VIIb: (1,0 ®iÓm) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc Oxyz, cho hai ®­êng th¼ng:
3
1
2
2
1
: 1
-
+
=
-
=
z y x
d
1 2 2
2
: 2
-
==
-
+ z y x
d
LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d ®i qua ®iÓm I(2; -3; -10) sao cho d c¾t 1 d vµ ®ång thêi vu«ng gãc víi 2 d .
C©u VIIIb: (1,0 ®iÓm) Cho sè phøc
n
i
i
z ÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
=
3 4
7
. T×m n nguyªn d­¬ng ®Ó:
1. z lµ sè thùc.
2. z lµ sè thuÇn ¶o.
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. §¸p ¸n- thang ®iÓm m«n To¸n- Khèi A-b (lÇn 2) n¨m 2012
C©u Néi Dung ®iÓm
1.Kh¶o s¸t
+ TX§: D=R }{ 1- 0.25
+ Sù biÕn thiªn: D x
x
y Î"<
+
-
= 0
) 1 (
2
2
,
VËy hµm sè nghÞch biÕn trªn ) ; 1 ( ), 1 ; ( +¥---¥
Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ.
§å thÞ hµm sç nhËn ®­êng th¼ng cã pt x=-1 lµm TC§
§å thÞ hµm sç nhËn ®­êng th¼ng cã pt y= 2 lµm TCN
0.25
B¶ng biÕn thiªn:
x -¥ -1 +¥
,
y - -
y
2
0.25
+ §å thÞ:
Giao víi trôc Ox: (-2; 0)
Giao víi trôc Oy: (0; 4)
§å thÞ nhËn I(-1; 2) lµm t©m ®èi xøng
0.25
C©u I
2. Hai ®iÓm A, B cÇn t×m thuéc ®­êng th¼ng m x y += 2 ( m lµ tham sè)
Pt hoµnh ®é giao ®iÓm
î
í
ì
=-++
-¹
Û+=
+
+
(*) 0 4 2
1
2
1
4 2
2
m mx x
x
m x
x
x
§Ó pt cã nghiÖm, ®iÒu kiÖn m m m "³+-Û³D 0 32 8 0 2
Gäi ) ; ( I I y x I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AB, ta cã
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
+
=
-
=
+
=
2 2
4 2
m y y
y
m x x
x
B A
I
B A
I
Do I thuéc ®­êng th¼ng 1
2
1
+
-
= x y nªn
3
8
1 )
4
(
2
1
2
=Û+
--
= m
m m
Khi ®ã (*) trë thµnh
3
10 2
,
3
10 2
0 2 4 3 2 +-
=
--
=Û=-+ x x x x
VËy )
3
10 2 4
;
3
10 2
( ),
3
10 2 4
;
3
10 2
(
++----
B A
0.25
0.25
0.25
0.25
C©u II
1. §iÒu kiÖn
î
í
ì
££
££-
2 0
1 1
y
x
. HÖ pt Û
ïî
ï
í
ì
=---+
-=+-+
) 2 ( 0 2 3 1
) 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 (
2 2 2
2 3 2 3
y y x x
y y x x
XÐt hµm sè [ ] 2 ; 0 3 ) ( 2 3
tren t t t f -= , ta cã ] 2 ; 0 [ 0 6 3 ) ( 2 '
Î"£-= t t t t f
Nªn tõ pt (1) ta cã y=x+1.
thay vµo pt (2), ta ®­îc 2 2 2 1 2 2 2
-±=Û=- x x x
KÕt luËn : hÖ ph­¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm :
0.25
0.25
0.25
2
+¥
-¥

3. ) 1 2 2 2 ; 2 2 2 ( ; ) 1 2 2 2 ; 2 2 2 ( +----+--
2. pt
2
cos
2
cos
2
sin
2
cos 4 sin
2
2
cos 4
1
2
tan 1
2
cos 4 sin
2 sin
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
-
=
-
-
Û-=-
-
-
Û
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
¹
Û
-
=
-
Û
2
cos . cos 2 cos
0
2
cos
2
cos
cos
2
cos 4
2
cos .
