1. 1. Cka është statistika?
Statistika definohet si shkencë e cila përmes madhësive (vlerave) numerike bën hulumtimin
e karakteristikave të dukurive masive. Statistika është shkencë e cila përcjellë zhvillimin e
dukurive në natyrë, ekonomi dhe shoqëri.
2. Cka është objekt i hulumtimit të statistikës?
Objekt i hulumtimit të statistikës është studimi i anës sasiore dhe cilësore të dukurive
massive si dhe karakteristikave të variacionit të tyre në një kohë dhe vend të caktuar.
3. Cilet janë metodat e statistikës?
1) Induksioni (nga individualja tek e përgjithshmja)
2) Deduksioni ( nga e përgjithshmja tek individualja)
3) Analiza (shpërndahen dukuritë)
4) Sinteza (bashkon dukuritë)
5) Metodae analogjisë (lidhshmërisë)
6) Metoda representative
7) Metoda grafike
4. Cilët janë parimet e shoqeatës statistikore?
1) Aftësimi i ekspertëve të statistikës
2) Këmbimi i zbulimeve shkencore dhe përvojës
3) Miratimi i metodologjisë unike
4) Objekti dhe përmbajtja e veprimtarisë statistikore
5) Harmonizimi i afateve në hulumtimin statistikorë
6) Çështja e publikimeve statistikore si dhe format e këmbimit ndërkombëtarë.
5. Cka kuptoni me dukurinë masive?
Dukuria masive ( popullimi) paraqet çdo bashkësi të ndryshme njerëzish, objektesh,
sendesh, rastesh etj.Dukuria masive është sasia e diferencuar në mënyrë cilësore.
6. Cka kuptoni me njesinë statistikore?
Njesia statistikore (individi) paraqet njesitë përbërëse të popoullimit. Psh. Njesia
statistikore (individi):
1) Suksesi i studentëve në fakultet,
2) Punëtorët e një lëmie të ekonomisë kombëtare,
3) Harxhimet mujore të telefonit në ndërmarje,
4) Harxhimet ditore të energjisë etj.
7.Në sa njesi matëse të vecanta e hulumton statistika njesinë statistikore?
Statistika hulumton njesinë statistikore në këto njesi matëse të veçanta:
1) Njesia e vëllimit të dukurisë (regjistrimit, numrimit, raportimit të një dukurie)
2) Njesia e raportimit (evidentimit)
3) Njesia për matjen e variacionit (variance, devijimi standard dhe disperzioni)
1
2. 8.Cka është tipari dhe sa lloje të tipareve dallojmë?
Çdo veti e veçantë për secilin dhe e përbashkët për të gjitha njesitë quhet TIPAR. Kemi dy
lloje të tiparëve:
1) Tipare sasiore
2) Tipare cilësore
Tiparet indajmë:
Sipas tipit (mosha, pasha, numri I studentëve)
Sipas formës (mënyrës së krijimit)
Sipas përmbajtjes (brendisë)
9.Cka paraqet variacioni?
Variacioni paraqet lëviyjet që shprehin ndryshimin e sasisë ose të cilësisë së tiparit dhe
dukurive masive në tërësi.
10.Në sa forma paraqitet variacioni?
Variacioni paraqitet në dy forma:
1) Variacioni si ndryshim dhe
2) Variacioni si koeficient
11.Nga se varen rezulltatet e fituara nga analiza statsitikore?
Rezultatet e fituara nga analiza statistikore varen:
Nga aplikimi i metodave kërkimore dhe
Nga cilësia e të dhënave të grupuara të dukurisë
12.Cilët janë fazat e punës kërkimore?
Vrojtimi statistikor
Përmbledhja dhe grupimi i të dhënave
Përpunimi dhe analiza statistikore
Publikimi i rezultateve
13.Cka kuptoni me fazën e vrojtimit statistikor?
Vrojtimi statistikor bën regjistrimin dhe grumbullimin e të dhënave për dukurit masive dhe
tipareve të tyre të llojllojshme.
• Këtu bëhet verifikimi i tër dokumentacionit
• Bëhet pregaditja rreth organizimit më të mirë
• Bëhet kontrollimi dhe verifikimii qëllimit dhe detyrës së dhënë
• Bëhet grumbullimi i materialit i cili do të jetë lëndë e përpunimit në fazat e tjera të
hulumtimit.
2
3. 14.Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë sa lloje të vrojtimit dallojme?
Sipas burimit të të dhënave statistikore dallojmë:
Vrojtimi i drejtëpërdrejt
Vrojtimi përms dokumenteve
Vrojtimi sipas deklarimit.
15.Sipas menyrës së vrojtimit, grumbullimi i të dhënave kryhet përmes këtyre
formave:
Mënyra ekspeditive (ekspertët statistikor)
Përmes thyerjes zyrtare
Mënyra postelegrafike
Përmes korespodentëve
Mënyra e vetëregjistrimit përmes pyetësorëve.
16.Varesisht nga qëllimi i kërkimit, natyra e dukurisë dhe rethanat në tëcilat gjendet
dukuria dallojm këto lloje të vrojtimit.
Vrojtimi sipas kohës – (të vazhdueshme dhe jo të vazhdueshme)
Vrojtimi sipas vëllimit – (vrojtim i përgjithshëm dhe i pjesshëm)
17.Cilët janë format kryesore të vrojtimit të pjesshem?
Format kryesore të vrojtimit të pjesëshëm janë:
Mostra (merret vetëm një pjesë e rastësishme)
Anketa (ankohet vetëm një pjesë e rastësishme)
Monografia (hulumtohet detalisht një njësi)
18.Cilët janë llojet e gabimeve statistikore?
Gabimet e reprezentimit (përfaqësimit)- e rastësishme dhe të qëllimta
Gabimet e regjistrimit
19.Grupimi i të dhenave sipas kriterit të pergjithshem bazohet ne tri mënyra edhe
ate:
Grupimi sipas qëllimit (grupimi tipologjik-sipas tipareve ), (grupimi i variacionit-
ndryshimet brenda një tipari), (grupimi analitik-lidhje e ndërsjellë shkakë pasojë)
Grupimi sipas llojit të tiparit (grupimet cilësore, sipas tiparëve sasiore, sipas
tiparëve kohore dhe hapsinore).
Grupimi sipas vëllimit të tiparit (grupimi i thjeshtë-vetëm një tipar, i kombinuar-
dy a më shumë tipare dhe rigrupimi- një numër i madh grupesh shëndrohet në më të
vogla).
20.Radhitja e të dhënave statistikore mundë të kryhet?
Radhitja me dorë
Radhitja me mjete teknike dhe
Radhitja e kombinuar
3
4. 21.Varësisht nga tipari që tregojnë variacionet seritë munde ti ndajme:
Seri të thjeshta (të dhëna për një tipar)
Seri të përbëra (të dhëna për më shumë tipare)
Seri hapsinore (teritoriale)
Seri kohore ose kronologjike
Seri të shpërndarjes
23.Cka janë pasqyrat statistikore?
