Universidad San Sebastián
Facultad de Ingeniería y Tecnología
Prueba Solemne nº 2
Fundamentos de Ciencias de la Computació...
ሺ5ሻ en ሺ3ሻ:
ܺଷ = 0∗
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ሺ7ሻ en ሺ8ሻ:
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c. (12 puntos) Obtenga la GR que genera el lenguaje aceptado.
‫ܩ‬ = ሺΣ, N, P, Sሻ:
Σ = ሼ0, 1ሽ
N = ሼA, B, C, Dሽ
P = ሼA → 0A ...
ߜሺ‫,ܤ‬ 0ሻ = ሼ5, 20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ3, 4, 5, 6, 8, 9, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23ሽ = ‫ܦ‬
ߜሺ‫,ܤ‬ 1ሻ = ሼ7, 10, 18, 24ሽ ‫ܥ‬ ...
Así, el AFD mínimo reconocedor del lenguaje dado por la ER es:
Obtención del AF para G:
Obtención del AFD equivalente:
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Minimización del AFD:
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  1. 1. Universidad San Sebastián Facultad de Ingeniería y Tecnología Prueba Solemne nº 2 Fundamentos de Ciencias de la Computación 1. Considere el AF de la figura: a. (40 puntos) Resuelva el sistema de ecuaciones lineales y muestre la ER del lenguaje aceptado. ܺଵ = ܺଵ0 + ܺଶ∅ + ܺଷ∅ + ܺସ∅ + ߝ ܺଶ = ܺଵ10 + ܺଶ0 + ܺଷ1 + ܺସ∅ ܺଷ = ܺଵ1 + ܺଶ0 + ܺଷ∅ + ܺସ∅ ܺସ = ܺଵ∅ + ܺଶ1 + ܺଷ∅ + ܺସሺ0 + 1ሻ ܺଵ = ܺଵ0 + ߝ ሺ1ሻ ܺଶ = ܺଵ10 + ܺଶ0 + ܺଷ1 ሺ2ሻ ܺଷ = ܺଵ1 + ܺଶ0 ሺ3ሻ ܺସ = ܺଶ1 + ܺସሺ0 + 1ሻ ሺ4ሻ Arden ሺ1ሻ: ܺଵ = ߝ0∗ = 0∗ ሺ5ሻ ሺ5ሻ en ሺ2ሻ: ܺଶ = 0∗ 10 + ܺଶ0 + ܺଷ1 ሺ6ሻ Arden ሺ6ሻ: ܺଶ = ሺ0∗ 10 + ܺଷ1ሻ0∗ ܺଶ = 0∗ 100∗ + ܺଷ10∗ ሺ7ሻ
  2. 2. ሺ5ሻ en ሺ3ሻ: ܺଷ = 0∗ 1 + ܺଶ0 ሺ8ሻ ሺ7ሻ en ሺ8ሻ: ܺଷ = 0∗ 1 + ሺ0∗ 100∗ + ܺଷ10∗ሻ0 ܺଷ = 0∗ 1 + 0∗ 100∗ 0 + ܺଷ10∗ 0 ܺଷ = 0∗ 1ሺߝ + 00∗ 0ሻ + ܺଷ10∗ 0 ሺ9ሻ Arden ሺ9ሻ: ܺଷ = 0∗ 1ሺߝ + 00∗ 0ሻሺ10∗ 0ሻ∗ ሺ10ሻ ሺ10ሻ en ሺ7ሻ: ܺଶ = 0∗ 100∗ + 0∗ 1ሺߝ + 00∗ 0ሻሺ10∗ 0ሻ∗ 10∗ ܺଶ = 0∗ 1ሾ00∗ + ሺߝ + 00∗ 0ሻሺ10∗ 0ሻ∗ 10∗ሿ ሺ11ሻ Arden ሺ4ሻ: ܺସ = ܺଶ1ሺ0 + 1ሻ∗ ሺ12ሻ ሺ11ሻ en ሺ12ሻ: ܺସ = 0∗ 1ሾ00∗ + ሺߝ + 00∗ 0ሻሺ10∗ 0ሻ∗ 10∗ሿ1ሺ0 + 1ሻ∗ ሺ13ሻ Así, la solución del sistema de ecuaciones lineales es: ܺଵ = 0∗ ܺଶ = 0∗ 1ሾ00∗ + ሺߝ + 00∗ 0ሻሺ10∗ 0ሻ∗ 10∗ሿ ܺଷ = 0∗ 1ሺߝ + 00∗ 0ሻሺ10∗ 0ሻ∗ ܺସ = 0∗ 1ሾ00∗ + ሺߝ + 00∗ 0ሻሺ10∗ 0ሻ∗ 10∗ሿ1ሺ0 + 1ሻ∗ La ER solicitada es ‫ܴܧ‬ = ܺସ = 0∗ 1ሾ00∗ + ሺߝ + 00∗ 0ሻሺ10∗ 0ሻ∗ 10∗ሿ1ሺ0 + 1ሻ∗ b. (20 puntos) Calcule el coeficiente ܴଷସ ଶ del método recursivo para obtener la ER a partir de un AF. ܴଷସ ଶ = ܴଷସ ଵ + ܴଷଶ ଵ ሺܴଶଶ ଵ ሻ∗ ܴଶସ ଵ = ∅ + 1ሺ0 + ߝሻ∗ 1 = 10∗ 1 ܴଷସ ଵ = ܴଷସ ଴ + ܴଷଵ ଴ ሺܴଵଵ ଴ ሻ∗ ܴଵସ ଴ = ∅ + ∅ሺ0 + ߝሻ∗ ∅ = ∅ ܴଷଶ ଵ = ܴଷଶ ଴ + ܴଷଵ ଴ ሺܴଵଵ ଴ ሻ∗ ܴଵଶ ଴ = 1 + ∅ሺ0 + ߝሻ∗ 10 = 1 ܴଶଶ ଵ = ܴଶଶ ଴ + ܴଶଵ ଴ ሺܴଵଵ ଴ ሻ∗ ܴଵଶ ଴ = 0 + ߝ + ∅ሺ0 + ߝሻ∗ 10 = 0 + ߝ ܴଶସ ଵ = ܴଶସ ଴ + ܴଶଵ ଴ ሺܴଵଵ ଴ ሻ∗ ܴଵସ ଴ = 1 + ∅ሺ0 + ߝሻ∗ ∅ = 1 ܴଷସ ଴ = ∅ ܴଷଵ ଴ = ∅ ܴଵଵ ଴ = 0 + ߝ ܴଵସ ଴ = ∅ ܴଷଶ ଴ = 1 ܴଵଶ ଴ = 10 ܴଶଶ ଴ = 0 + ߝ ܴଶଵ ଴ = ∅ ܴଶସ ଴ = 1
  3. 3. c. (12 puntos) Obtenga la GR que genera el lenguaje aceptado. ‫ܩ‬ = ሺΣ, N, P, Sሻ: Σ = ሼ0, 1ሽ N = ሼA, B, C, Dሽ P = ሼA → 0A | 10B | 1C, B → 0B | 0C | 1D | 1, C → 1B, D → 0D | 1D | 0 | 1ሽ S = A 2. (103 puntos) Se puede demostrar que dos lenguajes son equivalentes si sus AFDs mínimos reconocedores son idénticos (salvo el nombre de los estados). Pruebe que los lenguajes dados por la ER 0ሺ0 + 1ሻ∗ 10 + 1∗ሺ0 + 1ሻ∗ 010 y la gramática G son equivalentes, con ‫ܩ‬ = ሺΣ, N, P, Sሻ: Σ = ሼ0, 1ሽ N = ሼA, B, C, Dሽ P = ሼA → 0B | 1A, B → 0B | 1C, C → 0D | 1A | 0, D → 0B | 1Cሽ S = A Indicación: NO ES NECESARIO que muestre el desarrollo del método de Thompson. Basta con el AFND resultante. Obtención del AFND para la ER: Obtención del AFD equivalente: ‫ܥ‬ − ߝሺሼ0ሽሻ = ሼ0, 1, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 22ሽ = ‫ܣ‬ ߜሺ‫,ܣ‬ 0ሻ = ሼ2, 20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ2, 3, 4, 6, 9, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23ሽ = ‫ܤ‬ ߜሺ‫,ܣ‬ 1ሻ = ሼ14, 18ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22ሽ = ‫ܥ‬
  4. 4. ߜሺ‫,ܤ‬ 0ሻ = ሼ5, 20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ3, 4, 5, 6, 8, 9, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23ሽ = ‫ܦ‬ ߜሺ‫,ܤ‬ 1ሻ = ሼ7, 10, 18, 24ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 24ሽ = ‫ܧ‬ ߜሺ‫,ܥ‬ 0ሻ = ሼ20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ16, 17, 19, 20, 21, 22, 23ሽ = ‫ܨ‬ ߜሺ‫,ܥ‬ 1ሻ = ሼ14, 18ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܥ‬ ߜሺ‫,ܦ‬ 0ሻ = ሼ5, 20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܦ‬ ߜሺ‫,ܦ‬ 1ሻ = ሼ7, 10, 18, 24ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܧ‬ ߜሺ‫,ܧ‬ 0ሻ = ሼ5, 11, 20, 23, 25ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26ሽ = ‫ܩ‬ ∈ ‫ܨ‬ ߜሺ‫,ܧ‬ 1ሻ = ሼ7, 10, 18ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 19, 21, 22ሽ = ‫ܪ‬ ߜሺ‫,ܨ‬ 0ሻ = ሼ20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܨ‬ ߜሺ‫,ܨ‬ 1ሻ = ሼ18, 24ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ16, 17, 18, 19, 21, 22, 24ሽ = ‫ܫ‬ ߜሺ‫,ܩ‬ 0ሻ = ሼ5, 20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܦ‬ ߜሺ‫,ܩ‬ 1ሻ = ሼ7, 10, 18, 24ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܧ‬ ߜሺ‫,ܪ‬ 0ሻ = ሼ5, 20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܦ‬ ߜሺ‫,ܪ‬ 1ሻ = ሼ7, 10, 18ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܪ‬ ߜሺ‫,ܫ‬ 0ሻ = ሼ20, 23, 25ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26ሽ = ‫ܬ‬ ∈ ‫ܨ‬ ߜሺ‫,ܫ‬ 1ሻ = ሼ18ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ሼ16, 17, 18, 19, 21, 22, ሽ = ‫ܭ‬ ߜሺ‫,ܬ‬ 0ሻ = ሼ20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܨ‬ ߜሺ‫,ܬ‬ 1ሻ = ሼ18, 24ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܫ‬ ߜሺ‫,ܭ‬ 0ሻ = ሼ20, 23ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܨ‬ ߜሺ‫,ܭ‬ 1ሻ = ሼ18ሽ ‫ܥ‬ − ߝሺ ሻ = ‫ܭ‬ Minimización del AFD: ܲ଴ = ቀ 11 ‫ܣ‬ , 11 ‫ܤ‬ , 11 ‫ܥ‬ , 11 ‫ܦ‬ , 21 ‫ܧ‬ , 11 ‫ܨ‬ , 11 ‫ܪ‬ , 21 ‫ܫ‬ , 11 ‫ܭ‬ ቁ 1 ൬ 11 ‫ܩ‬ , 11 ‫ܬ‬ ൰ 2 ܲଵ = ቀ 11 ‫ܣ‬ , 12 ‫ܤ‬ , 11 ‫ܥ‬ , 12 ‫ܦ‬ , 12 ‫ܨ‬ , 11 ‫ܪ‬ , 11 ‫ܭ‬ ቁ 1 ቀ 31 ‫ܧ‬ , 31 ‫ܫ‬ ቁ 2 ൬ 12 ‫ܩ‬ , 12 ‫ܬ‬ ൰ 3 ܲଶ = ቀ 21 ‫ܣ‬ , 21 ‫ܥ‬ , 21 ‫ܪ‬ , 21 ‫ܭ‬ ቁ 1 ቀ 23 ‫ܤ‬ , 23 ‫ܦ‬ , 23 ‫ܨ‬ ቁ 2 ቀ 41 ‫ܧ‬ , 41 ‫ܫ‬ ቁ 3 ൬ 23 ‫ܩ‬ , 23 ‫ܬ‬ ൰ 4 ܲଷ = ܲଶ ∴ ‫ܣ‬ ≡ ‫ܥ‬ ≡ ‫ܪ‬ ≡ ‫,ܭ‬ ‫ܤ‬ ≡ ‫ܦ‬ ≡ ‫,ܨ‬ ‫ܧ‬ ≡ ‫,ܫ‬ ‫ܩ‬ ≡ ‫ܬ‬
  5. 5. Así, el AFD mínimo reconocedor del lenguaje dado por la ER es: Obtención del AF para G: Obtención del AFD equivalente: ሼ‫ܣ‬ሽ = ‫ݍ‬଴ ߜሺ‫ݍ‬଴, 0ሻ = ሼ‫ܤ‬ሽ = ‫ݍ‬ଵ ߜሺ‫ݍ‬଴, 1ሻ = ሼ‫ܣ‬ሽ = ‫ݍ‬଴ ߜሺ‫ݍ‬ଵ, 0ሻ = ሼ‫ܤ‬ሽ = ‫ݍ‬ଵ ߜሺ‫ݍ‬ଵ, 1ሻ = ሼ‫ܥ‬ሽ = ‫ݍ‬ଶ ߜሺ‫ݍ‬ଶ, 0ሻ = ሼ‫,ܦ‬ ‫ܧ‬ሽ = ‫ݍ‬ଷ ߜሺ‫ݍ‬ଶ, 1ሻ = ሼ‫ܣ‬ሽ = ‫ݍ‬଴ ߜሺ‫ݍ‬ଷ, 0ሻ = ሼ‫ܤ‬ሽ = ‫ݍ‬ଵ ߜሺ‫ݍ‬ଷ, 1ሻ = ሼ‫ܥ‬ሽ = ‫ݍ‬ଶ
  6. 6. Minimización del AFD: ܲ଴ = ൬ 11 ‫ݍ‬଴ , 11 ‫ݍ‬ଵ , 21 ‫ݍ‬ଶ ൰ 1 ሺ‫ݍ‬ଷሻ 2 ܲଵ = ൬ 11 ‫ݍ‬଴ , 12 ‫ݍ‬ଵ ൰ 1 ሺ‫ݍ‬ଶሻ 2 ሺ‫ݍ‬ଷሻ 3 ܲଶ = ሺ‫ݍ‬଴ሻሺ‫ݍ‬ଵሻሺ‫ݍ‬ଶሻሺ‫ݍ‬ଷሻ Así, el AFD obtenido es mínimo y es: Como los AFDs mínimos obtenidos para G y para la ER son idénticos (salvo los nombres de los estados), se puede decir que G y la ER son equivalentes.

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