CINEMATICACINEMATICA
UNIVERSIDAD HERMILIO
VALDIZAN
CINEMÁTICA (MRU)
CONCEPTO DE CINEMÁTICA
Estudia las propiedades geométricas de las
trayectorias que describen los cuerpos en
movimiento mec...
2. MOVIMIENTO MECÁNICO
Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo
respecto de un sistema de referencia en el tiemp...
c) Recorrido (e)
Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B).
d) Desplazamiento (d)
Es aquella magnitud vect...
4. MEDIDA DEL MOVIMIENTO
a) Velocidad media (Vm)
Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del
cambio de p...
EJEMPLO:
Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición
B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria most...
b) Rapidez Lineal (RL)
Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del
cambio de posición en función del recorr...
5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
El móvil describe una trayectoria rectilínea respecto de un
sistema de referencia.
En esta forma ...
6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una
línea recta, sobre e...
a) Velocidad (V)
Es aquella magnitud física vectorial que mide la
rapidez del cambio de posición respecto de un
sistema de...
b) Desplazamiento (d)
El desplazamiento que experimenta el móvil es directamente
proporcional al tiempo transcurrido.
c) Tiempo de encuentro (Te)
Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en
sentidos opuestos, el tiempo de encuen...
CINEMÁTICA (MRUV)
¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE VARIADO?
Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde
la trayec...
EJEMPLO:
Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria
horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4
m/s ...
POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL M.R.U.V.
La posición de una partícula, que se mueve en el eje “x” en el
instante “t” es.
ECUACIONES DEL M.R.U.V.
TIPOS DE MOVIMIENTO
I. ACELERADO
– El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de
velocidad).
II. DESACELERADO
–...
OBSERVACIÓN:
Números de Galileo
EJEMPLO:
Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer
segundo una distancia...
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Hemos expresado la posición x de un objeto como una función d...
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
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CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRE
Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modoSi permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de m...
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MOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICO
Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objetoLlamamos movimiento...
Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos lasDescomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las
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Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemosPara deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debem...
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
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La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada porLa longitud de arco recorrida durante ese intervalo está ...
La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa laLa frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la
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ACELERACIÓN CENTRÍPETAACELERACIÓN CENTRÍPETA
Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circularAunque la ra...
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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTEMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE
ACELERADOACELERADO
Cuando el movimiento es uniformement...
EJERCICIOSEJERCICIOS
1.1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a(15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de ...
De la ecuación IDe la ecuación I
ee22 = X = V= X = V22TT
ee11 = X + 36 = V= X + 36 = V11TT Cuando se encuentranCuando se e...
2.2. (17)(17) Un móvil parte del reposo con una aceleración constante deUn móvil parte del reposo con una aceleración cons...
Sumando eSumando e22 y ey e22
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4.4. (19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la figura(19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la figura
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5.5. (16)(16) Hallar las velocidades “VHallar las velocidades “V11”, y “V”, y “V22”. Si lanzadas las partículas”. Si lanza...
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  1. 1. CINEMATICACINEMATICA UNIVERSIDAD HERMILIO VALDIZAN
  2. 2. CINEMÁTICA (MRU)
  3. 3. CONCEPTO DE CINEMÁTICA Estudia las propiedades geométricas de las trayectorias que describen los cuerpos en movimiento mecánico, independientemente de la masa del cuerpo y de las fuerzas aplicadas. 1 . SISTEMA DE REFERENCIA Para describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema de referencia.
  4. 4. 2. MOVIMIENTO MECÁNICO Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el movimiento mecánico es relativo. 3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO a) Móvil Es el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se dice que está en reposo relativo. b) Trayectoria Es aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo.
  5. 5. c) Recorrido (e) Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B). d) Desplazamiento (d) Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición final. Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil. e) Distancia (d) Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo del vector desplazamiento. Se cumple que:
  6. 6. 4. MEDIDA DEL MOVIMIENTO a) Velocidad media (Vm) Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un sistema de referencia. Se define como la relación entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.
  7. 7. EJEMPLO: Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la velocidad media entre A y B.
  8. 8. b) Rapidez Lineal (RL) Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del cambio de posición en función del recorrido. Se define como la relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo correspondiente.
  9. 9. 5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO El móvil describe una trayectoria rectilínea respecto de un sistema de referencia. En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido tienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de la velocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.
  10. 10. 6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad media constante en módulo, dirección y sentido, durante su movimiento.
