Topografia basica

CENTRO UNIVERSITÁRIO DE PATOS DE MINAS – UNIPAM
FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS – FACIAGRA
CURSO DE ENGENHARIA AMBIENTAL
TOPOGRAFIA BÁSICA
(Notas de aula)
Prof. ANTONIO TELES
2010

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TOPOGRAFIA BÁSICA - teórica 01
Literatura:
01 - Topografia: planimetria
José A. Comastri
02 - Topografia: altimetria
José A. Comastri, José C. Tuler
03 – Notas de aulas
Avaliação:
Prova 1 -
Trabalho Prático -
INTRODUÇÃO:
Para a execução dos trabalhos de engenharia, torna-se necessário conhecer as
características da superfície do terreno tais como elevações, depressões, posição dos
acidentes, bem como o contorno do terreno. Isso levou o homem a utilizar a Topografia.
CONCEITO:
A Topografia consiste em representar, em projeção horizontal, as dimensões, o
contorno e a posição relativa de uma parte da superfície terrestre, apresentando a sua área e
posição altimétrica.
APLICAÇÕES:
Os conhecimentos da topografia poderão ser utilizados nas mais diversas áreas, como
por exemplo:
Engenharia Civil – Locação de obras, projeto geométrico de estradas;
Agronomia - Planejamento agropecuário, conservação de solos;
Arquitetura - Planejamento de obras, planejamento paisagístico, de parques;
Engenharia Ambiental – Planejamento de sistemas de esgoto, drenagem;
Engenharia Florestal - Planejamento florestal, inventário;
Zootecnia - Avaliação e divisão de áreas de pastagem.

3
OBJETIVO:
Planta topográfica - corresponde ao desenho do terreno
Esquema de uma planta:
Levantamento Topográfico
É um conjunto de operações realizadas no campo e escritório, utilizando processos e
instrumentos adequados para a obtenção de todos os elementos necessários à representação
geométrica de uma parte da superfície terrestre.
Campo: medição de ângulos e de distâncias
Escritório: preparo dos dados obtidos para a confecção da planta
Tipos de Levantamento:
* Planimétrico
* Altimétrico
* Plani-altimétrico
10
20
30
Orientação
magnética
NM
Limites da
propriedade
Curva de
nível
Convenções
Identificação
ESCALA 1::n

4
Sistemas de Coordenadas
Os sistemas de coordenadas são necessários para expressar a posição de pontos sobre
uma superfície, seja ela um elipsóide, esfera ou um plano. Para o plano, um sistema de
coordenadas cartesianas X e Y é usualmente empregado. Para a esfera terrestre usualmente
empregamos um sistema de coordenadas cartesiano e curvilíneo representado pelos
Meridianos e Paralelos.
* Meridianos: São planos que passam pelo eixo da terra e interceptam sua superfície
segundo um círculo, supondo-a esférica. O meridiano de origem é o de Greenwich (0o).
* Paralelos: São planos perpendiculares ao eixo terrestre. O paralelo de origem é o
equador terrestre.
Os planos meridianos definem a longitude e os paralelos a latitude.
Coordenadas de Viçosa : Latitude: 20o 45’ S
Longitude: 42o 52’W
Altitude: 650 m (pelo fato de a superfície ser irregular)
Plano Topográfico - Em Topografia, como as áreas são relativamente pequenas as
projeções dos pontos são feitas no plano topográfico. O plano topográfico é um plano
horizontal tangente à superfície terrestre, num ponto que esteja situado dentro da área a ser
levantada.
Ao substituir a forma da terra, considerada esférica, pelo plano topográfico comete-se
um erro denominado “erro de esfericidade”.
H A B
F
R
C

Plano Topográfico
Superfície
Terrestre

5
Determinação do erro de esfericidade:
O erro de esfericidade corresponde à diferença entre os comprimentos do segmento
AB e do arco AF.
e = AB - AF
AB = R tg 
Determinação de AF
2R ------ 360o
AF ------ 
AF
 
R
180o 
e = R tg -
R
180

 
o
Se considerarmos um ângulo central  = 1o e utilizando um raio médio de
6.366.193m teremos:
AB = 111.122 m e AF = 111.111 m erro de esfericidade = 11 m
Se fizermos os mesmos cálculos considerando um ângulo central  = 30’, teremos:
AB = 55.556,9m e AF = 55.555,5m resultando em e = 1,4m
Observação:
Em Topografia, o erro de 1,4m para uma distância em torno de 55 km, pode ser
considerado insignificante. Por essa razão, em vez de corrigir o erro ocasionado pela
esfericidade terrestre, procura-se limitar a extensão do terreno a ser levantado pelos recursos
da Topografia a uma área correspondente à de um círculo de raio inferior a 50 km.
Considerando esse raio, a extensão é de aproximadamente 785.398 hectares. As propriedades
agrícolas, de modo geral , não atingem essa área.
UNIDADES DE MEDIDA
a) De natureza linear:
- Sistema métrico decimal (SMD): o metro e seus derivados
- Sistema antigo brasileiro de pesos e medidas:
braça = 2,2 m
légua = 6600 m
pé = 33 cm
palmo = 22 cm

