Matematicas i 2012

Versión de evaluación 23/04/12

Matemáticas I

TS-matematicas1.indb 1

17/04/12 16:35

Coordinación técnico-pedagógica
Dirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos,
dgme/sep
María Cristina Martínez Mercado, Gabriel Calderón López,
Alexis González Dulzaides
Autores
Diana Karina Hernández Castro, José Alfredo Rutz Machorro,
Citlali Yacapantli Servín Martínez, Eladio Escobedo Trujillo,
Francisco Ángel Vela Sánchez, Leonardo Jiménez Hernández,
Adriana Rodríguez Domínguez, Olga Leticia López Escudero,
Manuel García Minjares, Jesús Manuel Hernández Soto, Víctor Manuel
García Montes, Ana María López Avilés, Mauricio Héctor Cano Pineda,
Jesús Miguel Buendía Solorio
Revisión técnico-pedagógica
Ángel Daniel Ávila Mujica
Coordinación editorial
Dirección Editorial dgme/sep
Alejandro Portilla de Buen, Olga Correa Inostroza
Cuidado editorial
Anne Alberro Semerena
Producción editorial
Martín Aguilar Gallegos

Servicios editoriales
Rocío Mireles Gavito
Diseño y diagramación
Rocío Mireles Gavito, Bruno Contreras, Fernando Villafán
Investigación iconográfica
Cynthia Valdespino, Erandi Alvarado
Corrección de textos
Eduardo Méndez Olmedo


Matemáticas I. Telesecundaria fue elaborado por la Dirección General de Materiales Educativos (dgme) de la Subsecretaría de Educación Básica,
Secretaría de Educación Pública.

Ilustraciones
Leonardo Olguín Landa (pp. 20b, 73, 75, 83, 107, 129, 159, 169, 180,
183, 184, 185, 191c, 194, 203, 211, 212, 220, 244, 250, 259).

Créditos iconográficos
Adam Wiseman (p. 239); Bruno Contreras (pp. 27, 28, 50, 53, 57, 59,
60, 147, 191b, 214-216, 271a); Cynthia Valdespino (pp. 8, 12, 14, 63,
78, 81, 93, 96, 99, 118, 119, 131, 134, 157, 160, 164, 176, 189, 207,
227, 234); Fernando Villafán (pp. 20a, 33, 62, 67, 166, 191a, 210, 242,
278); Rocío Mireles Gavito (pp. 98, 243); iStockphoto (pp. 22, 23, 29,
66, 71, 88, 94, 101, 103, 104, 105, 124, 128, 150, 151, 162, 175, 208,
248, 249, 252, 271, 279, 282)

Primera edición, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2012

Argentina 28, Centro,

06020, México, D.F.
ISBN: 978-607-514-022-3
Impreso en México
D istribución gratuita -P rohibida su venta

TS-MATE-1-LEGAL.indd 2

25/04/12 14:44

En el marco del Acuerdo 592, por medio del cual se establece la Articulación
de la Educación Básica, así como del Acuerdo 593 que señala los programas
de estudio de la asignatura de Tecnología para la educación secundaria, la
Secretaría de Educación Pública ha consolidado una propuesta de libros de
texto, a partir de un nuevo enfoque centrado en la participación de los alumnos
en su proceso de aprendizaje y en el desarrollo de las competencias básicas
para la vida y el trabajo. Especialmente en el contexto de la Telesecundaria,
el libro de texto se complementa con las Tecnologías de la Información
y Comunicación (tic), con los objetos digitales de aprendizaje, los materiales y
equipos audiovisuales e informáticos que, junto con las bibliotecas escolares,
representan el soporte pedagógico de los niños mexicanos en su proceso de
adquisición del conocimiento escolarizado.
Esta nueva generación de libros de texto para Telesecundaria responde al
principio de mejora continua, por lo que ha puesto atención en el replanteamiento
de las cargas de contenido para centrarse en estrategias innovadoras para el
trabajo escolar, incentiva habilidades orientadas al aprovechamiento de distintas
fuentes de información, busca que los estudiantes adquieran habilidades para
aprender de manera autónoma incentivando el uso intensivo de la tecnología
informática. Asimismo, con la intención de dar continuidad a la propuesta
editorial iniciada en los libros de texto de primaria, en este libro se ha fortalecido
la línea editorial que promueve una lectura integral capaz de interpretar tanto
el discurso textual como el visual. Se ha incluido en sus páginas una muestra
representativa de géneros y técnicas plásticas, así como propuestas iconográficas
que no sólo complementan el contenido textual, sino lo enriquecen y conforman
por sí mismos una fuente de información para el alumno.
En la preparación de este libro confluyen numerosas acciones de colaboración
de organismos y profesionales, entre los que destacan asociaciones de padres
de familia, investigadores del campo de la educación, instituciones evaluadoras,
maestros, editores y expertos en diversas disciplinas. A todos ellos la Secretaría
de Educación Pública les extiende un agradecimiento por el compromiso
demostrado con cada niño residente en el territorio nacional y con aquellos
mexicanos que se encuentran fuera de él.
Secretaría de Educación Pública


Presentación institucional
Presentación

8

De fracción a número decimal

10

Secuencia 2

Fracciones y decimales en la recta

18

Secuencia 3

Sumas y restas de fracciones

26

Secuencia 4

Sucesiones de números y figuras

31

Secuencia 5

Literales en fórmulas geométricas

40

Secuencia 6

Trazo de triángulos y cuadriláteros

50

Secuencia 7

Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en los triángulos

56

Secuencia 8

Reparto proporcional

62

Secuencia 9

Bloque 2

6

Secuencia 1

Bloque 1

Conoce tu libro

Juegos de azar

68

78

Secuencia 10

Criterios de divisibilidad

80

Secuencia 11

MCD y mcm

88

Secuencia 12

Sumas con fracciones y decimales

93

Secuencia 13

Multiplicación y división con fracciones

98

Secuencia 14

Propiedades de la mediatriz y bisectriz

106

Secuencia 15

Fórmulas para calcular área y perímetro

112

Secuencia 16

Proporcionalidad directa

118


Índice

124


Bloque 3

Secuencia 17

126

Secuencia 18

División con decimales

130

Secuencia 19

Ecuaciones de primer grado

134

Secuencia 20

Construcción de polígonos regulares

142

Secuencia 21

Cálculo de área y perímetro

149

Secuencia 22

Factor de proporcionalidad

154

Secuencia 23

Registro de una experiencia aleatoria

162

Secuencia 24

Bloque 4

Multiplicación con decimales

Análisis de frecuencia absoluta y relativa

170

178

Secuencia 25

180

Secuencia 26

El círculo y cómo construirlo

189

Secuencia 27

Pi en el círculo

196

Secuencia 28

Regla de tres

203

Secuencia 29

Proporcionalidad utilizando escala

210

Secuencia 30

Problemas de conteo

214

Secuencia 31

Bloque 5

Números positivos y negativos

Tipos de gráficas

225

234

Secuencia 32

Sumas y restas con enteros

236

Secuencia 33

Notación exponencial

244

Secuencia 34

Raíz cuadrada

252

Secuencia 35

Sucesiones con progresión aritmética

262

Secuencia 36

Área y perímetro del círculo

269

Secuencia 37

Proporcionalidad múltiple

278

Hoja para las familias

284

Has estudiado Matemáticas durante toda la primaria. Ahora que inicias la secundaria, uno de los propósitos del plan de estudios es que uses lo que ya sabes para aprender los nuevos conocimientos que te serán presentados. Tu
profesor, con el apoyo de este libro y con el uso de algunos recursos tecnológicos, te ayudará a que lo logres.
Lo primero será conocer tu libro y familiarizarte con los elementos que lo forman.
Tu libro de Matemáticas consta de cinco bloques. Cada uno contiene varias secuencias de
aprendizaje. En cada secuencia estudiarás un tema del programa de Matemáticas a través de
varias sesiones. Una sesión está diseñada para que la trabajes en una clase, aunque en ocasiones será necesario que le dediques un poco más de tiempo.

Bloque 2

Bloque 1

común divisor
o el máximo
lemas utilizand
• Resolver prob ún múltiplo.
n
y el mínimo com
os que implique
lemas geométric alturas, las medianas,
las
• Resolver prob
propiedades de
gulos
el uso de las
ctrices en trián
ces y las bise
las mediatri
.
y cuadriláteros

s y viceversa.
arios a decimale
eros fraccion
esentar
• Convertir núm
ones para repr
zar las convenci
a numérica.
• Conocer y utili arios y decimales en la rect
cion
ir
números frac
figuras a part
números o de
sucesiones de
• Representar
a.
dada y vicevers
de una regla

Bloque 3
que efectuar
que se tengan
eros
lemas en los
ciones y núm
• Resolver prob
iones con frac
nes y/o divis
multiplicacio
ciones
decimales.
n el uso de ecua
ique
lemas que impl
c, donde
• Resolver prob + a = b; ax = b y ax + b =
x
s.
y/o decimale
de las formas:
eros naturales
a, b y c son núm
n el cálculo de
s que implique
encontrar
lema
fórmulas para
• Resolver prob
variables de las cuadriláteros y
las
cualquiera de
gulos,
entre
el área de trián
ión que existe
el perímetro y
. Explicar la relac
lares
polígonos regu
figuras.
el área de las
el perímetro y

TS_MAT1_B2_S10.indd 78-79

Bloque 4


Bloque 5

3/21/12 11:46 AM

cumplan con
regulares que
los y polígonos
• Construir círcu es establecidas.
cier tas condicion
cas de barras
en gráfi
ión presentada
cas para
• Leer informac
tipos de gráfi
Utilizar estos
y circulares.
mación.
comunicar infor

el uso de
que impliquen
tivos
lemas aditivos
o decimales posi
• Resolver prob
ros, fraccionarios
números ente
la raíz
y negativos.
n el cálculo de
ique
y decimales.
lemas que impl
• Resolver prob ncias de números naturales
ta del tipo
cuadrada y pote
nalidad direc
3/21/12 11:47 AM de proporcio
s
lema
o externa es
• Resolver prob en los que la razón interna
,
“valor faltante”
cionario.
un número frac



3/21/12 11:47 AM


6

3/21/12 11:47 AM

3/21/12 11:48 AM


Conoce tu libro

En cada secuencia de aprendizaje podrás encontrar los apartados siguientes:
27
cia


Autoevaluación

Pi en el círculo

Justificación de la fórmula para calcular la longitud
de la circunferencia y el área del círculo (gráfica
y algebraicamente). Explicación del número π (pi)
como la razón entre la longitud de la circunferencia
y el diámetro.

Es una actividad que te permitirá diagnosticar
y rescatar las ideas previas. Aquí se relaciona
el nuevo conocimiento que aprenderás con
algo que ya hayas estudiado.

Sesión 108

Su propósito es que valores los aprendizajes, tanto de conocimientos como de
habilidades, que desarrollaste durante la
secuencia, contestando una pregunta o
completando alguna información.

En esta sesión medirás el perímetro de una circunferencia.

 sabes tú?
¿Qué

rad

io

Observa la siguiente imagen.

B4

B1

diámetro

Sesión 111

En esta sesión encontrarás una fórmula para calcular el área de un círculo.

3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma

círculo

cir

bolsa. ¿Obtuvieron los mismos resultados?

cu
nf


Manos a la obra

er

Si algún equipo eligió la bolsa 4, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

en
cia

Lleva a cabo las siguientes actividades.


uen
S ec

 ¿Qué sabes tú?

¿Por qué consideran que se obtuvieron esos resultados?

1. Observa la imagen.
Formen parejas y propongan cómo calcular la longitud de la circunferencia (perímetro) y el área
del círculo de la imagen anterior.

Si algún equipo eligió la bolsa 2, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?

¿Qué métodos se les ocurrieron y qué resultados obtienen utilizándolos?

¿Consideran que inﬂuye el hecho de que hay igual número de canicas azules que de blancas?

Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, ¿qué color ha salido con más
196

frecuencia?



Manos a la obra
¿Qué sucede con los perímetros conforme aumenta el número de lados del polígono?

¿Y con el área?
¿Qué relación hay entre el perímetro de los polígonos y el perímetro de la circunferencia?

¿Qué relación hay entre el área de los polígonos y el área del círculo?
2. En equipos, analicen las construcciones de la sesión anterior.

200

17/04/12 16:36

17/04/12 16:36

Responde lo siguiente.
1. Describe un juego que sea de azar.

2. Si se lanza una canica por cada laberinto, ¿en cuál de ellos es más probable que salga la
canica por la salida 1?

1

2

1

a)

3

1

2 3

4

1

c)

d)

76

Es una información curiosa y a veces poco
conocida.

¿En cuántas partes es necesario dividir el ángulo B para
colocar las tres cuerdas?

¿Cuántas veces se puede dividir un ángulo?

B4
En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas circulares.

1. Resuelve lo siguiente.

a

b

C

Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con
ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de
este punto a los lados del ángulo. Mídelas.
¿Qué observas?

¿Los extremos sobre el segmento “b” quedan a la misma
distancia uno del otro?

En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las propiedades de la bisectriz que utilizaron en la solución y trazo de esta situación.
Dibujen en su cuaderno tres ángulos de diferentes tamaños y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y señalen
con color rojo las partes en las que se observen las propiedades de dicho lugar geométrico.

La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos
ángulos iguales.


Manos a la obra

También es el lugar geométrico de los puntos del plano que
están a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas
de un ángulo.

1. La siguiente información se refiere a la distribución porcentual de horas a la semana que los
integrantes del hogar de 12 y más años de edad dedican a actividades de esparcimiento.

Sólo en un triángulo equilátero la bisectriz de sus tres
ángulos internos es también la mediatriz de los lados
opuestos.

Convivencia social
Asistencia a eventos
culturales, deportivos
y de entretenimiento

Un dato interesante…
Un problema que interesó durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tres
ángulos iguales) un ángulo, utilizando sólo regla y compás. En el siglo XIX se demostró que
esto es imposible.

Deportes y ejercicio físico
Utilización de medios
masivos de comunicación

Q

P

a) Une los puntos y traza la mediatriz al segmento PQ.

b) Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con
un color los que, además de ser ejes de simetría,
también sean mediatrices de algún lado de las figuras, y con otro color los que sean bisectrices de
algún ángulo de las figuras.

c) Encuentra un punto que esté a la misma distancia
de los tres lados del siguiente triángulo (pista: recuerda que cualquier punto de la bisectriz de un
ángulo está a la misma distancia de los dos lados
que lo forman).
Sesión 98

B3

Evaluación

5. ¿En cuál d

2 cm

Consulta en…

Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema.
Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y decomprar siguiente
1. Jacinto requiere aula el 150.45 dólares para pagar un artículo que se ofrece en una tienda
libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con pesos debe juntar para poder pagar, si el tipo de cambio está en
en internet. ¿Cuántos doblado de
papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
$14.30?
a) $ 2 152.534

6. En una ca
2 amarillos

b) $ 2 152.354

c) $ 2 152.435
Traza en tu cuaderno un segmento, su mediatriz, marca dos puntos sobre ella y traza con
d) $ 2 152.4035
color rojo las distancias de los puntos a los extremos del segmento. Define la propiedad.

a) Hay má

b) Hay má

Traza en tu cuaderno un ángulo, su bisectriz, marca puntos sobre la bisectriz y traza con
color rojo las distancias de los puntos a los2. Considera la ecuación 9 x =la propiedad.
lados del ángulo. Define 270.
¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuación anterior?
a) El volumen de un eneágono regular mide 270 cm.

110

4.2

3

Se te presentarán tanto ejercicios como
problemas en los que podrás elegir la
respuesta correcta entre cuatro opciones, aunque en algunos casos tendrás
que escribir una respuesta breve.


Autoevaluación

28.1
Participación en juegos
y aficiones

Sesión 61


Manos a la obra

c

2

16/04/12 18:53

Evaluación

B

A

111

Fuente: INEGI, Encuesta Nacional de Uso del Tiempo 2009.

c) El perímetro de un eneágono regular mide 270 cm.


c) Hay má

d) Hay má

La siguiente
de energía elé
4 casas duran

b) El área de un eneágono regular mide 270 cm.
3/21/12 11:49 AM

d) El perímetro de un eneágono irregular mide 270 cm.

¿A qué actividad le dedican más tiempo?
¿A qué actividad le dedican menos tiempo?

3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se
muestra en la tabla.

Consulta en…

Tiempo (minutos)
Distancia

21 min
7 km

42 min
14 km

55 min

84 min
28 km

7. ¿En qué m
gía eléctric
a) Enero

Si corre durante 55 minutos, ¿qué distancia recorrió?

A la gráfica circular se le llama también “de pastel”, o diagrama de sectores, y se
construye empleando la frecuencia relativa (fracción o número decimal) de cada dato.

Son sugerencias para que revises otros materiales, de modo que puedas ampliar y
ejercitar tus aprendizajes por medio de videos, libros de la biblioteca y sitios de internet, entre otros.

Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.

Consulta en…
Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes gráficas de estadísticas:
<http://eleconomista.com.mx/industrias/2012/01/26/buen-fin-impulsa-ventas-minoristas-mexico>
<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/05/estudio-cereales2.pdf>
<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/11/bebidas-hidratantes.pdf>
<http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/default.aspx?tema=P>
<http://www.imcine.gob.mx/informes-y-estadsticas.html>
230


2

b)

S14

En la figura de la derecha podemos observar un triángulo
rectángulo. Si el segmento BC representa el pilar central
de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se
pretenden colocar tres tirantes más que salgan del vértice B dividiendo al ángulo en partes iguales, ¿en qué puntos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre
el puente?


2.1

 Autoevaluación

En esta sesión resolverás distintos problemas geométricos que implican el uso de
las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.

En esta sesión continuarás aplicando las propiedades
de la bisectriz de un ángulo.

Formen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.

6.7

En los juegos de azar no podemos predecir quién ganará porque no se puede controlar los resultados. Sin
embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontar alguna estrategia de juego.

B2
Sesión 60


Manos a la obra

59.0

Si el juego se gana cuando se saca más veces una canica azul, ¿qué bolsa conviene elegir?

TS_MAT1_B1_S09.indd 76

En cada bloque encontrarás:

Sesión 129

Comparen los cálculos que hicieron y vean quiénes se acercaron más.

Inicia con una breve introducción, la cual continúa
con una actividad en la que hallarás preguntas que
te ayudarán a construir tu conocimiento y a analizar
lo que estés aprendiendo. Algunas veces trabajarás
individual ente y otras en equipo o con todo el grum
po. En esta sección también encontrarás las conclusiones sobre los conceptos estudiados.

Mide y calcula el perímetro y el área de los polígonos. Anótalos abajo de cada uno.


¿Se puede saber el color de la canica que sale en una extracción?

17/04/12 16:37

b) Febrero

a) 15.00 km

c) Diciemb
d) Marzo

b) 20 km
c) 18.33 km
d) 22 km

9. ¿Qué políg

4. Un rollo higiénico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, ¿cuántas
hojas higiénicas contiene el rollo?

a) Dodecá

b) Undecá

a) 300.23

c) Pentad

b) 499.10

d) Icoságo

c) 400.51
d) 420.19

176


7


Bloque 1


viceversa.
a decimales y
fraccionarios
r tir números
• Conve
presentar
iones para re
r las convenc
numérica.
s en la recta
nocer y utiliza
• Co
s y decimale
s fraccionario
ras a par tir
número
eros o de figu
siones de núm
resentar suce
• Rep
viceversa.
regla dada y
de una

uen
S ec
1
cia

De fracción
a número decimal

Sesión 1

En esta sesión identificarás lo que es una fracción decimal.

 sabes tú?
¿Qué
Reúnete con un compañero y organicen en la tabla las fracciones siguientes, considerando si
son decimales o no.
3
4

3
7

1
2

3
10

5
9

Fracciones decimales

31
100

1
6

5
8

23
1000

92
10

Fracciones no decimales

Escriban en la tabla dos ejemplos más en cada columna.
Comenta con tu compañero cómo establecieron cuáles son las fracciones decimales.

Recuerda que toda expresión de la forma a ,
b
donde b es diferente de cero, recibe el
nombre de fracción común.

10

4
11


Conversión de fracciones decimales y no decimales
a su escritura decimal y viceversa.

Contesten lo siguiente:
Las que se encuentran en la columna denominada fracciones decimales, ¿son también
fracciones comunes?
Observen las fracciones siguientes:
3
10

31
100

23
1000

¿Qué pueden comentar sobre los denominadores?

2. En equipos, contesten lo que se les pide.
Escriban una fracción decimal que sea equivalente a 2 =
5
¿Cómo obtuvieron esa fracción decimal equivalente?
Encuentren una fracción decimal que sea equivalente a 2 =
3
¿Pudieron obtenerla?


1. Junto con tu compañero, revisen la tabla donde clasificaron las fracciones.

A las fracciones comunes que tienen
como denominador una potencia de
10, es decir 10, 100 y 1 000… se les
conoce como fracciones decimales.

¿Por qué?
Completen el siguiente enunciado:
Una fracción común puede expresarse como fracción decimal cuando…

11

B1
Sesión 2

En esta sesión representarás fracciones comunes en su notación decimal.


Manos a la obra
Adrián compró cuatro carretes de listón de 15 m cada uno, necesita hacer moños de diferentes tamaños y para ello cortará un carrete en 10 trozos iguales, un segundo en 30, el
tercero en 5 y el cuarto en 2.
¿Cuánto medirá cada trozo?
Del primer carrete

Del segundo carrete

Del tercer carrete

Del cuarto carrete

¿Cómo determinaron lo que debe medir cada tramo de listón?

En algunas ocasiones, las fracciones comunes
representan divisiones como en el problema
anterior, donde el numerador es el dividendo
y el denominador es el divisor, esto es
n = d n
d

a) 4 =
5

¿Realizaron alguna operación?
¿Cuál?
¿Cuáles trozos se pueden representar con una fracción decimal?

2. En equipos, realicen las divisiones que indican las fracciones comunes siguientes. Aproximen sus resultados a dos o tres cifras decimales.
b) 3 =
c) 21 =
d) 35 =
10
4
100

e) 5 =
7

f) 4 =
9

g) 7 =
15

3
h) 2 =

Pongan atención en los residuos de las divisiones que efectuaron y contesten lo siguiente:
¿En cuáles casos pudieron calcular el cociente exacto, es decir, obtuvieron como residuo 0?
Una fracción se puede
escribir también con notación decimal.

12

¿Qué observan en los cocientes donde no se obtuvo residuo 0?
Con la participación de todo el grupo y con la guía de su profesor concluyan cómo
obtener la notación decimal de una fracción común. Anótalo en tu cuaderno.


1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

S1
En esta sesión obtendrás la representación de números decimales como
fracciones comunes.

Sesión 3


Manos a la obra
Al dividir ciertos números enteros entre una potencia de 10 (por ejemplo 10, 100 o 1 000)
Noemí obtuvo los siguientes cocientes: 0.4, 0.45, 0.125, 0.564, 2.6 y 13.567. Indiquen un
posible divisor y un posible dividendo correspondiente a cada cociente.
Cociente 0.4:

divisor

, dividendo

Cociente 0.45:

divisor

, dividendo

Cociente 0.125:

divisor

, dividendo

Cociente 0.564: divisor

, dividendo

Cociente 2.6:

divisor

, dividendo

Cociente 13.567: divisor

, dividendo

Comparen sus respuestas con las de otros equipos.
Obtengan las fracciones decimales correspondientes a las divisiones anteriores.
2. En parejas, contesten las preguntas siguientes.
a) En una clase de telesecundaria Martín dice que 0.4 corresponde a 4 , y Héctor que a 2 .
10
5
¿Quién de los dos tiene la razón?
b) Salvador afirma que 0.45 corresponde a 9 , y Guadalupe que a 45 .
20
100
¿Quién de los dos está en lo correcto?
¿Son equivalentes las fracciones 9 y 45 ?
¿Por qué?
20 100

c) Rosa dijo que al transformar ciento veinticinco milésimas a una fracción decimal y simplificarla, obtuvo 1 . ¿Es correcto lo dicho por Rosa?
8
Expliquen brevemente por qué.