  11. 11. a) Velocidad (V) Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidez del cambio de posición respecto de un sistema de referencia. En consecuencia la velocidad tiene tres elementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de la velocidad también se le llama RAPIDEZ.
  12. 12. b) Desplazamiento (d) El desplazamiento que experimenta el móvil es directamente proporcional al tiempo transcurrido.
  13. 13. c) Tiempo de encuentro (Te) Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es: d) Tiempo de alcance (Ta) Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en el mismo sentido, el tiempo de alcance es:
  14. 14. CINEMÁTICA (MRUV)
  15. 15. ¿QUÉ ES EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO? Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde la trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante. ¿QUÉ ES LA ACELERACIÓN? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad.
  16. 16. EJEMPLO: Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4 m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración. RESOLUCIÓN:
  17. 17. POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL M.R.U.V. La posición de una partícula, que se mueve en el eje “x” en el instante “t” es.
  18. 18. ECUACIONES DEL M.R.U.V.
  19. 19. TIPOS DE MOVIMIENTO I. ACELERADO – El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de velocidad). II. DESACELERADO – EL signo (–) es para un movimiento desacelerado (disminución de velocidad).
  20. 20. OBSERVACIÓN: Números de Galileo EJEMPLO: Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer segundo una distancia de 5m. ¿Qué distancia recorre en el cuarto segundo?
  21. 21. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Hemos expresado la posición x de un objeto como una función delHemos expresado la posición x de un objeto como una función del tiempo t indicando la función matemática que relacionaba a x y a t.tiempo t indicando la función matemática que relacionaba a x y a t. Luego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x conLuego se obtuvo su velocidad calculando la derivada de x con respecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a de un objetorespecto a t. Finalmente, se calculó la aceleración a de un objeto derivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimientoderivando la velocidad con respecto al tiempo t. Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél en el cual la velocidad es constante,rectilíneo uniforme es aquél en el cual la velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero (la derivada de una constante espor tanto, la aceleración es cero (la derivada de una constante es cero).cero). La función desplazamiento es la integral de la función velocidadLa función desplazamiento es la integral de la función velocidad que en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto elque en este caso es constante v ( t ) = C, por tanto el desplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , donde x0 será la posicióndesplazamiento será x ( t ) = xo + v . t , donde x0 será la posición inicial del móvilinicial del móvil
  22. 22. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTEMOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADOACELERADO Si un objeto se mueve con aceleración constante en una solaSi un objeto se mueve con aceleración constante en una sola dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ?dimensión ¿Existe alguna forma de ir de a a v y luego a x ? Sí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleraciónSí, por un proceso llamado integración. Dada la aceleración podemos obtener la función velocidad integrando lapodemos obtener la función velocidad integrando la aceleración y dada la velocidad podemos obtener la funciónaceleración y dada la velocidad podemos obtener la función desplazamiento integrando la velocidad.desplazamiento integrando la velocidad. La función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = CLa función velocidad es la integral de la aceleración a ( t ) = C , por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . t . La función, por tanto la velocidad será v ( t ) = v0 + a . t . La función desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto:desplazamiento es la integral de la velocidad, por tanto:Esta es la expresión general de la posición de un objeto en el caso del movimiento en una dimensión con aceleración constante, donde x0 es la posición inicial del objeto.
  23. 23. CAÍDA LIBRECAÍDA LIBRE Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modoSi permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento,que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerposencontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición,independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecinacaen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotadaa la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g , se llama aceleración en caída librepor el símbolo g , se llama aceleración en caída libre Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos conSi bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la mismamovimiento hacia arriba experimentan la misma aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de laaceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con laaceleración en caída libre varía con la latitud y con la altitud. Hay también variaciones significativas causadasaltitud. Hay también variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la cortezapor diferencias en la densidad local de la corteza terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiarterrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección.en esta sección. Las ecuaciones vistas en la sección anterior para unLas ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante puedenmovimiento rectilíneo con aceleración constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientesser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:variaciones:
  24. 24. Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y yEstablecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+ Reemplazamos en las ecuaciones de un movimientoReemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto queuniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacianuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.arriba, significa que la aceleración es negativa. Reemplazamos en las ecuaciones de un movimientoReemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto queuniformemente acelerado a la aceleración por -g , puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacianuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.arriba, significa que la aceleración es negativa. En la gráfica podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.
