Introducción a la
Mecánica de
Lagrange y Hamilton

2013
Actualización # 51 (30/10/13).
Desde el 2009
(EN CONSTRUCCION Y RE...
Copyright© 2013 por Terenzio Soldovieri C.
Todos los derechos reservados.
Impreso en la República Bolivariana de Venezuela...
A mis padres Raffaele Soldovieri Mastursi y Rita Elena Carmona, hijos Terenzio José
Soldovieri Martínez y Marchello Soldov...
Terenzio Soldovieri C.
tsoldovieri@fec.luz.edu.ve terenzio@cantv.net
BlackBerry pin: 293DBBC9

www.cmc.org.ve/tsweb
Giuseppe Lodovico Lagrangia ( Joseph Louis Lagrange ) (1736-1813).

Matemático y astrónomo francés nacido en Turín (Italia...
Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).

Matemático y astrónomo británico, conocido sobre todo por sus trabajos en análisi...
SOLDOVIERI C., Terenzio
Licenciado en Física
Profesor agregado del Departamento de Física
Facultad de Ciencias - La Univer...
Agradecimientos
Agradezco muy especialmente a ANDREA ANGELICA VILLA TORREALBA, ANDRES ELOY COLINA LEON y CESAR ALEJANDRO R...
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de ...
Prólogo

L

a Mecánica Clásica es uno de los pilares fundamentales de la Física, junto con
los Métodos Matemáticos, el Ele...
cluyendo la física y matemática necesaria para su estudio, en una forma lo más clara,
sencilla y coherente posible sin sac...
de Legendre, de mucha utilidad al estudiar la Mecánica de Hamilton, es desarrollado
con amplitud.
La segunda parte del tex...
SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de ...
ÍNDICE GENERAL

I Fundamentos físicos y matemáticos básicos para estudiar Mecánica de Lagrange y Hamilton
1
1 Dinámica de ...
ÍNDICE GENERAL
1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Movimiento de un sist...
ÍNDICE GENERAL
2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2. Velocidad . . . ...
ÍNDICE GENERAL
3.4.3. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - Lagrange . . . . . . . . . . . . . . ....
ÍNDICE GENERAL
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 343
Cuando las ligaduras se usan en...
ÍNDICE GENERAL

6 Mecánica Hamiltoniana

483

6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
ÍNDICE GENERAL
7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
7.4.3. Ecuaciones d...
ÍNDICE GENERAL

Bibliografía

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (prepri...
ÍNDICE DE FIGURAS

1.1. Frontera de un sitema de partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Tipos de f...
ÍNDICE DE FIGURAS
1.12.Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal . . . . . . . . .
1.13.Posición del centro ...
ÍNDICE DE FIGURAS
1.43.Problema 35.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1.44.P...
ÍNDICE DE FIGURAS
2.25.(a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el plano xy. (b) Proyecci...
ÍNDICE DE FIGURAS
2.41.Péndulo en equilibrio estático. (a) Diagrama de cuerpo libre. (b) Diagrama con fuerzas y desplazami...
ÍNDICE DE FIGURAS
3.4. Función y (x) = 3x entre los límites de x = 0 y x = 2 y dos de sus variaciones
y ( ; x) = 3x + [Sen...
ÍNDICE DE FIGURAS
4.14.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u4 + u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
4
4.15....
ÍNDICE DE FIGURAS
5.18.Partícula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado móvil. . . . . 416
5.19.(a) Movimiento de...
ÍNDICE DE FIGURAS
6.16.Proyección del elemento de volumen sobre el plano qi pi . . . . . . . . . . . 571
6.17.Diagrama de ...
Parte I
Fundamentos físicos y matemáticos
básicos para estudiar Mecánica de
Lagrange y Hamilton

1
CAPÍTULO 1
Dinámica de un sistema de partículas

Contents
1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
1.10.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
1.2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Figura (1.1): Frontera de un sitema de partículas.

de partículas, siste...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Sistemas indeformables
Son los sistemas en los que la distancia relativa ...
1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

1.3.

Fuerzas en un sistema de partículas

En un sistema de partículas están inv...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Las fuerzas externas son las responsables del comportamiento externo del ...
1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.3): (a) Sistema S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 . (a) Sist...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
! !
!
fuerzas F 1 , F 2 y F 3 son externas que representan la interacción...
1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
! !
En este sistema, compuesto por m1 y m2 , las fuerzas !1 , !2 , N y F , son ex...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.5): Forma fuerte de la tercera ley de Newton.

La tercera ley ...
1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE
electrostática tienen esta propiedad, conservándose el momento lineal ...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

El Centro de Masa de un sistema discreto o continuo es el punto geométri...
1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE
!
La posición R CG del centro de gravedad para un sistema continuo pue...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.8): Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no...
1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

Figura (1.9): Posición del centro de masa de un sistema de N partícul...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

EJEMPLO 1.1
Sistema discreto bidimensional. Un sistema consta de tres pa...
1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

1.4.2.

Posición del centro de masa de un sistema continuo

Cuando se...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.12): Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal ....
1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

Figura (1.13): Posición del centro de masa de un cascarón hemisférico...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
............................................................................
1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE
Por lo tanto, al sustituir (1.27) y (1.28) en (1.30),
zcm =

R2 RaR
0
...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
! !
!
Cada uno de los subsistemas tiene su centro de masa posicionado en ...
1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE
o,
!
R =

1
M

s
P

!
Mj R j

(1.38)

j=1

que es la posición del cent...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Figura (1.16): Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hem...
1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

Figura (1.17): Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de den...
CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
y al sustituir los resultados (1.43) a (1.46), (1.48) y (1.49) en (1.50) ...
1.6. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
8. Si las fuerzas externas que actúan sobre un sistema tienen una resultante y un momen...
Introducción a la Mecánica de Lagrange y de Hamilton.   T. Soldovieri.
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Introducción a la Mecánica de Lagrange y de Hamilton. T. Soldovieri.

