3. Substitusi dalam ‘integral tak tentu’
Teorema
Jika u = g(x) yang didefinisikan pada interval I mempunyai
invers x = g –1(u) dan fungsi-fungsi g dan g –1 keduanya
mempunyai derivatif yang kontinu pada intervalnya masing-
masing, dan f kontinu pada interval di mana g –1 didefinisikan,
maka ∫ f{g(x )}g '(x) dx =∫ f(u) du
4. Tentukan
Perhatikan integral tersebut sejenak. Anda akan teringat pada bentuk baku
𝑠𝑒𝑐2
𝑢 𝑑𝑢. Andaikan 𝑢 = 𝑥2
, 𝑑𝑢 = 2𝑥. Maka:
2 2 2 2
1 1
.2
cos ( ) 2 cos
x
dx xdx
x x
2
2
1
sec
2
1
tan
2
1
tanx
2
udu
u C
C
5. Mengubah – ubah ‘integran’
sebelum menggunakan sesuatu subtitusi, kerapkali kita perlu menulis integran dalam
bentuk yang lebih cocok
Penyelesaian. Suatu integran yang penyebutnya suatu kuadrat kerap kali dapat diubah
menjadi bentuk baku setelah melengkapnya menjadi sebuah kuadrat. Ingat bahwa 𝑥2 + 𝑏𝑥
menjadi suatu kuadrat dengan menambahkan ( 𝑏
2)^2
Tentukan 2
7
6 25
dx
x x
2 2
7 7
6 25 6 9 16
dx dx
x x x x
2 2
1
1
7 ( 3)
( 3) 4
7 3
tan ( )
4 4
d x dx
x
x
C
6. Subtitusi dalam ‘integral tentu’
Tentukan
5
2
2
4t t dt
Penyelesaian. Andaikan = 𝑡2
− 4 , dengan demikian 𝑑𝑢 = 2𝑡 𝑑𝑡. Perhatikan
bahwa u=0 jika t = 2 dan u=21 jika t = 5. Jadi,
5 5
1
2 2 2
2 2
1
4 ( 4) (2 )
2
t t dt t tdt
21
1
2
0
21
31
2 2
0
1
2
1 1
(21)
3 3
u du
u
7. Integral Trigonometri
1. sin , cosn n
xdx dan xdx
2. sin xcosm n
xdx
3. tan , cotn n
xdx dan xdx
4. tan sec , cot cscm n m n
x xdx dan x xdx
5. sinm cos , sinm cos , cos sinx nxdx x nxdx mx nxdx
8. Subtitusi yang ‘merasionalkan’
INTEGRAL YANG MEMUAT n
ax b apabila dalam integran ada bentuk
n
ax b , subtitusi n
u ax b , dapat merasionalkan integran
Tentukan
dx
x x
Penyelesaian. Andaikan 𝑢 = √𝑥; maka 𝑢2
= 𝑥 dan 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Sehingga:
2 2 2
2 1 1
2 2 ( 1)
1 1
dx u
du du d u
u u u ux x
2ln 1 2ln 1u C x C
9. INTEGRAN YANG MENGANDUNG 2 2 2 2 2 2
,a x a x dan x a untuk
merasionalkan bentuk akar – akar tersebut kita gunakan masing – masing subtitusi
berikut:
1. 𝑥 = 𝑎 sin 𝑡
2. 𝑥 = 𝑎 tan 𝑡
3. 𝑥 = 𝑎 sec 𝑡
Untuk melihat akibat subtitusi tersebut, perhatikan bahwa:
1. 𝑎2
− 𝑥2
= 𝑎2
− 𝑎2
𝑠𝑖𝑛2
𝑡 = 𝑎2
1 − 𝑠𝑖𝑛2
𝑡) = 𝑎2
𝑐𝑜𝑠2
𝑡;
2. 𝑎2
+ 𝑥2
= 𝑎2
+ 𝑎2
𝑡𝑎𝑛2
𝑡 = 𝑎2
1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑡) = 𝑎2
𝑠𝑒𝑐2
𝑡;
3. 𝑥2
− 𝑎2
= 𝑎2
𝑠𝑒𝑐2
𝑡 − 𝑎2
= 𝑎2
𝑠𝑒𝑐2
𝑡 − 1) = 𝑎2
𝑡𝑎𝑛2
𝑡;
Apabila daerah asal kita batasi sedemikian rupa sehingga subtitusi, maka:
2 2
2 2
2 2
cos cos , ( 2 );
2
sec sec , ( 2 );
2
tan tan , 0 , );
2
a x a t a t sebab t
a x a t a t sebab t
x a a t a t sebab t t
10. Tentukan 2 2
a x
Penyelesaian. Kita gunakan subtitusi
sin ,
2 2
x a t t
Maka 𝑑𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 𝑑𝑡 dan √𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎 cos 𝑡 sehingga
2 2 2 2
cos .. cos cosa x dx a t a tdt a
2
2
2
1 cos 2
2
1
sin 2
2 2
sin cos
2
a
t dt
a
t t C
a
t t t C
11. Lanjutan….
Oleh karena 𝑥 = 𝑎 sin 𝑡kivalen dengan 𝑥
𝑎 = sin 𝑡 dan oleh karena selang t kita
batasi sehingga memiliki invers, maka:
1
sin
x
t
a
Juga dengan sebuah kesamaan maka:
2
1 2 2
2
1
cos cos sin 1
x x
t a x
a a a
12. Lanjutan…
Ini dapat pula dilihat pada gambar sehingga
x a
√𝑎2 − 𝑥2
𝑥 = 𝑎 sin 𝑡
2
2 2 1 2 2
sin
2 2
a x x
a x dx a x C
a
MELENGKAPAN MENJADI KUADRAT SEMPURNA. Apabila sebuah bentuk
kuadrat 𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶 muncul dibawah akar dalam integran, kita dapat
melengkapannya menjadi kuadrat sebelum kita menggunakan subtitusi geometri.