  25. 25. Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser:Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser: a ( t ) = - ga ( t ) = - g v ( t ) = v0 - gv ( t ) = v0 - g
  26. 26. MOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICO Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objetoLlamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto que describe un vuelo en el aire después de haber sidoque describe un vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objetolanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, lostiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciarexperimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objetola resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos aes debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección verticaldefinir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g . j ,hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g . j , entonces:entonces: Supongamos que un proyectil se lanza de forma que suSupongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x ,velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x , como se muestra en la figura:como se muestra en la figura:
  27. 27. Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos lasDescomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las componentes iniciales de la velocidad:componentes iniciales de la velocidad:
  28. 28. Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemosPara deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un movimientopartir del hecho de que el proyectil experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y uniformemente aceleradorectilíneo uniforme a lo largo del eje x , y uniformemente acelerado a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que:a lo largo del eje y . De esta forma tenemos que: Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y siSi derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si integramos obtenemos el desplazamiento:integramos obtenemos el desplazamiento: Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y ,Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y , obtenemos la ecuación de la trayectoria :obtenemos la ecuación de la trayectoria : y = ax2 +bx +cy = ax2 +bx +c
  29. 29. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Examinaremos ahora el caso especial en que una partículaExaminaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular.se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son deComo veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de direcciónmagnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define comocontinuamente. Esta situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo,movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada radial es fijala coordenada radial es fija ( r )( r ) y el movimiento queday el movimiento queda descrito por una sola variable, el ángulodescrito por una sola variable, el ángulo θθ, que puede ser, que puede ser dependiente del tiempodependiente del tiempo θθ (t(t). Supongamos que durante un). Supongamos que durante un intervalo de tiempointervalo de tiempo dtdt, el cambio de ángulo es, el cambio de ángulo es ddθθ..
  30. 30. La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada porLa longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por dsds = r d= r dθθ. Al dividir entre el intervalo de tiempo. Al dividir entre el intervalo de tiempo dtdt, obtenemos una, obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento:ecuación para la rapidez del movimiento: De dondeDe donde ddθθ/dt/dt es la rapidez de cambio del ánguloes la rapidez de cambio del ángulo θθ y se definey se define como lacomo la velocidad angularvelocidad angular, se denota por, se denota por ωω y sus dimensiones sey sus dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En terminos deexpresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En terminos de w, tenemos que:w, tenemos que: v = r wv = r w Una cantidad importante que caracteriza el movimiento circularUna cantidad importante que caracteriza el movimiento circular uniforme es el período y se define como el tiempo en que tarda eluniforme es el período y se define como el tiempo en que tarda el cuerpo en dar una revolución completa, como la distancia recorridacuerpo en dar una revolución completa, como la distancia recorrida en una revolución es 2en una revolución es 2ππr, el período T es:r, el período T es: 2 π r = v T
  31. 31. La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa laLa frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo.partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. La unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como unLa unidad en el SI es el hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período,ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, esto es:esto es:
