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  1. 1. I.S.F.D.T. N°39 Matemática y su Enseñanza 3 Trabajo Práctico Ecuaciones Diofánticas Alumno: Acha Neckar, Federico Carrera: Profesorado de Matemática
  2. 2. Definición Una ecuación diofántica es una ecuación polinómica en dos o más variables con coeficientes enteros (o racionales), en la que sólo se buscan soluciones enteras (o racionales). El término “diofántico” hace alusión al matemático Diofanto de Alejandría, que vivió durante la época Helenística de la Antigua Grecia (siglo III a. C.). Diofanto estudió dichas ecuaciones, y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en la matemática. El estudio iniciado por Diofanto sobre estos problemas hoy se denomina “análisis diofántico”. Entre los interrogantes que plantea se encuentran: 1) ¿Existen alguna solución? 2) ¿Existen otras soluciones además de las que se pueden hallar fácilmente por inspección? 3) ¿Existe una cantidad finita o infinita de soluciones? 4) ¿Pueden hallarse teóricamente todas las soluciones? 5) ¿Pueden computarse en la práctica una lista completa de soluciones? Muchos de estos problemas han permanecido irresueltos por siglos, y en algunos casos los matemáticos gradualmente están empezando a comprender su profundidad y sus implicancias. De su análisis se deriva el estudio de sistemas de ecuaciones diofánticas. En el estudio de estos “problemas diofánticos” generalmente se asume que el número de incógnitas supera al número de ecuaciones. Ejemplos de ecuaciones diofánticas En las siguientes ecuaciones, x, y, z son las incógnitas y las restantes letras son constantes enteras. ax + by = c Ecuación diofántica lineal xn + yn = zn Para n=2 hay infinitas soluciones (x,y,z), denominadas ternas pitagóricas. Para n > 2, el Último Teorema de Fermat afirma que la ecuación no tiene soluciones positivas. x2 – n y2 = ± 1 Esta es la ecuación de Pell, la cual fue estudiada por Brahmagupta en el siglo VII, y por Fermat en el siglo XVII. 4/n = 1/x + 1/y + 1/z Este ejemplo es equivalente a la ecuación polinómica 4 xyz = yzn + xzn + xyn = n (yz+xz+xy) La conjetura Erdös-Straus sostiene que, para todo entero n ≤ 2, existe una solución entera positiva (x,y,z) para dicha ecuación. Ecuaciones diofánticas lineales Una ecuación diofántica lineal es una ecuación entre dos sumas de monomios de grado uno o cero. De todas las ecuaciones diofánticas, las lineales son las más sencillas de todas. Sean a, b, c números enteros. La ecuación diofántica ax + by = c
  3. 3. tiene solución si y sólo si el máximo común divisor de a y b divide a c. En tal caso, existen infinitas soluciones (x,y), las cuales tienen la forma (a:b)–1 (c xn + k b, c yn – k a) donde (a:b) es el mcd de a y b, k es un entero arbitrario, y xn , yn provienen de la aplicación del algoritmo de Euclides para a y b. Suponiendo a ≤ b, el algoritmo de Euclides se aplica mediante la construcción de una tabla del tipo r–1 = | b | x–1 = 0 y–1 = signo b r0 = | a | x0 = signo a y0 = 0 q0 r1 x1 y1 q1 r2 x2 y2 q2 ... ... ... ... rn xn yn donde qk+1 y rk+2 son respectivamente el cociente y el resto de la división entera entre rk y rk+1. El proceso termina cuando rn+1 es múltiplo de rn. Problema de ejemplo “La edad de Pedro es tres años menos que el doble de la edad de Juan, y los dígitos ab que componen la edad de Pedro están invertidos con respecto a la edad de Juan (la cual es entonces ba). ¿Cuál es la edad de Pedro y de Juan?” Solución: el problema lleva a la ecuación 10 a + b = 2(10 b + a) – 3 por lo tanto 19 b – 8 a = 3 Aplicando el algoritmo de Euclides, tenemos: 19 1 0 8 0 –1 2 3 1 2 2 2 –2 –5 1 1 3 7 es decir, (19 : 8) = 1, bn = 3, an = 7, con lo cual las soluciones enteras están dadas por (9 – 8k, 21 – 19k) con k entero. El valor de k que hace que a y b sean enteros positivos menores que 10 es k = 1, con lo cual a = 2 y b = 1, por lo tanto Pedro tiene ab = 21 años y Juan tiene ba = 12 años. Ternas pitagóricas