Pasqyrat statistikore janë formë ku paraqiten seritë dhe rezultatet nga materiali i
përmbledhur dhe i grupuar statistikor.
24.Sipas përmbajtjes të pasqyrës statistikore dallojmë?
Pasqyra të thjeshtastatistikore (për një tipar)
Pasqyra të përbëra (dy a më shumë tipare)
Pasqyra të kombinuara statistikore
25.Ne bazë të përmbajtjes, natyrës, ecurisë së dukurisë dhe menyrës së ndërtimit,
grafet statistikore mundë të ndahen ?
Grafet statistikore mundë të ndahen në 3 grupe:
1) Diagrame (grafe me figura gjeometrike)
2) Kartograme dhe
3) Ideograme (grafe me figura natyrale).
26.Cka kuptoni me fazën e analizes statistikore?
Analiza statistikore paraqet fazën e tretë dhe të fundit të dukurisë masive, kjo fazë pëson
pas hulumtimeve të bëra rreth vrojtimit, përmbledhjes, grupimit dhe paraqitjes grafike të të
dhënave të sistemuara.
27.Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb
dallohen si?
Analiza statike (gjendja se si është dukuria)
Analiza dinamike (zhvillimi i dukurisë)
Analiza reprezentative (mostra, anketa)
Analiza regressive (raportet në mes dukurive të ndryshme)
28.Gjate analizes se distribuimite te serive me se shumti perdoren keto elemente:
Madhësitë mesatare
Treguesit e variabilitetit
Invariantet bazë
Invariantet e momenteve statistikore
29.Cka paraqesin momentet statistikore?
Momentet statistikore janë tregues relative të asimetrisë dhe kurtozisit, të cilat paraqesin
devijimin e nivelizuar mesatar të të dhënave në seri nga mesatarja e tyre.
4
5. 30.Cka paraqet probabilitetit?
Teoria e probabilitetit meret me aplikimin e metodave te ndryshme ne analizen e raporteve
te dukurive stohastike.
31.Cilet jane llojet e probabilitetit?
►Llojet e Probabilitetit:
-Prova e rastit
-Ngjarja
-Probabilitetiingjarjes
-Probabiliteti me kusht
-Probabiliteti pa kusht
-Ndryshoret e rastit dhe llojet e tyre
32.Cka paraqet prova?
Prova paraqet, parasheh ose përcakton dukuri potenciale (hudhja e monedhës).
33.Per cka perdoret analiza e regresionit?
Analiza e regresionit me se shpeshti perdoret per hulumtimin e
variabilitetit te dy fenomeneve, nga te cilat njera paraqitet si variabel e
pavarur kurse tjetra e varur.
34.Cka quajme teresi e pergjithshme dhe cka quajm moster?
Dukurin te cilen deshirojme ta studijojme dhe analizojme quhet teresie pergjithshme,
ndersa pjesa e nejsive qe zgjidhet per vrojtim konkret quhet moster.
35.Cilet jane metodat kryesore te zgjedhjes se njesive ?
Metodat kryesore te zgjedhjes se njesive jane:
Metoda e rastit (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme)
Mostra e kualifikuar (zgjedhja e rastesishme nga teresia e pergjithshme me pare e
regulluar apo kualifikuar)
Panel mostra (zgjedhet ne menyre te rastesishme).
USHTRIME
KOEFIÇIENTI I VARIACIONIT - Variacioni paraqet lëvizjet apo ecuritë që
shprehin ndryshimin e sasisë ose cilësisë së atributit të individit (njësitë statistikore) dhe
dukurisë masive(popullimi) në tërësi.
Përmes variacionit si lëvizje, si ecuri dhe si ndryshim zbulohen ligjshmëritë në natyrë,
në ekonomi dhe në shoqëri.(gjatë vrojtimit të fenomeneve të ndryshme , ecuritë e
variacionit mund të analizohen në hapësirë, dhe në një periudhë të caktuar)
STATISTIKA si shkencë merret me studimin e ligjshmërive të variacionit të
atributit në kuadër të njësisë statistikore masive në tërësi
Kemi dy lloje:
Variacioni si ndryshim-paraqet ndryshimin(diferencën) në mes madhësis raportuese dhe
paraprake të një atributi apo tipari.
Përmes formulës aritmetike ndryshimi i dy niveleve të atributit të vrojtuar tregon
variacionin për periudha (nivele) të caktuara kohore.
Nëse nivelet (të dhënat) e atributit (tiparit) i shënojmë me N
5
6. Variacioni i ndryshimit Ë1 = N2-N1,N2,N3,.....Ni(i =1,...n) dhe variacionin me
:Ë1rË2rË3r....Ëi(i=1...n) atëherë variacioni si ndryshim përmes formulës do të shprehet si
vijon
Vd1=N2-N1
Vd2=N2-N1
Vd3=N2-N1
Vdi=Ni+1-Ni
Vdn_1=Nn-Nn_1
Rezultat e fituara nga raportet e paraqitura në formulë, përmes niveleve të
periudhave të ndryshme kohore, tregojnë shtimin, stagnimin apo rënien e dukurisë së
vrojtuar.
Shembull : Procesi i regjistrimit të studentëve në vitn e parë pranë Fakultetit të
Administratës publike - USHT gjatë periudhës kohore 2006/2010 është si më poshtë.
1.Në vitin shkollor 2006/2007 u regjistruan 500 studentë (N1)
2. --------------------- 2007/2008 u regjistruan 460 studentë (N2)
3. -------------------- 2008/2009 u regjistruan 460 studentë (N3)
4. -------------------- 2009/2010 u regjistruan 480 studentë (N4)
Nga llogaritja e maleve të serisë së dhënë në vijim fitohet
variacioni si ndryshim Vd1
Vd1=N2-Nl= 460-500 = -40 (zbritje)
Vd2=N3-N2= 460-460 = 0 (stagnim)
Vd3=N4-N3= 480-460 = 20 (rritje)
Rezultatet e fituara tregojnë ecuri të ndryshme të variacionit nëpër periudha të ndryshme të
krahasimit të niveleve:
1.N2 < N1
2.Ë = 0
3.N4 > N3 ku Vd3 > 0
VARIACIONI SI KOEFICIENT - është shprehje relative dhe paraqet raportin në
mes dy niveleve të vrojtuara të atributit, njësisë statistikore ose dukurisë masive.
Rezultatet e fituara nga raporti i dy të dhënave, përkatësisht i nivelit raportues dhe atij
paraprak paraqet koeficientin e ndryshimit të vlerave relative, i cili shpreh
karakteristikat cilësore të dukurisë së vrojtuar.
