PROPIEDADES      DE LASRELACIONES BINARIAS         Prof. Lic. Teresa Fernández
Propiedad reflexivaR  A2Sea R una relación binaria R en A, (A  ).Diremos que R es reflexiva si aA, a R aEn N la relac...
Propiedad reflexiva                                                1    0 0 1Si la relación R es reflexiva              ...
Propiedad arreflexivaDiremos que R es arreflexiva si      a  A : aRa         0    0 0 1                             ...
Propiedad no reflexiva  Diremos que R es no reflexiva si      a  A / aRa                1   0 0 1                1   ...
Propiedad simétrica Diremos que R es simétrica si  a, b A: a R b  b R a1) En Z la relación R definida por:             ...
Propiedad simétrica  Si la relación R es             1    1 0 1  simétrica sobre A               1    0 1 0  entonces ...
Propiedad asimétrica Diremos que R es asimétrica si  a, b A: a R b  b R a      No hay        1      1 0 1            ...
Propiedad antisimétricaDiremos que R es antisimétrica si  a, b A: [a R b  b R a]  a = bOtra manera de expresarlo: Si a...
Propiedad antisimétrica                                                1   1 0 1Si la relación R es antisimétrica       ...
Propiedad TransitivaDiremos que R es transitiva si  a, b, c A: [a R b  b R c]  a R cEn N la relación R definida por: “...
Propiedad Transitiva    La relación R es transitiva si cada vez    que hay un camino entre tres elementos,    también está...
R  A2      M : matriz asociadaIn : matriz identidad Mt : matriz transpuesta*R es reflexiva  In  M*R es simétrica  M = ...
Siendo A , la Relación diagonal, definida de la siguiente manera:                                      = (a,a) A2 / a ...
Tipos de relacionesDiremos que una relación binaria sobre A, es una Relación de equivalenciasi satisface las tres propieda...
Tipos de relacionesDiremos que una relación binaria sobre A, es una relación de orden parcialsi satisface las tres propied...
Tipos de relacionesDiremos que una relación binaria R sobre A, es una relación de orden totalsi es una relación de orden p...
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Propiedades relaciones binarias

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Propiedades de las relaciones en un conjunto. Equivalencia y orden

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Propiedades relaciones binarias