  4. 4. Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, las soluciones enteras de la ecuación diofántica x2 + y2 = z2 representan las longitudes x, y de los catetos, y la longitud z de la hipotenusa de los triángulos rectángulos con lados enteros. En consecuencia, las ternas (x, y, z) se denominan “ternas pitagóricas”. Todas las ternas pitagóricas formadas por números coprimos pueden encontrarse utilizando las fórmulas x = p2 – q2 y = 2 p q z = p2 + q2 donde p y q son enteros coprimos entre sí, con p > q > 0. Todas las otras ternas pitagóricas son múltiplos enteros de las ternas formadas por números coprimos. Historia Diofanto y el Último Teorema de Fermat Encontrar soluciones enteras de ecuaciones es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Ya en el segundo milenio antes de Cristo, los antiguos babilonios habían conseguido resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Esta rama de la matemática floreció durante la Antigua Grecia. La principal fuente es la Aritmética de Diofanto, la cual representa el trabajo algebraico más importante de toda la matemática griega. De los trece libros en que consistía la Aritmética sólo se han hallado seis. En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional, aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de problemas, y nunca usó métodos generales en sus soluciones. También fue importante su contribución al campo de la notación; si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la quinta potencia, etc.). La primera edición de la Aritmética fue publicada por Guilielmus Xylander en 1575. La traducción al latín más conocida fue realizada por Bachet de Méziriac en 1621, y se convirtió en la primera edición ampliamente difundida. Pierre de Fermat tenía una copia, la estudió e hizo anotaciones en los márgenes. En uno de ellos, refiriéndose a una ecuación considerada por Diofanto, escribió: “Si un entero n es mayor que 2, entonces an + bn = cn no tiene soluciones para enteros a, b, c no nulos. Tengo una prueba realmente maravillosa de esta proposición, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla.” La prueba de Fermat nunca se encontró, y su afirmación (bautizada como el Último Teorema de Fermat) estuvo sin poder demostrarse durante cientos de años. Finalmente, en 1994 Andrew Wiles dio una prueba, luego de un trabajo de siete años. Debido a la complejidad oculta del teorema, se cree que Fermat no tenía la prueba que alegaba poseer. La copia original en la cual Fermat escribió la nota al margen se encuentra perdida, pero
  5. 5. sus comentarios se conocen por la nueva reimpresión del trabajo de Diofanto editada por el hijo de Fermat en 1670, la cual incluye las anotaciones que su padre había realizado (entre ellos, el famoso Último Teorema). La obra de Diofanto, que era conocida por los matemáticos árabes, ejerció una profunda influencia en el desarrollo del álgebra en Europa a fines del siglo XVI y a través de los siglos XVII y XVIII. Se lo suele llamar “el padre del álgebra” por sus contribuciones a la teoría de números y a la notación matemática, ya que la Aritmética contiene el primer uso conocido de la notación sincopada, no retórica. Diofanto introdujo un simbolismo algebraico que usa una notación abreviada para operaciones frecuentes, y un símbolo para la incógnita y para las potencias de la incógnita. Al utilizar una abreviación para la palabra “igual a”, dio un paso fundamental del álgebra verbal al álgebra simbólica. Sin embargo, a la notación de Diofanto todavía le faltaban recursos para expresar métodos más generales, lo que hizo que su trabajo se concentrara principalmente en problemas particulares. Por ejemplo, cuando un problema involucraba más de una incógnita, Diofanto estaba obligado a escribir “primera incógnita”, “segunda incógnita”, etc. usando palabras. Muchos de sus métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas se remontan a la era babilónica. Pese a su falta de organización y estructura, su colección de problemas se considera un logro importante que no fue apreciado y desarrollado hasta mucho tiempo después. Ejemplo: Diofanto analizó 3 tipos distintos de ecuaciones cuadráticas: ax2 + bx = c ax2 = bx + c ax2 + c = bx La razón por la cual Diofanto no unificó los tres casos en uno sólo se debe a que no tenía noción del cero y a que evitaba coeficientes negativos considerando a, b, c como positivos. A Diofanto le alcanzaba con llegar a una solución racional, y no requería que esta fuera entera. Consideraba a los números negativos y a las raíces cuadradas irracionales como “innecesarias”, “insignificantes” o “absurdas”. Como ejemplo, el llama a la ecuación 4 = 4x + 20 “absurda” porque conllevaría un valor negativo para x. Una solución era todo lo que buscaba en una ecuación cuadrática. No hay evidencia de que Diofanto se haya dado cuenta de que podrían haber dos soluciones. Del siglo XVII a la actualidad La teoría general de resolución de ecuaciones diofánticas de primer grado fue desarrollada por C.G. Bachet en el siglo XVII. Fermat, Wallis, Euler, Lagrange y Gauss estudiaron ecuaciones diofánticas de segundo grado con dos incógnitas, de la forma: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 donde los coeficientes a,b,c,d,e,f son enteros.