•Simbolet e atributit, të njësisë ose dukurisë statistikore të vrojtuara janë :
N1,N2,N3,...Ni(i=1..n), ndërsa variacioni si koeficient :
Vk1,Vk2,Vk3,...Vki(i=1.n) ku kemi këto shprehje :
- Vkl =N2/N1 , Vk2 =N3/N2, Vk3 =N4/N3............. Vk1 =Ni+1/Ni
-Edhe te koeficientët e fituar të variacionit nga ecuritë e dukurisë së vrojtuar mund të
paraqesin variacionin në rritje, stagnim ose rënie.Mirëpo, koeficienti nuk mund të jetë më i
vogël se zero, por sillet prej zero deri në plus pa kufij (0,+&)
6
7. Shembull.Seria e e prodhimit të këpucëve në një ndërmarrje, e shprehur në palë:
•Viti 2006 prodhuar 8000 (Nl) Viti 2008 prodhuar 10000 (N3)
•Viti 2007 prodhuar 10000 (N2) Viti 2009 prodhuar 9 000 (N4)
Nga seria e dhënë e dukurisë së vrojtuar, në vijim llogaritetvariacioni si koeficient:
Vk1 =N2/N1 =10 000/8000 = 1.25 (rritje)
Vk2 =N3/N2 = 10000/10000=1,00 (stagnim)
Vk3 =N4/N3 = 9000/1000 =0,9 (zbritje)
Nga të dhënat(nivelet) e krahasuara, duke i vën në raport N2 me N1 fitohet variacioni si
koeficient më i lartë se një (Vkl >1), çka do të thotë se dukuria e vrojtuar, përkatësisht
prodhimi i i këpucëve vitin 2007, në raport me vitin 2006, ishte më i lartë për 0,25 të
vlerës së koeficientit, ose shprehur në përqindje, ishte 25% më i lartë/D.m.th në këtë rast
dukuria tregon tendencë rritje edhe përmes shprehjes së variacionit të koeficientit,sepse Vk1
>1.Në rastin tjetër Vk2 >1,0, cka do të thotë se dukuria stagnon, ndërsa Vk3 <1, ku
dukuria rezulton fakti se dukuria në krahasim me periudhën paraprake është në rënie e sipër.
7
8. FAZAT E STUDIMIT STATISTIKOR -SERITË STATITISTIKORE
Frekuenca absolute, relative dhe komulative
Seritё statistikore formohen prej dy madhёsive: varianteve dhe modaliteteve tё njё tipari.
Seritё formohen varёsiht nga qёllimi i hulumtimit dhe natyra e njёsisё sё vrojtuar nё bazё
tё rednitjes sё tё dhёnave nё mёnyrё vertikale dhe horizontale.
Të dhënat (modalitetet) e tiparit (x) Frekuencat /denduritë (f)
X1 f1
X2 f2
X3 f3
X4 f4
Xn fn
∑ ∑F
Kolona e parë , te seria e variacionit , paraqet të dhënat , përkatësisht variantet e tiparit,
ndërsa shtylla e dytë paraqet dendurinë, shpërndarjen , frekuencën.Frekuenca paraqesin
numrin përsëritës të modalitetit të tiparit në serinë e dhënë statistikore.
Fazat e studimit statistikor
Shembull. Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të
caktuar kanë blerë një shitore.Karakteristikë elementare e popullatës është masa , numri i
këpucëve të blera. Frekuenca absolute gjendet duke numëruar se sa blerës ka me numër të
caktuar këpucësh.
Të dhënat e blerësve (numrat e këpucëve të shitura):
36 37 38 39 40 Koment : 1 blerës ka blerë këpucë me nr.36
38 39 38 40 41 Nr. I Blerësit
40 41 42 40 42 X fa
40 40 41 40 42 36 1
Faza1
41 42 43 41 42 37 1
41 43 44 41 43 38 3
41 41 41 44 42 39 2
44 41 42 41 41 40 7
41 13
42 7
43 3
44 3
∑ 40
8
9. 7
3
2
13
1
7 Mënyra grafike
3
2
1
f(a) Blerёsit
FREKUENCA RELATIVE fr1 = fa1/∑fa
Shembull : Popullacioni e përbën bashkësia e 40 personave të cilët në një periudhë të
caktuar kanë blerë një shitore këpucësh.karakteristikë elemenare t[ popullacionit ështa
masa 0 numri i këpucëve të blera. Të gjendet frekuenca relative dhe procentuale
(përqindja).
Fr1 = 1/40 = 0,025 ku % llogaritet
Nr. I Blerësit 0,025*100 = 2,5 % poligon
fr %
X fa
36 1 0,025 2,5 %
37 1 0,025 2,5 %
38 3 0,075 7,5%
39 2 0,05 5%
40 7 0,175 17,5%
41 13 0,325 32,5%
42 7 0,175 36 17,5% 37 38 39 40
41 42 43 44 Nr. i
43 3 0,075 7,5%
44 3 0,075 7,5%
∑ 40 100%
9
10. FREKUENCA KOMULATIVE
Shembull : Popullacioni e përbën 200 nxënës të një shkolle të mesme gjatë vitit shkollor
2008/2009.Karakteristikë është pesha e nxënësve të dhënë në interval prej 3 kg.Të gjendet
frekuenca përmbledhëse, frekuenca relative nga ajo komulative , mesi i intervalit si dhe të
paraqiten grafikisht të dhënat.
Nr. i nxënësve
Pesha X fk fr Mesi i intervalit
fa
Gjer 40 0 0 0:200=0 0
40-43 2 2 2:200=0,01 41.5
43-46 7 9 9:200=0,045 44.5
46-49 40 49 49:200=0,245 47.5
49-52 87 136 136:200=0,680 50.5
52-55 58 194 194:200=0,970 53.51
55-58 5 199 199:200=0,995 56.50
58-61 1 200 200:200=1 59.5
87
∑ 200
Që ta gjejmë frekuencën komulative duhet që nr. e parë të fab ta përshkruajmë.psh 0 -,
40 58
pastaj e mbledhim numrin e parë të fk dmth 0 me numrin e dytëtë fr.absolute psh.2 atëherë
0+2=2 , 2+7=9.............kur arrijm në fund duhet që nr. i fundit të jetë në përputhje me
shumën e frekuencës absolute dmth 200=200.
Mesi i intervalit llogaritet si mesatare e thjeshtё nё mes tё dy niveleve tё njё intervali (psh.
7
40+43/2=41.5).
Mënyra grafike :
5
2
1
7
3
2
1
Nr. i nxёnёsve
.. Mёnyra e poligonit
(nё mesin e brinjёve
tё drejtkёndёshit)
..
. . Mёnyra e histogramit
(drejtkёndёshi)
. .
. .
..