  1. 1. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton 2013 Actualización # 51 (30/10/13). Desde el 2009 (EN CONSTRUCCION Y REVISION) Con numerosos ejemplos y una presentación que facilita la comprensión del contenido. SOLDOVIERI LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
  2. 2. Copyright© 2013 por Terenzio Soldovieri C. Todos los derechos reservados. Impreso en la República Bolivariana de Venezuela. Artes, dibujos y gráficos: Terenzio Soldovieri C. Decoraciones y portadas: Terenzio Soldovieri C. Toda la estructura de este libro ha sido elaborada por el autor, utilizando LaTeX. Web del autor: www.cmc.org.ve/tsweb 1:42 pm, Oct 30, 2013
  3. 3. A mis padres Raffaele Soldovieri Mastursi y Rita Elena Carmona, hijos Terenzio José Soldovieri Martínez y Marchello Soldovieri Carmona, compañera de vida Yeldri Yolaura Chourio Herrera, y todos los que fueron mis estudiantes les dedico el presente texto que con gran esfuerzo he logrado.
  4. 4. Terenzio Soldovieri C. tsoldovieri@fec.luz.edu.ve terenzio@cantv.net BlackBerry pin: 293DBBC9 www.cmc.org.ve/tsweb
  5. 5. Giuseppe Lodovico Lagrangia ( Joseph Louis Lagrange ) (1736-1813). Matemático y astrónomo francés nacido en Turín (Italia), en cuya universidad estudió. Fue nombrado profesor de geometría en la Academia Militar de Turín a los 19 años y en 1758 fundó una sociedad que más tarde se convertiría en la Academia de Ciencias de Turín. En 1766 fue nombrado director de la Academia de Ciencias de Berlín, y 20 años después llegó a París invitado por el rey Luis XVI. Durante el periodo de la Revolución Francesa, estuvo al cargo de la comisión para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas. Después de la Revolución, fue profesor de la nueva École Normale y con Napoleón fue miembro del Senado y recibió el título de conde. Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números. Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica (1788).
  6. 6. Sir William Rowan Hamilton (1805-1865). Matemático y astrónomo británico, conocido sobre todo por sus trabajos en análisis de vectores y en óptica. Nació en Dublín y estudió en el Trinity College. En 1827, sin haber obtenido su título, fue nombrado profesor de astronomía, y al año siguiente astrónomo real para Irlanda. Hamilton pasó el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio de Dunsink, cerca de Dublín. En el campo de la dinámica, introdujo las funciones de Hamilton, que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un sistema dinámico; son muy importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para el estudio de la teoría cuántica.
  7. 7. SOLDOVIERI C., Terenzio Licenciado en Física Profesor agregado del Departamento de Física Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ) tsoldovieri@luz.edu.ve tsoldovieri@fec.luz.edu.ve www.cmc.org.ve/tsweb INTRODUCCION A LA MECANICA DE LAGRANGE Y HAMILTON Con numerosos ejemplos y una presentación que facilita la comprensión del contenido. 1era edición (preprint) (EN CONSTRUCCION Y REVISION) Comenzado en el 2009 Actualización # 51 (30/10/2013) A Escrito usando LTEX Copyright c 2013 por Terenzio Soldovieri C. República Bolivariana de Venezuela ? ? ? ? ? ? ??
  8. 8. Agradecimientos Agradezco muy especialmente a ANDREA ANGELICA VILLA TORREALBA, ANDRES ELOY COLINA LEON y CESAR ALEJANDRO RODRIGUEZ CASAS, quienes fueron mis alumnos destacados en Mecánica Clásica en el Departamento de Física, Facultad de Ciencias de La Universidad del Zulia (LUZ), Maracaibo - Venezuela, por su valiosa ayuda en la corrección del presente texto. Por el mismo motivo agradezco también a STANLEY SALVATIERRA, estudiante de Ingeniería Eléctrica en la mención de Sistemas de Potencia, Facultad Nacional de Ingeniería (FNI), Oruro - Bolivia. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: I
  9. 9. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: II
  10. 10. Prólogo L a Mecánica Clásica es uno de los pilares fundamentales de la Física, junto con los Métodos Matemáticos, el Electromagnetismo y la Mecánica Cuántica. La mecánica introduce al alumno a las técnicas teóricas que son esenciales en todas las ramas de la Física, como por ejemplo: la Relatividad General, Teoría de Campos y Partículas, Mecánica Cuántica y en Caos y los Sistemas Complejos. En esta materia existen varios textos clásicos y de gran impacto, varios de los cuales se citan al final de este trabajo. Existen tanbién muchísimos textos recientes y que, con respecto a los clásicos, han mejorado la forma de presentar el contenido con la finalidad de hacerlos más didácticos y fáciles de entender. Algunos de estos últimos también son citados al final. Por algunos años he sido profesor de Mecánica Clásica en mi universidad. En el transcurrir de esos años he elaborado los clásicos apuntes de clases que solemos hacer los profesores, en los cuales ponemos nuestro mejor esfuerzo y dedicación para hacer que nuestros alumnos entiendan lo mejor posible el contenido que se quiere transmitir. Estos apuntes recogen datos valiosos obtenidos durante las clases, originados de las preguntas y discusiones que a menudo surgen durante las mismas. Involucran también las soluciones por mi encontradas a las dificultades que los alumnos tenían para poder comprender los distintos puntos tratados, lo cual es muy valioso puesto que permite ajustar la presentación del contenido. Es obvio que el contenido de mis apuntes de clases se ajusta al interés particular del curso que he dictado, sin embargo, siempre son de gran utilidad para cualquier curso en general referente a la materia. El presente texto es un esfuerzo por lograr ordenar todos esos apuntes y hacer público mi trabajo para el disfrute de la comunidad académica. El objetivo de este texto es presentar la Mecánica de Lagrange y de Hamilton, inIII
  11. 11. cluyendo la física y matemática necesaria para su estudio, en una forma lo más clara, sencilla y coherente posible sin sacrificar profundidad en el contenido, haciendo que el texto sea de muy fácil comprensión. Para lograr esto en mis apuntes de clases, realicé una muy amplia investigación consultando numerosos textos de los que se encuentran en el mercado referente a la materia (entre ellos los clásicos) así como varias publicaciones de revistas científicas y numerosísimas notas de clases encontradas en internet, sin embargo un gran número de ellas no pudieron ser referenciadas por no poseer los datos de origen suficientes. De todos esos textos fue extraido lo mejor de cada uno, siempre buscando la mejor explicación, la mejor definición, las mejores interpretaciones, etc., y siempre teniendo en mente que sea lo más claro y fácil de entender para luego ser procesadas y enfocadas en mi particular punto de vista y orden de contenidos. El texto fue dividido en dos partes. En la primera parte se presentan los fundamentos físicos y matemáticos básicos que son indispensables para abordar la Mecánica de Lagrange y de Hamilton, como lo son: la dinámica de un sistema de partículas, todo lo referente a ligaduras y coordenadas generalizadas, desplazamiento y trabajo virtual, principio de los trabajos virtuales y de D’Alembert, principio de Hamilton, cálculo variacional con fronteras fijas y transformación de Legendre. Lo referente a la dinamica de un sistema de particulas no es muy distinto a lo que se encuentra en el comun de los textos disponibles en el mercado, sin embargo es presentado en una forma detallada en referencia a los cálculos involucrados. Por otro lado, en referencia al concepto de ligadura, que es de gran importancia ya que de una u otra forma están presentes en los sitemas mecánicos, en el presente texto se hace un amplio estudio que permite fijar con firmeza este concepto mediante una detallada clasificación, ejemplos y figuras. En el caso de los desplazamientos virtuales, se presenta de forma clara su definición que con muchísima frecuencia en la mayoría de los textos sólo se menciona muy poco al respecto a pesar de ser el punto de partida para poder comprender todo lo referente al trabajo virtual, principio de los trabajos virtuales y el principio de D’Alembert que es fundamental en la mecánica y a partir del cual se puede desarrollar la mecánica de Lagrange. En el caso del cálculo variacional y la transformación de Legrendre se presentan sendos y extensos capítulos con contenido de directa aplicabilidad a la mecánica de Lagrange y de Hamilton que no suele ser tratado con suficiente profundidad en la gran mayoría de los textos de mecánica ya que son dejados para los cursos dedicados a esa materia en específico. En particular, lo relacionado a la transformación SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: IV
  12. 12. de Legendre, de mucha utilidad al estudiar la Mecánica de Hamilton, es desarrollado con amplitud. La segunda parte del texto trata, exclusivamente, sobre la mecánica de Lagrange y de Hamilton, las transformaciones canónicas y la teoría de Hamilton-Jacobi. Todos estos contenidos son presentados de una forma muy coherente donde se hace obvio la utilidad e importancia de todo lo estudiado en la primera parte del texto. Todos estos puntos son desarrollados de una forma muy fácil de entender, siempre presentando aquellos tópicos teóricos que son básicos en cualquier curso de este tipo y presentando numerosos ejemplos en los cuales se aplican los contenidos estudiados, ayudados con figuras ilustrativas. En fin, aquí les dejo el presente trabajo esperando que sea de gran utilidad a la mayor cantidad de personas interesadas en la materia, en especial, a la multitud de alumnos que la tienen como curso obligatorio en sus respectivas carreras universitarias. Prof. Terenzio Soldovieri C. Departamento de Física Facultad de Ciencias La Universidad del Zulia (LUZ) Maracaibo - Estado Zulia República Bolivariana de Venezuela ALBERT EINSTEIN "Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas". "Lo más incomprensible del Universo, es que sea comprensible". "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas". "Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber". "La alegría de ver y entender es el más perfecto don de la naturaleza". SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: V
  13. 13. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: VI
  14. 14. ÍNDICE GENERAL I Fundamentos físicos y matemáticos básicos para estudiar Mecánica de Lagrange y Hamilton 1 1 Dinámica de un sistema de partículas 1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Clasificación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . . 1.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto . . . 1.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo . . 1.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto 1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 8 11 11 11 13 16 19 23 28
  15. 15. ÍNDICE GENERAL 1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partículas - Masa reducida 1.8. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . 1.11.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Definiciones y principios básicos 67 2.1. El espacio y el tiempo en Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Tipos de ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Por modo de activación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Clasificación de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo . . . . . . . . . . Ligaduras reónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ligaduras esclerónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Si son o no una relación bilateral algebraica entre las coordenadas Ligaduras Holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ligaduras No-Holónomas y Semi-Holónomas . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Ligaduras lisas o ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Dificultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2. Tipos de Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3. Ecuaciones de transformación entre las coordenadas ordinarias y las coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4. Espacio de Configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Algunas magnitudes físicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. 29 35 37 38 43 43 45 48 49 68 70 75 75 76 78 78 78 79 80 80 82 82 83 95 104 106 107 108 108 108 110 113 114 116 Pág.: VIII
