22. 例 全て不偏・一致推定量
ˆ = θ ( X , X , X , X ) = X 1+ X 2+ X 3+ X 4
θ ˆ 1 2 3 4
4
ˆ = θ ( X , X , X , X ) = X 1+ X 2+ X 3
θ3 ˆ 1 2 3 4
3
ˆ = θ ( X , X , X , X ) = X 1+ X 2
θ2 ˆ 1 2 3 4
2
ˆ = θ (X ,X ,X ,X ) = X 1
θ1 ˆ 1 2 3 4
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
V (θ ) = E (θ − E (θ )) 2 = E (θ − θ ) 2
23. BLUE Best Linear Unbiased
Estimator
X 1 , X 2 ,..., X n
データ の線形結
合の形式の推定値
^ ^
θ = θ ( X , X ,..., X )
1 2 n
= c X + c X + ... + c X
1 1 2 2 n n
の中で分散最小のもの
^
Var (θ ) ⇒ 最小化
24. 最尤法
maximum likelihood method
尤度関数 Likelihood Function
n 個の観測値 x1,x2,...,xn の同時密度
f ( x1 , x 2 ,, x n ) = f ( x1 , x 2 ,, x n ;θ )
をパラメータ θ の関数として
L(θ ) = L(θ ; x1 , x 2 ,, x n )
f ( x1 , x 2 , , x n ) = f ( x1 , x 2 , , x n ;θ )
=
みたものが、
パラメータ θ の「もっともらしさ」 = 「尤
度」
25. 最尤法
最尤法
尤度関数 L(θ) を最大にする θ を推定値
L(θ ) = max )
ˆ L(θ
θ
n
log L(θ ) = log L(θ ; x1 , x2 , , xn ) = ∑ log f ( xi ;θ )
i =1
26. 最尤法
データが独立にとられている場合
n
L(θ ) = f ( x1 , x2 ,..., xn ;θ ) = ∏ f ( xi ;θ )
i =1
対数尤度関数
n n
l (θ ) = log L(θ ) = log ∏ f ( xi ;θ ) = ∑ log f ( xi ;θ )
i =1 i =1
27. 正規分布の平均の点推定
X1 , X 2 ,..., X n ~ N ( µ , σ 2 ) のとき、対数尤度関数
( X i − µ )2
l ( µ ) = ∑ log f ( X i ; µ ) = K + ∑ {− }
i =1 i 2σ 2
∂
l ( µ ) = C 2∑ ( X i − µ )
∂µ i
∂l
= 0 ⇒ ∑ ( X i − µ ) = 0 ⇒ ∑ X i = nµ
∂µ i i
1
µ
ˆ = ∑ Xi
n i
すなわち平均の最尤推定は標本平均
28. 正規分布の平均の点推定
1
µ
ˆ = ∑ Xi
n i
標本平均が
不偏性
一致性
有効性 (BLUE)
最尤性
のすべての意味で、一番良い推定量である。
29. 正規分布の分散の点推定
平均 μ が既知の場合
2 1 n
σ = ∑ ( X i − µ )2
n i =1
平均 μ が未知の場合
最尤推定 2 1 n
σ = ∑ ( X i − X )2
不偏推定 n i =1
2 1 n
σ = ∑
n − 1 i =1
( X i − X )2
30. ∂ ∂ n
1 ( xi − µ ) 2
2 ∑
log L(σ ) =
2
log exp[− ]
∂ (σ )
2
∂ (σ ) i =1 2π σ 2σ 2
∂ n
( xi − µ ) 2 n n
= [∑ − − log(2π ) − log σ 2 ]
∂ (σ 2 ) i =1 2σ 2 2 2
n
( xi − µ ) 2 1 n 1
= ∑− (− 2 2 ) −
i =1 2 (σ ) 2σ 2
=0
1 n
σ 2 = ∑ ( xi − µ ) 2
ˆ
n i =1
31. n
1 ( xi − µ ) 2
log L( µ , σ 2 ) = ∑ log exp[− ]
i =1 2π σ 2σ 2
n
( xi − µ ) 2 n n
= ∑ [− ] − log(2π ) − log σ 2
i =1 2σ 2 2 2
∂
log L( µ , σ ) = 0
2
∂µ
∂
log L( µ , σ 2 ) = 0
∂ (σ 2 )
1 n
µ = ∑ xi = x
ˆ
n i =1
1 n
σ 2 = ∑ ( xi − x ) 2 = s 2
ˆ
n i =1
32. 不偏分散
n
E[ S ] = E[ ∑ ( X i − X ) 2 ]
