1. Esimerkki
Tutki missä funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 on
kasvava ja missä vähenevä.
Päättele edelleen kumpi arvoista f(2,00001) vai
f(2,000001) on suurempi.

2. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.

3. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan

4. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4

5. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)

6. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0

7. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.

8. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)

9. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
−8 ± 64 − 48
=
−6

10. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
−8 ± 64 − 48
=
−6
−8 ± 4
=
−6

11. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
−8 ± 64 − 48
=
−6
−8 ± 4
=
−6

12. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
−8 ± 64 − 48
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3

13. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
−8 ± 64 − 48
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio

14. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
−8 ± 64 − 48
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli

15. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
−8 ± 64 − 48
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli

16. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
f’(x)

17. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
f’(x)
f(x)

18. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
2
3
f’(x)
f(x)

19. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
2
3 2
f’(x)
f(x)

20. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
f’(x)
f(x)

21. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
f’(x)
f(x)

22. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
f’(x)
–
f(x)

23. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x)
–
f(x)

24. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x)
– –
f(x)

25. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x) –
– –
f(x)

26. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x) – +
– –
f(x)

27. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x) – + –
– –
f(x)

28. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x) – + –
– –
f(x)

29. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x) – + –
– –
f(x)

30. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x) – + –
– –
f(x)

31. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x) – + –
– –
f(x)
Funktio on vähenevä, kun x ≤ 2/3 tai x ≥ 2. Ja kasvava, kun 2/3 ≤ x ≤ 2.

32. Pitää tutkia funktion f(x) = –x3 + 4x2 – 4x + 5 kulkua.
1. Derivoidaan
f’(x) = –3x3 – 1 + 4 • 2x – 4 • 1 + 0 = –3x2 + 8x – 4
2. Lasketaan derivaatan nollakohdat (näissä kohdissa voi vaihtaa kulkusuuntaa)
–3x2 + 8x – 4 = 0 Täydellinen toisen asteen yhtälö: ratkaisukaavaan a = –3, b = 8 ja c = –4.
−8 ± 82 − 4 · (−3) · (−4)
x=
2 · (−3)
√
64 − 48
−8 ±
=
−6
−8 ± 4 2
= x = 2 tai x =
−6 3
3. Tehdään kulkukaavio
Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli
Tutkitaan derivaatan f’(x) merkki ja täydennetään sen perusteella funktion f(x) kulku
2
3 2
+
f’(x) – + –
– –
f(x)
Funktio on vähenevä, kun x ≤ 2/3 tai x ≥ 2. Ja kasvava, kun 2/3 ≤ x ≤ 2.
Koska funktion on vähenevä, kun x ≥ 2, on f(2,00001) on suurempi kuin f(2,000001).

33. 5
-5 0 5 10

34. 5
-5 0 5 10

35. 5
-5 0 5 10

36. 5
-5 0 5 10

37. 5
-5 0 5 10
2
3

38. 5
-5 0 5 10
2
3

39. 5
-5 0 5 10
2
2
3

40. 5
-5 0 5 10
2
2
3

41. 5
-5 0 5 10
2
2
3

42. 5
-5 0 5 10
2
2
3

43. 5
-5 Vähenevä 0 5 10
2
2
3

44. 5
-5 Vähenevä 0 Kasvava 5 10
2
2
3

45. 5
-5 Vähenevä 0 Kasvava Vähenevä 5 10
2
2
3