Demostração do Teorema de Lagrange

1. Teorema de Lagrange
Telma Cristhina

2. Biografia
• Joseph Louis Lagrange

3. Biografia
 Turim, 25 de janeiro de 1736.

4. Biografia
Aos 16 anos de idade,
Lagrange, já estava se
dedicando à matemática. A
dedicação foi grande e
começou após ter
conhecido um trabalho feito
por Edmond Halley
(Haggerston, 08/11/1656-
Greenwich, 14/01/1742, o
matemático e astrônomo
britânico, o descobridor do
cometa).

5. Biografia
 Em 1754, com 18 anos, escreveu o seu
primeiro trabalho científico.
 Com 19 anos, ou seja, em 1755, começou a
atuar profissionalmente como professor de
matemática na Escola Real de Artilharia, na
sua terra natal, Turin. Ele ficou nesta escola
até 1766.
 Começou lecionando Geometria, mas,
posteriormente, dadas as suas intensas
pesquisas matemáticas em trabalhos escritos
por matemáticos conhecidos como:

6. Biografia
 Isaac Newton (Woolsthorpe-by-
Colsterworth, 4 de janeiro de 1643 (no
calendário Gregoriano) —Londres, 31 de
março de 1727).

7. Biografia
 Gottfried Wilhelm von Leipzig (Leipzig, 1 de
julho de 1646 — Hanôver, 14 de novembro de
1716)

8. Biografia
 Daniel Bern (Groningen, 8 de fevereiro de
1700 — Basileia, 17 de março de 1782)

9. Biografia
 Leonard Euler (Basiléia, Suíça 15 de abril
de 1707, e morreu em São Petersburgo 18 de
setembro de 1783).

10. Biografia
 O seu domínio sobre Análise
Matemática acabou o
credenciando a fazer análises
e avaliações de alguns desses
trabalhos. Tanto que, aos 23
anos, ele pegou um trabalho
de Isaac Newton e aplicou
cálculos integrais à teoria das
probabilidades.
 Ele e outros intelectuais
formaram uma produtiva
Castelo e Vila Medieval de Turin
sociedade científica que,
inclusive, fundou a Academia
de Ciências de Turin.

11. Biografia
 Em 02 de outubro de 1759, não só foi
convidado a participar do quadro de
membros estrangeiros da Academia
Prussiana de Ciências, em Berlim, assim
como organizou o primeiro volume das
memórias concernentes à referida
academia.

12. Biografia
 No caso, um registro interessante é o de que
sua indicação à Academia foi feita
por Euler e d'Alembert, pois eles já conheciam o
enorme potencial de Lagrange.

13. Biografia
 Em 1761, Lagrange, já era tido como um dos
maiores matemáticos da época, por isso foi indicado
para substituir Euler na Academia Pussiana de
Ciências (Berlim, em 1766).
 Em 1762, a conceituada Academia de Ciências de
Paris abriu um prêmio aos cientistas objetivando a
explicação de como se poderia ver um pouco
mais de cinquenta por cento da superfície da lua
se esta se move desde seu eixo enquanto gira ao
redor da Terra. Lagrange foi o vencedor. O resultado
foi dado após dois anos de análises feitas pela
comissão de estudos científicos dos trabalhos
apresentados, isto é, em 1764 aos 28 anos.

14. Biografia
 Dois anos depois, em 1766, a mesma academia
lançou um outro troféu para quem explicasse
matematicamente sobre as órbitas das luas
de Júpiter. Novamente, Lagrange venceu.

15. Biografia
 No ano de 1788, aos 52 anos, é publicada sua
grande obra Méchanique analytique (Mecânica
analítca) em Paris. Nesta obra, ele resumiu todos os
feitos sobre mecânica, desde a época de
Newton, transformando a mecânica em um ramo da
análise matemática, usando a teoria das equações
diferenciais.

16. Biografia
 Diz ele na abertura de seu livro: “Nenhum diagrama
(desenho) será visto neste trabalho”, e acrescenta
que “a ciência da mecânica pode ser considerada
como a geometria de um espaço com quatro
dimensões – três coordenadas cartesianas e um
tempo-coordenada, suficientes para localizar uma
partícula móvel tanto no espaço quanto no
tempo”.

17. Biografia
 Além deste hove outros grandes trabalhos,os que
foram vencedores na Académie des Sciences de
Paris, nos anos de 1772, 1774 e 1778. No prêmio
de 72, por exemplo, ele descobriu cinco pontos
de equilíbrio especiais nas proximidades de duas
massas em órbita, são os chamados pontos de
Lagrange (correspondem a pontos especiais de
equilíbrio dentro da geometria das órbitas dos
satélites).

18. Biografia
 Em 1794, foi indicado para a Escola Politécnica
(em francês, École Polytechnique), Lagrange, foi
o planejador do curso de matemática e primeiro
professor.

19. Biografia
 Dessa época tem-se o trabalho intitulado
“Teoria das funções analíticas”, fruto das
anotações de suas aulas.

20. Biografia
 Ele também contribuiu bastante com o seu
estudo sobre Cálculo das Variações, pois, graças
a esta sua teoria, vários problemas sobre
isometria foram solucionados.
 Ainda dentro de suas contribuições não se
poderia deixar de citar também a dada à Teoria
dos Números, onde ele demonstra inclusive que
todo inteiro positivo é a soma de no máximo
quatro quadrados perfeitos.

21. Biografia
 Lagrange faleceu aos 76 anos, no dia 10 de abril
de 1813. Ele está enterrado no Panthéon e seu
nome consta na relação de 72 nomes ilustres na
famosa Torre Eiffel.

22. Teorema de Lagrange
 Teorema do Valor Médio afirma
que: se f contínua em [a, b] e
derivável em ]a, b[ então existirá pelo
menos um ponto c em ]a,b[ tal que :

23. Teorema de Lagrange
 Demonstração
Seja f uma função definida em [a,b].
Consideremos a função S dada por:

24. Teorema de Lagrange
O gráfico de S é a reta que passando pelos pontos
((a, f(a)) e (b,f(b)).
S
f
g(x)
a b

25. Teorema de Lagrange
Na demonstração do TVM iremos utilizar a função
dada por
Observe que

26. Teorema de Lagrange
Como g é contínua em [a,b]; derivável em ]a,b[ e
g(a) = g(b), pelo teorema de Roller que diz:
Se f for contínua em [a,b], derivável em ]a,b[ e
f(a) = f(b), então existirá pelo menos um c em ]a,b[
tal que f’(c)=0.
a c b

27. Teorema de Lagrange
Temos:
Assim
Daí,
Portanto

28. Teorema de Lagrange
 Geometricamente, isto significa que
a tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa c é paralela à secante que passa pelos
pontos de abcissas a e b.

29. Aplicação do Teorema de Lagrange
 O Teorema do Valor Médio também
tem uma interpretação em termos
físicos: se um objeto está em
movimento e se a sua velocidade média
é v , então, durante esse percurso
(intervalo [a,b]), há um instante (ponto c)
em que a velocidade instantânea
também é v.