  16. 16. ÍNDICE GENERAL 2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4. Trabajo Mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.5. Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Forma general en coordenadas generalizadas de las ligaduras holónomas, no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1. Ligaduras holónomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . 2.9.2. Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.Un método para determinar si una ligadura en forma de diferencial o de velocidad es holónoma o no-holónoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.Ejemplos de determinación de coordenadas generalizadas para algunos sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.Desplazamiento real y virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.1. Desplazamiento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.2. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clasificación de los desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . . 2.13.Trabajo real y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.1. Trabajo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13.2. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.Algunos principios mecánicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.1. Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.2. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.3. Principio de Ostrogradski-Hamilton o de Acción Estacionaria . . . . 2.15.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Cálculo variacional con fronteras fijas 3.1. Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Definición de Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Variación de una funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Planteamiento del problema variacional a estudiar . . . . . . . . . 3.3. Función vecina y variación admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Cálculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler . . . 3.4.2. Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de Euler SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. 116 117 117 118 120 122 122 123 125 132 142 142 142 143 155 155 155 156 156 156 169 177 180 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 194 195 200 201 206 206 212 Pág.: IX
  17. 17. ÍNDICE GENERAL 3.4.3. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Cálculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forma explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 3.5.2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . n P 0 Alj [yi (x) ; x] yj (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0 . . 3.5.3. Restricciones del tipo Dl = j=1 Rx 0 3.5.4. Restricciones del tipo isoperimétrico x12 gl [yi (x) ; yi (x) ; x] dx = %l . . 3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Transformada de Legendre Mecánica de Lagrange y Hamilton 5 Mecánica Lagrangiana 252 265 275 293 4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Convexidad y concavidad de funciones y propiedades . . . . . . . . . . . 4.2.1. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Determinación de la convexidad y la concavidad de una función En caso de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . En caso de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Transformada de Legendre para una variable independiente . . . . . . . 4.4. Transformada de Legendre para más de una variable independiente . . 4.5. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Algunas propiedades matemáticas de la transformada de Legendre . . . 4.6.1. La inversa de la transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II 219 225 227 227 237 248 294 297 297 299 300 301 305 310 311 316 319 325 325 329 330 331 335 337 5.1. Ecuaciones de Lagrange obtenidas partiendo del Principio de D’Alembert 338 5.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 5.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: X
  18. 18. ÍNDICE GENERAL Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 343 Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 344 5.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . 349 5.2. Ecuaciones de Lagrange obtenidas a partir del Principio de OstrogradskiHamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 5.2.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 5.2.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 357 Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 357 5.2.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . 358 5.3. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . 360 5.4. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . 362 5.4.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 5.4.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . 395 5.4.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . 419 5.5. Propiedades del Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 5.5.1. Invariancia bajo una transformación de Gauge . . . . . . . . . . . . 437 5.5.2. Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 5.5.3. Invariancia bajo una transformación de coordenadas . . . . . . . . 441 5.6. Coordenadas cíclicas - Momentos Generalizados y su conservación . . . 442 5.6.1. Coordenadas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 5.6.2. Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 5.6.3. Conservación de los Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . 444 5.7. Integrales Primeras de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 5.8. Integrales Primeras de Movimiento para un sistema cerrado . . . . . . . . . 447 5.9. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 5.9.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 5.9.2. Conservación del momento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . 451 Conservación del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 5.10.Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 5.10.1. Forma simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 5.10.2. Forma más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 5.11.Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 5.12.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XI
  19. 19. ÍNDICE GENERAL 6 Mecánica Hamiltoniana 483 6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . 6.2. Construcción de un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Pasos para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Construcción de un Hamiltoniano para un sistema natural . . . . . . 6.2.3. Forma práctica de construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . 6.3.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . 6.3.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . 6.4. Ecuaciones de Hamilton a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton . . 6.5. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 6.8. El Método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Transformaciones canónicas 7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Ecuaciones de transformación canónicas . . . . . 7.2.1. Caso 1: Función generatriz F1 = F1 (qi ; qi ; t) e 7.2.2. Caso 2: Función generatriz F2 = F2 (qi ; pi ; t) e 7.2.3. Caso 3: Función generatriz F3 = F3 (pi ; qi ; t) e 7.2.4. Caso 4: Función generatriz F4 = F4 (pi ; pi ; t) e 7.3. Invariante integral universal de Poincaré . . . . . . 7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson . . . . . . . . . . 7.4.1. Corchetes de Lagrange . . . . . . . . . . . . 485 486 489 489 490 492 496 496 497 498 500 500 529 545 557 558 567 576 579 583 585 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 593 594 595 596 597 606 610 610 Pág.: XII
  20. 20. ÍNDICE GENERAL 7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . 617 7.5. Transformaciones canónicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . 622 7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 8 Teoría de Hamilton-Jacobi 627 8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628 8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . 631 8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . 632 8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coordenada cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas no cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . 635 8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado de libertad . . . . . . . 635 8.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 A Teorema de Steiner 637 B Teorema de Euler 639 C Funciones monótonas y continuidad 641 D Lema fundamental del cálculo de variaciones 643 E Propiedades de los determinantes 645 F Identidad de Jacobi 649 F.1. Por transformaciones canónicas infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 649 F.2. Por cálculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XIII
  21. 21. ÍNDICE GENERAL Bibliografía SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. 653 Pág.: XIV
  22. 22. ÍNDICE DE FIGURAS 1.1. Frontera de un sitema de partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. Aquí !i y !j son los vectores r r !(int) de posición de la i-ésima y j-ésima partícula respectivamente, F ij es la !(int) fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre i-ésima, F ji es la fuerza ! ejercida por la i-ésima partícula sobre j-ésima y las F (ext) representan fuerzas externas ejercidas sobre el sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 0 1.3. (a) Sistema S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 . (a) Sistema S con dos partículas de masas m2 y m3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2 , donde m1 se desplaza sobre la superficie de m2 y éste último sobre una superficie lisa S. Hay fricción entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloque m1 . (c) Fuerzas sobre el bloque m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Forma fuerte de la tercera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas qi y qj en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! 1.7. Posición R CG del centro de gravedad de un sistema de partículas. Aquí P M = mi y M ! es el peso ! total del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . g w 13 14 1.8. Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no despreciable respecto al de la misma, en el cual se han representado varios dm y a los cuales se les han representado las ! en sus respectivas posiciones. g 16 1.9. Posición del centro de masa de un sistema de N partículas. . . . . . . . . . 17 1.10.Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.11.Distribución de mareria continua de masa m y densidad . . . . . . . . . . 19 XV