6
b) - De natureza angular:
Sistema sexagesimal (graus, minutos e segundos)
Sistema centesimal (grados)
c) - De superfície:
- Sistema métrico decimal: m2
Unidades agrárias: hectare, are e centiare
hectare (ha) = 10.000m2
are (a) = 100 m2
centiare (ca) = 1 m2
- Sistema antigo brasileiro de pesos e medidas: (SABPM)
Neste sistema a unidade principal é o alqueire, que é derivado da braça e tem
variações regionais. Utiliza-se ainda, a quarta (1/4 do alqueire), o prato (968 m2) e o litro
(605 m2).
Principais tipos de alqueire:
Dimensões (braças) SABPM SMD (m2) Unidade Agrária (ha)
50 x 50 20 litros 12.100 1,2100
100 x 100 80 litros 48.400 4,8400
50 x 75 30 litros 18.500 1,8500
80 x 80 32 pratos 30.976 3,0976
50 x 100 40 litros 24.200 2,4200
200 x 200 320 litros 193.600 19,3600
Obs.: O alqueire de 100 x 100 braças é denominado geométrico ou mineiro e o de 50 x 100
braças paulista.
exemplos de conversão:
fazer conversão de áreas do sistema antigo para o sistema métrico decimal e vice-versa.

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MEDIÇÃO DE ÂNGULOS
Introdução:
Os trabalhos de campo de um levantamento topográfico se baseiam, principalmente,
na medição de ângulos e distâncias. Dependendo do equipamento e técnica empregados na
obtenção dessas grandezas, ter-se-á um levantamento de maior ou menor precisão. Os ângulos
medidos podem ser horizontais e de inclinação.
a) - ângulos horizontais - são ângulos diedros medidos no plano horizontal, limitados por
dois planos verticais, cuja aresta é a vertical do ponto. O ângulo
representa uma porção do plano horizontal limitada por duas
semi-retas (lados) que tem a mesma origem (vértice).
Obs. Os pontos A, B e C são denominados pontos topográficos. O ponto aonde se
instala o instrumento de medição é denominado estação.
Materialização de um ponto topográfico:
A materialização do ponto topográfico é feita por meio de um piquete e de uma estaca,
geralmente de madeira. O piquete, após ser cravado no terreno, deve ter sua parte superior a
uma altura de 1 a 2 cm em relação à superfície. A estaca é utilizada para a identificação do
ponto. Na medição do ângulo utiliza-se, ainda, uma baliza para assinalar o ponto topográfico
sobre o piquete.
materialização do ponto A: baliza
- estacas
- piquetes estaca piquete
- balizas
seção
. transversal
do piquete
 B
A 
 C
a
A, B, C = vértices
A = origem do ângulo
a = ângulo horizontal

8
b) - ângulos de inclinação do terreno:
No plano vertical, os ângulos são medidos a partir de uma origem que é fixada pelo
fabricante do instrumento.
Obs:
1) Quando a origem de contagem do ângulo é num plano horizontal, o ângulo é denominado
vertical. Se a linha de visada for ascendente o ângulo será positivo, se for descendente, o
ângulo será negativo. Nesse caso, o ângulo pode variar de 0 a 90o.
 (+)
1
0 PH
2) Quando a origem de contagem corresponde à vertical do ponto o ângulo é chamado zenital.
O ângulo é sempre positivo e varia de 0 a 180o. Quando se utiliza o instrumento com a
luneta na posição invertida o ângulo zenital pode atingir até 360o.
Vertical
de 0 1
Z
0
Conversão de ângulos zenitais para verticais: (esquematizar)
V = 90o - Z 0o  Z  180o
V = Z - 270o 180o  Z  360o (luneta na posição invertida)
Finalidades do ângulo de inclinação:
O ângulo de inclinação do terreno é usado para obter a distância horizontal (dr) e para o
cálculo dos desníveis entre pontos topográficos (dn). (esquematizar)

9
BÚSSOLAS
1 - Conceito:
São instrumentos utilizados para determinar o ângulo horizontal formado entre o
alinhamento do terreno e a direção do meridiano magnético.
Meridiano magnético é uma linha imaginária que une um ponto da superfície aos
polos norte e sul magnéticos.
MM
Constituição:
B

A 
As bússolas são constituídas de uma agulha imantada que tem sua parte central
repousada sobre um pivô localizado no centro de um limbo graduado. Esse conjunto vem
acondicionado em uma caixa anti-magnética.
Obs.: Recomenda-se que, quando o instrumento não estiver em serviço, o movimento
da agulha imantada seja bloqueado, evitando danificar tanto a parte central da agulha quanto
a ponta do pivô.
proteção
transparente
N S N
O E
S
pivô
agulha
imantada
LIMBO
estojo
anti-magnético
Por influência do magnetismo terrestre, a agulha magnética, quando se encontra na
posição de equilíbrio, se orienta sempre na direção dos polos magnéticos. O prolongamento
de uma linha imaginária que passa pelo eixo longitudinal da agulha imantada recebe o nome
de meridiano magnético.