  6. 6. En 1657, Fermat intentó resolver la ecuación diofántica 61 x2 + 1 = y2 La ecuación fue finalmente resuelta por Euler a comienzos del siglo XVIII, quien también resolvió otras ecuaciones diofánticas. La solución entera positiva más pequeña a esta ecuación es x = 226153980, y = 1766319049. Lagrange utilizó fracciones continuas en su estudio de ecuaciones diofánticas de segundo grado con dos incógnitas. Gauss desarrolló la teoría general de formas cuadráticas, la cual es la base para resolver ciertos tipos de ecuaciones diofánticas. Con respecto al estudio de ecuaciones diofánticas de grado mayor que dos, se obtuvo un éxito significativo en el siglo veinte. El matemático A. Thue estableció que la ecuación diofántica a0 xn + a1 xn-1 y + ... + an yn = c donde n ≥ 3, a0, ... an, c son enteros, y el polinomio a0 tn + ... + an es irreducible en el cuerpo de los racionales, no puede tener un número infinito de soluciones enteras. Sin embargo, el método de Thue no establece una cota en el tamaño de las soluciones o en su cantidad. Baker obtuvo teoremas que proporcionan cotas en las soluciones de ecuaciones de este tipo. Delone propuso otro método de investigación, aplicable a una clase más reducida de ecuaciones diofánticas, pero que devuelve una cota en la cantidad de soluciones. En 1900, en el marco del Segundo Congreso Internacional de Matemáticas, David Hilbert presentó varios problemas matemáticos abiertos que él consideró tenían la mayor importancia. El décimo problema de Hilbert era encontrar un procedimiento general para determinar si una ecuación diofántica tenía o no soluciones. En las décadas del 50 y 60, Martin Davis, Julia Robinson, y Hilary Putnam mostraron que no existe un algoritmo que determine la solubilidad de todas las ecuaciones diofánticas exponenciales. En 1970, Yuri Matiyasevich expandió dicho trabajo y zanjó el problema de forma negativa: no todas las ecuaciones diofánticas son resolubles (resultado que en lógica matemática se conoce como teorema de Matiyasevich). Más aún, es posible especificar explícitamente polinomios con coeficientes enteros de forma tal que no exista ningún algoritmo que pueda decir si la correspondiente ecuación diofántica tiene solución o no. En la actualidad, el estudio de ecuaciones diofánticas se encuentra en la frontera entre las ramas de Teoría de Números y Geometría Algebraica, y las investigaciones en la materia se encuentran en plena actividad.