  23. 23. ÍNDICE DE FIGURAS 1.12.Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal . . . . . . . . . 1.13.Posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogéneo, de densidad y de radio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14.Cono sólido homogéneo de altura h y base de radio a . . . . . . . . . . . . 1.15.Sistema S discreto de N partículas subdividido (por completo) en s subsistemas S1 ,S2 ,S3 ,...,Ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.16.Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y un hemisferio sólido homogéneo acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.17.Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de densidad y c lado c con orificio semicircular de radio R < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.18.Dos partículas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas en ángulo recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.19.Sistema aislado de dos partículas interactuantes de masas m1 y m2 . . . . 1.20.Vector de posición !0i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r 1.21.Aro homogéneo, de radio a, que rueda sobre una superficie lisa con frecuencia angular constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.22.Vector de posición !ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . r 1.23.Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.24.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.25.Problema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.26.Problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.27.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.28.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.29.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.30.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.31.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.32.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.33.Problema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.34.Problema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.35.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.36.Problema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.37.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.38.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.39.Problema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.40.Problema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.41.Problema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.42.Problema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. 20 21 22 23 26 27 33 35 38 40 42 50 51 51 52 53 53 54 54 55 55 56 57 58 60 60 61 61 62 63 63 Pág.: XVI
  24. 24. ÍNDICE DE FIGURAS 1.43.Problema 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.44.Problema 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.45.Problema 38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1. Péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2. Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada. . . . 73 2.3. Cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.4. Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rígida de longitud `. . . . . . . . . 74 2.5. Sistema donde una canica con un orificio se desliza a través de un alambre rígido y curvo (que pasa a través de su orificio). . . . . . . . . . . . . . . 75 2.6. Movimientos posibles de un péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7. Movimientos posibles de un péndulo elástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.8. Masa puntual m en un punto de equilibrio inestable como la cima de una montaña. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.9. Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio R. . . . . . . . . . . . 79 2.10.Partícula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio R. . . . 79 2.11.Una partícula de masa m que se mueve en un aro cuyo radio cambia con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.12.Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.13.Partícula de masa m obligada a moverse sobre una superficie S (x; y; z) = 0. 85 2.14.Una partícula de masa m moviéndose sobre una mesa. . . . . . . . . . . . 86 2.15.Partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva. . . . . . . . . . 87 2.16.Partícula de masa m moviéndose sobre una recta. . . . . . . . . . . . . . . 87 2.17.(a) Cuerpo rígido plano en su propio plano. (b) Cuerpo rígido en el espacio. 89 2.18.Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene. . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.19.Los 3 grados de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.20.Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo. . . . 91 2.21.El único grado de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.22.Dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un punto común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.23.Los 4 grados de libertad de dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un punto común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.24.Cuerpo rígido en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XVII
  25. 25. ÍNDICE DE FIGURAS 2.25.(a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes R Sen ; R Cos sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.26.Partícula de masa m obligada a moverse en el interior de un paralelepípedo de dimensiones d1 , d2 y d3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.27.Movimiento de un disco sólido homogéneo de masa M y radio R que se desplaza sin resbalar sobre un plano inclinado un ángulo . . . . . . . . . . 2.28.Dos masas m1 y m2 acopladas por un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.29.(a) Ligadura lisa y (b).ligadura rugosa Para el movimiento permitido por la ligadura (deslizamiento horizontal) la reacción lisa no realiza trabajo, mientras que en el caso rugoso sí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.30.El historial temporal de un sistema es representado mediante una curva en el espacio de configuración. Se muestran cuatro posibles. . . . . . . . . 2.31.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un hilo de masa despreciable y de longitud constante `. La masa m1 se mueve a lo largo del eje x con una velocidad constante ! impuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 2.32.Péndulo doble formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas entre sí por una cuerda de masa despreciable y de longitud constante `2 , estando m1 a su vez unida a un punto fijo O por medio de otra cuerda de masa despreciable y longitud `1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.33.Sistema formado por dos partículas de masas m1 y m2 , unidas por una barra rígida de masa despreciable y de longitud constante `. . . . . . . . 2.34.Sistema formado por una varilla lisa en la cuale está ensartada una cuenta de masa m. La cuenta realiza un movimiento pre-establecido. . . . . . 2.35.(a) Desplazamiento real d! en presencia de una ligadura reónoma (b) r !, la ligadura se ha dejado çongelada.en el tiemDesplazamiento virtual r po. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.36.Desplazamiento real d! y desplazamiento virtual !. . . . . . . . . . . . . r r 2.37.Espacio de fase unidimensional. Coordenada real q (t) y la coordenada desplazada virtualmente q (t) + q (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.38.Partícula de masa m que se mueve sobre una esfera lisa sin separarse de su superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.39.Anillo que se desplaza sobre un alambre liso en forma deparábola que rota con ! constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.40.Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por una barra telescópica de longitud ` = ` (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. 102 103 105 107 115 132 135 138 141 143 144 145 148 151 153 Pág.: XVIII
  26. 26. ÍNDICE DE FIGURAS 2.41.Péndulo en equilibrio estático. (a) Diagrama de cuerpo libre. (b) Diagrama con fuerzas y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.42.Partícula moviéndose dentro de un cilindro con trayectoria helicoidal. . . 2.43.Palanca horizontal en equilibrio estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.44.(a) Sistema de partículas equivalente al sistema dado. (b) Vectores de posición y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.45.Mecanismo de barras homogéneas en equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . 2.46.Centros de masa de los componentes del sistema, sus vectores de posición, los correspondientes desplazamientos virtuales y las fuerzas involucradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.47.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de una polea de diámetro despreciable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.48.Dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de una polea y donde una de las masas se desliza sobre un plano inclinado. . . . 2.49.Problema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.50.Problema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.51.Problemas 3 y 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.52.Problemas 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.53.Problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.54.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.55.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.56.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.57.Problema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.58.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.59.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.60.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.61.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.62.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.63.Problema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.64.Problema 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.65.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.66.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 160 163 164 166 167 171 173 180 180 181 182 182 183 184 184 185 186 186 187 188 189 190 191 191 192 3.1. Superficie de revolución generada por una curva y = y (x). . . . . . . . . . 196 3.2. Camino real y camino variado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.3. La función y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un valor extremal. Las funciones y ( ; x) = y (x) + (x) = y (x) + y (x) son las funciones vecinas, donde (x) se anula en las fronteras del intervalo [x1 ; x2 ].202 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XIX