  32. 32. ACELERACIÓN CENTRÍPETAACELERACIÓN CENTRÍPETA Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circularAunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, launiforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la aceleración no es cero.aceleración no es cero. Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posiciónSea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a laen el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a lacurva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V ,curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V , ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes.ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la trayectoria descrita duranteLa longitud de la trayectoria descrita durante ∆∆tt es la longitud deles la longitud del arco del punto P1 a P2, que es igual aarco del punto P1 a P2, que es igual a r.r. θθ ( donde q esta medida( donde q esta medida en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento conen radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma:respecto al tiempo, de esta forma: r . θ = V . ∆t
  33. 33. Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma quePodemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se originen en un punto en común:se originen en un punto en común: Esta figura nos permite ver claramente el cambio en laEsta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 . Estevelocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2 . Este cambio es:cambio es: V1 - V2 =V1 - V2 = ∆∆VV Ya que la dirección de la aceleración promedio es la mismaYa que la dirección de la aceleración promedio es la misma que la deque la de ∆∆VV, la dirección de a está siempre dirigida hacia el, la dirección de a está siempre dirigida hacia el centro del círculo o del arco circular en el que se mueve lacentro del círculo o del arco circular en el que se mueve la partícula. Para un movimiento circular uniforme, lapartícula. Para un movimiento circular uniforme, la aceleración centrípeta es:aceleración centrípeta es:
  34. 34. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTEMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADOACELERADO Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe unaCuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una aceleración angular, y se define como la razón instantánea deaceleración angular, y se define como la razón instantánea de cambio de la velocidad angular:cambio de la velocidad angular: Las unidades de la aceleración angular son radianes porLas unidades de la aceleración angular son radianes por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante,segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante, entonces la velocidad angular cambia linelmente con elentonces la velocidad angular cambia linelmente con el tiempo; es decir,tiempo; es decir, ωω == ωω0 + a t0 + a t donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, eldonde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el ángulo está expresado porángulo está expresado por θθ (t) =(t) = θθ0 +0 + ωω0 t + ½ a t ²0 t + ½ a t ²
  35. 35. EJERCICIOSEJERCICIOS
  36. 36. 1.1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a(15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de “A” con dirección a “B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se encontraron había“B” y el otro de “B” con dirección a “A”, cuando se encontraron había recorrido el primer coche 36 km más que el segundo. A partir del momentorecorrido el primer coche 36 km más que el segundo. A partir del momento en que se encontraron. El primero tardó 1 hora en llegar a “B” y elen que se encontraron. El primero tardó 1 hora en llegar a “B” y el segundo 4 horas en llegar a “A”. Hallar la distancia entre “A” y “B”.segundo 4 horas en llegar a “A”. Hallar la distancia entre “A” y “B”. 1 2 1 2 X + 36 x Durante Final 2 1 etotal = 2x + 36 (I) e2 = V2 x T2 = X e1 = V1 x T1 = X + 36 (II) e2 = V1 x T2 = (V1) (1h) e1 = V2 x T1 = (V2) (4h) A B e1 e2
  37. 37. De la ecuación IDe la ecuación I ee22 = X = V= X = V22TT ee11 = X + 36 = V= X + 36 = V11TT Cuando se encuentranCuando se encuentran TT22 = T= T11 = T= T VV22 == XX TT VV11 == X + 36X + 36 TT Reemplazando en las ecuaciones IIReemplazando en las ecuaciones II ee22 = X = (V= X = (V11) (1h) =) (1h) = (X + 36) (1)(X + 36) (1)  X + 36 = X TX + 36 = X T  T=T= X + 36X + 36 TT XX ee11 = X + 36 = (V= X + 36 = (V22) (4h) =) (4h) = XX (4)(4) TT Reemplazo IIIReemplazo III X + 36 = (X + 36 = ( XX22 ) (4)) (4)  4 X4 X 22 = (X + 36)= (X + 36)22  (raíz) X = 36(raíz) X = 36 X + 36X + 36 etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 = 108 m