.. 10
40 43 46 49 52 55 58 61 Pesha
11. Paraqitja grafike e frekuencave komulative
200
199
194
136
49
9
2
7
3
2
1
Nr.f(x)
Dijagramet sipërfaqësore (histogramet) -paraqitet madhësia,struktura apo vëllimi
Lakorja
studiuara statistikore. Komulative
Në boshtin e abshisës vendosen periudhat kohore ndërsa në boshtin e ordinatës vendoset
vëllimi apo madhësia e dukurisë.
Distribucioni komulativ i frekuencave(ogiva) shfrytёzohet pёr tё pёrcaktuar se sa ose çfarё
pjese e tё dhёnave sjell nёn apo mbi vlerёn e caktuar.
Poligoni i frekuencave konstruktohet nga vija qё paraqet lidhjen e pikave tё formuara nё
mes tё frekuencave dhe klasёve.
Prezentimi grafik i distribucionit tё frekuencave
Janё 3 forma pёr paraqitjen grafike tё distribucionit tё frekuencave:
HISTOGRAMI
POLIGONI I FREKUENCAVE
40 43 46 49 52
DISTRIBUCIONI KOMULATIV I FREKUENCAVE
55 58 61 Pesha
Mesi i 41,5 44,5 47,5 50,5 53,5 56,5 59,.5
Histogrami intervalit
– paraqet grafikun nё tё cilёn klasёt shёnohen nё abshisё(boshtin horizontal) ,
kurse frekuencat e klasave shёnohen nё boshtin ordinatё (boshtin vertikal) tё sistemit
koordinativ.
PASQYRAT STATISTIKORE
11
12. Diagramet sipërfaqësore(histogramet)-
- Diagramet sipërfaqësore të katrorit
- Diagramet sipërfaqësore të rrethit
- Diagramet strukturale të sipërfaqes së rrethit
Shembull: Gjat periudhës 3 vjecare në një bashkësi komunale të Maqedonisë kan bërë
kontrollime sistematike sipas viteve dhe familjeve si në vijim:
- në vitin 2006 janë kontrolluar 450 familje
- në vitin 2007 janë kontrolluar 1150 familje
- në vitin 2006 janë kontrolluar 1450 familje
Numri i familjeve për çdo vit paraqet sipërfaqen e katrorit , ndërsa ndërtimi i katrorit varet
prej bazës (brinjës) llogaritëse të tij e cila është e barabartë me rrënjën katrore të sipërfaqes.
Formula e sipërfaqes së katrorit është S=a2 , atëherë brinja është e barabartë me √S
përkatësisht a=√a2 .
Nga formula dhe të dhënat e dukurisë së krahasuar nëpër periudha kohore, rezultojnë
llogaritjet në vijim:
Viti 2006 S=450 a=√S = √450 = 21,2 cm (shkalla e zvoglimit 21,2 : 10 = 2,12 cm)
Viti 2007 S=1150 a=√S = √1150 = 33,9 cm (shkalla e zvoglimit 33,9 :
10 = 3,39 cm)
Viti 2008 S=1450 a=√S = √1450 = 38,1 cm (shkalla e zvoglimit 38,1 : 10 =
3,81 cm
Me rastin e ndërtimit të grafikëve duhet përdorur edhe shkallën e zvogëlimit të të dhënave
të krahasuara.
Në rastin konkret, brinjët e katrorëve do të ndërtohen me shkallën 1:10 cm, atëherë në
bazë të elementeve të llogaritura,paraqitja grafike përmes katrorëve dhe krahasimi i
shtimit të vëllimit sipas periudhave kohore jepet si në vijim:
Viti 2006 Viti 2007 Viti 2008
S = 450
S = 1150 S = 1450
a = 21,2 (2,12)
a = 33,9 (3,39)
a = 38,1 (3,81)
Sic shihet nga katrorët paraqitja grafike përmes këtyre diagrameve, mundëson zbulimin e
dukurisë përmes krahasimit të shtimit të vëllimit të saj nëpër periudha kohore.
Diagramet sipërfaqësore të rrethit
Përdoren për paraqitjen grafikë të dy a më tepër dukurive masive.Rrethi mund të ndërtohet
nëse rrespektohen rregullat e gjeometrisë(π=3,14).
E rëndësishme e këtij diagrami është që cdo paraqitje grafike me anë të rrethit duhet të
llogaritet rrezja e rrethit (r).
Në bazë të formulës gjeometrike të rrethit, sipërfaqja e rrethit zgjidhet përmes formulës: S=r2
ndërsa rrezja e rrethit S
π
r=√(π=3,14)
12
13. Viti 2006 S=450 S=r2x π ; 450=r2 x π ; 1150
r = √3,14 ;
------ r =11,5
1450
Viti 2007 S=1150 S=r2x π ; 1150=r2 x π ; r = √3,14 ;
----- r =19,1
450
Viti 2008 S=1450 S=r2x π ; 1450=r2 x π ; r = √ ------ ;
3,14 r =21,5
2006 2007 2008
r= 11,5 r= 19,1 r=21,5
Në bazë të llogaritjeve rezultojnë vlerat e rrezeve për 3 rrathë:
11,5 : 10 = 1,15
19,1 : 10 = 1,91
21,5 : 10 = 2,15
Pos si tërësi krahasuese grafet e formës së rrethit mund të paraqesin edhe strukturën e dy
a më shumë dukurive statistikore .
Pra paraqitjet e elementeve përbërëse të dukurisë masive në sipërfaqen e tërësishme të
rrethit quhen DIAGRAME STRUKTURALE TË SIPËRFAQES SË RRETHIT
Si bazë për llogaritjen e strukturës së elementeve të një dukurie masive statistikore
shërben vëllimi i saj i barazuar me 100% e sipërfaqes së rrethit.
Shembull: Struktura e mjeteve kryesore të disa ndërmarjeve ekonomike në Republikën e
Maqedonisë, sipas periudhave kohore të viteve: 2006, 2007, 2008 dhe 2009.
Mjetet kryesore në mijë euro € Struktura në %
Elementet
2006 2007 2008 2009 2006 2007 2008 2009
Mjetet kryesore Gjithsejt 100.000 200.000 300.000 400.000 100 100 100 100
Objektet ndërtimi 60.000 100.000 150.000 280.000 60 % 50 % 50 % 70 %
Pajisje 30.000 50.000 90.000 80.000 30 % 25 % 30 % 20 %
Të tjera 10.000 50.000 60.000 40.000 10 % 25% 20 % 10 %
Të gjindet shuma e përgjithshme e mjeteve kryesore dhe të paraqitet struktura e tyre në %
për çdo vit. Të gjenden shkallët e sipërfaqes së rrethit duke shumëzuar numrin relativ të
përqindjes, të secilit element të mjeteve kryesore me 3,6 %.