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2 - Azimutes e Rumos magnéticos
O limbo da bússola pode vir graduado de 0 a 360o ou vir dividido em quadrantes.
Azimutes magnéticos: são ângulos horizontais que têm origem na ponta norte do meridiano
magnético e são contados no sentido horário. Os ângulos podem variar
de 0 a 360o.
Rumos magnéticos: são, também, ângulos horizontais, porém podem ter origem tanto na
ponta norte como na ponta sul do meridiano magnético, variando de 0 a
90o.
AZIMUTE MAGNÉTICO RUMO MAGNÉTICO
N
0
90
180
270
N
O E
A linha imaginária que passa pelos pontos N e S do limbo da bússola é chamada de
linha de fé. A linha de visada dos pontos topográficos coincide com a linha de fé.
Observação:
Como a agulha imantada permanece fixa na direção do meridiano magnético, quando
se aponta a bússola para uma dada direção o elemento que gira é o limbo da mesma,
juntamente com a luneta. Por este motivo, as graduações apresentadas nos limbos utilizados
para registrarem azimutes são no sentido anti-horário. Pelo mesmo motivo, nas bússolas que
têm o limbo dividido em quadrantes as posições dos pontos E e O devem estar invertidas para
que a ponta que indica a posição do norte magnético possa indicar o quadrante em que se
encontra o alinhamento do terreno.
Obs.: Esquematizar as inversões.
0
90 90
0
S S

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3) - Inversão das graduações dos limbos
Direção do Direção do
Norte Magnético Norte Magnético
B
B
N
S
E
O
A
Observando a figura anterior nota-se que, apesar de os rumos serem contados a partir
da ponta norte da agulha, em sentido horário, a graduação do limbo esquematizado está no
sentido anti-horário e os pontos cardeias E e O estão invertidos. Isto é feito para facilitar a
leitura, por parte do operador, uma vez que a agulha fica fixa apontando a direção norte e a
parte do instrumento que gira é o limbo juntamente com a luneta. Este mesmo artifício é
utilizado para o caso dos azimutes.
4) Conversão de Azimutes em Rumos:
Azimutes Rumos
0 a 90o Rm = Az (quadrante NE)
90 a 180o Rm = 180o - Az (quadrante SE)
180 a 270o Rm = Az - 180o (quadrante SO)
270 a 360o Rm = 360o - Az (quadrante NO)
0
180
90
E
22
O
A
90
270
RUMO AB
70o 00’ NE
AZIMUTE AB
70o 00’

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BÚSSOLAS
Medição de ângulos horizontais com bússolas
a) Quando as bússolas estão graduadas para medir Azimutes (esquematizar)
a1) - A agulha da bússola fica fora dos lados do ângulo
a2) - A agulha da bússola fica entre os lados do ângulo
a3) - Pontos inacessíveis
b) - Quando graduadas para medir Rumos (esquematizar)
b1) - A agulha da bússola fica fora dos lados do ângulo
b2) - A agulha da bússola fica entre os lados do ângulo
b3) - Pontos inacessíveis
Declinação Magnética
Como os polos geográficos, de modo geral, não coincidem com os polos magnéticos,
há um desvio do meridiano magnético em relação ao geográfico. O ângulo compreendido
entre esses dois meridianos é denominado declinação magnética.
1)Tipos de declinação:
A posição do norte magnético pode estar à esquerda, à direita ou mesmo coincidir com
a posição do norte geográfico. Dessa forma, tem-se três tipos de declinação magnética,
exemplificados abaixo:
NM NV NV NM NV=NM
Ocidental (do) Oriental (de)
ou negativa (-) ou positiva (+) Nula

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Atualmente, em grande parte do território brasileiro, a direção norte, dada pela agulha
imantada, se encontra à esquerda do norte verdadeiro, ou seja, a declinação é ocidental. Em
Viçosa, atualmente, o valor da declinação está em torno de 23o ocidental.
2) Variação da declinação magnética:
a) Geográficas:
A declinação magnética varia com a posição geográfica em que é observada. Para cada
lugar existirá uma declinação diferente para cada época do ano. Os pontos da superfície que
têm o mesmo valor de declinação num determinado instante, se unidos formam as linhas
isogônicas, originando os mapas isogônicos. Os pontos da superfície que têm a mesma
variação anual de declinação são mostrados em mapas denominados isopóricos. Os mapas
isogônicos e isopóricos são publicados periodicamente pelos observatórios astronômicos.
b) Seculares:
São aquelas observadas no decorrer dos séculos, em que o polo norte magnético se
movimenta ao redor do polo norte geográfico. Já foram observadas variações de 25o oriental
até 25o ocidental.
c) Locais:
São perturbações ocasionadas por presença ou proximidade de algum material
metálico, linhas de transmissão de energia, etc.
Distâncias mínimas a serem observadas nas operações com bússolas:
- linha de alta tensão ----------> 140 m
- linha telefônica ----------> 40 m
- cerca de arame farpado -----> 10 m

14
Determinação da declinação magnética
A declinação magnética pode ser determinada por diversos métodos. Dentre eles pode-se
citar um método direto que consiste na determinação no próprio local, a partir das alturas
correspondentes do sol e, um método indireto em que a declinação é obtida a partir dos mapas
isogônicos e isopóricos. Esses mapas são editados periodicamente pelo Observatório
Nacional.
Obtenção da declinação magnética por meio de mapas
Exemplo: Declinação magnética de Viçosa, para o no de 2006.
Dados: coordenadas de Viçosa - Latitude: 20o 45’ S
- Longitude: 42o 52’ W
ano de confecção dos mapas: 1985
Abaixo é apresentada uma figura contendo linhas isogônicas e isopóricas, aonde é
mostrada, esquematicamente, a posição de Viçosa a partir dos valores de suas coordenadas.
5cm
45o 40o
4,8 cm
- 6’ - 5’ - 4’
-21o -22o - 23o
20o
linha isopórica (mesma variação anual)
linha isogônica (mesma declinação)
Interpolacão
Local. da longitude
5o ----------> 5 cm
2o 52’------> x
x= 2,9 cm
Local. da latitude
5o ---------->4,8 cm
45’----------> y
y= 0,7 cm
25o