1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

d) ¿Cómo se convierte un número decimal a fracción?
e) Describe en tu cuaderno cómo se puede simplificar una fracción a su mínima expresión.
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y con ayuda del profesor determinen un
procedimiento para escribir un número decimal como fracción común representada en su
mínima expresión.
13

B1
3. Relacionen los números decimales con su respectiva fracción.
a) 69
250

0.58

b) 3
4

0.276

c) 21
25

0.75

d) 9
10

0. 840

e) 29
50

4. Resuelvan los siguientes problemas.
a) Víctor pidió 1 3 kg de tortillas, el encargado colocó en su báscula digital una pila de
4
tortillas y en la pantalla apareció 1.750 kg. Expliquen si le despacharon correctamente
o no las tortillas a Víctor.
b) La mamá de Rubén quiere cambiar en el banco unos cheques que le dieron, por las siguientes cantidades:

Su Banco

Su Banco

Fecha: 15 de agosto 2013


68
Pague por este cheque a: Luz María Archundia $ 2 538.
68 M.N.
Dos mil quinientos treinta y ocho pesos
100

220
Pague por este cheque a: Luz María Archundia $ 561.
220
M.N.
Quinientos sesenta y un pesos
100

CHEQUE 0000101

CHEQUE 0000211

Firma

Su Banco

Firma


06
Pague por este cheque a: Luz María Archundia $ 5 000.

Cinco mil pesos
CHEQUE 0001201

6
M.N.
100

Firma

Ya en la ventanilla, la cajera le dijo que una cantidad está mal representada.
¿Cuál es la cantidad incorrecta?

Expliquen en su cuaderno por qué.
Comenta con tu grupo y con tu profesor un procedimiento que permita representar un
número decimal como fracción común.

14


0.9

S1
Sesión 4

En esta sesión representarás números decimales como
fracciones no decimales.


Manos a la obra
1. Reúnete con dos compañeros para realizar lo que se plantea a continuación.


a) Sumen el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:
8=6+2

Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.
b) Resten el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

750 = 500 + 250

c) Multipliquen por el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:

15 = 20 − 5

d) Dividan entre el número que quieran distinto de 0, en ambos lados de la
siguiente igualdad:

1000 = 500 × 2

Después de haber conocido algunas propiedades de las igualdades, las cuales usarás en este tema de fracciones, retoma el estudio sobre cómo representar las fracciones en su forma común o decimal.

Cuando se tiene una igualdad,
al operar en ambos lados de
ésta con un mismo número,
sumando, restando, multiplicando o dividiendo se obtendrá otra igualdad.

2. Con tu mismo equipo, identifiquen un decimal o un grupo de decimales (periodo) que se
repiten varias veces en los cocientes siguientes y enciérrenlo con color rojo.
2 = 0.2222…
9

3 = 0.27272727…
11

41 = 0.123123123123…
333

1 = 0.16666…
6

Al expresar una fracción común en su forma decimal, en ocasiones el cociente se repite
indefinidamente, se dice entonces que el cociente es periódico y esto se representa colocando un segmento sobre dicho periodo. Por ejemplo,
2 = 0.2
9

3 = 0.27
11

41 = 0.123
333

1 = 0.16
6

De los números decimales anteriores:
a) ¿Cuál es el decimal periódico del primer cociente?
b) ¿Cuál de las fracciones tiene un cociente periódico de tres dígitos?
15

B1
3. Continúa con tu equipo para analizar el siguiente procedimiento que permite obtener la
fracción común de los números decimales periódicos.

Se quiere encontrar la fracción común correspondiente al número decimal 0.3
Como no se conoce la fracción, se dejará el espacio, representado por un cuadrado.
se iguala con el número decimal periódico:

= 0.3 multiplican ambos términos de la igualdad por 10 para tener una
Se
nueva igualdad, porque el periodo está formado por un decimal que
se repite. Si el periodo tuviera dos dígitos que se repiten, se multiplicaría por 100, si tuviera 3 por 1 000, y así consecutivamente.

Entonces:
= 0.333

10 ×

= 10 × 0.333

10 ×

= 3.333

1

2

Para eliminar los decimales periódicos se resta la igualdad 1 de la igualdad 2 :

10 ×

−
9×

= 3.333 − 0.333
=3

Se dividen entre nueve los dos lados de la igualdad para dejar al

9×
9

sólo de un lado de la igualdad:

= 3
9

Entonces, como 9 = 1 se tiene:
9

= 3
9
3
Esto quiere decir que, 0.3 =
=
9
Como 3 se puede expresar como 1 , se concluye que 0.3 = 1
9
3
3

4. Identifiquen el decimal periódico de los números decimales siguientes y con el procedimiento anterior obtengan las fracciones comunes correspondientes.
a) 0.6666...
b) 0.36363636...
c) 0.135135135135135...

16


Para encontrar cuánto vale

S1
5. En equipos, contesten lo siguiente.
a) ¿Qué tipo de fracción da como resultado un número decimal periódico?
b) ¿Cuál es el denominador de las fracciones que obtuvieron en cada inciso del ejercicio
anterior?
cantidad de cifras que tiene el periodo?
d) Si se expresan 0.3 y 0.3 como fracción común, ¿se obtiene la misma fracción?
¿Por qué?
Comparen sus resultados y sus respuestas con otros equipos.

( ) 0.7

a) 5
11

( ) 0.45

b) 15
37

( ) 0.405

6. Relaciona ambas columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que corresponda.

c) 7
9

Consulta en…
Busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro para conocer más sobre el
tema: Luz María Marván, “Escritura decimal infinita” y “Otros símbolos para números no
enteros”, en Representación numérica, México, SEP-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
Entra al sitio: http://www.thatquiz.org/es-e/matematicas/fracciones/reducir/. Elige en el
recuadro de la izquierda las opciones “Fracción a decimal” y “Decimal a fracción”. Selecciona
el nivel en el que quieras practicar estas conversiones.


c) ¿Qué relación encuentran entre la cantidad de nueves que tiene el denominador y la


Autoevaluación
Escribe en tu cuaderno lo siguiente.
• n procedimiento para expresar una fracción común como número decimal.
U
• n procedimiento para expresar un número decimal como fracción común.
U

17

2
cia

Representación de números fraccionarios
y decimales en la recta numérica a partir
de distintas informaciones, analizando
las convenciones de esta representación.

Sesión 5

En esta sesión aprenderás que en la recta numérica se pueden representar
números enteros, fracciones comunes y decimales, lo cual es muy útil porque
permite comparar números o comprobar equivalencias.

 sabes tú?
¿Qué
Gradúa las siguientes rectas numéricas según se te indique, es decir, marca las partes que
corresponden a cada división.
En cuartos.

0

1

0

1

En quintos.

En décimos.

0

18

1


uen
S ec

Fracciones y decimales
en la recta

1. En equipos de a lo más tres integrantes, escriban los números que hagan falta para completar la graduación de cada recta.
a)

2
10

0

5
10

9
10

b)

0

0.3

0.8

c)

0

0.4

5
10

0.9

2. Expliquen por qué en una recta se pueden ubicar tanto fracciones comunes como decimales.



Manos a la obra

3. En la siguiente recta escriban la fracción común o el número decimal correspondiente al
punto donde se ubica cada letra.

0

a

c

b = 1
2

d

Ahora comenten qué es lo que deben considerar para representar en una recta numérica
una fracción común y un número decimal.
19

B1
Sesión 6

En esta sesión observarás cómo se puede representar en la recta numérica
una fracción si se conoce la ubicación de otro par de fracciones.

1. n una escuela telesecundaria realizaron
E
competencias atléticas para conmemorar el 40 aniversario de su fundación.

Alumno
Juan Godínez
José Sandoval
Erik López

4

Longitud aproximada del salto (metros)
41
2
2
4
3
43
5

En la tabla se muestran las tres mejores marcas obtenidas en salto de longitud por distintos alumnos:
En la siguiente recta se ha representado el
salto de Erik López.

43
5
Reúnete con un compañero y representen en la recta anterior los saltos de los otros dos
alumnos.
Considerando que el ganador es el que realizó el salto más largo, ¿cómo otorgarías las
medallas?

20



Manos a la obra

S2
2. En parejas, ubiquen en la siguiente recta los números 7 , 1 , 12 , 0, 1 1 y 2 .
3 3 6
6 5

1

¿Qué hicieron para ubicar el 0?
¿Cuántos sextos se representan en la marca de 1 ?
3
¿Qué otro número representa 12 ?
6
¿Qué hicieron para ubicar a 2 ?
5
Comparen sus respuestas con las de otros equipos y escriban en su cuaderno un procedimiento que les permita ubicar cualquier fracción cuando se tienen como referencia otras
dos fracciones.
3. Localiza las fracciones que se indican en cada inciso.
a) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 2 , 7 y 9 .
3 9 6

0

1
3

4
6

b) En la siguiente recta numérica ubica el 0 y las fracciones 3 , 3 y 11 .
2 10 5

2
5


5
6

c) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 1 , 3 y 5 .
4 5 12

1
3

1
2

Comenta con un compañero qué deben hacer cuando en una recta hay previamente localizadas al menos dos fracciones que no tienen un denominador común y se desea ubicar otra.
21

B1
Sesión 7

En esta sesión representarás números decimales en la recta numérica.


Manos a la obra
1. En parejas, completen la graduación de las siguientes rectas.

5

5.5

6

¿Cuánto representa cada segmento de la recta?

b)

7.2

7.24

7.29

7.3

¿Cuánto representa cada segmento de la recta anterior?
2. En parejas, lean la información siguiente y realicen lo que se indica.
Entre las competencias atléticas, la carrera de 100 m planos es considerada la reina de las
pruebas. Para determinar quién es el ganador se requiere manejar números decimales. Para
tal efecto, consideren la siguiente tabla de resultados obtenidos por las tres alumnas más
rápidas en las competencias conmemorativas del aniversario de su telesecundaria.

Alumna
Ana Juárez
Sonia Martínez
Claudia Pérez

Tiempo (en segundos)
13.6
13.3
13.4

Ubiquen cada una de las marcas en la recta numérica siguiente.

12

22

14


a)

S2
3. Lee la siguiente situación y realiza lo que se pide.

Competidor
Braulio
Efrén
Teresa
Daniel
Reyna

Altura del salto (m)

1.43

1.50

1.45

1.48

1.51

Competidor
Alexa
Antonia
Jesús
Emmanuel
Aline

Altura del salto (m)

1.55

1.43

1.49

1.54

1.40

a) Ubica en la recta numérica los saltos registrados.

1.3

1.7

b) Contesta las preguntas.
¿Por qué la recta numérica no inicia en 0?
Para ubicar saltos como 1.45, 1.48 y 1.49, ¿en cuántas partes se tendrá que dividir el
espacio que hay entre 1.4 y 1.5?
c) Compara tus resultados con los de tus compañeros de grupo y contesten.
¿Hay saltos que estén ubicados en el mismo lugar en la recta numérica?
Andrea dice que 1.06 y 1.60 se ubican en el
mismo punto de la recta. Expliquen si es correcta o no la afirmación de Andrea.
¿Qué otro decimal se ubica en el punto 1.5?