2
i =1
n
= E[∑ {( X i − µ ) − ( X − µ )}2 ]
i =1
n
= E[ ∑ ( X i − µ ) 2 − n ( X − µ ) 2 ]
i =1
n
= E[∑ (X i − µ ) 2 ] − nE[( X − µ ) 2 ]
i =1
σ2 1 2 1 n
= nσ 2 − n
n
U = 2
n −1
S = ∑
n − 1 i =1
(X i − X ) 2
= (n − 1)σ 2
1 1
E[U ] =
2
E[ S ] =
2
(n − 1)σ 2 = σ 2
n −1 n −1
33. 区間推定 interval estimation
ˆ ˆ
(θ L ,θU ) X 1 , X 2 ,..., X n
区間 をデータ
に基づいてθˆ ( X , X ,..., X ),θˆ ( X , X ,..., X ))
ˆ ˆ
(θ L ,θU ) = ( L 1 2 n U 1 2 n
と定める
区間の幅 θˆU − θˆL
定めた区間に母数がはいる確率
ˆ ˆ Pr(θ L < θ < θ U )
35. 区間推定の定式化
標本 X 1 , X 2 , , X n
の関数として区間の端点を定める。
(θ L ,θ U ) = (θ L ( X 1 , X 2 , , X n ),θ U ( X 1 , X 2 , , X n ))
このとき
θ L < θ < θ U ) ≥ 1 − α
Pr(
という条件の下で。区間の幅
θ U − θ L ⇒ 最小化
37. 正規分布の母平均 μ の区間推定
X 1 , X 2 , , X n ~ NID( µ , σ 2 )
0.4
1 n σ2
X = ∑ X i ~ N (µ , )
0.3
dnorm (x)
n i =1 n
0.2
X −µ
0.1
Z= ~ N (0,1)
0.0
σ2 -3 -2 -1 0
x
1 2 3
n
Pr(a < Z < b) = 1 − α 区間の幅が一番短くなるのは
左右対称にとった場合
Pr(− k < Z < k ) = 1 − α
Pr( Z > kα / 2 ) = α / 2
38. 正規分布の母平均 μ の区間推定
X 1 , X 2 , , X n ~ NID( µ , σ 2 )
1 n σ2
X = ∑ X i ~ N (µ , )
n i =1 n
X −µ
Z= ~ N (0,1)
σ2
n
Pr(a < Z < b) = 1 − α
Pr(− k < Z < k ) = 1 − α
Pr( Z > kα / 2 ) = α / 2
39. Pr(−kα / 2 < Z < kα / 2 ) = 1 − α
σ2
Pr(−kα / 2 < ( X − µ) / < kα / 2 ) = 1 − α
n
σ2 σ2
Pr(−kα / 2 < X − µ < kα / 2 ) = 1−α
n n
σ2 σ2
Pr(− X − kα / 2 < − µ < − X + kα / 2 ) = 1−α
n n
σ2 σ2
Pr( X − kα / 2 < µ < X + kα / 2 ) = 1−α
n n
信頼区間
σ2 σ2 σ2
− kα / 2
(X , X + kα / 2 ) X ± kα / 2
n n n
46. X −µ
Z= ~N (0,1)
σ /n2
Pr(−kα / 2 < Z < kα / 2 ) = 1 − α
Pr( X − kα / 2 σ 2 / n < µ < X + kα / 2 σ 2 / n ) = 1 − α
X −µ
T= ~ t n −1
u2 / n
Pr(−t n −1 (α / 2) < T < t n −1 (α / 2)) = 1 − α
u2 u2
Pr( X − t n −1 (α / 2) < µ < X + t n −1 (α / 2) ) = 1−α
n n
信頼区間
u2 u2
[ X − t n −1 (α / 2) , X + t n −1 (α / 2) ]
n n
47. 区間推定のシミュレーション
(分散未知)
> t.test(rnorm(10), conf.level=0.95)
One Sample t-test
data: rnorm(10)
t = -1.0439, df = 9, p-value = 0.3237
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.9129610 0.3364108
sample estimates:
mean of x
-0.2882751
> t.test(rnorm(10), conf.level=0.95)$conf.int
[1] -0.4416194 1.4037247
attr(,"conf.level")
[1] 0.95