  7. 7. MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA III ALUMNA: GARCIA DAIANA Realicen una investigación mediante el uso de diversos buscadores, sobre la historia de las ecuaciones diofánticas, su origen y utilización, como así también la clasificación de las mismas centrándose en las lineales. 1) Ecuaciones diofánticas Definición. El término ecuación diofántica se usa para designar una ecuación en una o más incógnitas que va a ser resuelta en los enteros. La ecuación diofántica más simple es la ecuación diofántica lineal en dos incógnitas , donde a y b son enteros dados, no ambos cero. Ej: La ecuación diofántica tiene infinitas soluciones enteras. Algunas de estas soluciones son: Ej: La ecuación diofántica no posee solución debido a que tanto como son números pares. La suma de dos números pares es un número par y 17 es un número impar. Un criterio para conocer cuando una ecuación diofántica de este tipo posee solución lo proporciona el siguiente teorema. 4.2.2. Teorema. La ecuación diofántica tiene solución sí y sólo sí d|c, donde d = M.C.D.(a, b). Si es una solución particular de esta ecuación, entonces, todas las otras soluciones están dadas por: para t entero arbitrario. Ejemplo: La ecuación no tiene solución porque: 2 = M.C.D.(2, 10) no divide a 17. Ejemplo: La ecuación tiene solución porque: 1 = M.C.D.(5, 6) divide a 8. ¿Cómo hallamos una solución particular? 1
  8. 8. MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA III ALUMNA: GARCIA DAIANA Existen dos métodos. El primero es por simple inspección, pero si así no fuera posible, podemos utilizar el algoritmo de Euclides así: Se hallan utilizando el algoritmo anteriormente citado. 6 = 1x5 + 1. 5 = 5x1 + 0. Luego, 1 = 6 - 1x5. Quiere decir que Entonces: En la expresión se multiplican ambos miembros por 8 y se obtiene: . Luego, la solución particular de la ecuación diofántica es de la forma siguiente: La solución general será: o sea 2) Ecuaciones diofánticas 2
  9. 9. MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA III ALUMNA: GARCIA DAIANA Una ecuación diofántica es una ecuación algebraica en la que aparecen varias variables cuyas soluciones son números enteros. Es decir, resolver una ecuación diofántica consiste en determinar qué números enteros la cumplen. Su nombre lo toman del matemáticoDiofanto de Alejandría, quien, además de ser uno de los primeros en utilizar simbolismo en álgebra, se dedicó entre otras cosas al estudio de estas ecuaciones Las ecuaciones diofánticas del tipo anterior se denominan ecuaciones diofánticas lineales. Este caso particular de este tipo de ecuaciones es el que vamos a aprender a resolver en este artículo. Más concretamente, vamos a mostrar (y demostrar) un método para calcular las soluciones enteras de la ecuación con . Existencia de soluciones El primer resultado que vamos a ver y demostrar tiene que ver con la existencia de soluciones de estas ecuaciones. Vamos con él: Teorema: Una ecuación lineal diofántica de la forma tiene solución entera si y sólo si el máximo común divisor de y es un divisor de . Además, si llamamos al se tiene que una solución particular de dicha ecuación puede obtenerse de la siguiente forma: siendo . Demostración: 3
  10. 10. MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA III ALUMNA: GARCIA DAIANA 1.- Comenzamos con la implicación de izquierda a derecha: Si la ecuación (1) tiene solución entera, entonces existen tales que Como es un divisor común de y , entonces y , con . Tenemos entonces lo siguiente: Es decir, nos queda una expresión del tipo , con todos ellos números enteros. En consecuencia tanto como deben dividir a , concluyendo así esta parte de la demostración. 2.- Vamos ahora con la implicación de derecha a izquierda, obteniendo como bonus el además: Supongamos ahora que es un divisor de . Entonces existe tal que . Por otra parte, por el teorema de Bezout existen tales que . Multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por : De donde obtenemos Con lo que hemos llegado a que y son soluciones de la ecuación (1). Entonces: es una solución de la ecuación (1), que es lo que queríamos demostrar. Lo que hemos conseguido hasta ahora es saber reconocer qué ecuaciones diofánticas lineales tienen soluciones y calcular una solución particular de las mismas. Pero queremos una solución general, es decir, todas las soluciones de 4
  11. 11. MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA III ALUMNA: GARCIA DAIANA las ecuaciones diofánticas lineales que se puedan resolver. A ello vamos en el siguiente punto. Solución general de una ecuación diofántica lineal Vamos a demostrar el siguiente teorema: Teorema: Si es una solución particular de la ecuación (1) entonces todas las soluciones enteras de la misma son de la forma: (2) con , siendo . Demostración: Si es solución de la ecuación (1), entonces se cumple que . Pero entonces las expresiones de (2) también son solución de dicha ecuación: Faltaría ver entonces que todas las soluciones de (1) son de la forma que hemos descrito en (2). A por ello vamos: Partiendo de la solución particular anterior , supongamos que tenemos una solución de la ecuación diofántica lineal (1). Tenemos entonces las dos ecuaciones siguientes: Restamos las dos ecuaciones, obteniendo Pasando el segundo sumando al otro miembro de la igualdad llegamos a (3) 5