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Procedimento para determinação da declinação:
a) Localização de Viçosa nos mapas a partir das coordenadas. As coordenadas de Viçosa
estão localizadas 2,9 cm à esquerda do meridiano de 40o (longitude) e 0,7 cm abaixo do
paralelo de 20o (latitude), conforme mostrado na página anterior, ao lado do mapa.
b) Determinação da declinação de Viçosa, no mapa isogônico, para a época de confecção do
mesmo. Em 1985 Viçosa tinha declinação entre -21o e -22o.
Passando uma linha horizontal sobre o ponto correspondente à posição de Viçosa,
mede-se a distância entre uma linha isogônica e a outra, neste caso, encontra-se 1,6 cm. A
partir daí pode-se determinar o valor da declinação considerando-se o afastamento do ponto
em relação à linha isogônica de 21o.
1,6 cm -------> 1o
1,1cm é a dist. entre o
1,1 cm -------> x
ponto considerado e a
linha isogônica -21o
x = 0,6875o = 41’
Viçosa apresentava, portanto, uma declinação magnética de -21o 41’ no ano de 1985.
c) - Determinação da variação anual da declinação magnética em Viçosa. À semelhança do
caso anterior, obtem-se, por interpolação, no mapa isopórico:
2,4cm -------> 1’
0,7cm -------> y
y = 0,29’
2,4 cm é a dist. entre as linhas isopóricas
de 5’ e 6’ e 0,7 cm o afastamento do
ponto à esquerda da linha isopórica de 5'.
Portanto, a variação anual da declinação magnética em Viçosa é 5,29'.
d) - Determinação da variação da declinação magnética de 1985 a 2006. A variação no
período corresponde a, aproximadamente, 111’, isto é, 5,29 minutos/ano x 21 anos.
e) - Declinação magnética em Viçosa no ano de 2006 = 21o 41’ + 111’ = -23o 32’. O sinal
negativo é convencional, significando que a declinação é ocidental.

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Correção de Rumos e azimutes
RUMOS:
Rmv = Rm + declinação magnética
Obs.: o sinal + ou - vai depender do quadrante do rumo magnético e do tipo da declinação.
N
+ do - do
- de +de
O E
- do + do
+ de - de
S
Exemplos numéricos:
45o dflngldg
a) Rm = NE b) Rm = 15o NE
do = 19 o do = 19 o
Rv = 45o - 19o = 26o NE Rv = 15o NE- 19o = -04o NE = 04o NO
NM NV
B B
AZIMUTES: Azv = Azm - do
Azv = Azm + de (fazer esquemas)
Observação: O conhecimento do valor da declinação magnética local é de grande interesse,
principalmente nos trabalhos de locação.
(mostrar exemplos).
NM NV
A
A

17
Medição de Distâncias
Num levantamento topográfico, além de ângulos horizontais e de inclinação é
necessário obter a distância que separa os pontos que caracterizam a superfície do terreno.
Considere a figura abaixo:

A B’
AB = distância natural entre os pontos A e B;
AB’= distância horizontal ou reduzida;
BB’= distância vertical ou diferença de nível.
B
Na representação planimétrica dos pontos A e B utiliza-se, apenas, a distância
horizontal. Tanto a distância horizontal como a vertical podem ser obtidas a partir da distância
inclinada (natural) e do ângulo de inclinação do terreno.
Processos de medição de distâncias
Os processos de determinação de distâncias podem ser diretos e indiretos.
A) Processo direto: A distância é obtida por meio de unidades retilíneas aplicadas
diretamente no terreno, denominadas diastímetros. Os diastímetros mais comuns são as trenas
que podem ser de lona, aço ou fibra de vidro.
B) Processo indireto: Nos processos indiretos não é necessário percorrer os
alinhamentos a serem medidos. Nesse caso, o instrumento é instalado num extremo do
alinhamento e um complemento noutro extremo. A distância pode ser obtida por princípio
ótico (estadimetria) ou por meio de princípio eletrônico (propagação de ondas
eletromagnéticas).

18
Processo direto de medição de distâncias
Materialização do alinhamento a ser medido:
Quando a distância a ser medida é maior que o comprimento da trena que se dispõe, a
primeira providência a ser tomada é a materialização do alinhamento no terreno. O
alinhamento a ser medido deve ser subdividido em trechos de comprimento menor ou no
máximo igual ao comprimento da trena a ser empregada. Os extremos de cada trecho devem
ser alinhados com auxílio de um teodolito como mostra a figura abaixo.
B
O operador posicionado em A visa uma baliza colocada em B. Em seguida prende o
movimento horizontal. Movimentando a luneta verticalmente orienta-se o balizeiro para
marcar o ponto a que deverá estar a uma distância inferior ao comprimento da trena utilizada.
Procedimento idêntico deve ser feito para posicionar os pontos b e c. Em seguida, os
comprimentos dos segmentos são avaliados separadamente.
Processo de medição da distância
a) Medição com trena na horizontal
A  B’

B
baliza
Obs.: Em lugar da baliza pode-se também utilizar um fio com prumo.
(esquematizar a medição por parte)
b) Medição com a trena apoiada na superfície:
(esquematizar dr e dn)
Trena
AB’ = dist. hor.
c
b
a
A