Nëse aplikohet metodologjia e llogaritjes, atëherë nga shembulli i analizauar do të
fitohen këto rezultate:
Për vitin 2006 Për vitin 2007 Për vitin 2008 Për vitin 2009
360o : 100 = 3,6 360o : 100 = 3,6 360o : 100 = 3,6 360o : 100 = 3,6
60 x 3,6 = 216 o 50 x 3,6 = 180 o 50 x 3,6 = 180 o 70 x 3,6 = 252 o
30 x 3,6 = 108 o 25 x 3,6 = 90 o 30 x 3,6 = 108 o 20 x 3,6 = 72 o
10 x 3,6 = 36o 25 x 3,6 = 90o 20 x 3,6 = 72o 10 x 3,6 = 36o
--------------------- --------------------- --------------------- ---------------------
100 x 3,6 = 360 o 100 x 3,6 = 360 o 100 x 3,6 = 360 o 100 x 3,6 = 360 o
2008
2006 2007 2009
36o 72o 36o
90o
72 o
108 o o 180o
216o
180
108 o
13
252o
90 o
14. Llogaritja e rrethit në aspektin logjik:
216-180=36 o
108-90=18 o
90-36=54 o
54-18=36 o
ANALIZA STATISTIKORE
Kjo faze peson pas hulumtumeve te bera reth vrojtimit, permbledhjes, grupimit dhe paraqitjes
grafike te te dhenave te sistemuara.Mbështetet në zbatimin e metodava shkencore.Analiza
rëndësi të veçantë ka, sidomos në krahasimin e të dhënave dhe rezultateve kërkimore të dy e më
tepër dukurive, në kohë dhe hapsirë.
• Analiza statistikore varesisht nga karkateristikat e dukurive masive ne thelb dallohen si:
-Analiza statike (gjendja se si eshte dukuria)
-Analiza dinamike (zhvillimin e dukurise)
-Analiza reprezentative (mostra, anketa)
-Analiza regresive (raportet ne mes dukurive te ndryshme)
Rëndësia e madhësive absolute dhe relative
o Madhesit absolutejane tregues qe shprehin sasine e nje dukurie te caktuar te cilet
paraqesin baze per cdo hulumtim statistikor.
Madhesit absolute jane te dhena te fituara nga fazat paraprake te vrojtimit.
o Ato jane konkrete, ne forme te numrave dhe tregojne madhesine e tiparit te
dukurise se
studiuar
o Madhesit absolute paraqiten si:
o Madhesi individuale (madhesia e dukurise ne kohe te
caktuar) o Madhesi te pergjithshme
o Madhesit relativeshprehin raportin ne mes te madhesise se nje treguesi ndaj
madhesise se treguesit tjeter
MADHËSITË MESATARE STATISTIKORE
14
15. Mesataret algjebrike(llagaritura): janë ato të cilat llogariten me ndihmën e formulave të
caktuara matematikore, dhe të cilat gjatë llogaritjes përfshijnë të gjitha të dhënat të një serie
statistikore.
Quhen mesatare algjebrike sepse përllogaritjet e tyre bazohen në formulat algjebrike.
Mesataret e pozicionitpërcaktohen varësisht nga pozita e tyre që kanë në serinë statistikore,
respektivisht caktohen në mënyrë emperike prej vlerave konkrete të serisë statistikore.
Mesataria aritmetike (hulumtimi i dukurive statistikore): perdorim me cilesor ka te serite
homogjene(te ngjajshme) te njesive statistikore.
Mesatarja aritmetike e thjeshtë përfitohet në bazë të pjesëtimit të shumës së mbledhur të
varianteve(të dhënave) individuale me numrin e tyre në tërësi.(numëruesi/emëruesi)
ose shkurtimisht
Kjo formulë e shprehur me numra të një serie duket kështu:
P.Sh.Nëse kemi dhjetë(10) konteste ekonomike të paraqitura në një gjykatë, të shprehura në
mijëra euro : X : 15,26,42,48,54,57,62,63,70,83.
Pra vlera emesatare e kontesteve ekonomike të paraqitura ësht 52 mijë euro.Mesatarja e fituar
plotëson kushtet më parë të plotësuara, sepse ësht caktuar në mënyrë objektive dhe gjendet
në mes të vlerës minimale (15) dhe vlerës maksimale(83) të serisë statistikore. 5
Mesatarja aritmetike e ponderuar - paraqet raportin e shumës së fituar si rezultat, nga
shumëzimi i të dhënave me frekuencat e tyre, pjesëtuar me shumën e madhësive të
frekuencave të varianteve të serisë.
P.Sh. Të dhënat e anketës së zbatuar mbi numrin mesatar të anëtarëve të familjeve në Kumanovë.
(Sipas dendurive absolute)
Të dhënat numerike në tabelë prezantojnë 100 familje të anketuara në Kumanovë, përkrah
numri i anëtarëve të familjes.
15
16. Nr. i anëtarëve të Numri i familjeve (f) Gjithsej (x+f)
familjes(x)
9 2 18
8 3 24
7 8 56
6 24 144
5 31 155
4 18 72
3 9 27
2 4 8
1 1 1
Gjithsej 100 505
MESATARJA HARMONIKE
Definohet si vlerë reciproke e mesatares aritmetike të vlerave reciproke të dukurive të
caktuara.
Mesatarja harmonike e thjeshtë – paraqet raportin në mes të varianteve dhe shumës së
vlerave të tyre.
E devijueshme – kur të dhënat nuk janë të grupuara përdoret mestarja e thjeshtë
harmonike(4) sipas formulës:
Shembull
Koha e harxhuar e 4 punëtorëve për prodhimin e secilit nga një njësi prodhimi është;
Puntoret Koha e harxhuar Nëse përdoret mesatarja e thjeshtë harmonike do të
per njesi
fitohet një mesatare e gabuar, sepse 79:4=19,75
I 29,0
minuta.Nga kjo mesatare do të rezultonin më tepër
II 18,0
se 4 produkte:
III 17,8
IV 14,2
Gjithsej 79.0
0,68103 + 1,09722 + 1,10955 + 1,3908 = 4,2786
16
17. =21,64
Mesatarja harmonike e ponderuar– në rastet kur të gjitha variantet e ndryshme të cilët
nuk janë të një rëndësie të njejtë, atëherë sikurse llojet e tjera të mesatares përdoret mesatarja
e ponderuar e cila llogaritet nvpërmjet formulës:
Të supozojmë: Nr. i banorëve dhe numri i banorëve në 1 km2 në katër vende është:
Territori Numri i banorëve në 1 km2 Numri i banorëve
(X) (f)
A 94 5.250,000
B 91 1.953,000
C 114 1.245,000
D 38 530,000
Gjithsej 8,978,000
MESATARJA GJEOMETRIKE
Përdoret për llogaritjen e ritmit të mesatares të zhvillimit të dukurisë së analizuar.