2
sin 4
cos 2
2 2 2 2 2 x
x x
x
x
x
x x x
x
p
p
p
p
k x
k x
x
x
+±=
+=
Û
=
=
Û
4
2
2
1
2
cos
0 cos
2
0.25
0.5
0.5
C©u III
dx
x
x
S
e
ò=
1 2
ln
§Æt dx
x
dt x t
2
1
=Þ=
Khi 1 , 1 == t x ; khi e t e x == ,
dt t dt t S
e e
ò ò==
1 1
2
ln 2 ln
§Æt
ïî
ï
í
ì
=
=
Þ
î
í
ì
=
=
t v
t
dt
du
dt dv
t u ln
ta cã ( ) e dt
e
t t S
e
-=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-= ò 2
1
ln . 2
1
(®vdt)
0.25
0.25
0.5
C©u IV
1. Ta cã gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SBC) vµ (ABC)
lµ gãcÐ SAC b»ng a .
aa sin . ; cos . a SA a AC ==
aa 2 3
. cos . sin
6
1
.
2
1
.
3
1
a BC AC SA V ABC S ==
2. ABC S V . ®¹t GTLN khi ) sin 1 ( sin cos . sin 2 2
aaaa -= ®¹t GTLN
XÐt hµm sè x x x f +-= 3
) ( trªn (0 ; 1). LËp b¶ng, ta cã
f(x) ®¹t GTLN b»ng
3
3
arcsin
27
3 3
=a khi
a
0.25
0.25
0.25
0.25
C©u V
Ta cã : ) 1 (
2 2
2
xy
x
xy
xy
x
y x
xy
x
y x
x
-=-³
+
-=
+
T­¬ng tù : ) 2 (
2
2
yz
y
z y
y
-³
+
vµ ) 3 (
2
2
xz
z
z x
z
-³
+
Tõ (1), (2), (3) ta cã
2
1
-++³ z y x A
MÆt kh¸c ta thÊy r»ng xz yz xy z y x ++³++ hay 1³++ z y x
VËy
2
1
³ A . §¼ng thøc xÈy ra khi
3
1
=== z y x . VËy
2
1
min = A
0.25
0.5
0.25
A
S
B
C

4. Gi¶ sö A lµ ®Ønh ®èi diÖn víi c¹nh ®i qua ®Ønh M,
pt c¸c c¹nh AB, AC lÇn l­ît lµ x+y-2 = 0 vµ 2x+6y+3 = 0
Khi ®ã to¹ ®é ®Ønh A lµ nghiÖm cña hÖ pt
÷
ø
ö
ç
è
æ -
Þ
î
í
ì
=++
=-+
4
7
;
4
15
0 3 6 2
0 2
A
y x
y x
Gäi d1 lµ ®­êng th¼ng ®i qua M vµ song song víi AB,
Khi ®ã d1 cã ph­¬ng tr×nh x+y = 0
Gäi N lµ trung ®iÓm c¹nh AC, khi ®ã to¹ ®é N lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng
tr×nh
Do N lµ trung ®iÓm AC nªn ÷
ø
ö
ç
è
æ -
Þ
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
-
=
-
+
=
4
1
;
4
9
2
4
7
4
3
2
4
15
4
3
C
y
x
c
c
Do M lµ trung ®iÓm BC nªn ÷
ø
ö
ç
è
æ
Þ
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
+
=
-
=-
4
7
;
4
1
2
4
1
1
2
4
9
1
B
y
x
B
B
VËy ÷
ø
ö
ç
è
æ -
4
7
;
4
15
A ; ÷
ø
ö
ç
è
æ
4
7
;
4
1
B ; ÷
ø
ö
ç
è
æ -
4
1
;
4
9
C
0.25
0.25
0.25
0.25
C©u VIa
C©u VIIa
Gäi A lµ giao ®iÓm cña d vµ (P). To¹ ®é A(x; y) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh
( ) 3 ; 1 ; 3
2 1
2
0 1 2 2
--Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+-=
=
-=
=-+-
A
t z
t y
t x
z y x
Gäi B(2; 0; -1) thuéc d. Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi (P) cã pt
ï
î
ï
í
ì
+-=
-=
+=
t z
t y
t x
2 1
2 2
To¹ ®é h×nh chiÕu B’
cña B trªn mp(P) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh
÷
ø
ö
ç
è
æ -
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
+-=
-=
+=
=-+-
9
11
;
9
1
;
9
16
2 1
2 2
0 1 2 2
'
B
t z
t y
t x
z y x
H×nh chiÕu cña d trªn (P) lµ ®t AB’
cã pt
ï
î
ï
í
ì
+-=
+-=
-=
t z
t y
t x
16 3
10 1
11 3
0.25
0.25
0.25
0.25
A
B C
M
÷
ø
ö
ç
è
æ -
Þ
î
í
ì
=++
=+
4
3
;
4
3
0 3 6 2
0
N
y x
y x
N

5. C©u
VIIIa
§Æt z=x+yi (x,y thuéc R). Khi ®ã
) 1 ( 1 ) 3 ( ) 2 ( 1 3 2 1 3 2 2 2
=++-Û=+-+Û=+- y x i yi x i z
Tõ hÖ thøc (1) suy ra c¸c ®iÓm biÓu diÔn sè phøc z tho¶ m·n hÖ thøc ®· cho n»m trªn ®­êng
trßn (C) t©m I(2 ; -3) b¸n kÝnh R=1
§­êng th¼ng OI cã ph­¬ng tr×nh
î
í
ì
-=
=
t y
t x
3
2
Giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng OI vµ ®­êng trßn (C) lµ :
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+--
13
13 3
3 ;
13
13 2
2 1 M vµ ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
--+
13
13 3
3 ;
13
13 2
2 2 M
KÕt luËn : Sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cã m«®un nhá nhÊt lµ
i z ÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=
13
13 3
3
13
13 2
2
0.25
0.25
0.25
0.25
Gäi I vµ R lÇn l­ît lµ t©m vµ b¸n kÝnh cña (C).
®­êng th¼ng d vu«ng gãc víiD t¹i B cã ph­¬ng tr×nh
î
í
ì
+=
+=
t y
t x
2 1
3
Do (C) tiÕp xóc víi D t¹i B nªn d I Î hay ) 2 1 ; 3 ( t t I ++
MÆt kh¸c IA=IB nªn:
1 ) 2 ( ) 3 2 ( ) 3 ( 2 2 2 2
=Û+=-+- t t t t t
VËy ) 3 ; 4 ( I vµ 5= R
Ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn (C) lµ 5 ) 3 ( ) 4 ( 2 2
=-+- y x
0.25
0.25
0.25
0.25
C©u VIb
C©u
VIIb
Gäi 1 ) 3 1 ; 2 2 ; ( d t t t A Î--+ vµ ) 1 ; 2 ; 2 ( --= u lµ mét VTCP cña d2. Ta cã
) 3 9 ; 5 2 ; 2 ( t t t AI -+-= . Do 0 ) 3 9 ( ) 5 2 ( 2 ) 2 ( 2 0 . 2 2 =--++--Û=^ t t t u AI nen d d
1=Û t . VËy A( -1; 0; 2) vµ ) 12 ; 3 ; 3 (-= IA
Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d lµ:
ï
î
ï
í
ì
+-=
+-=
-=
t z
t y
t x
4 10
3
2
0.5
0.5
Ta cã : n
n n
i
i i i
z ) 1 (
25
25 25
25
) 3 4 )( 7 (
+=÷
ø
ö
ç
è
æ +
=ú
û
ù
ê
ë
é ++
=
) 1 (
4
sin
4
cos ) 2 (
4
sin
4
cos 2 ÷
ø
ö
ç
è
æ
+=ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
pppp n
i
n
i z n
n
1. z lµ sè thùc ) ( 4
4
0
4
sin *
N k k n k
n n
Î=Û=Û=Û p
pp
0.25
0.25
0.25
C©u
VIIIb
2. z lµ sè thuÇn ¶o ) ( 2 4
2 4
0
4
sin
0
4
cos
N k k n k
n
n
n
Î+=Û+=Û
ï
ï
î
ïï
í
ì
¹
=
Û p
pp
p
p
0.25
A
B
I
D

6. L­u ý: NÕu thÝ sinh lµm theo c¸ch kh¸c ®¸p ¸n trªn nh­ng ®óng th× vÉn cho ®iÓm tèi ®a.