.4
1

Para ubicar números decimales en la recta, como
1.5, 1.52, 1.524, etcétera, es necesario dividir cada
segmento en 10 partes iguales y cada una de éstas
en otras 10, y así sucesivamente.

1.5

1.5

1.6

1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59


En la escuela también se hizo un torneo de salto de altura, en la tabla de abajo se registraron los diez mejores saltos.

1.6

1.52 1.521 1.522 1.523 1.524 1.525 1.526 1.527 1.528 1.529 1.530

23

B1
Sesión 8

En esta sesión continuarás trabajando con la ubicación de fracciones
y decimales en la recta numérica.

1. Realiza lo que se te indica y contesta.
a) Ubica 1 , 3 , 1 y 7 en la recta numérica.
2 5 4 8

0

1

b) Ubica 0.75, 0.5, 0.6 y 0.25.

0

1

Al comparar las rectas numéricas de los incisos a y b, ¿qué fracciones comunes y números
decimales se ubican en el mismo punto?
¿Cómo puedes usar una sola recta numérica para ubicar fracciones comunes y números
decimales?
2. En parejas, ubiquen en la recta numérica 3 , 0.5, 1 , 0.75 y 3 .
10
4
4

0

1

¿Cómo ubicaron fracciones y decimales en la misma recta?
a) ¿Cómo graduaron la recta?
b) En una recta graduada con fracciones, ¿es posible ubicar también decimales?
c) ¿Cómo se haría?

Consulta en…
Entra al sitio: http://miayudante.upn.mx/ficha.html?rgrado=5rconsul=4numfich=42,
ahí encontrarás más información sobre la ubicación de números en la recta numérica.

24



Manos a la obra

S2
3. Expresa las siguientes fracciones en notación decimal y ubícalas en la siguiente recta.
b) 3 =
8

d) 7 =
20

e) 365 =
1000

0

c) 2 =
5

1

Explica cómo ubicaste las fracciones anteriores en la recta.
Para ubicar una fracción común en una recta numérica graduada con decimales, ¿qué importancia tiene expresarla en notación decimal?
4. Ubica 0.25, 0.3, 0.2 y 0.295 en la siguiente recta.

0

1
2

¿Qué hiciste para ubicar en la recta los números decimales?
Compara tus respuestas con las de otros compañeros y escriban un procedimiento que les
permita ubicar fracciones comunes y decimales en la misma recta numérica.


Autoevaluación


a) 38 =
100

Responde en tu cuaderno lo siguiente.
• Cómo se ubica una fracción en la recta numérica cuando ya están localiza¿
das otras dos?
• escribe una estrategia que te permita ubicar fracciones y números decimaD
les en la misma recta numérica.

25

3
cia

Resolución y planteamiento de problemas
que impliquen más de una operación de suma
y resta de fracciones.

Sesión 9

En esta sesión identificarás cuándo un problema se puede resolver
con una adición, y para solucionarlo aplicarás tus conocimientos sobre
números fraccionarios.

 sabes tú?
¿Qué
En la vida cotidiana no siempre se emplean cifras exactas; por ejemplo, al comprar ciertos
productos es común el uso de fracciones para señalar la cantidad que se desea adquirir, por
lo que es habitual escuchar expresiones como: “quiero un cuarto de queso, y medio de jamón”.
Otro caso similar es indicar el nivel de combustible con el que cuenta un vehículo en términos
fraccionarios, al decir: “le queda un cuarto de gasolina”, o alguna otra expresión semejante.

1. En parejas, resuelvan lo siguiente.
En carpintería, es habitual expresar las medidas en
fracciones de pulgada. Observa la siguiente imagen y escribe abajo de cada clavo su medida en
pulgadas.

1 pulgada
1 pulgada
2

Compara tus medidas de los clavos con las de otro compañero.
¿Cuál de los clavos mide 7 de pulgada?
8
2 de pulgada?
¿Cuál clavo mide
3
¿Cuántos clavos miden más de 1 pulgada?
2
¿Cuáles clavos miden menos de 3 de pulgada?
4

26


uen
S ec

Sumas y restas
de fracciones


Manos a la obra
a) En el esquema de al lado se presentan pares de clavos de distinta medida, calculen
cuál sería el tamaño total de cada pareja de
clavos. Consideren las medidas de los clavos anteriores.
¿Cómo realizan una suma de fracciones con
diferente denominador?
b) Las distancias entre la telesecundaria y las
casas de Juan, Laura y María se ilustran en
el siguiente esquema.

1 1 km
2

Con base en la información que se presenta
contesten lo siguiente:
¿Cuál es la distancia total que recorrerá
Juan si primero va por María y después van

Casa
María

3 km
4

juntos a la telesecundaria?
¿Qué distancia recorrerá Juan para ir a la
telesecundaria si previamente va por Laura y
luego por María?
Comparen sus respuestas con las de otras
parejas.
c) Con base en la información del ejercicio anterior resuelvan en equipos las siguientes
preguntas.
Si consideramos el recorrido más corto de
sus casas a la telesecundaria, ¿cuál es la
distancia que recorren los tres estudiantes
en total?
Indiquen la ruta que muestra la siguiente
suma de fracciones y elaboren un enunciado
que describa el problema.
1+1+3
2 4 4

TELEsecundaria

1 km
4

1 km
2

Casa
Juan

3 km

4 km
5


1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.

4
Casa
Laura
Distancias entre las casas de Juan, Laura y María con la telesecundaria

Para llevar a cabo la suma de números fraccionarios con
denominadores distintos se emplean fracciones equivalentes. Por ejemplo, para efectuar la operación 2 + 3 se
3 4
deben buscar fracciones equivalentes para ambos términos, con la consigna de que tengan el mismo denominador.
Algunas fracciones equivalentes de 2 son 4 , 6 , 8 y 10 ,
3
6 9 12 15
y de 3 son 6 , 9 y 12 .
8 12 16
4
Para este problema las fracciones que tienen el mismo
denominador son 8 y 9 .
12 12
De esta manera:
2 + 3 = 8 + 9 = 17
3 4 12 12 12
27

B1
Sesión 10

En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre sustracción de fracciones
para resolver problemas.


Manos a la obra
En la siguiente imagen se muestra un conjunto de clavos que
se van a clavar en un bloque de madera. Considerando las
medidas de los clavos de la sesión anterior, indica qué longitud
de cada clavo quedará fuera de la madera.
¿Hay algún clavo cuya longitud coincida con el
grosor de la madera?
¿Cómo resolviste el problema?

1 pulgada
2

a) A una madera de 3 de pulgada se le colocó un clavo de 3 de pulgada. Si la punta del
8
4
clavo llega exactamente al otro lado de la madera, ¿qué longitud del clavo quedó sin
ser clavado?
b) La señora Julia compró 2 3 kilogramos de guayabas y 1 kilogramo y medio de naranjas,
4
¿qué cantidad de guayabas compró más que de naranjas?

Para resolver una sustracción
de fracciones con diferentes
denominadores deben buscarse
fracciones equivalentes
con el mismo denominador.
Un problema que se soluciona
con una sustracción de fracciones responde a preguntas
como: ¿cuánto falta?, ¿cuánto
sobra?, ¿por cuánto es mayor?,
¿por cuánto es menor?,
¿cuál es la diferencia?

c) Una jarra contiene 3 1 litros de agua de tuna. Si Marisol, Sara, Ángel,
4
Alejandro y Sofía se sirvieron cada quien un vaso con 1 litro de agua,
2
¿qué cantidad de agua queda en la jarra?
d) En parejas, planteen un problema que se resuelva con la operación
3 − 5 y resuélvanlo.
4 12
¿Cuál es el resultado?
Comparen su problema con el de otras parejas y revisen que éste implique una sustracción de fracciones.
e) Para que un problema pueda resolverse mediante una sustracción,
¿qué tipo de preguntas se deben hacer?

28


1. Resuelve el problema que se plantea.

S3
En esta sesión aplicarás tu conocimiento sobre adición y sustracción de
fracciones para resolver problemas.

Sesión 11


Manos a la obra
a) El siguiente cuadro presenta el total de litros de agua embotellada que consumen al día
los alumnos de la telesecundaria 10 en los tres grados que la integran, divididos entre
hombres y mujeres.
Género
Masculino
Femenino

Grado
Segundo

Primero
6 1 L
4
5 1 L
2

7 1 L
8
7 1 L
2

Tercero
7 3 L
4
9 1 L
4

¿Qué cantidad total de agua toman los alumnos de la telesecundaria 10?
¿Quiénes toman más agua, los hombres o las mujeres?
¿Cuál es la diferencia en litros?
¿Cuál es la diferencia de la cantidad total de agua ingerida por las alumnas de segundo
respecto de las de primer grado?
La fracción 3 es resultado de sustraer…
8
9 1 − 7 3
4
4
7 1 − 7 1
2
8
De acuerdo con este contexto, escribe una pregunta que se resuelva con la operación
del inciso anterior.


1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.

b) En cierta población, el canal XW es visto por 1 de los hombres y por 1 de las mujeres,
3
2
mientras que el canal XZ es visto por 1 de los hombres y por 5 de las mujeres.
5
8
¿Qué canal es más visto por la población?
¿En qué medida es más visto este canal?
Hasta aquí has aprendido a determinar cuándo aplicar una adición o una sustracción
para resolver problemas de fracciones.

29

B1
Sesión 12

En esta sesión aprenderás a identificar cómo resolver problemas,
cuáles y cuántas operaciones son necesarias para su solución.


Manos a la obra
a) Andrea compró y puso en una bolsa 1 kg de jamón, 3 kg de queso y 1 kg de salchi4
4
2
chas, y en otra bolsa lleva 1 kg de cebollas, 1 kg de jitomates, 1 kg de chile de árbol,
2
2
4
1 kg de tomates y 1 kg de aguacates. ¿Cuál de las dos bolsas pesa más?
4
2

b) El tiempo que destinó un joven para visitar a su novia la semana pasada fue: el lunes
3 de hora, el martes 1 hora 15 minutos, el miércoles 1 de hora, el viernes 2 horas 1 ,
4
2
4
3 .
el sábado 4 horas y media, y finalmente el domingo, 2 horas
4
¿Cuál fue el tiempo total que dedicó el joven a visitar a su novia?
¿Cuál fue el tiempo total de visita el fin de semana?
¿Qué diferencia hubo entre el tiempo total de viernes, sábado y domingo respecto del
resto de la semana?
2. En equipos, comparen sus resultados de los problemas anteriores y describan una estrategia para identificar cuándo deben utilizar la adición y cuándo la sustracción.


Autoevaluación
• Indica la operación + o −, según corresponda en cada inciso.
2
4
1
3

30

2
6
8 = 8
1
2
9 = 9


1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.

4
cia

Construcción de sucesiones de números o de figuras
a partir de una regla dada en lenguaje común.
Formulación en lenguaje común de expresiones generales
que definen las reglas de sucesiones con progresión
aritmética o geométrica, de números y de figuras.

En esta sesión estudiarás la relación que existe entre varias figuras que se
forman con un patrón, lo cual te permitirá conocer la formación de otras
figuras que tengan las mismas características.

 sabes tú?
¿Qué
Cuando al analizar una colección de figuras ordenadas es posible encontrar un patrón o una
regla a partir de la cual se pueden generar cada uno de los elementos de dicha colección, se
dice que conforman una sucesión.
Observa la siguiente sucesión y en tu cuaderno complétala hasta la figura 6.

Figura 1

Figura 2


uen
S ec

Sucesiones de números
y figuras

Sesión 13

Figura 3

Escribe con tus propias palabras una regla para encontrar cada figura de la sucesión.