  27. 27. ÍNDICE DE FIGURAS 3.4. Función y (x) = 3x entre los límites de x = 0 y x = 2 y dos de sus variaciones y ( ; x) = 3x + [Sen (x) Cos (x) + 1] (Ejemplo 3.1). . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Función y (x) = x2 entre los límites de x = 1 y x = 1 y dos de sus variaciones y ( ; x) = x2 + (x3 x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Superficie de revolución generada por una curva que une a los puntos (x1 ; y1 ).y (x1 ; y1 ), haciéndola trasladarse entrono al eje y. . . . . . . . . . . . 3.7. Partícula de masa m que se desplaza sobre una rampa lisa desde el punto P1 hasta el punto P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Planteamiento gráfico del problema de la braquistócrona. . . . . . . . . . 3.9. Camino resultante para que la partícula se mueva desde (x1 ; y1 ) = (0; 0) hasta (x2 ; y2 ) = (d; h) en el menor tiempo posible. . . . . . . . . . . . . . . 3.10.Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados por una distancia 2d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.Geodésicas sobre una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12.Distancia más corta entre dos puntos del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.Geodésicas en un cilindro circular recto de radio R. . . . . . . . . . . . . . 3.14.Función y (x) cuya área por ella encerrada ha de maximizarse. . . . . . . 3.15.Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un río de ancho 2a. . . 3.16.Problema 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Representación de una familia de relaciones fundamentales F = F (v). . . . . . 4.2. Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente de una familia de líneas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo. . . . . . . . . . . . . . 4.4. Función F (u) convexa en el intervalo [ua ; ub ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. El epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre"la curva. . . . . 4.6. Función F (u) cóncava en el intervalo [ua ; ub ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio 2 ; 32 es una función estrictamente convexa y en el dominio 32 ; 52 es una función estrictamente cóncava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Representación gráfica de la desigualdad (4.8) que expresa la condición de convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.9. Gráfica de la función F (u) = u para u > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.Gráfica de la función F (u) = e u para 6 0 y u > 0. . . . . . . . . . . . . . 4.11.Gráfica de la función F (u) = au2 + bu + c con a < 0 y u variable real. . . . . 4.12.Gráfica de la función F (u) = e u + u con > 0 y u variable real. . . . . . . 4.13.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u2 + u2 2u1 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. 203 204 211 214 215 217 218 231 233 235 270 272 289 295 296 297 298 298 299 300 301 303 304 304 305 307 Pág.: XX
  28. 28. ÍNDICE DE FIGURAS 4.14.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u4 + u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 4 4.15.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u1 + u2 4u1 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4.16.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = ln u1 + ln u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.17.(a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente v = v (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.18.Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación fundamental de una variable F = F (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 309 310 312 313 5.1. Partícula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinado un ángulo con respecto a la horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 5.2. Partícula de masa m inmersa en un campo de fuerza conservativo. . . . . 366 5.3. La máquina simple de Atwood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 5.4. Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable, que gira uniformemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 5.5. Movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción de la gravedad en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 5.6. Partícula de masa m que está obligada a moverse sobre la superficie interna de un cono liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 5.7. Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 a dos soportes fijos que está a una distancia D entre sí.380 5.8. Coordenadas generalizadas del sistema formado por dos masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 a dos soportes fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 5.9. Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una aceleración constante a en la dirección +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 5.10.Coordenadas Cartesianas para el pédulo simple de la figura 5.9. . . . . . 383 5.11.Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa despreciable, que tiene la forma de la parábola z = cr2 . . . . . . . . . . . . 387 5.12.Máquina de Atwood doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 5.13.Disco sólido de centro O0 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la superficie semicircular fija con centro O y radio R2 > R1 . . . . . . . . . . . . 392 5.14.Coordenadas del centro de masa del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 5.15.Disco de masa M y radio R rueda, sin resbalar, hacia abajo en un plano inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 (h) (h) 5.16.Detalles para encontrar las ecuaciones de ligadura f4 y f5 para el sistema mostrado en la figura 5.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 5.17.Partícula de masa m que comienza a moverse desde el reposo, partiendo de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso. . . . . . . . . . . . . . . . . 413 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XXI
  29. 29. ÍNDICE DE FIGURAS 5.18.Partícula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado móvil. . . . . 416 5.19.(a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes R Sen ; R Cos sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 422 5.20.Carrito rectangular homogéneo de masa M inmerso en un campo eléc! trico uniforme E dirigido a lo largo del eje x. Las ruedas no resbalan, así la fuerza de fricción estática entre ellas y la superficie proporcionan fuerzas ! ! F a y F b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 ! ! ! ! 5.21. F 1 , F 2 y F Q son las fuerzas eléctricas ejercidas por el campo eléctrico E sobre las cargas q1 , q1 y Q respectivamente. La fuerza de fricción estática ! ! entrelas ruedas y la superficie proporcionan fuerzas F a y F b . . . . . . . . 434 5.22.Cambio del vector de posición debido una traslación del sistema. . . . . 453 5.23.Variación del vector de posición al rotar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 6.1. Partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie del cilindro x2 + y 2 = R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 6.2. Péndulo esférico de masa pendular m y longitud b. . . . . . . . . . . . . . . 517 6.3. Coordenadas esféricas de la masa pendular m en un pédulo esférico. . . 518 6.4. Partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una fuerza Kx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 6.5. Partícula de masa m que se mueve en un plano, inmersa en un campo con energía potencial U = U (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 6.6. Péndulo simple de masa pendular m y longitud `. . . . . . . . . . . . . . . . 526 6.7. Coordenadas Cartesianas y cilíndricas para la masa pendular m del péndulo mostrado en la figura 6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 6.8. Trayectoria de fase en un espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 6.9. Diagrama de fase para la partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie de un cilindro, mostrada en la figura (6.1). . . . . . . . . . . . . 560 6.10.Diagrama de fase para la máquina simple de Atwood de la figura 5.3. . . 561 6.11.Partícula de masa m que se desliza bajo la acción de la gravedad y sin 2 fricción sobre un alambre que tiene forma de parábola y = x . . . . . . . . 561 2 6.12.Diagrama de fase para el sistema mostrado en la figura (6.11). . . . . . . . 563 6.13.Diagrama de fase para el péndulo de la figura 6.2 con ' = ! = constante. p p La figura 6.13(a) es para ! < g=` y la 6.13(b) es para ! > g=`. . . . . . . 565 6.14.Diagrama de fase para el péndulo simple de la figura (6.6). . . . . . . . . . 567 6.15.Evolución de una región en el espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . 569 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XXII
  30. 30. ÍNDICE DE FIGURAS 6.16.Proyección del elemento de volumen sobre el plano qi pi . . . . . . . . . . . 571 6.17.Diagrama de fase para un conjunto de partículas de masa m moviéndose inmersas en un campo gravitacional constante. . . . . . . . . . . . . . . . . 575 6.18.Partícula de masa m que se mueve en un plano bajo la influencia de una C fuerza F (r) que se deriva del potencial U (r) = rn . . . . . . . . . . . . . . . 581 D.1. Función arbitraria (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: XXIII
  31. 31. Parte I Fundamentos físicos y matemáticos básicos para estudiar Mecánica de Lagrange y Hamilton 1
  32. 32. CAPÍTULO 1 Dinámica de un sistema de partículas Contents 1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Clasi…cación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo . . . . . . . . . . . . 19 1.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto . . . . . . . . . . 23 1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partículas - Masa reducida 35 1.8. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.9. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.10. Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.10.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 43
  33. 33. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 1.10.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.10.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 49 Sistema de partículas Los cuerpos que se observan a simple vista están formados por un gran número de partículas, macroscópicas, atómicas o subatómicas. Sólo en ciertos casos es válida la simplificación que supone el modelo de la masa puntual. En otros casos, por el contrario, será necesario considerar el sistema como si estuviese formado por varias partículas. Se llama Sistema de Partículas, Sistema Mecánico o Sistema Dinámico a un conjunto de varias partículas, de número finito o infinito, de las cuales se quiere estudiar su movimiento. Por otro lado, Se llama Configuración de un Sistema a la posición de cada una de sus partículas en un instante dado. Para definir la configuración se necesita un determinado número de parámetros según el sistema de que se trate. Por ejemplo, una partícula libre precisa de tres parámetros (x; y; z) son sus coordenadas Cartesianas. Un sistema de N partículas libres queda definido por 3N parámetros. Sin embargo, si existen ligaduras (detalles en el capítulo 2) que restrinjan el movimiento, el número de parámetros preciso para definir la configuración podría ser menor. Todo sistema está definido por su frontera, Se llama Frontera del Sistema (ver figura 1.1) a la envoltura imaginaria que lo encierra y separa de su entorno o exterior. En el exterior o entorno del sistema pueden existir agentes que ejerzan influencia sobre el mismo como: campos gravitacionales o eléctricos originados por otro sistema SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 4
  34. 34. 1.2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS Figura (1.1): Frontera de un sitema de partículas. de partículas, sistemas de partículas en contacto él, etc. Puede pensarse que la frontera de un sistema de partículas tiene propiedades especiales que sirven para: (a) aislar el sistema de su entorno o para (b) permitir la interacción de un modo específico entre el sistema y su entorno. Debe quedar claro que el espesor de la frontera es matemáticamente cero por lo que no puede contener materia ni ocupar algún lugar en el espacio. El valor de alguna variable física del sistema medida exactamente sobre su frontera debe ser igual tanto para el interior como para el exterior, ya que el sistema y el entorno están en contacto en ese punto. 1.2. Clasificación de los sistemas de partículas Un sistema de partículas puede ser clasificado como: 1.2.1. Discreto Este modelo considera el cuerpo formado por un número finito de partículas que están localizadas. En un sistema discreto la masa total del sistema se obtiene sumando las masas de todas las partículas que lo forman. Dentro de este modelo se consideran: SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 5