19
Principais fontes de erro na medição com trenas
a) - Erro de catenária - ocasionado pelo peso da trena. Em virtude do peso do material da
trena, a mesma tende a formar uma curva com concavidade voltada para cima. Mede-se
nesse caso, um arco em vez de uma corda, o que seria o correto.
b) - Falta de horizontalidade da trena
Em terrenos com declive, a tendência do operador é segurar a trena mais próxima do
piquete. Esta é uma das maiores fontes de erro. Nesse caso as distâncias ficam
superestimadas.
c) - Falta de verticalidade da baliza
O operador pode inclinar a baliza no ato da medição ocasionando erro na medição. A
distância pode ser sub ou superestimada.
A B’
B
d) - Desvio lateral da trena
e) - Erro ocasionado pela dilatação das trenas.
Comum em trenas de aço. A temperatura durante a medição pode ser diferente daquela
de aferição da trena.
flecha (f)
A
B
correto
incorreto

20
Processo indireto de determinação de distâncias
Taqueometria ou Estadimetria
É um processo de medição de distâncias em que os alinhamentos são medidos sem a
necessidade de percorrê-los. Os instrumentos utilizados são denominados taqueômetros.
Existem taqueômetros denominados normais e autoredutores. Trataremos dos taqueômetros
normais.
A B
Princípio de funcionamento:
FS
FM
FI
B
E
A F C
D
G
Dos triângulos ABC, AEF, ACD E AFG, pode-se tirar as seguintes relações:
AC
AF
BC
EF
e
AC
AF
CD
FG
  portanto 



AC
AF
BC CD
EF FG
AC
AF
BD
EG
Considerando o conjunto taqueômetro e estádia ou mira, pode-se dizer:
AC = distância que separa o instrumento da mira, isto é, medida a determinar = D;
AF = distância focal = f;
BD = distância entre os fios FS e FI na mira, denominada leitura estadimétrica = m; e
EG = distância entre os fios do retículo no interior da luneta = h.
D
f
m
h
D
mf
h
  
FS
FM
FI
Tanto a distância focal como a distância entre fios do retículo na luneta são constantes
do instrumento, então a relação f / h também é uma constante. Esta constante é denominada

21
número gerador do instrumento, representada por g. Na maioria dos instrumentos é igual a
100.
D = m g
Equações estadimétricas para terrenos inclinados
1) Distância reduzida:
Na equação D = mg considera-se que o FM faz um ângulo reto com a mira,
entretanto, isso não ocorre, quando o terreno é inclinado. Torna-se necessário, então, fazer
uma correção. Considere a figura abaixo:
A
B
F

C

D G
E

Os fios do retículo deveriam interceptar a mira em F, C e G, no entanto, a leitura é
feita em B, C e D já que a mira fica na posição vertical. A relação entre os comprimentos FG
e BD pode ser obtida como se segue:
FG = n
BD = m
AC = distância natural (inclinada)
AE = distância horizontal (reduzida) = dr
dr = AC cos 
AC = ng
dr = ng cos
Como comentado anteriormente, na prática não se lê n e sim m, portanto torna-se
necessário obter a relação entre eles. Considerando os triângulos FBC e CDG e os ângulos
FCB e DCG iguais a , tem-se:

22
FC
BC
cos cos
 
cos

 

FC 
CG
BC 
CD

e
CG
CD
FG
BD
n
m
cos cos
   n 
m

dr = mcos  g cos
dr = m g cos2
Caso a inclinação do terreno seja representada por meio do ângulo zenital a expressão
anterior deverá ser reescrita como abaixo:
dr = m g sen2Z
2) Diferença de nível:
L
A
FG = dn (AF) (1)
AG = dr = mgcos2 (2)
EG = LA = i = altura do instrumento (3)
BD = m = leitura estadimétrica (4)
CF = l = leitura do FM (5)
FG = CG - CF (6)
CG = CE + EG (7)
substituindo (7) em (6)
FG = CE + EG - CF (8)
B
C
D
E
F
G


23
Pelo triângulo LCE tem-se:
CE = LE tg  (9)
LE = AG = dr = mg cos2 (10)
substituindo (10) em (9)
CE = mg cos2 tg  (11)
substituindo (11) , (3) e (5) em (8)
FG = mg cos2 tg  + i - l (12)
sabe-se que: tg  = sen / cos (13)
FG = mg cos2 sen  / cos  + i - l (14)
FG = mgcossen + i - l (15)
sabe-se também que sen 2 = 2 sencos ou cossen = sen2 / 2 (16)
FG = mgsen2 / 2 + i - l
dn   
i l
mgsen2
2

dar exemplos de utilização
das fórmulas deduzidas
Caso a inclinação do terreno seja representada por meio do ângulo zenital a expressão
anterior de ser reescrita como abaixo:
dn   
i l
mgsen2Z
2
Observe que a expressão
não se alterou
Erros nas medições estadimétricas:
a) Erro na leitura da mira
- depende da distância
- depende da capacidade de aumento da luneta
- depende da espessura dos fios do retículo
- depende da refração atmosférica
b) Erro nas leituras de ângulos verticais.
c) Erro devido a falta de verticalidade da mira. (esquematizar).