  38. 38. 2.2. (17)(17) Un móvil parte del reposo con una aceleración constante deUn móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10/ms10/ms22 , luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar, luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/sen forma constante con a = 5 m/s22 hasta detenerse, si el tiempo totalhasta detenerse, si el tiempo total empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?.empleado es de 30 segundos. ¿Cuál es el espacio recorrido?. V0 VfT1 T2 e1 e2 X Ttotal = 30 Seg T1 + T2 = 30 Seg X = e1 + e2 Para el primer tramo Vf1 = V0 ± a T1 Vf1 = 0 + (10) T1 Vf1= 10 T1 (I) e1 = (V0) (T1) + 1 (10) (T1)2 2 e = 1 (10) (T )2 Para el segundo tramo Vf = Vi ± aT Vf = Vf1 ± aT 0 = 10 T1 – (5) (T2) …. Reemplazo (I) T2 = 2T1 (II) Como T1 + T2 = 30 ….. (a) T1 + (2T1) = 30 … reemplazo II en a 3T1 = 30  T1=10 T2 = 20 Se cumple: e2 = (Vf1) (T2) – 1 (5) (T2) 2 2 e2 = (10 T1) (T2) – 1 (5) (T2)2
  39. 39. Sumando eSumando e22 y ey e22 ee11 + e+ e22 = 10 T= 10 T11 TT2 –2 – (( 11 ) (5) T) (5) T22 22 + 5T+ 5T11 22 22 X = 10 (10) (X = 10 (10) (2020) – () – ( 11 ) (5) (20)) (5) (20)22 + (5) (10)+ (5) (10)22 22 X = 1500 mX = 1500 m
  40. 40. 3.3. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m deUna piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura, mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidadaltura, mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20 m. ¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedraalcanza 20 m. ¿Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedra soltada de 400 m de altura en el último segundo de su caída?soltada de 400 m de altura en el último segundo de su caída? Planeta XPlaneta X VVff = 0= 0 hh VV11 Para la tierraPara la tierra:: VVff 22 = V= V00 22 ± 2ge± 2ge 0022 = (V= (V11)) 22 - 2(g) (100) -- raiz- 2(g) (100) -- raiz VV11 = 20 m/s= 20 m/s (I)(I) hmax = 100 m Gravedad + - Vf = V1 – gt ---- Vi = V1 0 = 20 – 10 T T = 2 Seg Planeta TierraPlaneta Tierra Hmax = 20 m Vf = 0 h V1
  41. 41. Para el planeta X:Para el planeta X: VVff 22 = V= V00 22 ± 2 ge± 2 ge 0022 = (V= (V11))22 - 2 (g) (100)- 2 (g) (100) 202022 = 2(g) (100)= 2(g) (100) g = 2m/sg = 2m/s22 1er Tramo1er Tramo e = Ve = V00 t +t + 11 gtgt22 22 400 – X = 0 +400 – X = 0 + 11 (2) (T-1)(2) (T-1)22 22 400 – X = (T-1) …400 – X = (T-1) … (I)(I) VVff = V= V00 + gt+ gt VV11 ’= 0+(2) (T-1)’= 0+(2) (T-1) VV11 ’ = 2 (T-1)’ = 2 (T-1) VV11 ’ = 2 (20 – 1) = 38 m/s’ = 2 (20 – 1) = 38 m/s (II) V0=0 400-x <-- 1er tramo X T=1 Seg 2do Tramo V 1’ 2do Tramo2do Tramo e = Ve = V00 TT ±± 11 g tg t 22 22 e = Ve = V11 ’ (1) +’ (1) + 11 (2) (1)(2) (1)22 22 e = Ve = V11 ’ + 1’ + 1  e=38+1= 39 me=38+1= 39 m Reemplazo V1 en hReemplazo V1 en h Tomando el movimiento total:Tomando el movimiento total: e = V1 T ±e = V1 T ± 11 gt2gt2 400=400=11 (2) (t)2(2) (t)2  T = 20T = 20 22 22
  42. 42. 4.4. (19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la figura(19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la figura con una rapidez constante en el tramo AB y una aceleracióncon una rapidez constante en el tramo AB y una aceleración de 6m/sde 6m/s22 . Con otra rapidez constante en el tramo BC y. Con otra rapidez constante en el tramo BC y aceleración de 5 m/saceleración de 5 m/s22 . Hallar el tiempo que demora en el. Hallar el tiempo que demora en el recorrido total ABC.recorrido total ABC. Para ABPara AB V = CteV = Cte a = 6m/sa = 6m/s22 r = 6 mr = 6 m Para BC V = Cte a= 5m/s2 Sabemos: ar = v2 , donde V = velocidad lineal r
  43. 43. Para AB:Para AB: VV22 == aarr * r* r VVABAB22 == (6) (6)(6) (6) VVABAB == 6 m/s6 m/s Para BC:Para BC: VV2 =2 = ar * rar * r VVBCBC22 = 5 * 5= 5 * 5 VVBC = 5 m/sBC = 5 m/s Sabemos queSabemos que S =S = θθ.r.r Para AB:Para AB: 1)1) SSAB = (AB = (∏∏) ( 6) ( 6 ) = 6) = 6 ∏∏ 2)2) SSABAB = e = vt= e = vt  66 ∏∏ = VT= VT11 66 ∏∏=(6)T=(6)T11  TT11 == ∏∏ SegSeg Para BC:Para BC: 1)1) SSBC = (BC = (∏∏) (5) = 5) (5) = 5 ∏∏ 2)2) egvTegvT  55 ∏∏ = 5= 511 TT11  TT22 == ∏∏SegSeg Ttotal = TTtotal = T11 + T+ T22 = 2= 2 ∏∏ SegSeg
  44. 44. 5.5. (16)(16) Hallar las velocidades “VHallar las velocidades “V11”, y “V”, y “V22”. Si lanzadas las partículas”. Si lanzadas las partículas simultáneamente chocan como muestra la figura.simultáneamente chocan como muestra la figura. Para 1Para 1 M. HorizontalM. Horizontal e = V Te = V T 10 = V10 = V11 T (I)(I) Para 2 M. Horizontal e = V T 30 = V2 T (II)
  45. 45. VY = 0 Vx Vx Vx Vy Vy Vy En y: H = V1T + 1 (10) T2 2 180 = 1 (10) T2 2 III en I y II V1 = 10 = 5 m/s 6 3 V2 = 30 = 5 m/s 6 T = 6 (III)

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