  12. 12. MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA III ALUMNA: GARCIA DAIANA Dividimos ahora por : Como y son números enteros primos relativos (ya que al dividirlos entre su máximo común divisor les hemos quitado los factores que tuvieran en común en un principio), y divide a , debe cumplirse que divida a . Esto nos lleva a que debe existir tal que: De donde obtenemos que debe ser de la forma: , con Sustituyendo este valor de en la ecuación (3) llegamos, después de unos sencillos cálculos, a la expresión buscada para : Ejemplo práctico Volvamos a nuestro amigo el de los trajes. Nos quedamos en la ecuación diofántica lineal siguiente: Vamos a ver si somos capaces de encontrar cuántos trajes de cada color compró este señor. Como es un divisor de nuestra ecuación tiene soluciones. Para obtener y debemos utilizar el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor junto con la identidad de Bezout, citada anteriormente. En este caso se obtiene por lo que y . Entonces la solución particular queda de la siguiente forma: 6
  13. 13. MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA III ALUMNA: GARCIA DAIANA A partir de esto ya es sencillo encontrar todas las soluciones: En principio estas expresiones nos dan todas las soluciones del problema, pero todavía no hemos terminado. Hay que tener en cuenta más cosas. Analizando los datos obtenidos sabemos que el número de trajes negros que ha comprado es , por lo que el número de trajes grises comprados es . Teniendo en cuenta que el número de trajes de cada tipo comprados por nuestro amigo debe ser positivo y menor que 12 se tiene lo siguiente: Por tanto, los únicos valores posibles para son . Pero el enunciado también decía que ha comprado el mínimo número de trajes grises posibles. Probando con los valores anteriores esta condición se cumple para . En consecuencia el protagonista de nuestro problema compró trajes grises y trajes negros. 3)Ecuación diofántica lineal La ecuación diofántica o identidad de Bézout tiene solución si y solo si d = mcd(A, B) (máximo común divisor) es un divisor de C. En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones. Similarmente la ecuación tiene solución si y solo si d = mcd(a1, a2,...,an) es un divisor de C. 7
  14. 14. MATERIA: MATEMATICA Y SU ENSEÑANZA III ALUMNA: GARCIA DAIANA Solución general[editar] Supongamos la ecuación diofántica . Solo tiene solución si . Para buscar el empleamos elalgoritmo de Euclides. Si una ecuación diofántica tiene solución, necesariamente tiene infinitas soluciones y todas son de la forma: Donde y e son una solución particular de la ecuación. Solución particular[editar] Para encontrar una solución particular usamos la identidad de Bézout junto al algoritmo de Euclides. Esto nos da e . Veamos el ejemplo: Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104 1. Buscamos el d = mcd(6,10). A través de Euclides encontramos que d =2 2. Como d|C (donde "|" significa "divide a"), es decir, 2|104, Calculamos una solución particular mediante la Identidad de Bézout: x1 = 2 e y1 = -1. La ecuación quedaría así: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2. 3. Ahora tenemos una solución para la ecuación 6x + 10y = 2. Con x1 = 2 e y1 = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), tendremos la solución particular de nuestra ecuación original (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría así: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104 4. Con lo que hemos visto arriba, buscamos la solución general: 8
  15. 15. MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA 3 TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 Profesora: Lic. Teresa Fernández Alumno: Daniel Jara Curso: 3º Carrera: Profesorado en Matemáticas
  16. 16. Ecuación diofántica Una ecuación diofántica es una ecuación lineal con coeficientes enteros y que exige soluciones también enteras. Su nombre lo toman de Diofanto de Alejandría, quien, además de ser uno de los primeros en utilizar simbolismo en álgebra, se dedicó entre otras cosas al estudio de estas ecuaciones Ecuación diofántica lineal La ecuación diofántica tiene solución si y solo si es un divisor de . En ese caso la ecuación tiene una infinidad de soluciones. Similarmente la ecuación tiene solución si y solo si es un divisor de . Solución particular Sean , y tres números enteros. La ecuación lineal tiene solución entera si, y sólo si el máximo común divisor de y divide a . Demostración Supongamos que los enteros x0 e y0 son solución de la ecuación , es decir . Pues bien, si , entonces . Recíprocamente, supongamos que es divisor de c. Entonces, Solución general Sean , y tres números enteros no nulos tales que el máximo común divisor de y divide a . Entonces la solución general de la ecuación es: donde e es una solución particular de la misma y es cualquier número entero. Demostración Sea el máximo común divisor de y y existe de una solución particular e para el sistema. Entonces, Dividiendo ahora ambos miembros de esta ecuación por el máximo común divisor de y , tendremos,
  17. 17. y al ser primo con , dividirá a , luego: Sustituimos el valor de en y resulta Veamos, finalmente, que e es solución de la ecuación En efecto, Luego, la solución general de la ecuación para cualquier . Ejemplo práctico Un grupo de 23 viajeros llega a un campamento y encuentra 63 montones de sacos, todos con el mismo número de sacos, y un montón adicional con 7 sacos. Si sabemos que los viajeros no podían cargar con más de 50 sacos y pudieron repartírselos por igual y sin abrirlos, ¿cuántos sacos había en cada uno de los montones? Algoritmo de Euclides 2 1 2 1 5 63 23 17 6 5 1 17 6 5 1 0
  18. 18. Solución particular Solución general Teniendo en cuenta que los viajeros no podían cargar con más de 50 sacos debe ser positivo y menor que 50 se obtiene lo siguiente: Por tanto, el único valor posible es: Por lo que: cada viajero cargaba con 14 sacos y cada montón tenía 5 sacos.