24
LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO
É um conjunto de operações realizadas no campo e escritório, utilizando processos e
instrumentos adequados para a obtenção de todos os elementos necessários à representação
geométrica de uma parte da superfície terrestre.
Na execução de um levantamento topográfico podemos considerar três fases:
a) - Reconhecimento da área:
Percorrer a região a ser levantada e definir os pontos que caracterizam a mesma. Os
pontos são aqueles que definem o contorno do terreno e a posição dos acidentes naturais e
artificiais no seu interior.
b) - Levantamento da poligonal básica:
Consiste no levantamento dos pontos que definem as linhas divisórias da propriedade.
Se a propriedade for muito grande, em vez de um só polígono pode-se dividi-la em dois ou
mais polígonos. A divisão pode ser feita com base nas linhas de divisas internas tais como
cercas, estradas, córregos etc.
B
A
C
c) - Levantamento de detalhes:
Consiste em definir os acidentes naturais e artificiais existentes na área a ser levantada,
tais como: estradas, cursos d’água, pontos que definem o relevo, benfeitorias etc.

25
Métodos de levantamentos topográficos:
- Irradiação
- Interseção
- Triangulação
- Ordenadas
- Caminhamento
Levantamento por Irradiação
Consiste em escolher um ponto no interior do terreno a ser levantado e a partir deste
determinar os elementos para definir a posição dos pontos topográficos necessários à
representação de sua superfície. Em geral as operações de campo são realizadas a partir de
uma única instalação do instrumento.
A posição escolhida para instalar o instrumento deve permitir a visada de todos os
pontos que caracterizam o perímetro e os acidentes naturais e artificiais do terreno.
sede de
irradiação
0 1
7 A 2
6
4 3
5
linhas de
visada
As direções das linhas de visada podem ser obtidas com a bússola ou a partir da
medição de ângulos horizontais, tomando como referência a primeira linha de visada. As
distâncias podem ser obtidas por processo direto ou indireto. O processo indireto é indicado
por ser mais rápido.
A seguir é apresentada uma caderneta de campo típica de um levantamento por
irradiação a bússola e medição direta de distâncias, referente ao polígono anterior.

26
Levantamento por Irradiação à Bússola
CADERNETA DE CAMPO
ESTAÇÕES
PONTOS
VISADOS
RUMOS
DISTÂNCIA
(m)
OBSERVAÇÕES
0
1
2
A 3
4
5
6
7
Observações:
- Empregado, de modo geral, como auxiliar do caminhamento, para levantamento de
detalhes.
- Empregado para levantamento de áreas pequenas e descampadas;
Em se tratando de áreas maiores ou irregulares quanto ao contorno, pode-se empregar
este método de levantamento utilizando mais de uma sede de irradiação. As sedes deverão ser
interligadas por meio da medição de ângulos e distâncias, como esquematizado abaixo:
x x
x x
x
A B x
x
x
x x
x

27
Levantamento por Interseção
Neste método os pontos topográficos são definidos pelas interseções dos lados de
ângulos horizontais medidos das extremidades de uma base estabelecida no terreno.
A única distância a ser medida neste método é aquela correspondente ao comprimento
da base, geralmente obtida com uma trena.
P1 P2
A B
As distâncias entre as extremidades da base e os pontos topográficos podem ser
determinadas por processo gráfico ou trigonométrico.
Processo gráfico:
É necessário fazer o desenho numa determinada escala. (utilizar dados do esquema
anterior).
Exemplo:
Escala do desenho = 1:1000 1,0cm do desenho = 10m do terreno
AB = 50,00 m
A-P1 = 4 cm
B-P1 = 7,6 cm
d(A-P1) = 4cm x 1000 = 40,00 m
d(B-P1) = 7,6 x 1000 = 76,00 m
Processo trigonométrico:
Neste caso as distâncias são determinadas por meio de equações trigonométricas,
segundo a lei dos senos.
Exemplo:

28
Determinação das distâncias da extremidade da base ao ponto P2:
P2
c
A B
AB = 50,00 m
a = 40o
b = 85o
c = 180o - (a + b)
AB
c
AP
b
AP
AB sen
b
AP o
a b
o
sen sen o o o
sen[ ( )]
, sen
sen ( )
  
 
 
 
2
2 2 180
50 00 85
180 40 85
AP2 = 60,81 m
Observações:
O processo de interseção é empregado como auxiliar do caminhamento para
levantamento de pontos de difícil acesso ou muito distantes.
Levantamento por Triangulação
É um tipo de levantamento semelhante ao de interseção. Além dos ângulos da base é
medido também o ângulo na interseção das duas visadas. Isto permite controlar o erro
angular. B
A
a b
Consiste em dividir a área
a ser levantada numa rede
de triângulos

29
Levantamento por Ordenadas
Neste método a posição do ponto topográfico é definida pela medição de suas
respectivas coordenadas retangulares. As distâncias geralmente são obtidas com trenas.
1 2
A B C D E
Ao longo do alinhamento 0-3 são medidas uma abscissa e uma ordenada para
posicionar cada ponto do contorno.
Este tipo de levantamento é também empregado como um método auxiliar do
levantamento por caminhamento para definir detalhes sinuosos das linhas divisórias como
cursos d’água, por exemplo.
LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO
Consiste numa medição sucessiva de ângulos e distâncias descrevendo uma poligonal
fechada.
Os vértices e os lados da poligonal são utilizados para levantamentos dos acidentes
topográficos que existem em suas imediações pelo emprego dos processos auxiliares.
O método de levantamento por caminhamento é caracterizado pela natureza dos
ângulos que se mede, daí classificar-se em:
- Caminhamento à bússola;
- Caminhamento pelos ângulos de deflexões.
- Caminhamento pelos ângulos horários;
3
0 X
4
Y 5
6
8
7
esquematizar as
medições de cada ponto
(distâncias).
As distâncias são
anotadas no “croquis”