Metoda e mesatares gjeometrike përdoret kur seritë e të dhënave posedojnë vecori të
progresionit gjeometrik ose kur kemi tregues relativ.
përkatësisht formula e përgjithshme:
P
17
18. 1.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?
Mosha Nr i
punëtorëv
e
18-22 15 15
22-26 18 33
26-30 22 55
30-34 14 69
34-38 12 81
38-42 20 101
Gjithsejt 101
15+18=33
33+22=55 Σfi-w1)
55+14=69
69+12=81
81+20=101
2.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?
X f X*f x-x (x-x)2 F(x-x)2
40 4 160 40-32.3 = 7.7 7.72 = 59.29 4*59.29 = 237.16
36 24 864 36-32.3 = 3.7 3.72 = 13.69 24*13.69 = 328.54
32 23 736 32-32.3 = -0.3 -0.32 = 0.09 23*0.09 = 2.07
18 8 144 18-32.3 = -14.3 -14.32 = -204.49 8*204.49 =
1635.92
126 59 1904
18
19. 3.paraqiten ne menyre grafike keto te dhena ne tabele .
Viti Produkti E ardhura Amortizimi
shoqërorë kombëtare
2001 650 450 80
2002 720 520 120
2003 450 350 60
2004 750 850 140
Produkti shoqërorë
850 E ardhura kombëtare
800
750
720
700
650
600
550
520
500
450
400
Amortizimi
350
300
250
200
150
140
120
100
80
60
50
2001 2002 2003 2004
Fig.1 Paraqitja grafike e të dhënave
19
20. INDEKSAT
shembulli:Investimet në fondet themelore të sektorit privat të zejtarisë në RM në
periudhën 2003-2007 ka lëvizur në këtë drejtim
Viti Investimet Ib -In. Iv- In.vargor
Bazë
2003 218067 100 /
2004 334678 153.47 153.47
2005 452024 207.28 135.06
2006 494378 226.70 109.36
2007 547248 250.95 110.69
Llogaritni Indeksat bazik nëse baza është viti 2003 dhe pastaj llogaritni indeksat
zinxhir(vargor).
Indeksi bazik
Indeksi vargor(zinxhir)
20
21. Shembull.Të dhënat mbi donacionet të SHBA-ve në Kosovë gjat periudhës 1999 – 2005 janë
dhënë në tabelën që vijon, të llogariten indeksat bazik ku për vit bazë merret
a) Viti 1999
b) Viti 2003
c) Viti 2005
Si dhe të gjendet indeksi zinxhir.
Viti Shuma Ib -1999 Ib -2003 Ib -2005 Iv
1999 120.125 100 306.36 546.02 /
2000 75.010 62.44 191.30 340.95 62.44
2001 95.000 79.08 242.28 431.81 126.64
2002 21.000 17.48 53.55 95.45 22.10
2003 39.210 32.64 100 178.22 186.71
2004 25.000 20.81 63.75 113.63 63.75
2005 22.000 18.31 56.10 100 88
a) Viti 1999 b) Viti 2003 c) Viti 2005
Indeksi zinxhir (vargor)
21
22. Shembull.Të llogaritet indeksi individual dhe grupor të vëllimit fizik ku si bazë të merret
viti 2005
Produkti Produkti Produkti Produkti
Viti A B C D
2005 420 220 360 540
2006 340 440 380 480
2007 540 380 420 620 Produkti A Produkti C
2008 620 520 280 38
Çmimet
Produkti Produkti Produkti Produkti
A B C D
220 180 160 240
180 140 180 220 Produkti B
320 220 240 180
Produkti D
240 240 140 140
Produkti Produkti Produkti Produkti
Viti A B C D
2005 100 100 100 100
2006 80,95 200 105,5 88,88
2007 128,5 172,7 116,6 114,8
2008 147,6 236,3 77,77 70,37
ÇMIMET
Produkti A Produkti B Produkti C Produkti D
2005420 220 = 92400 2005 220 = 33000 2005 360 160 = 57600
2005 540 240 = 129600
2006 340 220 = 74800 2006 440 150 = 66000 2006 380 160 = 60800
2006 480 240 = 115200
2007 540 220 =118000 2007 380 150 =57000 2007 420 160 =67200
2007 620 240 = 148800
2008 620 220 = 136400 2008 520 150 = 78000 2008 280 160 = 48000
2008 380 240 = 91200
Produkti Produkti Produkti Produkti
A B C D
92400 33000 57600 129600 312600
74800 66000 60800 115200 316800
118000 57000 67200 148800 391800
VITI 2007
136400 78000 48000 91200 345600
VITI 2008
22
23. A +B + C + D =
92400 + 33000 + 37800 + 129600 = 312600
74800 + 66000 +60800 + 115200 = 316800
118000 + 57000 + 67200 + 148800 = 391800
136400 + 78000 + 48000 + 91200 = 345600
Shembull. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogariten
VITI 2006
indekset individuale të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër
produktet.
