Algebra lineal
Espacios vectoriales <ul><li>Un espacio vectorial E=(V,F) </li></ul><ul><li>Es un conjunto de elementos llamados vectores ...
Espacios vectoriales <ul><li>Cada elemento dol campo es llamado un escalar </li></ul><ul><ul><li>µ(x+y)= µx+µy </li></ul><...
Espacios vectoriales <ul><li>ejemplos </li></ul>
Espacios vectoriales <ul><li>Teorema </li></ul><ul><li>0v=v0=0 </li></ul><ul><ul><li>0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 </li></...
Subespacio <ul><li>Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de...
Subespacio <ul><li>ejemplos </li></ul>
Creación de espacios <ul><li>Teorema. </li></ul><ul><ul><li>Espacio vectorial (V,F) </li></ul></ul><ul><ul><li>S subconjun...
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Dependencia e independencia lineal <ul><li>Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Si S es linealmente in...
Dependencia e independencia lineal <ul><li>Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Para mostrar si es linealmente ind...
Dependencia e independencia lineal <ul><li>Entonces ya podemos aplicar Gauss para resolver el sistema y ver su solución </...
Dependencia e independencia lineal <ul><li>Ejemplos en clase </li></ul>
Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2, ...vn} ...
Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>ejemplos de bases en diferentes espacios </li></ul>
Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>Notita. Si z es una C.L. (combinación lineal) de los vectores x 1 ,...,x r ; y xi  ...
Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son linealmente dependientes (L.D.) entonces ...
Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>La base B={v1, ..., vn} es un conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos...
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  1. 1. Algebra lineal
  2. 2. Espacios vectoriales <ul><li>Un espacio vectorial E=(V,F) </li></ul><ul><li>Es un conjunto de elementos llamados vectores sobre un campo F donde </li></ul><ul><ul><li>x+y=y+x y pertenece a V </li></ul></ul><ul><ul><li>x+(y+z)=(x+y)+z </li></ul></ul><ul><ul><li>Existe el vector 0, tal que 0+x=x+0=x </li></ul></ul><ul><ul><li>Para cada vector x existe el –x, tal que x-x=0 </li></ul></ul>
  3. 3. Espacios vectoriales <ul><li>Cada elemento dol campo es llamado un escalar </li></ul><ul><ul><li>µ(x+y)= µx+µy </li></ul></ul><ul><ul><li>µx= xµ </li></ul></ul><ul><ul><li>(µ1+ µ2)x= µ1(x)+ µ2(y) </li></ul></ul><ul><ul><li>1x=x  1 la unidad multiplicativa del campo </li></ul></ul>
  4. 4. Espacios vectoriales <ul><li>ejemplos </li></ul>
  5. 5. Espacios vectoriales <ul><li>Teorema </li></ul><ul><li>0v=v0=0 </li></ul><ul><ul><li>0v=0v+0v-0v=(0+0)v-0v=0v-0v=0 </li></ul></ul><ul><li>(-1)v=-v </li></ul><ul><ul><li>v+(-1)v=1v+(-1)v=(1-1)v=0v=0 </li></ul></ul><ul><ul><li>Agregando –v a ambos lados se tiene el resultado </li></ul></ul>
  6. 6. Subespacio <ul><li>Sea (V,F) un espacio, entonces (S,F) es un subespacio de (V,F) si preserva todas las características de espacio y S es un subconjunto de V </li></ul>
  7. 7. Subespacio <ul><li>ejemplos </li></ul>
  8. 8. Creación de espacios <ul><li>Teorema. </li></ul><ul><ul><li>Espacio vectorial (V,F) </li></ul></ul><ul><ul><li>S subconjunto de V </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Si v1,…vn están en S, entonces también  1v1+…+  nvn, donde  i son elementos del campo </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>(S,F) es un subespacio </li></ul></ul><ul><li>Demo en clase por los alumnos </li></ul>
  9. 9. Creación de espacios <ul><li>Preguntas importantes </li></ul><ul><ul><li>¿En qué condiciones dos conjuntos S1, S2 crean el mismo espacio vectorial? </li></ul></ul><ul><ul><li>¿Cúal es la cardinalidad mínima de Q  S tal que Q y S crean el mismo espacio vectorial? </li></ul></ul><ul><ul><li>¿Cúando S crea el mismo espacio que contiene a los vectores de S? </li></ul></ul>
  10. 10. Dependencia e independencia lineal <ul><li>Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. El vector y=  1v1+  2v2+...+  nvn donde los coeficientes son escalares será llamada combinación lineal de S. </li></ul>
  11. 11. Dependencia e independencia lineal <ul><li>Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. S es linealmente independiente si  1v1+  2v2+...+  nvn=0 tiene como única solución la trivial. De lo contrario se llamarán linealmente dependientes. </li></ul>
  12. 12. Dependencia e independencia lineal <ul><li>Definición. Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Si S es linealmente independiente, entonces el espacio creado por S será llamado espacio generado por S. </li></ul>
  13. 13. Dependencia e independencia lineal <ul><li>Sea S={v1,v2,...vn} un conjunto de vectores. Para mostrar si es linealmente independiente se resuelve la ecuación: </li></ul><ul><li>[v1 v2 ... vn] =0 </li></ul> 1  2 ...  n
  14. 14. Dependencia e independencia lineal <ul><li>Entonces ya podemos aplicar Gauss para resolver el sistema y ver su solución </li></ul><ul><ul><li>Si la matriz [v1 ...vn] es de rango n entonces tiene solución única </li></ul></ul><ul><ul><li>Si la matriz [v1 ... vn] es de rango menor a n, entonces tiene más de una solución. </li></ul></ul>
  15. 15. Dependencia e independencia lineal <ul><li>Ejemplos en clase </li></ul>
  16. 16. Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>Definición. Sea (V,F) un espacio vectorial, entonces el conjunto S={v1, v2, ...vn} será una base para (V,F) si S genera (V,F). </li></ul><ul><ul><li>S es linealmente independiente </li></ul></ul><ul><ul><li>S genera (V,F) </li></ul></ul>
  17. 17. Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>ejemplos de bases en diferentes espacios </li></ul>
  18. 18. Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>Notita. Si z es una C.L. (combinación lineal) de los vectores x 1 ,...,x r ; y xi es una C.L. de los vectores y 1 ,...,y s . Entonces z es una C.L. de los vectores y 1 ,...,y s . </li></ul><ul><li>z=a 1 x 1 +...+a r x r </li></ul><ul><li>z=a 1 (b 11 y 1 +...+b 1s y s )+...+a r (b r1 y 1 +...+b rs y s ) </li></ul><ul><li>Es una propiedad de transitividad </li></ul>
  19. 19. Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>Notita. Si algunos vectores x1,...,xn son linealmente dependientes (L.D.) entonces todo el sistema x 1 ,...,x n son L.D. </li></ul><ul><li>Suponer que x 1 ,...,x k (k<n) son L.D.  a 1 x 1 +...+a k x k =0 con ai diferente de nulo.  a 1 x 1 +...+a k x k +0x k+1 +...+0x n =0 es solución y el sistema es L.D. </li></ul>
  20. 20. Bases, Dimensión y coordenadas <ul><li>La base B={v1, ..., vn} es un conjunto, pero tiene un orden para facilitar trabajos futuros. </li></ul><ul><li>Representación. Un vector v se puede reescribir en términos de una base. </li></ul><ul><ul><li>v=  1 v1+  2 v2+...+  n vn, a donde </li></ul></ul>Es la representación del vector Coordenadas  1  2 ...  n

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