30
CAMINHAMENTO PELOS ÂNGULOS HORÁRIOS
Ângulos horários são ângulos horizontais medidos sempre no sentido horário.
Dependendo do sentido do caminhamento, os ângulos medidos podem ser internos ou
externos.
Hoje, a maioria dos softwares topográficos tais como: GRAU MAIOR,
DATAGEOSIS, TOPOGRAF, TOPTEC, TOPOEVN, etc. traz em seus menus de entrada de
dados a opção para ângulos horários.
Obs.: Quando o caminhamento é feito no sentido horário, os ângulos horizontais
medidos são externos.
sentido do c aminha m e n to
Quando o caminhamento é feito no sentido anti horário os ângulos horizontais
medidos são chamados ângulos internos.
sentido do c aminha m
e n t o
0
4
3
2
1
0
4
3
2
1

31
NM
0
4
5
Fórmula para o cálculo dos azimutes
Azimute de 0-1 = 145º 00’
1 2
3
a
Azimute calculado = azimute anterior + ângulo horário
< 180º => +180º
> 180º < 540º => -180º
> 540º => -540º
Observação:
O azimute do alinhamento 0-1 é medido no limbo horizontal do teodolito
devidamente orientado
Caderneta de campo
ESTACA
VISADAS ÂNGULO AZIMUTE
RÉ VANTE HORÁRIO LIDO CALC. OBS
0 5 1 267º 40’ 145º 00’ 145º 10’
1 0 2 116º 00’ 81º 00’
2 1 3 295º 00’ 196º 00’
3 2 4 263º 30’ 279º 30’
3 2 A 310º 45’ 326º 45’ CASA
4 3 5 227º 30’ 327º 00’
5 4 0 270º 30’ 57º 30’
Azimute calculado 1-2 = azimute anterior 145º 00’ + ângulo horário
Azimute calculado 1-2= 145º 00’+ 116º = 261º 00’ – 180º = 81º 00’
Azimute calculado 2-3 = 81º 00’+ 295º 00’= 376º 00’- 180º = 196º 00’
Azimute calculado 3-4 = 196º 00’+ 263º 30’ = 459º 30’ – 180º =279º 30’
Azimute calculado 3-A = 196º 00’+ 310º 45’ = 506º 45’ – 180º = 326º 45’
Azimute calculado 4-5 = 279º 30’ + 227º 30’ = 507º 00’ – 180º = 327º 00’
Azimute calculado 5-0 = 327º 00’ + 270º 30’ = 597º 30’ – 540º = 57º 30’
Azimute calculado 0-1 = 57º 30’ + 267º 40’ = 324º 70’ = 325º 10’ – 180º = 145º 10’

32
Verificação do erro angular
Soma dos ângulos externos de um polígono (ae) = 180(n+2) n=nº de lados
ae = 180(6+2)
ae = 1440º 00’
Somando os ângulos externos do polígono em estudo, excluindo aqueles
correspondentes às irradiações teremos 1440º 10’.
Erro angular de fechamento do polígono = 0º 10’.
Observação: O erro angular obtido deve coincidir com a diferença entre o primeiro azimute
lido e o calculado (alinhamento 0-1). Isto indica que os cálculos dos azimutes
estão corretos. Em caso contrário, deve-se refazer os cálculos.
Tolerância do erro angular
T= 5’ n n é o nº de lados do polígono.
T= 5’ 6  12’
Erro angular = 10’
Tolerância = 12’  neste caso, o erro angular de fechamento é permitido.
Correção do erro angular de fechamento
O erro angular de fechamento do polígono, igual a 10’, deverá ser distribuídos nos
últimos lados. Isto é, 2’ para cada um dos quatro últimos lados e 2’ no primeiro lado.
A correção é cumulativa, sendo somada ou subtraída de acordo com os azimutes lido e
calculado do alinhamento 0-1
Obs: Não se corrige os azimutes dos pontos levantados por processos auxiliares
Correção do erro angular de fechamento
ESTACAS
AZIMUTE AZIMUTE
LIDO CALCULADO CORRIGIDO OBS
0-1 145º 00’ 145º 10’ 145º 00’
1-2 81º 00’ 81º 00’
2-3 196º 00’ 195º 58’
3-4 279º 30’ 279º 26’
3-A 326º 45’ 326º 45’ CASA
4-5 327º 00’ 326º 54’
5-0 57º 30’ 57º 22’
Se o caminhamento fosse no sentido anti-horário, o procedimento seria o mesmo, porém os
ângulos medidos no campo, seriam ângulos internos do polígono.