31

B1

Manos a la obra
1. En parejas, analicen la siguiente sucesión de figuras y realicen lo que se indica en cada
inciso.
a) En su cuaderno, completen la sucesión dibujando hasta el término 10.
Término 2

Término 3

Término 4

b) Completen la tabla con la información obtenida de la sucesión anterior y contesten las
preguntas.
Número de término 1
2
3
4
5
Número de puntos
1
3
5

6

7

8

9

10

¿Cuántos puntos debe tener el término 15?
¿Cuántos puntos tendrá el término 22?
¿Y cuántos el término 27?
¿Cómo determinaron el número de puntos en cada término?

c) Agreguen a su tabla una fila en la que puedan calcular la diferencia entre el número de
puntos que tiene cada término.
Número de término

1

2

3

Número de puntos

1

3

5

3 − 1= 2

5−3=2

Diferencia

¿Cuántas puntos hay de diferencia entre cada término?
Escriban una regla que permita calcular la cantidad de puntos que tiene cada término.

d) Subrayen la regla que permite determinar el número de puntos que tendrá cada término
de la sucesión.
• Los números impares.
• Se multiplica por dos el número de cada término.
• A partir del segundo término se agrega dos al número de puntos del término anterior.
• Se multiplica por dos el número de cada término y se le resta uno.
32


Término 1

S4
2. A continuación se muestran algunos elementos de una sucesión.
a) Dibujen en su cuaderno los primeros diez términos de esta sucesión.
Término 2

Término 5

b) Completen las siguientes tablas.
Número de término
1
2
Número de cerillos
Diferencia

Número de término
Número de cerillos

15

21

3

4

26

5

8

10

30

¿Cuántos cerillos hay de diferencia entre una figura y la siguiente?
c) Contesten las siguientes preguntas.
¿Cuál será el término con 51 cerillos?
¿Cuál será el término que tenga 63 cerillos?
¿Habrá algún término con 100 cerillos?
Explica tu respuesta.


Término 1

Una sucesión de figuras es una colección de las
mismas que está determinada por una regla de
formación o de crecimiento, de tal manera que si se
identifica la regla podemos generar los elementos
de esa sucesión.
33

B1
Sesión 14

En esta sesión estudiarás sucesiones con progresión aritmética.


Manos a la obra
1. Realiza lo siguiente.
a) Completa la sucesión
, 51, 63,

, 87,

, 111,

,

, 147,…

Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una regla. Se llama término
a cada uno de los números que la componen.
b) Encuentra una regla para obtener cualquiera de los términos de la sucesión anterior.

c) Completa la siguiente tabla.
Término
Número de la sucesión
Diferencia

1
15

2
3
4
5
27
51
63
27 − 15 =

6

7
87

8

9
111

d) Encuentra una regla para obtener cualquier término de la sucesión anterior y completa
la tabla siguiente, que es su continuación.
Término
Número de la sucesión

21

22

23

24

25

30

40
375

50
519

e) De las siguientes reglas, ¿cuáles son equivalentes a la que encontraste para obtener los
términos de la sucesión?
•• Sumar 12 al término anterior.
•• Calcular algunos múltiplos del 12.
•• Multiplicar por 12 el término y sumar 15.
•• Multiplicar por 12 el término y sumar 3.
Compara las respuestas que obtuviste con las de tus compañeros.

34


15, 27,

S4
2. Relaciona ambas columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que contenga la regla
de formación correspondiente a cada sucesión.

Términos de la sucesión

Reglas de formación de la sucesión
a) Sumar 4 al término anterior

( ) 8, 13, 18, 23, 28, 33,…

b) Multiplicar el término por 5 y quitarle 2

( ) 2, 6, 10, 14, 18, 22,…

c) A cuatro veces el término agregarle 3

( ) 3, 8, 13, 18, 23, 28,…

d) Multiplicar el término por 5 e incrementarle 3

( ) 7, 16, 25, 34, 43, 52,…

e) Multiplicar el término por 5 y sumar 4

( ) 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45,…

f) Nueve veces el término y 2 unidades menos

Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Una sucesión numérica es una progresión aritmética si para obtener cada
uno de sus términos se suma una cantidad constante, llamada diferencia, al
término anterior.
Las reglas que permiten obtener los términos de una sucesión se pueden dar
a partir del lugar que ocupa un término y la diferencia (es decir, la cantidad
constante) que hay entre dos términos consecutivos.
3. Escribe un ejemplo de una sucesión numérica que sea progresión aritmética.
4. Crea una sucesión cuya regla de formación no genere una progresión aritmética.
5. Intercambia con un compañero las sucesiones que crearon en los incisos 3 y 4 y pídele que
identifique cuál es la progresión aritmética. En caso de que su respuesta no sea correcta,
explícale la regla de formación de tu progresión aritmética. Si no logran un acuerdo, consulten con su profesor.


( ) 7, 11, 15, 19, 23,…

35

B1
Sesión 15

En esta sesión estudiarás cómo se forman las sucesiones de figuras con
progresión geométrica.


Manos a la obra
a) Dibujen las dos figuras siguientes.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

b) Respondan las siguientes preguntas.
¿Cuántos y de qué color serán los triángulos que forman la séptima figura?

¿Cuántos triángulos tendrá la octava figura?
¿De qué color serán los triángulos que forman la décima figura?
c) Completen la tabla.
Figura
1
2
3
4
5
6

Número de triángulos
2
4
8
16

Diferencia
4–2=2
8–4=4

¿Es constante la diferencia entre los triángulos que forman cada figura?
¿Encuentran alguna relación entre el número de triángulos de cada figura nueva respecto de la que le precede?
¿Cómo obtuvieron los triángulos que conforman la quinta y la sexta figura?

¿Cómo obtendrían el número de triángulos de cualquier figura de esta sucesión?

d) Andrea afirma que la regla es: El número de triángulos de cada figura se genera duplicando el total de triángulos de la figura anterior. Expliquen si es o no correcta su afirmación.
36


1. En equipos, analicen la siguiente sucesión.

S4

Figura 1

Figura
Azules
Cantidad de Naranjas
triángulos
Total

Figura 2

1
1

Figura 3

2
4

3

4
16

5

108

6
36

324

¿Cómo estableciste la cantidad de triángulos de la cuarta figura?

¿Cómo determinaste el número de triángulos azules de cada figura?

¿Y de los triángulos naranjas?
¿Y el total de triángulos de cada término?

¿Cuál es la regla que determina la cantidad total de triángulos de cada figura (o término) de
esta sucesión?


2. Analiza la siguiente sucesión y completa la tabla.

3. Lee las siguientes afirmaciones con respecto a la regla de formación anterior.
•• Raúl afirma que para obtener el número total de cada término se debe triplicar la cantidad de triángulos del término anterior.
•• Guadalupe dice que se obtiene multiplicando por 3 la cantidad de triángulos del término
que le antecede.
•• Ángel, por el contrario, dice que se suman 8 triángulos al término que le antecede.
De estas tres afirmaciones, ¿cuál es correcta?
37

B1
Sesión 16

En esta sesión estudiarás sucesiones numéricas con progresión geométrica.


Manos a la obra
1. Con la siguiente regla dibuja las estrellas para cada uno de los términos que se marcan en
la sucesión.
El quíntuple del anterior.

Término 1

Término 2

Término 3

Completa la tabla.
Término
1
2
3
4
6
9
Cantidad de estrellas
3

¿Es constante la diferencia de la cantidad de estrellas entre los términos consecutivos de
esta sucesión?
2. Completa los términos que hacen falta en cada sucesión.
a) 2, 6,

, 54,

,

,…

¿Cuál es la regla para esta sucesión?
b) 2, 12,

, 432,

,

,…

Explica por qué la regla de esta sucesión es: El séxtuple del término anterior.

c) 3,

, 48, 192,

,

,…

Escribe la regla para esta sucesión

d) Encuentra el cociente entre cada par de términos consecutivos de la última sucesión.
3=

48 =

192 =
48

192

¿Cómo son los cocientes de dos términos consecutivos?
38

=


Contesta lo que se te pide.

S4
3. En parejas, organicen las piezas para crear dos sucesiones cuyas reglas son:
a) Cuatro veces el término anterior.
b) El triple del término anterior.

270

20

80

5

320

30

10

810

90

1280

Sucesión A:

,

,

,

,

.

Sucesión B:

,

,

,

,

.

¿Cuál es la razón de la sucesión A?
¿Y de la B?

Una sucesión numérica se denomina progresión
geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando al anterior por una constante llamada razón.

4. En parejas, escriban la regla para generar una sucesión con progresión geométrica e intercámbienla con la de otra pareja. Obtengan los primeros cinco términos de la sucesión y
revisen que sea correcta la construcción de los mismos.


Autoevaluación
1. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión aritmética, ¿cómo se obtiene la
regla de toda la sucesión?
2. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión geométrica, ¿cómo se obtiene la


Las piezas son las siguientes:

regla para generar la sucesión?
3. Indica con una A si la sucesión es una progresión aritmética, con una G si es una progresión
geométrica, y con una X si no es ninguna de las dos.
5, 10, 15, 20, 25,…

15, 18, 17, 20, 19, 22

4, 6, 9, 13.5, 20.25

0, 3, 6, 9, 12,…

39

5
cia

Explicación del significado de fórmulas geométricas,
al considerar a las literales como números generales
con los que es posible operar.

Sesión 17

En esta sesión representarás números por medio de literales,
con las que realizarás operaciones.

 sabes tú?
¿Qué
4 cm
2.5 cm
4 cm

2.5 cm

4 cm
3 cm

3 cm
2.5 cm

2.5 cm

4 cm

3 cm

2.5 cm

Figura 1

Figura 2

Figura 3

¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1?
¿Y el de la figura 2?
¿Y el de la 3?

40


uen
S ec

Literales en fórmulas
geométricas

1. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes triángulos equiláteros.

3 cm

3 cm

3 cm

4 cm

a

Figura 1

Figura 2

Figura 3

¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1?
Expliquen cómo calcularon el perímetro de las figuras, en particular el de las figuras 2 y 3,
en las que solamente se conoce la medida de uno de sus lados.
Un triángulo equilátero mide b por lado, ¿cuál de las siguientes expresiones pueden utilizar
para calcular su perímetro? Subrayen sus respuestas.
b + b + b

b + 3

3b



Manos a la obra

b 3

41

B1
2. Completen la tabla.

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

5 cm

Figura 1

Figura 2

Figura geométrica

Figura 3

Longitud de sus lados

Perímetro

Figura 1
Figura 2
Figura 3
¿Cómo representaron la longitud de los lados de la figura 3?
¿Cómo calcularon el perímetro de la figura 3?
Comparen sus respuestas con las de otras parejas.
3. Usa literales para expresar el perímetro de las siguientes figuras.

Perímetro
42

Perímetro

Perímetro


3 cm

S5
Sesión 18

En esta sesión trabajarás con figuras geométricas que se parecen en su forma
y en sus propiedades, así como en la manera en que se calcula su perímetro.


Manos a la obra
A algunos estudiantes les pidieron utilizar literales para indicar las longitudes de un rectángulo. Observen sus respuestas.
a

a

a

a

c

b

b

a
Figura 1

a

Figura 3

a

a

b

b

a

Figura 2

Figura 4

a) ¿En cuál de los rectángulos expresaron correctamente la longitud de los lados?
b) Expliquen por qué es o no correcta la forma en que se señalaron las longitudes en los
rectángulos anteriores.
c) ¿Cuántos pares de lados de la misma longitud tiene el rectángulo?
d) ¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo?


1. En parejas, contesten las preguntas.

e) Para calcular el perímetro de un rectángulo se puede emplear alguna de las siguientes
expresiones algebraicas:
a + b + a + b

2a + 2b

2(a + b)

¿Por qué son correctas estas expresiones algebraicas?

43

B1

Usen las letras que anotaron y escriban una expresión algebraica para calcular el perímetro
de cada romboide.
¿Es posible calcular el perímetro del romboide con la misma expresión algebraica que emplearon para el rectángulo?

44

¿Por qué?


2. En parejas, empleen cualquier literal para expresar la longitud de los lados de los siguientes
romboides.

S5
Sesión 19

En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el perímetro
de triángulos y trapecios isósceles.