  35. 35. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Sistemas indeformables Son los sistemas en los que la distancia relativa entre las partículas que lo constituyen permanece inalterable en el tiempo. Sistemas deformables Son los sistemas en los que puede cambiar la distancia relativa entre las partículas que lo constituyen. 1.2.2. Continuo Este modelo considera el cuerpo formado por una distribución continua de materia, es decir, por un número infinito de partículas. Las partículas que lo forman no se pueden delimitar, llenando todo el espacio que ocupa. Al igual que en el caso discreto, dentro de este modelo se consideran: Sistemas indeformables Son los sistemas que no sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, son sistemas de partículas contínuos cuyas posiciones relativas no cambian. A estos sitemas se les da el nombre de Cuerpo Rígido. Un cuerpo rígido es una idealización ya que, en la naturaleza, todos los cuerpos se deforman en mayor o menor grado bajo la acción de una fuerza externa. Sin embargo, en muchos casos la deformación puede ser tan pequeña que para fines prácticos se puede suponer que no existe. Para el estudio del comportamiento de estos sistemas existe la denominada Mecánica de los Cuerpos Rígidos. Sistemas deformables Son los sistemas que sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, son sistemas de partículas contínuos cuyas posiciones relativas internas cambian. En muchos casos prácticos un sistema discreto que tenga un gran número, pero finito, de partículas puede tratarse como un sistema continuo. Inversamente, un sistema continuo puede tratarse como un sistema discreto con un gran número, pero finito, de partículas. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 6
  36. 36. 1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS 1.3. Fuerzas en un sistema de partículas En un sistema de partículas están involucradas fuerzas que son ejercidas sobre las partículas que lo constituyen y que son las causantes de la variación de la cantidad movimiento lineal o momento lineal ! de las mismas. A estas fuerzas resulta p conveniente clasificarlas ya que las partículas del sistema no sólo están interaccionando entre sí, sino con otras partículas que no pertenecen al mismo sistema. Es posible clasificarlas atendiendo a varios criterios (ver figura 1.2): Figura (1.2): Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. Aquí !i y !j son los vectores de posición de la r r !(int) i-ésima y j-ésima partícula respectivamente, F ij es la fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre !(int) ! i-ésima, F ji es la fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre j-ésima y las F (ext) representan fuerzas externas ejercidas sobre el sistema. 1.3.1. Externas e internas Fuerzas externas Las Fuerzas Externas son aquellas ejercidas por agentes externos al sistema, es decir, son las que están aplicadas a partículas del sistema por partículas, distribuciones de materia u otros agentes que no pertenecen al mismo sistema. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 7
  37. 37. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Las fuerzas externas son las responsables del comportamiento externo del sistema y son las únicas que modifican su momento lineal !, influyendo sobre una o más partes p del mismo o sobre su totalidad. Estas fuerzas pueden ser los pesos de las partículas del sistema, reacciones causadas por las superficies en contacto con las mismas, fuerzas ejercidas externamente mediante cuerdas, etc. ! En este texto serán denotadas por: F (ext) cuando se trate de la fuerza externa total !(ext) o resultante sobre el sistema y por F i cuando se trate de la fuerza externa total sobre la i-ésima partícula a menos que, para casos particulares, sea indicada otra notación. A un sistema de partículas sobre el cual no se aplican fuerzas externas se le denomina Sistema Aislado o Sistema Cerrado. Es decir, es un sistema que no interacciona con otros agentes físicos situados fuera de él y, por tanto, no está conectado en forma “causal” ni en correlación con nada externo a él. Particulamente, un sistema inercial aislado es aquél en el que son válidas las tres Leyes de Newton y tiene las siguientes características: 1. La evolución del sistema es independiente del origen de la coordenada temporal, es decir, el tiempo es homogéneo. 2. La evolución del sistema es idenpendiente del origen de coordenadas del sistema inercial, es decir el espacio es homogéneo. 3. La evolución del sistema es independiente de la dirección de los ejes de sistema de coordenadas escogido, es decir, el espacio es isótropo. Fuerzas internas Las fuerzas internas son aquellas ejercidas entre las partículas que constituyen al sistema, es decir, son las que están aplicadas a partículas del sistema debidas a otras partículas del mismo sistema. Las fuerzas internas son las que determinan el grado de rigidez o cohesión de un determinado sistema y no influyen en su comportamiento externo. Estas pueden ser las fuerzas de atracción gravitacional entre las partículas del sistema, la fuerza eléctrica si las partículas tienen cargas eléctricas, fuerzas de contacto entre las partículas, etc. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 8
  38. 38. 1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Figura (1.3): (a) Sistema S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 . (a) Sistema S 0 con dos partículas de masas m2 y m3 . ! En este texto serán denotadas por: F (int) cuando se trate de la fuerza interna total !(int) cuando se trate de la fuerza interna total sobre la o resultante en el sistema y por F i i-ésima partícula, a menos que, para casos particulares, sea indicada otra notación. Como ejemplo para ilustrar los conceptos de fuerza externa y fuerza interna, considérense los sistemas mostrados en la figura 1.3. En la figura 1.3(a) se muestra un sistema S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 posicionadas con respecto al origen O del referencial mostrado mediante los vectores de posición !1 , !2 y !3 respectivamente. r r r Sobre estas partículas actuan las siguientes fuerzas: 8 ! > F 1 fuerza ejercida sobre m1 por un agente externo. < ! Fuerzas sobre m1 F fuerza ejercida sobre m1 por m2 . > !12 : F 13 fuerza ejercida sobre m1 por m3 . Fuerzas sobre m2 Fuerzas sobre m2 8 ! > F 2 fuerza ejercida sobre m2 por un agente externo. < ! F fuerza ejercida sobre m2 por m1 . > !21 : F 23 fuerza ejercida sobre m2 por m3 . 8 ! > F 3 fuerza ejercida sobre m3 por un agente externo. < ! F fuerza ejercida sobre m3 por m1 . > !31 : F 32 fuerza ejercida sobre m3 por m2 . ! ! ! ! ! ! En este sistema las fuerzas F 12 , F 13 , F 21 , F 23 , F 31 y F 32 son internas y, como se puede ver, representan las fuerzas de interacción mutua entre las tres partículas. Las SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 9
  39. 39. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ! ! ! fuerzas F 1 , F 2 y F 3 son externas que representan la interacción del sistema con un agente externo al mismo. Figura (1.4): (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2 , donde m1 se desplaza sobre la superficie de m2 y éste último sobre una superficie lisa S. Hay fricción entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloque m1 . (c) Fuerzas sobre el bloque m2 . Por otro lado, en la figura 1.3(b) se muestra el mismo sistema de tres partículas pero donde se ha escogido como objeto de estudio al sistema S 0 formado por las partículas ! ! ! ! de masas m2 y m3 . En este caso, las fuerzas F 23 y F 32 son internas y las fuerzas F 2 , F 3 , ! ! ! ! ! F 21 y F 31 son externas (estas dos últimas eran internas para S). Las F 1 , F 12 y F 13 , que en S pertenecían al sistema, ahora nada tienen que ver con S 0 ya que no ejercen ninguna influencia sobre él. Otro ejemplo es el mostrado en la figura 1.4. En la figura 1.4(a) se presenta un sistema constituido por dos bloques de masas m1 y m2 que se desplazan el uno sobre el otro habiendo fricción. El cojunto de bloques, a la vez, se desplaza sobre una superficie ! lisa , debido a la acción una fuerza F sobre el bloque de masa m2 ejercida por un agente externo (una persona o una máquina hala al bloque). Las fuerzas involucradas son las siguientes: 8 ! > w 1 peso de m1 . < ! Fuerzas sobre m1 N fuerza normal aplicada por m2 sobre m1 . > !12 : F f 12 fuerza de fricción aplicada por m2 sobre m1 . Fuerzas sobre m2 8 > > > > > > < > > > > > > : ! peso de m . w2 2 ! N 21 fuerza normal aplicada por m1 sobre m2 . ! F f 21 fuerza de fricción aplicada por m1 sobre m2 . ! N fuerza normal ejercida por sobre m2 . ! F fuerza aplicada sobre m2 por un agente externo. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 10
  40. 40. 1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ! ! En este sistema, compuesto por m1 y m2 , las fuerzas !1 , !2 , N y F , son externas. w w ! La fuerza normal N es externa ya que es una fuerza que se ejerce sobre m2 por la ! ! ! ! superficie , que es un agente externo al sistema. Las fuerzas F f 12 , F f 21 , N 12 y N 21 son internas porque se dan entre m1 y m2 . Por otro lado, si la frontera del sistema se define de tal forma que se tome solamente uno de los bloques, entonces todas las fuerzas actuantes sobre él serían externas. La figura 1.4(b) muestra el caso en que la frotera del sistema sólo considere al bloque 1 y la figura 1.4(c) muestra el caso en que se considere al bloque 2. En ambos casos todas la fuerzas mostradas son externas y constituyen los denominados diagramas de cuerpo libre. A partir de la anterior discusión se deduce que cualquier fuerza puede ser externa o interna. Sólo depués de definir las fronteras del sistema de partículas objeto de estudio, se sabrán cuáles de las fuerzas presentes entran en cada categoría. 1.3.2. Aplicadas y de reacción Se pueden clasificar también en Aplicadas y de Reacción. Aplicadas A este tipo de fuerzas también se les denominan Fuerzas Activas. Las fuerzas aplicadas son aquellas que actúan a “motus propio” sobre el sistema, es decir, son las fuerzas impuestas. De reacción A este tipo de fuerzas también se les denomina Fuerzas Reactivas o también Fuerzas de Ligadura. Son aquellas que actúan como respuesta a un movimiento determinado que intentan impedir y sólo se dan cuando existe la tendencia a este movimiento. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 11
  41. 41. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Figura (1.5): Forma fuerte de la tercera ley de Newton. La tercera ley de Newton juega un papel muy importante en la dinámica de un sistema de partículas debido a las fuerzas internas entre las partículas que constituyen el sistema. Dos suposiciones son necesarias referentes a las fuerzas internas: 1. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas mi y mj son iguales en magnitud !(int) y opuestas en dirección. Si se denota por F ij la fuerza interna ejercida sobre la i-ésima partícula debido a la j-ésima, entonces la llamada forma “débil” de la tercera ley de Newton se escribe como, !(int) F ij = !(int) F ji (1.1) 2. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas mi y mj , además de ser iguales y opuestas, deben darse sobre el segmento recta que une las posiciones !(int) de ambas partículas, es decir, si F ij es paralela a !i !j = !ij . Esta r r r forma más restringida de la tercera ley de Newton, llamada también la forma “fuerte”, es mostrada en la figura 1.5. A las fuerzas que cumplen esta forma de la tercera ley de Newton se le denominan Fuerzas Centrales. Se debe tener cuidado en saber cuándo es aplicable cada una de las formas de la tercera ley de Newton. En verdad, muchas son las fuerzas que obedecen ambas formas de la tercera ley de Newton. Por ejemplo, las fuerza gravitacional y la fuerza SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 12