  19. 19. 1) Algoritmos usados: a) De la división entera (en b) División Racional (en En la primera resolución los resultados obtenidos apuntan en el cociente hacia la cantidad de chicos que recibirán pastel y el resto hacia la cantidad de torta que sobró. En la segunda resolución nuestro resultado está formado por dos elementos, primero el número de porciones que se pueden obtener para cada niño y lo que sobraría de una porción de pastel. En este caso ambas soluciones son correctas para la primer pregunta, pero para la segunda la primer resolución es la adecuada. Ya que aclara la cantidad de pastel sobrante y no, a diferencia de la segunda resolución, la cantidad sobrante de una porción. 2) a) En el primer caso se observa gran manejo de las proporciones y la intención de particionar el pastel para luego unir cada una de sus partes y validar su procedimiento. Los contenidos usados en este planteo incluyen desde la implementación de variables, como también el manejo de operaciones entre números enteros y racionales. b) En este caso comprar diferentes formas de dividir el pastel para luego tomar idea de la proporción de la cada porción. El contenido utilizado para esta resolución sería el manejo de las operaciones entre números racionales.
  20. 20. ECUACIONES DIOFÁNTICAS Son todas aquellas ecuaciones en las que tanto sus coeficientes como sus soluciones son números enteros. Se clasifican según el número de sus incógnitas y el grado de éstas. Se las llama de esta manera en honor a Diofanto de Alejandría (s. III), aunque se conocen desde mucho antes. El interés que encierra la resolución de una ecuación diofántica está en relación directa con la naturaleza de las incógnitas. Por ejemplo, si la ecuación hace referencia a un número d personas, únicamente tendrán sentido las soluciones enteras) • Ecuación de Pell: x2 – Dy2 = N , donde D pertenece a los enteros positivos y no es cuadrado, y N es un entero distinto de cero • Ecuación pitagórica: x2 + y2 = z2 • Ecuación de Fermat: xn + yn = zn Lineales: 1 o más incógnitas de grado 1. Teorema: la ecuación a1x1 + a2x2 + … + anxn = c tiene solución si y sólo si mcd(a1, a2, …, an) divide a c. Sean a, b y c tres números enteros no nulos, tales que d es el máximo común divisor de a y b, y d divide a c. Entonces la solución general de la ecuación ax + by = c es: x = x0 + k . b/d y = y0 – k . a/d Donde x0 e y0 es una solución particular de la misma, y k es cualquier número entero. 2 incógnitas
  21. 21. Espacio Curricular: Matemática y su Enseñanza III Profesor: Lic. Teresa Fernández Alumno: Nicolás Mariano Pousa Trabajo Práctico N°2 Ecuaciones Diofánticas Consigna: Realizar una investigación sobre la historia de las ecuaciones diofánticas, su origen y utilización, como así también la clasificación de las mismas centrándose en las lineales. Deberán presentar la misma utilizando una presentación, o un poster, o la forma que ustedes crean más conveniente, de modo tal que exprese en forma resumida y concisa las principales características. 1
  22. 22. ARAYA TP2

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