Manos a la obra

Figura 1

Figura

Figura 2

Longitud de los dos lados iguales


1. En parejas, asignen una letra a la longitud de los lados de las figuras siguientes, tomen en
cuenta que son triángulos isósceles. Completen la tabla.

Figura 3

Longitud del tercer lado

Perímetro

1
2
3
Una expresión algebraica que permite obtener el perímetro de un triángulo isósceles es:

¿Es la única?

, ¿por qué?

Un triángulo escaleno tiene todos sus lados de diferente longitud, ¿cómo se puede expresar
su perímetro?
2. Observa el siguiente trapecio isósceles.

¿Cómo se puede expresar su perímetro?

b (base menor)

l

l

En una figura geométrica señalamos con la misma literal los lados que tienen igual longitud, y si éstos tuvieran longitudes diferentes se emplearían más literales.
Por ejemplo, en un rectángulo, el perímetro se puede
expresar como:
P = a + a + b + b, o bien P = 2a + 2b o P = 2(a + b)

B (base mayor)
45

B1
Sesión 20

En esta sesión trabajarás con las fórmulas de los perímetros
de polígonos regulares.


Manos a la obra
¿Qué figuras regulares conocen?

¿Cómo se calcula el perímetro de una figura geométrica que tiene todos sus lados iguales?

Escriban una expresión algebraica que les permita calcular el perímetro de una figura
regular.
¿Cómo se calcularía el perímetro de un polígono regular de 38 lados?

2. Completa la tabla.
Nombre de la figura

Longitud
de sus lados

Número
de lados

Pentágono regular

a

Hexágono regular

b

Octágono regular

m

Decágono regular

h

Heptadecágono

x

17

Triacontágono

s

Perímetro

30

Observa que en la tabla anterior la letra m representa una literal, sin embargo, la misma
letra también es el símbolo de “metro”. Por ejemplo:
5m = m + m + m + m + m,
Para calcular el perímetro de un
polígono regular se debe conocer el
número de lados que lo forman y
multiplicarlo por su longitud.

46

mientras que 5 m representa 5 metros.
Lo mismo ocurre con otras letras que también son utilizadas como símbolos de unidad de medida, tales como s (segundo), h (hora), etcétera.


1. En grupo, contesten las preguntas que se plantean.

S5
Sesión 21

En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el área
de distintas figuras.

 Manos a la obra
1. Lee la siguiente información y contesta.

y se abrevia cm2.
Observa los siguientes rectángulos y mide su área.

t
5 cm
3 cm

6 cm

1 cm

s

Rectángulo A

Rectángulo B

Rectángulo C

El área del rectángulo B es:
Del rectángulo A es:
Del rectángulo C es:


Un ejemplo de unidad de superficie es un centímetro cuadrado, que es de este tamaño:

2. Si e es el largo de un rectángulo y f el ancho, subraya de las siguientes expresiones algebraicas cuáles son equivalentes y permiten calcular el área del rectángulo con resultados
iguales.
A = e × f = e f

A = 2(e + f)

A = 2 e + 2 f

A = (2 e) (2 f )

A = f e

47

B1
3. Subraya la fórmula que te permita calcular el área del siguiente cuadrado.
x

x
x

Expresiones algebraicas.
4 x

x + x

( x )( x )( x )( x )

x + x + x + x

( x )( x )

4 + x

x 2

4. En parejas, observen las siguientes figuras y contesten.

a
a

a

a

b

¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un cuadrado?
¿Y la del rectángulo?
¿Cómo determinan el área de la parte naranja del cuadrado?
¿Y la parte naranja de los rectángulos?
¿Qué fracción representa el área naranja con respecto a toda la figura?

48

b


x

S5
Sólo una de las siguientes expresiones no determina el área del triángulo azul, ¿cuál es?
Márquenla.
A = a × b
2 2

A = a × b
2

A=a× b
2

De manera grupal expliquen por qué la fórmula que comunmente usamos para calcular el
área de un triángulo es: A = b h , donde b es la base y h es la altura.
2

h

b


Autoevaluación
• ¿Qué representan las letras o literales en una expresión algebraica?


A = 1 (a × b)
2

49

uen
S ec
6
cia

Trazo de triángulos
y cuadriláteros

Sesión 22

En esta sesión aprenderás a trazar cuadriláteros y triángulos a partir de líneas
paralelas, utilizando escuadras.

 sabes tú?
¿Qué
¿Cómo puedes trazar líneas paralelas y perpendiculares con tu juego de geometría? Realiza tus
trazos en hojas blancas.
Observa la imagen de la derecha. Sobre una hoja blanca
coloca de la misma manera tu regla y tu escuadra y traza
líneas paralelas y perpendiculares. Mueve la escuadra
como lo indican las flechas.
Ahora observa las siguientes imágenes para trazar las líneas perpendiculares y paralelas que se obtienen al mover
la escuadra.
Compara tus trazos con los de tus compañeros.

50


Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso
del juego de geometría.


Manos a la obra
Usa las escuadras y el compás para trazar en una hoja blanca dos líneas rectas paralelas
de 20 cm cada una. Las líneas deben tener una distancia de 5 cm entre ellas.
Traza las siguientes figuras geométricas, considerando que dos de sus lados deben estar
sobre las líneas paralelas que ya trazaste.
•• Un cuadrado.
•• Un rectángulo, uno de sus lados mide 3 cm.
•• Un romboide cuya base mide 7 cm.
•• Un romboide, dos de sus lados miden 4 cm y uno de sus ángulos mide 60º.
Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas.
a) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?
b) ¿Cuánto miden los otros lados del rectángulo?
c) ¿Cuánto mide la altura de cada romboide?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
2. Formen parejas y, en una hoja blanca, tracen un par de líneas paralelas para construir sobre
ellas los trapecios que se enlistan a continuación.
•• Trapecio recto.
•• Trapecio isósceles.
•• Trapecio escaleno.
Cada uno de los trapecios debe cumplir con las siguientes condiciones: la base mayor mide
8 cm; la base menor, 6 cm, y la altura, 4 cm.
¿A qué distancia deben trazarse las líneas paralelas?
¿Qué tienen en común los tres trapecios que trazaste, el perímetro o el área?
¿Por qué?


1. Realiza las siguientes construcciones y responde las preguntas.

3. En una hoja blanca, y a partir de dos líneas paralelas, traza tres triángulos diferentes cuya
base mida 6 cm y su altura mida 5 cm.
¿Cuánto mide el área de cada triángulo?
4. En grupo, construyan un romboide, un trapecio y un triángulo cuyas áreas sean iguales.

51

B1
Sesión 23

En esta sesión construirás triángulos utilizando el juego de geometría.


Manos a la obra
1. Lee con atención las siguientes instrucciones y en una hoja blanca construye lo que se indica.

•• Ahora utiliza tu compás, su apertura debe ser mayor a la longitud del segmento que
marcaste.
Construcción 1

•• Coloca la punta de metal del compás en uno de los puntos extremos del segmento y
traza un círculo.
•• Sin cambiar la apertura del compás y colocando la punta metálica en el otro extremo,
traza otro círculo.
De las construcciones de la izquierda, marca con una palomita ( ) la que se parece a la
que tú trazaste.
¿En cuál de las construcciones anteriores obtienes un triángulo equilátero al unir los extremos del segmento con uno de los puntos de intersección de las circunferencias?

Construcción 2

¿Qué tipo de triángulo se obtiene con las instrucciones que seguiste?
2. Reúnete con un compañero y en sus cuadernos escriban las instrucciones para obtener un
triángulo equilátero.
Lean sus instrucciones a otra pareja para verificar que sí se obtiene ese triángulo. Es importante que solamente digan en voz alta lo que ustedes escribieron.
Hagan las correcciones necesarias para que sus instrucciones sean claras, de modo que
cualquiera pueda construir un triángulo equilátero al seguirlas.

Construcción 3

3. Identifiquen en cuál de las cuatro construcciones anteriores se obtiene un triángulo isósceles. Trácenlo.
Comparen sus construcciones y sus respuestas con las de otras parejas.

Construcción 4

4. En grupo, comenten qué cambios deben hacer al seguir las instrucciones para construir un
triángulo equilátero que mida 3 cm por lado.
5. Con regla y compás, traza en tu cuaderno un triángulo escaleno cuyos lados midan 3 cm,
4 cm y 2 cm.
a) Al trazar la primera línea, ¿cuál es la apertura del compás con respecto a la distancia
que hay entre los dos puntos que se marcan en ella?
Compara tu construcción con la de otros compañeros.

52


•• Con tu regla traza una línea recta y marca en ella dos puntos; de esta manera has trazado un segmento. Los puntos son sus extremos.

S6
Sesión 24

En esta sesión seguirás construyendo triángulos
y cuadriláteros utilizando el juego de geometría.

1. Considera las cuatro construcciones que aparecen en
la sesión anterior e identifica aquellas dos en las que
al unir los puntos extremos del segmento con los dos
puntos de intersección de las circunferencias se traza
un rombo. ¿Cuáles son esas construcciones? Subraya
tu respuesta.
•• onstrucción 1
C

Paso 1. Trazar un segmento de 5 cm.



Manos a la obra

Paso 2. Abrir el compás a 3.5 cm y colocarlo en un
extremo del segmento, trazar un arco.

•• Construcción 2
2. Traza los rombos y marca en cada uno la diagonal menor y la diagonal mayor.
¿Qué tipo de ángulo se forma en el punto donde se
cortan?
3. En tu cuaderno escribe las instrucciones para construir un rombo.

Paso 3. Abrir el compás a 4.5 cm y apoyarlo en el
otro extremo del segmento, trazar otro arco que corte
al primero.

Intercámbialas con algún compañero y comprueba si
al seguir tus instrucciones logra construir esa figura.
Si es necesario hacer correcciones, anótalas y comprueba nuevamente el procedimiento, pero ahora con
la ayuda de otro compañero.
4. Observa los pasos de la columna de la derecha para
trazar un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 3.5 cm y
4.5 cm. Síguelos y traza en tu cuaderno ese triángulo.
5. En tu cuaderno traza un triángulo con un lado de 6 cm
y otro de 5 cm.

Paso 4. Unir cada extremo del segmento con el punto
de corte de los arcos para obtener el triángulo.

Compara el triángulo que construiste con los de tus
compañeros y contesten las siguientes preguntas.
¿Por qué los triángulos no son todos iguales?
¿Qué dato hay que determinar para que todos los
triángulos sean iguales?
53

B1
Sesión 25

En esta sesión trazarás cuadriláteros que cumplan con ciertas condiciones.


Manos a la obra
1. Utiliza tu juego de geometría para completar los trazos y construir las figuras que se piden
en cada inciso.
b) Traza un cuadrado.

c) El segmento siguiente es la base de un rectángulo.

d) El segmento siguiente es una diagonal de un cuadrado.

2. En equipos, comparen los cuadrados y rectángulos que trazaron. Contesten las siguientes
preguntas.
¿Cuáles de las figuras trazadas son iguales?

¿Por qué?

En el caso del rectángulo a), ¿qué datos habría que definir para que todos los rectángulos
que construyeron fueran iguales?
¿Y en el caso del rectángulo c)?
3. Utilicen el juego de geometría para trazar de manera individual lo que se indica a continuación.
a) Un rombo con una diagonal de 3 cm y la otra de 7 cm.
b) Un romboide de base 7 cm y altura de 4.5 cm.
Comparen sus trazos con los de sus compañeros, ¿todas las figuras fueron iguales?
54


a) Traza un rectángulo a partir del siguiente segmento.

S6
Sesión 26

En esta sesión trazarás triángulos y cuadriláteros a partir
de ciertas condiciones.