  1. 1. PROPIEDADES DE LASRELACIONES BINARIAS Prof. Lic. Teresa Fernández
  2. 2. Propiedad reflexivaR  A2Sea R una relación binaria R en A, (A  ).Diremos que R es reflexiva si aA, a R aEn N la relación R definida por: “x R y  x divide a y” es reflexiva ya que xN, x R x porque x divide a x Prof.Lic. Teresa Fernández
  3. 3. Propiedad reflexiva 1 0 0 1Si la relación R es reflexiva 1 1 1 0entonces la diagonal MR   pertenece a la relación. En 0 0 1 1la matriz asociada, la  diagonal es toda de 1. 0 1 0 1 Si la relación R es reflexiva entonces A todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle). Prof.Lic. Teresa Fernández
  4. 4. Propiedad arreflexivaDiremos que R es arreflexiva si a  A : aRa 0 0 0 1   1 0 1 0 M  R 0 0 0 1   0  1 0 0  En N la relación R definida por: “a R b  a < b”. Es arreflexiva ya que ningún número natural es menor que sí mismo. Prof.Lic. Teresa Fernández
  5. 5. Propiedad no reflexiva Diremos que R es no reflexiva si a  A / aRa 1 0 0 1 1 0 1 0 MR    0 0 0 1   0 1 0 1En N la relación R definida por: “a R b  a es el doble de b”.es no reflexiva ya que (1, 1) R puesto que 1 no es el doble de 1 Prof.Lic. Teresa Fernández
  6. 6. Propiedad simétrica Diremos que R es simétrica si  a, b A: a R b  b R a1) En Z la relación R definida por: “a R b  a – b es múltiplo de 2”. es simétrica ya que si a R b  hay pZ tal que a – b = 2p  b – a = 2(-p) con -p  Z  b R a Prof.Lic. Teresa Fernández
  7. 7. Propiedad simétrica Si la relación R es 1 1 0 1 simétrica sobre A 1 0 1 0 entonces los pares MR   relacionados se reflejan 0 1 1 0 respecto a la diagonal   principal, en la matriz 1 0 0 1 asociada. Si la relación R es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una A flecha la tiene en las dos direcciones Prof.Lic. Teresa Fernández
  8. 8. Propiedad asimétrica Diremos que R es asimétrica si  a, b A: a R b  b R a No hay 1 1 0 1 No hay pares que   M  0 0 0 0 flecha de ida se reflejen R 0  1 1 0  y vuelta en a través de 0  0 0 1  ningún par la diagonal de elementos.En Z la relación R definida por: “a R b  a < b”. es asimétrica ya que si a< b , b por lo tanto no será menor que a. Prof.Lic. Teresa Fernández Prof.Lic. Teresa Fernández
  9. 9. Propiedad antisimétricaDiremos que R es antisimétrica si  a, b A: [a R b  b R a]  a = bOtra manera de expresarlo: Si ab  [ (a,b)  R  (b,a)  R ]En N la relación R definida por: “x R y  x divide a y” es antisimétricaYa que si a R b y b R a entonces existen n, m N tales que:b = an y a = bm.Sustituyendo en esta última,a = bm = (a.n).m  n.m = 1 n = m = 1  a = b. Prof.Lic. Teresa Fernández
  10. 10. Propiedad antisimétrica 1 1 0 1Si la relación R es antisimétrica 0 0 1 0pueden existir pares por encima o por MR   debajo de la diagonal pero ningún par 1 0 1 1tiene reflejo respecto a la diagonal   0 1 0 0principal excepto la diagonal misma. La relación R es antisimétrica si para cada par de elementos distintos A relacionados la flecha está solo en un sentido Prof.Lic. Teresa Fernández
  11. 11. Propiedad TransitivaDiremos que R es transitiva si  a, b, c A: [a R b  b R c]  a R cEn N la relación R definida por: “x R y  x divide a y” es transitiva yaque si a R b y b R c entonces existen n, m N tales que: b = an y c =bm. Sustituyendo en esta última: c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m N b R c. Cada vez que hay un camino de un elemento a otro pasando por un elemento intermedio, también existe un camino entre ambos elementos directamente. Prof.Lic. Teresa Fernández
  12. 12. Propiedad Transitiva La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino entre tres elementos, también está la flecha que comienza en el principio del camino y va al elemento que es final del camino.A Prof.Lic. Teresa Fernández
  13. 13. R  A2 M : matriz asociadaIn : matriz identidad Mt : matriz transpuesta*R es reflexiva  In  M*R es simétrica  M = Mt*R es transitiva  M2  M*R es antisimétrica  M  Mt  In Nota : S y T matrices booleanas del mismo orden S T si sij  t ij Prof.Lic. Teresa Fernández
  14. 14. Siendo A , la Relación diagonal, definida de la siguiente manera:   = (a,a) A2 / a  A A R es reflexiva  A  R;R es simétrica  R = R-1;R es arreflexiva  A  R =  ;R es antisimétrica  R  R-1  A ;R es transitiva  R2  R;R es asimétrica  R  R-1 =  Prof.Lic. Teresa Fernández
  15. 15. Tipos de relacionesDiremos que una relación binaria sobre A, es una Relación de equivalenciasi satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es simétrica R es transitivaSon de equivalencia:1) En Z la relación R definida por: a R b  a – b es múltiplo de 3.2) Dado un conjunto D U, la relación: ARB  A  D = B D Prof.Lic. Teresa Fernández
  16. 16. Tipos de relacionesDiremos que una relación binaria sobre A, es una relación de orden parcialsi satisface las tres propiedades: R es reflexiva R es antisimétrica R es transitivaEn este caso diremos que el conjunto A está parcialmente ordenadoSon Relaciones de orden:1) En D60 , el conjunto de todos los divisores de 60, la relación R definida por: a R b  a divide a b.2) En R, la relación definida por a R b  a  b. Prof.Lic. Teresa Fernández
  17. 17. Tipos de relacionesDiremos que una relación binaria R sobre A, es una relación de orden totalsi es una relación de orden parcial y además se satisface que:  a, b A: [a R b  b R a]En este caso diremos que el conjunto A está totalmente ordenado Prof.Lic. Teresa Fernández

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