Produktet e realizuara Çmimet në kg
Produktet 2005 2006 2007 2008 2005 2006 2007 2008
q0 q1 q2 q3 p0 p1 p2 p3
A 20 18 19 22 20 16 24 22
B 14 16 13 19 35 18 22 16
C 18 13 18 14 38 19 18 24
D 16 12 22 16 42 22 14 28
q0 p0 q1 p1
2005 2006 2007 2008 A q0 p0 = 20
Produktet q0 p q1 q2 q3 p B q
A q1 p1 = 18
0 p0 = 14 B q1 p1 = 16
0 p1 p2 3
C q0 p0 = 18 C q1 p1 = 13
A 400 288 456 489
D q0 p0 = 16 D q1 p1 = 12
B 490 288 286 304
C 684 247 324 336 q2 p2 q3 p3
D 672 264 308 448 A q2 p2 = 19 A q3 p3 = 22
B q2 p2 = 13 B q3 p3 = 19
2246 1087 1374 1572
C q2 p2 = 18 C q3 p3 = 14
D q2 p2 = 16 D q3 p3 = 16
Produkti C Produkti D
Produkti A Produkti B
23
24. TRENDI LINEAR
Shembull.1
Viti y1 x1 x x1 2 yc
2001 12 0 0 0 8.8
2002 10 1 10 1 13.4
2003 18 2 36 4 18.8
2004 20 3 60 9 22.6
2005 30 4 120 16 27.2
90 10 226 30
n - numri i viteve yc/2001 = a + bx
y = na + b x
90 = 5a + 10b x y=a x+b x2 yc/2002 = 8.8 4.6 0 = 8.8
90 = 5a 10 4.6
90 = 5a + 10b
90 = 5a + 4.6 226 = 10a + 30b / : yc/2003 = 8.8
-2 4.6 1 = 13.4
-23 = 0 - 5b yc/2004 = 8.8 4.6 2 = 18.8
a= (-1)
yc/2005 = 8.8 4.6 3 = 22.6
a= b=
yc/2006 = 8.8 4.6 4 = 27.2
b = 4.6
a=
a = 8.8
dukuria
35
trendi
30
25
20
15
10
5
2001 2002 2003 2004 2005 24
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit linear
25. Shembull.2
Viti y1 x1 x x1 2 yc
2001 8 0 0 0 8.4
2002 12 1 12 1 11.4
2003 16 2 32 4 14.4
2004 14 3 48 9 17.4
2005 22 4 88 16 20.4
72 10 174 90
72 = 5a + 10b
y = na + b x yc/2001 = a + bx
72 = 5a 10 3
x y = a x + b x2
72 = 5a + 30 yc/2002 = 8.4 3 0 = 8.4
72 = 5a + 10b
174 = 10a + 30b /:-2 yc/2003 = 8.4 3 1 = 11.4
-a =
(-1) yc/2004 = 8.4 3 2 = 14.4
-15 = 0 - 5b
5b = 15 yc/2005 = 8.4 3 3 = 17.4
a=
yc/2006 = 8.4 3 4 = 20.4
b=
b =5 a=
a = 8.4
dukuria
25
trendi
20
15
10
5
2001 2002 2003 2004 2005
25
Fig.3 Paraqitja grafike e trendit linear
26. ANALIZA DINAMIKE
seria e të
Viti 3 të dhëna 5 të dhëna m1 =
dhënave
1991 55 - -
1992 58 56.3 - m1 =
1993 56 58.3 58.6
1994 61 60 59.6
m1 =
1995 63 61 -
1996 60 - -
m1 =
m1 = m1 =
m1 = m1 =
m1 =
65
60
55 te dhenat
me 3 te dhena
me 5 te dhena
50
1991 1992 1993 1994 1995
1996
Fig.4 Paraqitja grafike
26
27. Seritë sipas viteve Mesatarja Indekset
Muajt Gjithsej
2000 2001 2002 mujore(xi) stinore
1 2 3 4 5 6 7
I 108 102 120 330 110.0 88.0
II 102 100 115 317 105.7 84.6
III 113 109 135 357 119.0 95.2
IV 124 119 160 403 134.3 107.5
V 155 135 175 465 155.0 124.0
VI 164 138 171 473 157.7 126.2
VII 154 140 162 456 152.0 121.6
VIII 141 132 134 407 135.7 108.6
IX 118 140 112 344 114.7 91.8
X 112 107 110 329 109.7 87.8
XI 90 100 106 296 98.7 79.0
XII 95 105 122 322 107.2 85.8
4499:36 1499.7:12
1476 1401 1622
= 124.98 = 124.98
-
TRENDI I PARABOLLËS
Shembull.1 x+c
y = na + b x2
x y = a x +b x2Shenjat3e
Të +c x
2 2
x y = a dhëna periudhë
x + b x3+c x X2
x4
Viti
t s x1 2 X3 X4 yc
y
72 = 5a + 0b+10c y1 x1
7 = 0a +10b+0c
2001 9 -2 4 -18 -8 36 16 8.6
113 = 10a + 0b+34c /:-2 -1
2002 14 1 -14 -1 14 1 15.9
72 = 5a + 0b+10c 7 = 0a +10b+0c
72 = 5a + 0b +10c 22
2003 0 0 0 0 0 0 18.8
-56.5 2004- 0b -17c
= -5a 15 1 72 = 5a + 0b +10
1 15 (-2.2)
1 7 150 18.8 +10b+0
= 1 17.3 (-2.2)
2005
15.5 = -7c 12 2 4 24 8 48 16 11.4
72 0 -a = 10 7 0 7 = 0 +10b+0
113 34 -
c=
-a = -18.8 / (-1)
c = - 2.2 -b= / (-1) 27
a = 18.8
b = 0.7
29. Në bazë të të dhënave të gjindet mesatarja aritmetike, moda e serisë, të bëhet llogaritja e
sakt e asimetrisë(momenti i tretë), devijimi standard dhe të bëhet paraqitja grafike, grupi prej
40 studentëve ka arritur këtë sukses.
Numri i
Notat studentëv fi (x- fi (x-
e fi xi x-x (x-x)2 (x-x)3
(x) x) 2
x) 2
(y)
5 5 (fm1)
25 -2.35 5.52 -12.97 27.6 -64.85
6 12 72 -1.35 1.82 -2.45 21.84 -29.4
7 6 (fm2)
42 -0.35 0.12 -0.042 0.72 -0.252
8 4 32 0.65 0.42 0.273 1.68 28.39
9 7 63 1.65 2.72 4.488 19.04 31.41
10 6 60 2.65 7.02 18.603 42.12 111.6
40 294 0.9 17.62 7.092 113 76.89
x y = fi
xi Mesatarja aritmetike
5 5 = 25
6 12 = 72 MODA
7 6 = 42
8 4 = 32
9 7 = 63
Mo = 6+0
10 6 = 60
Mo = Mo 3.23
(x – x)2
(-2.35) (-2.35) = 5.52 (x – x)3
x-x 5.52 (-2.35) = -12.97
5 - 7.35 = -2.35 (-1.35) (-1.35) = 1.82
(-0.35) (-0.35) = 0.12 1.82 (-1.35) = -2.45
6 - 7.35 = -1.35
0.65 0.65 = 0.42 0.12 (-0.35) = -0.042
7 - 7.35 = -0.35
1.65 1.65 = 2.72 0.42 0.65 = 0.273
8 - 7.35 = 0.65
2.65 2.65 = 7.02 2.72 1.65 = 4.488
9 - 7.35 = 1.65
VARIANCA
10 - 7.35 = 2.65 7.02 2.65 = 18.603
fi (x – x)3
fi (x – x)2 5 (-12.97) = -64.85
5 5.52 = 27.6 12 (-2.45) = -29.4
12 1.82 = 21.84
2 6 (-0.042) = -0.252 DEVIJIMI STANDARD
6 0.12 = 0.72 4
=
0.273 = 28.39
4
7
0.42 = 1.08
2.72 = 19.04
7
6
4.488 = 31.41
18.603 = 111.6
=
6 7.02 = 42.12
2 = 1.68 29
= 2.825
30. a3 =
3
m =
=1.92
3
m = 1.92
a3
a3= 0.40
Nr i studenteve
15
10
5
5 6 7 8 9
Fig.2 Paraqitja grafike
30
31. PYETJE DHE DETYRA
1.Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?