Manos a la obra
a) ¿Se puede trazar un trapecio con 10 cm de base
mayor y 5 cm de base menor?
Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?
Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro
dato o datos se tienen que definir para que sea
única la solución?
b) ¿Se puede trazar un romboide con base de 7 cm?
dato o datos se tienen que especificar para que
sea única la solución?
c) ¿Se puede trazar un triángulo con lados de 3 cm,
2 cm y 4 cm, y un ángulo de 90º?

d) ¿Se puede trazar un rombo con una diagonal de
5 cm?

dato o datos se tienen que dar para que sea única
la solución?

e) ¿Se puede trazar un cuadrado que tenga diagonales de 4 cm?

la solución?

2. En seguida, verifiquen sus respuestas trazando las figuras en su cuaderno.

la solución?


1. En equipos, contesten en sus cuadernos las preguntas
siguientes.

3. En grupo, y con ayuda de su profesor, comparen sus
respuestas. Si se requiere, hagan las correcciones necesarias.

Consulta en…
Entra al sitio: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/dibujoTecnico/trazadodetriangulos.html,
donde encontrarás animaciones que muestran paso a paso procedimientos interesantes para
que, dadas ciertas condiciones, construyas triángulos o cuadriláteros empleando solamente
regla y compás.


Autoevaluación
1. Utiliza tu regla y tus escuadras para trazar en tu cuaderno un cuadrado que tenga 3 cm
por lado y un rectángulo que mida 7 cm de largo y 4 cm de altura.
2. ¿Cuántos rombos diferentes pueden construirse si se da la medida de sus lados?

55

uen
S ec

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas,
medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Sesión 27

En esta sesión aprenderás a trazar las alturas de cualquier tipo de triángulo,
y sus propiedades.

 sabes tú?
¿Qué
Relaciona las imágenes con el nombre de la recta correspondiente.
( ) Altura
( ) Mediana
( ) Mediatriz

1

2

3


Manos a la obra
B

1. En equipos, observen que en el siguiente
triángulo se marcaron con rojo las alturas.
Contesten las preguntas en su cuaderno.
¿De dónde a dónde van los segmentos
que indican las alturas del triángulo?

A
56

C


7
cia

Alturas, medianas, mediatrices
y bisectrices en los triángulos

a) ¿Qué tipo de ángulo se forma entre el segmento AB y su altura?
b) ¿Y entre el segmento BC y su altura?

d) ¿Cómo pueden trazar una altura en un triángulo empleando las escuadras?
e) ¿A qué se le llama altura en un triángulo?
f) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y elijan la técnica más práctica para
encontrar las alturas en diferentes triángulos.
2. Encuentra el punto en que se unen las alturas en los siguientes triángulos.

altura

La altura en un triángulo es el segmento de recta que va desde el vértice de un ángulo hasta el lado
opuesto, formando un ángulo de 90º con el mismo. Las escuadras son un buen recurso para trazar la
altura: se coloca la escuadra de 60° sobre el segmento al que se le va a trazar la altura, se desliza
la otra escuadra, usando su ángulo de 90°, hasta encontrar el vértice opuesto a dicho segmento
y se traza la altura.

Paso 1.

Paso 2.


c) Sin medirlo, ¿qué tipo de ángulo crees que se formará entre el segmento AC y su altura?
Utiliza tu juego de geometría para comprobarlo.

Paso 3.

Dado un triángulo, sus alturas siempre se intersecan en un único punto, llamado ortocentro.
57

B1
Sesión 28

En esta sesión conocerás otra recta notable de los triángulos: la mediana.


Manos a la obra
1. En equipos, analicen el segmento azul trazado en el triángulo ABC. A este segmento se le
denomina mediana.

D

A

B

a) ¿Cuánto mide la distancia de A a D?

f) ¿Cuáles son los pasos a seguir para trazar una mediana en un triángulo?

b) ¿Cuánto mide la distancia de D a B?
c) ¿Desde dónde hasta dónde va la mediana que lle-

g) Tracen las medianas sobre los segmentos BC y CA
de tal forma que tengan las mismas propiedades
que el trazo de color azul.

ga al segmento AB?
d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos
y contesten.

h) ¿Las medianas tienen algún punto de intersección?

e) ¿Cuáles son las características de una mediana?

2. Traza las medianas en los siguientes triángulos y observa dónde se intersecan.
C
La mediana es el
segmento que une
un vértice de un
triángulo con el
punto medio del
lado opuesto.

C
C

A

Las medianas se
intersecan siempre
en un único punto
llamado baricentro.
A
58

B

B

A

B


C

S7
Sesión 29

En esta sesión te presentamos otra recta notable de los triángulos, llamada
mediatriz, y sus propiedades.


Manos a la obra

P

A

B

A

B

A

B

El segmento trazado en color rojo se llama mediatriz.
Respondan las siguientes preguntas.
a) ¿Cómo son los segmentos AP y PB?
b) ¿Qué ángulo forman la mediatriz y el segmento AB?
c) ¿De qué otra forma se podrá trazar la mediatriz de un segmento?
d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y describan el procedimiento para
trazar una mediatriz sin usar el compás.
e) Explica brevemente qué es una mediatriz

2. Ahora dibuja en tu cuaderno tres triángulos de diferentes formas y tamaños y traza
las mediatrices de los lados de cada uno
de ellos.
Llamen O al punto en el que se cortan las
mediatrices.


1. En equipos, observen la secuencia de trazo de la mediatriz en un segmento y coloquen en
el recuadro una instrucción que describa claramente lo que se hace en cada paso.

En un triángulo, la mediatriz es la recta perpendicular
a uno de sus lados que pasa por su punto medio.
El punto en el que siempre se intersecan las tres
mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.

59

B1
Sesión 30

En esta sesión trazarás las bisectrices de un triángulo.


Manos a la obra
Formen equipos de tres personas y desarrollen las actividades que se indican.
1. Tracen las diagonales en la siguiente figura.

Observen ahora la siguiente figura.

D

B

D

B

Midan los ángulos en los que quedó dividido el án
gulo C.
A

¿Qué hace la recta roja al ángulo C?

¿Cómo quedaron divididos los ángulos por las diagonales que trazaron?

Dividan los ángulos D y B de la misma forma en que
está dividido el ángulo C.
Las rectas que trazaron se llaman bisectrices.
2. Observen detenidamente los pasos a seguir para trazar la bisectriz de un ángulo y escriban
en cada recuadro una instrucción clara para realizar dicho trazo.

60


C

C

S7
3. Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 5 cm, un triángulo escaleno de 3 cm, 5 cm
y 7 cm respectivamente, y un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y el lado
diferente, 3 cm. Traza las bisectrices de los ángulos interiores de cada triángulo con el
método anterior.
La bisectriz es la recta que divide a
un ángulo en dos ángulos iguales.

punto en común?

En un triángulo las bisectrices
siempre se intersecan en un solo
punto, llamado incentro.

Ahora traza un triángulo cualquiera y sus bisectrices. Observa qué
sucede con el punto que tienen en común las bisectrices.
Comenta tus observaciones con tus compañeros.

La recta de Euler
En un triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro se encuentran en una misma
recta (son colineales), a la que se denomina recta de Euler. Se llama así en honor del
matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.

alturas

G: baricentro

mediatrices

G

H: ortocentro

medianas

H

O: circuncentro

O

Consulta en…
Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el libro:
Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”,
en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).


Resalta en color rojo el punto de intersección de las bisectrices de
cada uno de los triángulos. ¿Todas las bisectrices tienen un mismo


Autoevaluación
Responde en tu cuaderno lo siguiente.
• ¿Cómo se puede diferenciar la altura de la mediana en cualquier triángulo?
• ¿En qué tipo de triángulo coinciden las alturas, las medianas, las mediatrices y las
bisectrices?

61

uen
S ec
8
cia

Reparto proporcional

Sesión 31

En esta sesión aprenderás a repartir basándote en ciertos criterios o en
determinados factores.

 sabes tú?
¿Qué
a) Don Ernesto tiene un terreno de 94.5 hectáreas, él quiere repartirlo por partes iguales
a sus hijos: Salvador, Martín, Héctor, Ricardo y Jesús, y a sus hijas: Rosa, Juana, Guadalupe y Carmen. ¿Qué cantidad de terreno le corresponde cada uno?

b) Tres amigos ganaron un premio de lotería de $100 000.00 con un boleto que costó
$40.00. Para comprar el boleto Raúl aportó $8.00, Andrés colaboró con 4 pesos más
que Raúl, y Braulio pagó el resto. Si reparten el premio de acuerdo con lo que aportaron,
¿a quién le corresponde la mayor cantidad del premio y a quién la menor?
¿Por qué?
¿Cómo resolvieron el primer problema?
¿Y el segundo?

62


Resolución de problemas de reparto proporcional.

1. En parejas, de acuerdo con el problema del premio, contesten.
¿Qué cantidad de dinero le corresponde a Andrés?
¿Y cuánto a Braulio?
¿Y a Raúl?
Registren en su cuaderno las operaciones que realizaron para obtener sus respuestas.
Comparen sus procedimientos con los de otras parejas, verifiquen que las cantidades obtenidas sean las mismas.
Si hay algún procedimiento diferente al suyo, explíquenlo.

2. Lee el siguiente problema y resuélvelo.
De los 24 metros de listón que trae un carrete, María ocupó 8 metros para hacer una tarea
escolar, Ramiro empleó 11 metros, y Javier, el resto. El carrete les costó $60.00. Si se reparten el costo del carrete de acuerdo con la cantidad de listón que cada quien utilizó,
¿quién de ellos deberá aportar $20.00?

¿Por qué?



Manos a la obra

¿Con cuánto dinero deberá contribuir Javier?
Verifica tu respuesta con un procedimiento diferente al que empleaste.
Reflexionen sobre cuáles son las diferencias que hay entre un reparto proporcional y un
reparto equitativo.
De manera grupal escriban en su cuaderno las características que tiene un problema de
reparto proporcional.
63

B1
Sesión 32

En esta sesión continuarás con la solución de problemas de reparto
proporcional, sólo que ahora utilizarás tus conocimientos sobre fracciones.


Manos a la obra

Alberto
Flavio

1. En parejas, resuelvan el siguiente problema.
a) Tres albañiles levantaron una barda de 30 m2. Alberto levantó 10 m2, Flavio 5 m2 y Gonzalo 15 m2.
Por esta construcción les pagaron $2 100.00, y se
repartieron el dinero de acuerdo con el número de
metros cuadrados que cada quien levantó. Completen la tabla.
¿Cómo obtuvieron la cantidad de dinero que le co-

Gonzalo

rresponde a cada uno?

Total

2. De acuerdo con el problema del premio de lotería de la
sesión anterior, contesten las siguientes preguntas.
¿Quién de los tres contribuyó con la mitad del costo
del boleto?
¿Qué fracción del total del boleto aportó Raúl?
¿Qué cantidad del premio le habría tocado a Braulio si
hubiera colaborado con la cuarta parte del costo del
boleto?
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y en
su cuaderno empleen fracciones para comprobar las
cantidades que corresponden a cada uno de los tres
amigos.
Expliquen si obtuvieron o no los mismos resultados
que en la sesión anterior.

3. En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
a) Para completar un pedido que deben exportar, cinco artesanos de una comunidad juntaron los suéteres de lana que tejen. Hortensia fabricó 24 prendas;
Alonso, 40; Tomás, 30; Guadalupe, 16, y Blanca 10
piezas. Por este pedido les pagaron $22 200.00,
que repartieron proporcionalmente de acuerdo con
la cantidad de prendas que cada uno confeccionó.
¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada
uno de los artesanos?
b) Entre Angélica, Mónica y Francisco sacaron 400 copias fotostáticas de una invitación. El costo total lo
pagaron en proporción a las invitaciones que cada
uno quiere repartir. Angélica pagó $22.00 por la
cuarta parte de las copias; Mónica, 3 partes, y lo
5
demás lo aportó Francisco.
¿Cuánto pagó Francisco?
¿Cuánto se pagó en total por todas las copias?
¿Cómo obtuvieron la respuesta de la pregunta anterior?