  42. 42. 1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE electrostática tienen esta propiedad, conservándose el momento lineal total y el momento angular en estos sistemas. Sin embargo, existen algunas fuerzas que, en general, ¡no cumplen con ambas formas a la vez! y el ejemplo más famoso lo constituye la fuerza de Lorentz que viene dada por, !(int) ! F ij = qi !i B ij v (1.2) que se estudia en el curso de electromagnetismo y donde !i es la velocidad de la v ! carga qi y B ij es el campo magnético sobre la carga qi generado por el movimiento de la carga qj . Esta fuerza, en general, sólo obedece a la forma débil de la tercera ley de Newton. Para visualizar esto, considérense dos partículas cargadas qi y qj que se mueven con velocidades respectivas !i y !j en el plano de esta página, como se v v muestra en la figura 1.6. Figura (1.6): Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas qi y qj en movimiento. !(int) ! Puesto que F ij es perpendicular a ambos !i y B ij ( el cual puede apuntar hacia v !(int) !(int) adentro o hacia afuera del plano de esta página), F ij puede ser paralela a F ji sólo cuando !i y !j son paralelas, lo cual no es cierto en general. v v Cualquier fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos interactuantes no es central, por lo tanto no es aplicable la forma fuerte. La fuerza gravitacional entre cuerpos en movimiento también depende de la velocidad, pero el efecto es pequeño y difícil de detectar. El único efecto observable es la precesión del perihelio de los planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra y Marte). 1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide En el estudio de la dinámica de sistemas de partículas es de una importantísima utilidad el concepto de Centro de Masa. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 13
  43. 43. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS El Centro de Masa de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. Esto será demostrado más adelante en la sección 1.6. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Por otro lado, El Centro de Gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que ejerce la gravedad sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo, producen un momento de fuerza o torque ! resultante nulo. La figura 1.7 muestra una representación de la posición del centro de gravedad para un sistema discreto de N partículas. El centro de gravedad no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el centro de gravedad de una esfera hueca homogénea está situado en el centro de la esfera que no pertenece al cuerpo. P ! Figura (1.7): Posición R CG del centro de gravedad de un sistema de partículas. Aquí M = mi y es el peso ! total del sistema. w SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. M! g Pág.: 14
  44. 44. 1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE ! La posición R CG del centro de gravedad para un sistema continuo puede ser encontrada mediante, ! R CG R ! M ! ! = R CG = ! g r r ! (!) dm g r (1.3) En la figura 1.8 se muestra un cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra cuyo tamaño no es despreciable con respecto al de ésta última, en el cual se han representado varios diferenciales de masa dm y a los cuales se les han representado las intensidades del campo terrestre ! en sus respectivas posiciones. Se puede observar g ! es un vector que varía en dirección de punto a punto por estar siempre dirigique g do al centro de la Tierra además de que podría variar también su magnitud. En este caso, de (1.3), para el cuerpo de masa M resultaría una posición para su centro de gravedad distinta a la posición de su centro de masa (cuya determinación se hará más adelante). Ahora, si el tamaño de este cuerpo es pequeño o despreciable con respecto al de la Tierra ocurriría que los ángulos entre los distintos vectores ! serían tan g pequeños que estos vectores podrían considerarse paralelos entre sí y constantes en magnitud. En este caso, por el contrario, de (1.3) resultaría una posición para el centro de gravedad igual a la posición del centro de masa. A los efectos prácticos, esta coincidencia se cumple con precisión aceptable para todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre, aun para una locomotora o un gran edificio; no sucede lo mismo con objetos astronómicos como los planetas. ! La posición centro de masa R coincide con la del centro de gravedad ! R CG cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme, es decir, cuando el vector aceleración de la gravedad ! (!) es de magnitud y dig r rección constante en todo el interior del cuerpo, ! = vector constante g Por último, queda por definir el centroide de un cuerpo geométrico, El Centroide o Baricentro es un punto que define el centro de un cuerpo geométrico unidimensional, bidimensional o tridimensional, es decir, es el centro de simetría. Hay que hacer incapié en que el centroide o baricentro se refiere a cuerpos puramente geométricos, es decir, no se refiere a cuerpos materiales ya que son cuerpos SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 15
  45. 45. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Figura (1.8): Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no despreciable respecto al de la misma, en el cual se han representado varios dm y a los cuales se les han representado las ! en g sus respectivas posiciones. sin masa. Todo cuerpo material está definido por un cuerpo geométrico que encierra toda la masa del mismo. La posición del centro de masa de un cuerpo material coincide con la posición del centroide del cuerpo geométrico que lo define, si el primero es homogéneo. Si un cuerpo material es simétrico y homogéneo, se puede hallar su centroide fácilmente. Por ejemplo, para el caso de una varilla o segmento homogéneos, el centroide es el punto medio y para una esfera o una circunferencia homogéneas, el centroide también se encuentra en su centro geométrico. El caso de un triángulo se encuentra en la intersección de las medianas1 . Por las anteriores razones y dentro de los límites mecionados, al centro de masa suele llamársele también centro de gravedad o también centroide. 1.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto Para definir la posición del centro de masa de un sistema de partículas discreto, pártase de uno formado por N partículas de masas m1 ; m2 ; :::; mN cuyos vectores de posición son !1 ; !2 ; :::; !N respectivamente con relación al origen O del referencial r r r escogido, el cual es inercial (ver figura 1.9). La masa total M del sistema vendrá dada por, 1 Las medianas son las tres rectas que unen cada vértice del triángulo con el centro del lado opuesto. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 16
  46. 46. 1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE Figura (1.9): Posición del centro de masa de un sistema de N partículas. M= N X (1.4) mi i=1 Ahora bien, El Centro de Masa de un sistema de partículas se define como el punto ! cuyo vector de posición R viene dado por, N ! 1 X ! R = mi r i M i=1 (1.5) Como, entonces, ! R = ! =xe +ye +ze ri i bx i by i bz ! N 1 X mi xi ex + b M i=1 ! N 1 X mi yi ey + b M i=1 ! N 1 X mi zi ez b M i=1 (1.6) de donde las componentes Cartesianas (xcm ; ycm ; zcm ) de la posición del centro de masa son, xcm = 1 M N P i=1 mi xi ycm = 1 M N P i=1 mi yi zcm = 1 M N P mi zi (1.7) i=1 .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 17
  47. 47. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS EJEMPLO 1.1 Sistema discreto bidimensional. Un sistema consta de tres partículas de masas m1 = 2 Kg, m2 = 4 Kg y m3 = 8 Kg, localizadas en los vértices de un triángulo rectángulo como se muestra en la figura 1.10. Encuéntrese la posición del centro de masa del sistema respecto al referencial dado. Figura (1.10): Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un triángulo rectángulo. SOLUCION: la masa del sistema, al usar (1.4), viene dada por, M= 3 X mi = m1 + m2 + m3 = 2Kg + 4Kg + 8Kg = 14Kg (1.8) i=1 Ahora, al usar (1.7), xcm 3 1 1 X = mi xi = (m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 ) M i=1 M 1 5 [(2Kg) (b + d) + (4Kg) (b) + (8Kg) (b + d)] = d + b 14Kg 7 3 1 X 1 = mi yi = (m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 ) M i=1 M = ycm = 1 4 [(2Kg) (0) + (4Kg) (0) + (8Kg) (h)] = h 14Kg 7 (1.9) (1.10) Entonces, de los resultados (1.9) y (1.10), el centro de masa está en la posición, ! R = 5 4 d + b; h 7 7 = 5 4 d + b ex + hby b e 7 7 (1.11) .............................................................................................. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 18
  48. 48. 1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE 1.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo Cuando se tiene una distribución de materia continua como la representada por la región R mostrada en la figura 1.11, las sumatorias presentes en (1.4) y (1.5) se convierten en integrales y la masa m en un diferencial de masa dm resultando, ! R = R ! R r dm, con M = R dm R 1 M y como, (1.12) ! = xb + yb + zb r ex ey ex entonces, ! 1 R = M Z 1 xdmbx + e M R Z 1 ydmby + e M R ! de manera que las componentes Cartesianas de R son, Z zdmby e (1.13) R Figura (1.11): Distribución de mareria continua de masa m y densidad . xcm = 1 M R R xdm ycm = 1 M R R ydm zcm = 1 M R R zdm (1.14) La región R puede ser unidimensional, bidimensional o tridimensional, por lo tanto, las integrales presentes en (1.12) podrán ser simples, dobles o triples respectivamente. .............................................................................................. EJEMPLO 1.2 Sistema continuo unidimensional. Encuéntrese el centro de masa de un aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal (ver figura 1.12). SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 19
  49. 49. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Figura (1.12): Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal . SOLUCION: en coordenadas polares se tiene que el diferencial de masa viene dado por, dm = rd' = ad' (1.15) por lo tanto la masa M del aro es, M= Z R dm = Z ad' = (1.16) a 0 Por la simetría mostrada en la figura y debido a que el aro es homogéneo se tiene que la abscisa del centro de masa es, (1.17) xcm = 0 A partir de (1.14) la ordenada viene dada por, Z 1 ydm ycm = M R (1.18) donde, (1.19) y = r Sen ' = a Sen ' en coordenadas polares. Por lo tanto, al sustituir (1.15), (1.16) y (1.19) en (1.18), R Z a2 Sen 'd' a 2a 0 ycm = = Sen 'd' = a 0 (1.20) Por último, de los resultados (1.17) y (1.20), el centro de masa del aro está en la posición, ! 2a 2a = ey b (1.21) R = 0; SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 20
  50. 50. 1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE Figura (1.13): Posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogéneo, de densidad radio R. y de .............................................................................................. EJEMPLO 1.3 Sistema continuo bidimensional. Calcular la posición del centro de masa de la placa homogénea de densidad mostrada en la figura 1.13. SOLUCION: en coordenadas polares el diferencial de masa viene dado por, (1.22) dm = rdrd' por lo tanto su masa resulta de, Z Z dm = M= R 4 4 Z R Cos(2') 0 rdrd' = 1 2 R 8 (1.23) entonces a partir de (1.14), considerando (1.22) y (1.23), la coordenada xcm del centro de masa es, p Z Z Z R Cos(2') 4 1 1 128 2 2 xcm = xdm = 1 2 r Cos 'drd' = R (1.24) M R 105 R 0 8 4 donde se ha tenido presente que en coordenadas polares x = r Cos '. Por otro lado, debido a la simetría de problema es obvio que, ycm = 0 (1.25) entonces, de los resultados (1.24) y (1.25), el centro de masa está en la posición, ! p p ! 128 2 128 2 R = R; 0 = Rbx e (1.26) 105 105 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 21