x f x f x-ẋ (x - ẋ) 2 f (x - ẋ) 2
32 12 384 32- 32.25 = 0.0625 0.75
-0.25
25 11 275 25 - 32.25 = 52.5625 578.188
-7.25
38 9 342 38 - 32.25 = 33.0625 297.563
5.75
36 8 288 36 - 32.25 = 14.0625 112.5
3.75
40 1289 2 99.75 989
MESATARJA ARITMETIKE VARIANCA DEVIJIMI STANDARD DISPERZIONI KOEFICIENTI I VARIACIONIT
2. Të gjindet varijanca, devijimi standard, disperzioni dhe koeficienti i variancës?
x f x f x-ẋ (x - ẋ) 2 f (x - ẋ) 2
25 12 300 -4.4 19.36 232.32
32 11 352 2.6 6.76 74.36
29 9 261 -0.4 0.16 1.44
33 8 264 3.6 12.96 103.68
40 1177 1.4 39.24 411.8
MESATARJA AJITMETIKE VARIANCA DEVIJIMI STANDARD DISPERZIONI KOEFICIENTI I VARIACIONIT
3. Të bëhet llogaritja e vlerave të produkteve të dhëna në tabelë, të llogariten indekset
individuale të vlerës sipas produkteve dhe të llogariten indekset grupor për katër produktet.
31
32. Produktet e realizuara Çmimet në kg
Produktet 2008 2009 2008 2009
q0 q1 p0 p1
A 50 60 80 90
B 60 55 50 60
C 60 55 50 60
2008 2009 2008 2008 2009
Produktet p1 q0 q1 p0 P1
q0 q1 p0 q0 q1
A 4500 3000 4800 4000 5400
B 3600 3300 2750 3000 3300
C 3600 3300 2750 3000 3300
11700 9600 10300 10000 12000
Indeksi i Laspajerit
32
33. 4.Në bazë të të dhënave të gjindet mesorja dhe moda?
Nr i Mesi i
Paga (xi) punëtorëve Kumulativi intervalit ẋ fi
(fi) (ẋ)
Deri 3000 4 4 3000 12000
3000 – 5000 fm1 5 9 Ë1 4000 20000
5000 – 7000 fm2 7 16 ë2 6000 42000
X1 x2
7000 – 9000 fm3 3 19 8000 24000
9000 - 11000 6 25 10000 60000
Gjithsejt 25 158000
Mesi i intervalit
ẋ= = 4000
ẋ= = 6000
ẋ= = 8000
ẋ= = 10000
MODA
MESORJA
33
34. 5.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja grafike ?
Shenjat yc
Të dhënat
e
(investime
Viti periudhë x xi 2
t) yi
s xi
2004 35 0 0 0 34.8
2005 40 1 40 1 37.8
2006 38 2 76 4 40.8
2007 42 3 126 9 43.8
2008 49 4 196 16 46.8
204 10 438 30
n - numri i viteve
y = na + b x 204 = 5a + 10b yc = a + bx
x y=a x+b x2
204 = 5a 10 3 yc = 8.8 3 0 = 34.8
204 = 5a + 10b
204 = 5a + 30 yc = 8.8 3 1 = 37.8
438 = 10a + 30b /: -2
a= yc = 8.8 3 2 = 40.8
-15 = 0 - 5b
yc = 8.8 3 3 = 43.8
a=
-b = / (-1) yc = 8.8 3 4 = 46.8
a = 34.8
b=3
dukuria
35
trendi
30
25
20
15
10
5
2001 2002 2003 2004 2005
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit linear
34
35. 6.Në bazë të të dhënave në vijim të llogaritet trendi linear dhe të bëhet paraqitja
grafike ?
Të Shenjat e
dhëna periudhë X2
Viti
t s x x2 X3 X4 yc
y
yi xi
2004 8 -2 -16 4 -8 16 32 7.4
2005 12 -1 -12 1 -1 1 12 15.2
2006 22 0 0 0 0 0 0 18.6
2007 11 1 11 1 1 1 11 19.6
2008 7 2 14 4 8 16 28 18.2
60 0 -3 10 0 34 83 78.6
y = na + b x+c x2 60 = 5a + 0+10c -3 = 0 +10b+0
2
x y = a x +b x +c 60 = 5a + 10 (-2.6) -3 = 10b
x3
x2 y = a x2 + b x3+c 60 = 5a - 26
b=
x4
60 = 5a + 0+10c
-a = b = - 0.3
-3 = 0 +10b+0
83= 10a + 0b+34c /:-2 -a = -17.2 / (-1)
60 = 5a + 0 +10c
-41.5 = -5a - 0 -17c a = 17.2
18.5 = -7c
c=
c = -2.6 yc/2005 = 17.2+0 (-0.3) (-2.6) 0
yc= a + bx-cx2 yc/2005 = 17.2
yc/2004 = 17.2+ (-2) (-0.3) (-2.6) yc/2007 = 17.2+1 (-0.3) (-2.6) 1
yc/2007 = 17.2– 0.3 – 2.6
4
yc/2007 = 14.3
yc/2004 = 17.2+0.6-10.4
yc/2008 = 17.2+ 2 (-0.3) (-2.6) 4
yc/2004 = 7.4
yc/2008 = 17.2–0.6– 10.4
yc/2006 = 17.2+(-1) (-0.3) (-2.6)
yc/2008 = 6.2
1
yc/2006 = 17.2+0.3 2.6
yc/2006 = 14.9
35
36. 25
20
15
Te dhenat
10 Trendi i parabolles
5
2001 2002 2003 2004 2005
Fig.2 Paraqitja grafike e trendit te parabolles
36
37. Metoda e trendit- Trendiështë tendenca zhvillimore e dukurisë në kuadër të periudhës së
vështruar.
Trendi shpreh nivelin mesatar të ecurisë së dukurisë për periudhën e vrojtuar
Vija e trendit duhet të eliminoj variacionet nga seria kohore dhe të shpreh lëvizjen mesatare,
gjegjësisht tendencën e përgjithshme të zhvillimit të dukurisë
Modeli i trendit shprehet përmes funksionit të caktuar matematikor dhe mund të jetë
linear,parabollikdhe eksponencial .
Trendi lineari përgjigjet më së miri të dhënave ku dallimet në mes të anëtarëve të serisë janë
përafërsisht të barabartë.
Yc= a + bx
Trendi i parabollëszgjedhet atëherë nëse vlerat absolute të ndryshimeve të dyta (ndryshimet e
ndryshimeve të para) janë përafërsisht të barabarta. Funksioni i tij është:
Yc = a+bx+cx2
TRENDI I PARABOLLËS
TRENDI I PARABOLLES- Y=a+bx+cx2.
Mirepo per ti tjeshtuar llogaritjet kemi edhe metoden me thjseshtime ku periudha 0 gjindet ne
mes te seris kohore. Dhe athere kemi te bejem me gjetjen e parametrave ne menyre direkte.
Meqe ne fillim kur te caktohet se cillin
37