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y verifiquen que sean correctas.
Reflexionen sobre el empleo de fracciones en los problemas de reparto proporcional. Expliquen en qué situaciones de reparto proporcional es conveniente emplear fracciones.
64


Cantidad de
2 Fracción que
Albañil Cantidad de m representan del dinero que le
construidos
total de m2
corresponde

S8
Sesión 33

En esta sesión resolverás problemas de reparto proporcional
considerando el valor unitario.


Manos a la obra
¿Recuerdan que en el problema del boleto de lotería Raúl aportó $8.00 para comprar el
boleto, Andrés, cuatro pesos más que Raúl, y el resto lo pagó Braulio?
¿Cuánto aportó cada uno de ellos?
Si se repartieron los $100 000.00 de acuerdo con lo que pusieron, ¿cuánto le habría tocado a Raúl si únicamente hubiera aportado un peso de los $40.00 que costó el boleto?
¿Qué importancia crees que tiene saber la cantidad del premio que corresponde por cada
peso invertido?
a) Cuatro campesinos rentaron un camión por la cantidad de $4 200.00 para llevar al mercado las
2.5 toneladas de aguacate que recolectaron y que
transportan en 120 cajas de madera. Observa el
registro que realizaron y completa la tabla.
¿A quién de ellos le conviene más que se reparta el
pago del camión de acuerdo con la cantidad de
cajas?

Cantidad de dinero
a pagar por el flete, de
Cantidad
Peso
Nombre de cajas (kilogramos)
acuerdo con:
Cajas
Peso
Irma

30

605

Lorena

45

945

Armando

20

450

Efrén

25

500

Total

120

2 500

¿Cuál reparto le conviene más a Efrén?
¿Emplearon fracciones para resolver este problema?

¿Por qué?

¿Cuánto se pagó por cada caja que se transportó?
¿Y cuánto por kilogramo de aguacate transportado?
b) Yolanda pagó $2 280.00 por los 60 m2 de barda
que pintaron entre Ernesto, Lorena y José. El primero pintó 28 m2, Lorena, 19 m2, y José el resto. De
acuerdo con el trabajo que cada uno realizó, ¿cuánto se le debió pagar? Para responder, completa la
siguiente tabla y en la última fila escribe la cantidad de metros cuadrados que pintó José.


1. Lean la siguiente información y contesten.

El valor unitario
se refiere a la
cantidad que
le corresponde
a una pieza,
objeto o unidad.

Metros cuadrados pintados Cantidad de dinero a pagar
60
1
28
19

Comparen sus respuestas con las de otras parejas y comprueben con algún otro procedimiento sus resultados.
65

B1
Sesión 34

En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre las diferentes formas
aprendidas del reparto proporcional y resolverás diversos problemas
que lo involucran.


Manos a la obra
a) A Marina le pagaron $300.00 por podar la quinta parte de los 60 m2 de césped de un
jardín. ¿Cuánto le pagaron a Anselmo si podó únicamente una cuarta parte de todo el
césped?
b) Cuatro amigos fueron al cine. Para pagar el total del costo de los boletos, Noemí aportó
$80.00, Abraham, $50.00 y Jesús dio $70.00. Adriana dijo que a la salida los recompensaría. En agradecimiento por haber pagado su entrada, Adriana les obsequió
$500.00 para los tres, con la condición de que se repartieran conforme a lo que cada
uno de ellos aportó para su boleto.
¿Qué cantidad de dinero de los $500.00 le corresponde a cada uno?
c) El dueño de una fábrica de calzado quiere repartir un bono de $15 000.00 entre los
cuatro vendedores que tiene. Para ello cuenta con la información de las siguientes gráficas, que corresponden a las ventas del tercer bimestre; además se sabe que en junio
se vendieron 140 unidades.
Ventas de mayo
35

Unidades vendidas

30
25
20

Ventas de junio
José
12%

15
10

Lizbeth
10%

5
0

Andrés

Ana

Lizbeth

Andrés
50%

José

Ana
28%

66


1. Resuelve los problemas siguientes.

S8
Si el bono se reparte de acuerdo con la cantidad de unidades vendidas, ¿qué cantidad

Para resolver un problema de reparto proporcional deben tomarse en cuenta
distintos criterios a fin de llevar a cabo la distribución correcta. Entre otras
formas, se puede resolver calculando el valor unitario, es decir, lo que le corresponde a una unidad; por ejemplo, en el problema del premio de lotería se ganaron $100 000 y el boleto costó $40, por lo que por cada peso aportado a una
persona le corresponde el cociente de 100 000 , es decir, 2 500.
40

Además, observamos que un problema de reparto
proporcional también se puede resolver a través de
fracciones, al determinar la fracción de la cantidad
a repartir. Por ejemplo, Braulio aportó $20.00 de
los $40.00 que costó el boleto, él aportó la mitad,
por lo que le corresponde la mitad del premio, es
decir, $50 000.00.


Autoevaluación


del bono le corresponde a Andrés?

• ¿Cómo se calcula el valor unitario?
• ¿Qué diferencia hay entre el reparto proporcional y el reparto equitativo?

• ¿Cómo se debe interpretar el cociente de dividir 2 500 kilogramos entre $4 200.00?

67

9
cia

Identificación y práctica de juegos de azar
sencillos, y el registro de los resultados.
Elección de estrategias en función del análisis
de resultados posibles.

Sesión 35

En esta sesión aprenderás a identificar cuándo un juego es de azar.

 sabes tú?
¿Qué
¿Alguna vez has jugado “gato”? Si es así, describe en qué consiste y cómo se determina al ganador.

¿Alguna vez has jugado “volados”? Describe en qué consisten y cómo se determina al ganador.


Manos a la obra
1. Reúnete con un compañero para jugar “gato” cinco veces. Uno de los jugadores inicia marcando
una cruz en una de las casillas. Luego, el siguiente
jugador marca un círculo en otra casilla. Gana el
primero que logra completar una fila, una columna
o una diagonal.
Antes de empezar, contesta de manera individual las siguientes preguntas.
¿Quién ganará el primer juego?
¿Quién va a ganar más juegos?
¿Cuántos juegos ganará cada jugador?

68


uen
S ec

Juegos de azar

Después de jugar, contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas.
¿Es cierto que en el juego del “gato”, el que inicia siempre gana?
¿Conoces algún otro juego parecido al “gato”? ¿Cómo se llama y en qué consiste?
¿Hay alguna estrategia para ganar?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y lleguen a una conclusión grupal
con la guía de su profesor.
2. Reúnete con un compañero para jugar el juego de la “escalera”. Cada jugador deberá escribir su nombre en un
extremo de la escalera. Coloquen una ficha sobre el centro
de la escalera. Utilicen una moneda para hacer los lanzamientos por turnos; cuando sale águila, la ficha se baja un
escalón, y cuando sale sol, se sube uno. Gana el jugador
cuyo nombre está escrito en el escalón al que llega antes
la ficha.
Antes de empezar, contesta:
¿Quién consideras que va a ganar el juego?
Después de jugar, contesta las siguientes preguntas.
¿Consideras que existe una manera de ganar siempre en el juego de la escalera?

¿Es cierto o no que en el juego de la escalera el que pide primero siempre gana?

Si en un “volado” la moneda cae águila, ¿es seguro que en el siguiente “volado” no caerá águila?
¿Qué puede ocurrir?

¿Conoces algún otro juego, parecido al de la escalera, en el que
antes de empezar no se sepa quién va a ganar? ¿Cómo se llama
y en qué consiste?
¿Es el juego del “gato” un juego de azar? Justifica tu respuesta.


¿Existe una estrategia para no perder en el juego? ¿Cuál es?

En un juego de azar, como el de la
escalera, no se puede saber con
anterioridad cuál será el resultado,
por lo que no se tiene seguridad de si
se va a ganar o se va a perder.

69

B1
Sesión 36

En esta sesión continuarás identificando si un juego es de azar o no.


Manos a la obra
Tienes que pensar un número mayor que 0 y menor que 50. Lo anotas en un papelito, sin
que lo vea tu compañero. Él debe adivinar el número que pensaste, y para ello puede hacerte hasta seis preguntas. Tú sólo puedes contestar sí o no. Anoten las preguntas y respuestas en la siguiente tabla.

Preguntas

Respuestas

¿Tu compañero o compañera adivinó el número que pensaste?

¿Qué número pensaste?

¿Cuántas preguntas te hizo?

Ahora es tu turno, ¿podrás adivinar el número que piense tu compañero con menos de seis
preguntas? Inténtalo.
Si este juego lo realizan muchas veces más, ¿podrían encontrar una manera segura de
adivinar el número? ¿Cuál?

70


1. En parejas, jueguen a “adivina el número”.

S9

¿Ganó quien avanzó primero?
Realicen el juego una vez más.
¿Consideran que hay una manera segura de ganar el juego?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y con su profesor. Comenten cuál de los
dos juegos anteriores es de azar y cuál no lo es, y por qué. Si encontraron estrategias para
ganar en cada juego, pruébenlas para ver si lo logran.


2. En equipos, jueguen a la “oca”. Necesitan un par de dados y una ficha por jugador. Todos
salen de Inicio y por turnos avanzan lo que sumen los dados. Gana el primero que logra
llegar a 63.

71

B1
Sesión 37

En esta sesión identificarás las principales características de un juego de azar.


Manos a la obra
Se requieren dos jugadores. El jugador que inicia el juego puede anotar sólo el número 1 o
el 2. El otro jugador puede sumar 1 o 2 al número que anotó el primer jugador. En los siguientes turnos, siempre se le suma 1 o 2 al número que anotó el jugador anterior. Gana el
juego el primero que llegue a 10. Observa lo siguiente:
Los jugadores son Toño y Manuel:

Toño

Manuel

1

3

Toño inició el juego y anotó el número 1.

5

7

Manuel decidió sumar dos y anotó el 3.

8

10

¿Qué número anotó después Toño?

¿Quién ganó?

Ahora juega con tu compañero y anota en cada caso quién ganó.
Jugador 1

Ganador:

Jugador 2

Jugador 1

Ganador:

Jugador 2

Jugador 1

Ganador:

Jugador 2

Jugador 1

Ganador:

Jueguen varias veces hasta que encuentren alguna estrategia para ganar.
Comenten con sus compañeros si este juego es de azar o no y por qué.

72

Jugador 2


1. Reúnete con un compañero para jugar “carrera al 10”. Las reglas del juego son las siguientes:

S9

Caja A

Caja B

¿De qué caja prefieres hacer la extracción?
Utiliza canicas y una caja o una bolsa para realizar varias extracciones. Recuerda que no
debes ver la canica hasta que esté afuera, y después de registrar su color debes regresarla
a la caja para seguir jugando.
Realicen el juego varias veces más, ¿hay una manera segura de ganar el juego?

Comenten en grupo y con su profesor si este juego es de azar o no y digan por qué.
3. Completa la siguiente tabla contestando Sí o No, para ello deberás tomar en cuenta los seis
juegos que has realizado en esta secuencia.
Juego

Se puede anticipar Se puede encontrar una Se puede controlar
quién ganará
estrategia para ganar
el resultado

Gato
Volados
Adivina el número
Oca
Carrera a 10
Extracción de canicas

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo, y con ayuda de su profesor
contesten las siguientes preguntas.

Caja C


2. Observa las siguientes tres cajas con canicas. Debes extraer una canica de una de las cajas, sin ver; ganas si la canica es blanca.

Es un juego
de azar

¿Al lanzar un dado, se puede determinar el número de puntos que se mostrarán en la cara
superior?

¿Por qué?

¿Se puede determinar la cara que quedará a la vista al lanzar una moneda al aire?
¿Por qué?
¿Se puede determinar el color de la canica que se extrae de una caja o urna, sin ver?
¿Por qué?
73

Matematicas i 2012

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