  51. 51. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS .............................................................................................. EJEMPLO 1.4 Sistema continuo tridimensional. Encuéntrese el centro de masa de un cono sólido homogéneo de densidad , altura h y radio de la base a (ver figura 1.14). Figura (1.14): Cono sólido homogéneo de altura h y base de radio a . SOLUCION: el diferencial de masa en coordenadas cilíndricas viene dado por, (1.27) dm = rdrd'dz por lo tanto la masa M del cono es, M= Z 0 2 Z 0 a Z h r+h a rdzdrd' = 0 1 2 ah 3 (1.28) Por la simetría mostrada en la figura y debido a que el cono es homogéneo se tiene que la abscisa y la ordenada del centro de masa vienen dadas por, xcm = ycm = 0 La cota del centro de masa es posible encontrarla a partir de (1.14), Z 1 zdm zcm = M R SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. (1.29) (1.30) Pág.: 22
  52. 52. 1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE Por lo tanto, al sustituir (1.27) y (1.28) en (1.30), zcm = R2 RaR 0 0 h r+h a 0 1 3 zrdzdrd' = 2h a 1 12 1 3 a2 h2 1 = h 2h 4 a (1.31) con respecto a su base. Entonces, de los resultados (1.29) y (1.31), el centro de masa está en la posición, ! 1 1 e (1.32) R = 0; 0; h = hbz 4 4 .............................................................................................. 1.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto Dado un sistema de partículas que ha sido subdividido por completo en subsis! temas, el objetivo de esta sección es encontrar la posición R de su centro de masa a partir de la posición de los centros de masa de cada uno de dichos subsistemas. En efecto, considérese un sistema S discreto de N partículas y masa M que ha sido subdividido (por completo) en s subsistemas S1 ,S2 ,...,Ss (ver figura 1.15). Si n1 , n2 ,...,ns representan el número de partículas de cada uno de los subsistemas debe cumplirse que, Figura (1.15): Sistema S discreto de N partículas subdividido (por completo) en s subsistemas S1 ,S2 ,S3 ,...,Ss . N = n1 + n2 + ::: + ns = s X nj (1.33) j=1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 23
  53. 53. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS ! ! ! Cada uno de los subsistemas tiene su centro de masa posicionado en R 1 , R 2 ,..., R s y masas totales M1 ,M2 ,...,Ms . Para el subsistema 1 se tiene que su masa total viene dada por, n1 X M1 = m11 + m12 + ::: + m1n1 = m1i (1.34) i=1 (el primer índice indica el subsistema y el segundo cada una de las partículas de dicho subsistema), msubsistema, partícula y los vectores de posición de cada una de las partículas que lo integran vienen dados por !11 ,!12 ,...,!1n1 . Para los restantes s 1 subsistemas se hace de forma análoga, r r r M2 = m21 + m22 + ::: + m2n2 = . . . i=1 . . . Ms = ms1 + ms2 + ::: + msns n2 P = ns P m2i . . . (1.35) msi i=1 de manera que la masa total del sistema S viene dada por, M = M1 + M2 + : : : + Ms = n1 X m1i + i=1 n2 X m2i + : : : + i=1 ns X msi (1.36) i=1 entonces, a partir de (1.5), la posición del centro de masa de cada uno de los s subsistemas de S vendrá dada por, Subsistema 1: ! R1 = 1 M1 Subsistema 2: ! R2 = 1 M2 Subsistema 3: ! R3 = 1 M3 Subsistema s: ! Rs = 1 Ms n1 P n1 P ! m1i !1i ) M1 R 1 = r m1i !1i r i=1 n2 P n3 P ! m3i !3i ) M3 R 3 = r m3i !3i r . . . ns P ns P ! msi !si ) Ms R s = r msi !si r i=1 n2 P i=1 i=1 i=1 n2 P ! m2i !2i r m2i !2i ) M2 R 2 = r i=1 (1.37) i=1 i=1 Ahora bien, al sumar miembro a miembro las expresiones (1.37) resulta, n1 n2 n3 ns X X X X ! ! ! ! ! + ! + ! + ::: + M 1 R 1 + M2 R 2 + M 3 R 3 + : : : + M s R s = m1i r 1i m2i r 2i m3i r 3i msi !si r s X j=1 s X ! Mj R j = i=1 N X i=1 i=1 i=1 m i !i r i=1 ! ! Mj R j = M R j=1 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 24
  54. 54. 1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE o, ! R = 1 M s P ! Mj R j (1.38) j=1 que es la posición del centro de masa del sistema original S calculada a partir de las ! ! ! ! posisiones R 1 ; R 2 ; R 3; : : : ; R s de los centros de masa de cada uno de los s subsistemas. En componentes Cartesianas, xcm = 1 M s P Mi xcm;i ycm = i=1 1 M s P Mi ycm;i zcm = i=1 1 M s P Mi zcm;i (1.39) i=1 donde xcm;i , ycm;i y zcm;i son las coordenadas de la posición del centro de masa del i-ésimo subsistema. Por lo tanto, En los sistemas compuestos, se pueden encontrar los centros de masa de los sistemas parciales o subsistemas y, a partir de ellos, calcular el centro de masa del sistema completo. A esta propiedad del centro de masa se le conoce como Propiedad de Agrupamiento. Es fácil mostrar que lo mismo ocurre partiendo de un sistema continuo. .............................................................................................. EJEMPLO 1.5 Sistema compuesto. Encuéntrese el centro de masa del sistema mostrado en la figura 1.16 que consiste en una concha hemisférica de radio externo a e interno b y un hemisferio sólido de radio a, ambos homogéneos de densidad . SOLUCION: la posición del centro de masa de la concha hemisférica y el hemisferio sólido vienen dadas por (se deja como tarea al alumno), 3 a4 b 4 0; 0; 3 8a b3 3 0; 0; a = 8 ! ! R concha = R 1 = ! ! R hemisferio = R 2 = 3 a4 b 4 2 = e , con M1 = b 3 3 z 8a b 3 3 2 abz , con M2 = e a3 8 3 a3 b3 (1.40) (1.41) ya que, por simetría, las coordenadas xcm y ycm son nulas para ambos casos. Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.38), ! ! ! 1 X ! M 1 R 1 + M2 R 2 R = Mj R j = M j M 1 + M2 = 4 3 (a3 b3 ) 4 3 3 a4 b4 8 a3 b3 (a3 ez + b b3 ) + 4 3 4 3 a3 3 abz e 8 a3 SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 25
  55. 55. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Figura (1.16): Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y un hemisferio sólido homogéneo acoplados. o, ! R = b4 3 ez = b 8 2a3 b3 0; 0; 3 b4 8 2a3 b3 (1.42) .............................................................................................. EJEMPLO 1.6 Sistema compuesto. Encuéntrese el centro de masa de la lámina homogénea cuadrada de densidad y lado c mostrada en la figura 1.17, a la cual se c le ha recortado un semicículo de radio R < 2 . SOLUCION: en este cado es sistema dado se descompone en dos. Uno de ellos es la lámina L cuadrada sin orificio y el otro es el orificio O. Se calcula la posición del centro de masa de la lámina cuadrada completa y del orificio, asignándole a este último masa negativa por ser una masa faltante. Para hallar el centro de masa de la lámina con el orificio se usa la propiedad de agrupamiento del centro de masa. Posición del centro de masa de la lámina cuadrada sin orificio: por la simetría del problema y por ser la lámina homogénea, es obvio que las coordenadas del centro de masa vienen dadas por, xL = 0 cm c L ycm = 2 (1.43) ML = c 2 (1.45) (1.44) y su masa viene dada por, SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 26
  56. 56. 1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE Figura (1.17): Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de densidad c semicircular de radio R < 2 . y lado c con orificio Posición del centro de masa del orificio: por la simetría de problema y por suponer el orificio homogéneo, xO = 0 cm (1.46) el diferencial de masa, usando coordenadas, polares viene dado por, (1.47) dm = rdrd' entonces su masa es, MO = Z dm = Z Z 1 R2 Z 0 R rdrd' = 0 1 2 R 2 (1.48) y al usar (1.12), O ycm 1 = MO Z ydm = 1 2 0 Z R r2 Sen 'drd' = 0 4 R 3 (1.49) donde se ha tenido presente que en coordenadas polares y = r Sen '. Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.38) la posición del centro de masa de la lámina con el orificio se obtiene mediante, ML x L + MO x O cm cm ML + MO L O ML ycm + MO ycm = ML + MO xcm = (1.50) ycm (1.51) SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 27
  57. 57. CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS y al sustituir los resultados (1.43) a (1.46), (1.48) y (1.49) en (1.50) y (1.51) resulta finalmente, xcm ( c2 ) (0) + = c2 + ycm = ( c2 ) o también, ! R = 0; c 2 + c2 + 1 3c3 3 2c2 1 2 1 2 R2 R2 1 2 1 2 (0) 4 3 R2 R2 4R3 R2 = 1 3 (1.52) =0 R = 1 3 3c3 2c2 3c3 2c2 4R3 R2 4R3 R2 ey b (1.53) (1.54) .............................................................................................. 1.5. Propiedades del centro de masa El centro masa de un sistema de partículas tiene las siguientes propiedades (algunas serán verificadas posteriormente): 1. Permite reducir el estudio de la dinámica de un sistema de partículas (discreto o continuo) al de una partícula. 2. Es un punto geométrico que no tiene por qué corresponderse con la posición de una partícula material del sistema. 3. Su posición está contenida en los elementos de simetría del sistema. Si el cuerpo tiene un plano o un eje de simetría éste contiene al centro de masa. Si posee un centro de simetría, éste será directamente el centro de masa. Lo anterior ocurre si existe una distribución homogénea de la masa. 4. Es independiente del sistema de referencia inercial empleado para localizarlo. Solo depende de la masa de las partículas y de sus posiciones relativas entre sí. 5. Se mueve como un punto material cuya masa es la masa total del sistema, impulsado por las fuerzas externas. 6. Todas las fuerzas externas al sistema de partículas se suponen aplicadas en su centro de masa. La aceleración del centro de masa coincide con la aceleración del sistema. 7. La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual al producto de la masa del sistema por la velocidad de su centro de masa. SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 28
  58. 58. 1.6. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA 8. Si las fuerzas externas que actúan sobre un sistema tienen una resultante y un momento nulos, el centro de masa se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. Las fuerzas internas no modifican el movimiento del centro de masa. 9. Si se toma el centro de masa como origen de referencia, la cantidad de movimiento del conjunto de partículas es siempre nula. 10. El movimiento más general que puede tener un sistema de partículas se puede reducir a un movimiento de traslación de su centro de masa más una rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto. 1.6. Movimiento del centro de masa Supóngase que se tiene un sistema discreto constituido por N partículas que interactúan entre sí y sobre el cual actúan fuerzas externas. Entonces, la fuerza resul! tante sobre la i-ésima partícula F i estará compuesta (en general) por dos partes: una !(ext) parte es la resultante de todas las fuerzas externas F i y la otra parte es la resultante !(int) que se originan de la interacción de todas las otras de todas las fuerzas internas F i N 1 partículas con la i-ésima. Por lo tanto, ! !(ext) !(int) + F i , con i = 1; 2; 3; : : : ; N Fi= Fi (1.55) !(int) podrá ser calculada mediante la suma vectorial de todas las fuerzas La fuerza F i !(int) individuales F ij (como se dijo antes, debe leerse como la fuerza aplicada sobre la i-ésima partícula debida a la j-ésima), N X !(int) !(int) Fi = F ij , con i = 1; 2; 3; : : : ; N (1.56) j=1 i6=j donde i 6= j puesto que cada partícula no interacciona con ella misma, es decir, no hay auto-fuerzas. Ahora bien, a partir de la segunda ley de Newton, la expresión (1.55) puede escribirse como, !(ext) !(int) ! F i = !i = mi !i = F i p r + Fi (1.57) donde se ha supuesto que las mi son constantes. O también, en virtud de (1.56), !(ext) m i !i = F i r + N X !(int) F ij (1.58) j=1 i6=j SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013. Pág.: 29

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