T. Masrour - cours dynamique des systèmes - vibrations - chapitre1-1ddl chapitre2-n ddl(2)

1. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (1)
Équations de Lagrange
Si l’on choisit q i , i = 1,..., n
comme coordonnées généralisées, on peut définir pour un
système linéaire à n degrés de liberté : n
n
L’énergie potentielle :
L’énergie cinétique :
L’énergie de dissipation :
Ep =
1
2
Ec =
∑∑ k q q
ij i
où k ij = k ji
j
i =1 j=1
n n
1
2
 
où m
∑∑ m q q
1
 
E = ∑∑ c q q
2
ij i
j
i =1 j=1
n
ij
= m ji
n
d
ij i
j
où c ij = c ji
i =1 j=1
Les équations de Lagrange s’écrivent alors :
d  ∂E c

dt  ∂q i
 
 ∂E c ∂E d ∂E p
−
 ∂q + ∂q + ∂q = f i
i
i
i

Les seconds membres représentent les forces généralisées autres que celles dérivant du potentiel
n
n
Ep , et telles que le travail global des forces extérieures s’écrive :
dW =
∑
i =1
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f i dq i soit
dW
=
dt

∑f q
i i
i =1
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2. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (2)
Remarque : 1. Pour calculer les dérivées
les variables

q i et q i
sont supposées indépendantes entre elles et ne sont pas fonctions du temps
2. Quant au calcul des dérivées
les variables

q i et q i
∂E c ∂E c
et
i
∂q
∂q i
d  ∂E c

dt  ∂q i
 




doivent être considérées comme fonctions du temps
Applications. En appliquant les équations de Lagrange, on obtient n équations linéaires caractérisant
l’état vibratoire du système :
n
∑ m q
ij j

+m ijq j + k ijq j = f i
( i = 1;....; n )
j=1
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3. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (3)
Dans le cas d’un système en vibrations libres et dissipatif, on obtient
n
∑ m q
ij j

+m ijq j + k ijq j = 0
( i = 1;....; n )
j=1
On cherche un vecteur solutions sous la
forme :
q i = a i e jω t
( i = 1;....; n )
Obtenant ainsi un système de n équations algébriques
linéaires et homogènes par rapport aux coeff ai
∑ (k
n
j=1
ij
)
− m ijω2 a j = 0
( i = 1;....; n )
Système qui n’admet de solution non triviale que si le déterminant
est non nul çad :
K − Mω 2 = 0
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4. Système à n deg de liberté : équations de Lagrange (4)
L’équation d’annulation du déterminant est une équation de degré n en le carré de la fréquence (appelée
équation caractéristique du système.
Sa résolution donne les pulsations propres en nombre au plus égal à n !!!!
Les oscillations correspondant à ces différentes pulsations sont appelées les modes propres ou
fondamentaux du système.
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5. Exemple triple pendule.
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6. Exemple triple pendule (2)
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7. Système à 2 (n) degrés de liberté
- Méthode de la base modale Une des méthodes élégantes de résolution d'un système a n degrés de
liberté est la méthode de la base modale qui consiste a ramener le
problème de n ddl couplés, a un ensemble de systèmes a 1 ddl découplés
–
–
en normalisant l'équation du mouvement par rapport a la masse.
en réalisent une transformation de coordonnées pour se placer dans la base modale
ou les équations du mouvement sont découples.
Soit le système à n degrés de liberté écrit sous sa forme matricielle
dont on veut déterminer la réponse libre pour les conditions
initiales :
La première étape consiste a normaliser la matrice masse. En utilisant le changement de
variable
et en multipliant le système d'équations du mouvement par
On remarque alors que :
Finalement, le système peut s‘écrire :
Les conditions initiales se réécrivent :
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8. n degrés de liberté : « cadre générale »
Soit le système à n degrés de liberté. En générale
l’équation du mouvement s’écrit sous la forme
matricielle suivante:
1) Vibrations libre non amorties
1.1) Méthode générale
..
 
. 
 
 
 
 
[M ] +[C ] +[ K ]{q} ={F (t )}
q
q
 
 
[ M ] q  + [ K ]{ q} = { 0}
 
..
 
Découpler les équations par un changement de base.
M symétrique définie positive  M est inversible. Alors on peut écrire
[ M ] − 1[ K ]
.. 
 
−1
q  +[ M] [ K ]{q} = {0}
 
 
est en générale non symétrique  Recherche des valeurs propres et vecteurs propres
M est symétrique et définie positive  il existe une base de vecteurs propres φi
il existe aussi n valeurs propres >=0
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