33
Caminhamento pelos Ângulos de Deflexões
Deflexão: é o ângulo formado pelo prolongamento do alinhamento anterior à estação
do instrumento e o alinhamento seguinte. O ângulo de deflexão varia de 0 a 180o à direita ou à
esquerda do prolongamento do alinhamento.
1 D
0 2 E
Operações para medição do ângulo:
Exemplo: deflexão do alinhamento 1-2
1) - Centralizar, nivelar e zerar o teodolito na estação 1;
2) - Inverter a luneta e visar a estação à ré (0);
3) - Voltar a luneta à posição normal;
4) - Soltar o movimento do limbo e visar a vante (2);
5) - Ler o ângulo de deflexão no limbo horizontal do instrumento.
Controle de medição angular
- O levantamento por caminhamento permite o controle de medição angular quando o
teodolito é dotado de bússola.
- Pode-se calcular o rumo ou azimute de um alinhamento a partir da deflexão do
mesmo e do rumo ou azimute do alinhamento anterior. O ângulo calculado é
comparado com aquele lido no limbo da bússola. Caso a diferença entre
eles seja significativa, as medições devem ser repetidas.
1)Caso de bússola graduada para medição de rumos:
Rumo calculado = Rumo anterior ± deflexão

34
Exemplos:
a) Rumo anterior pertencente ao quadrante NE
NM C
NM NM N M
D
B B
A A
C
Rumo calc. BC = Rumo ant. + D Rumo calc. BC = Rumo ant. - E
b) Rumo pertencente ao quadrante SE (esquematizar)
Rumo calc. = Rumo ant. - D
Rumo calc. = Rumo ant. + E
c) Rumo pertencente ao quadrante SO (esquematizar)
Rumo calc. = Rumo ant. + D
Rumo calc. = Rumo ant. - E
d) Rumo pertencente ao quadrante NO (esquematizar)
Rumo calc. = Rumo ant. - D
Rumo calc. = Rumo ant. + E
Como exemplificado, o sinal + ou - da deflexão depende do quadrante do rumo
anterior. Isto pode ser memorizado conforme convenção abaixo.
2) Bússola graduada para medição de azimutes:
Azimute calculado = Azimute anterior + D ou
Azimute calculado = azimute anterior - E
E
N
-D +D
+E -E
O E
+D -D
-E +E
S

35
Verificação do erro angular
D6
Observação:
D5
D1
i1
i6
E1
I1
A verificação do erro angular é feita com base nas estações da poligonal básica. Dessa
forma, os pontos levantados por processos auxiliares não são incluídos.
Considerando o polígono anterior pode-se escrever:
D1 + i1 = 180º I1 - E1 = 180º
D2 + i2 = 180º I2 - E2 = 180º
D3 + i3 = 180º In - En = 180º
D4 + i4 = 180º ----------------------
D5 + i5 = 180º I - E = n 180º
D6 + i6 = 180º
Dm + im = 180º
------------------------
D + i = m 180º
D + i + I - E = n 180º + m 180º
D + i + I - E = (n + m )180º
i + I = soma dos ângulos internos do polígono
i + I = 180º (l-2)
n + m = número de lados do polígono
n + m = l
D2
i2
i3
D3
I2
E2
i4
D4
i5

36
D + 180º (l-2) - E = 180º l
D + 180º l - 360º -E = 180º l
Σ D - Σ E = 360º
Considerando a caderneta de campo anterior temos:
Σ D = 76º 10’ + 108º 30’ + 92º 10’ + 34º 00’ + 111º 04’ = 421º 54’
Σ E = 62º 05’
Σ D - Σ E = 421º 54’ - 62º 05’ = 359º 49’
erro angular = 360º 00’ - 359º 49’ = 11’
Tolerância  5' l  5' 6  12'
Conclusão: o erro angular cometido durante as operações de campo é permitido. Nesse caso o
erro deve ser distribuído para dar sequência ao trabalho de escritório.
Observação:
O erro angular obtido no levantamento deve coincidir com a diferença entre o
primeiro rumo lido e o calculado. Caso contrário há erro no cálculo dos rumos.
Caminhamento a Bússola
Nesse método de levantamento, os alinhamentos da poligonal básica são definidos por
meio de rumos ou azimutes, além das distâncias. Para locais sujeitos a interferências
magnéticas o presente método não é indicado, tornando-se de baixíssima precisão, pois não
permite identificar erro angular de fechamento da poligonal básica.
Controle de medição angular
O controle consiste em comparar a leitura de dois ângulos lidos no limbo da bússola,
nas extremidades do alinhamento.
a) - Bússolas graduadas para rumos:
NM NM
B
A
60º NE
60º SO
os rumos deverão ter o
mesmo valor numérico
porém em quadrantes
diametralmente opostos
Rumo a-b = 60º NE ---------> Rumo b-a = 60º SO

37
b) - Bússolas graduadas para medição de azimutes:
NM NM
62º 242º
o valor do azimute de ré
deve diferir de 180º em
relação àquele lido na
primeira estação

38
Operações topográficas de escritório
1 - Verificação do erro angular (comentado anteriormente)
2 - Distribuição do erro angular (comentado anteriormente)
3 - Preparo de Cadernetas:
Para a confecção da planta é necessário obter a distância horizontal dos alinhamentos
medidos no campo que juntamente com a direção dos mesmos permitirá a representação
planimétrica do terreno. A distância horizontal ou reduzida é calculada pela fórmula:
dr = mg cos2 (no caso de medição estadimétrica). A direção corresponde aos rumos ou
azimutes corrigidos conforme mostrado anteriormente.
A parte altimétrica da planta é representada a partir das diferenção de nível que
podem ser obtidas por meio da fórmula: dn = mgsen2/2 + i - l . A partir das dn obtém-se as
cotas ou altitudes que possibilitarão a representação do relevo.
EXEMPLO:
Caminhamento por Ângulos Horários
CADERNETA DE CAMPO
EST AZIMUTES LEITURA DE MIRA ALT. ANG. OBS
CALC. FI FM FS INSTR. VERT.
0-1 109º 50’ 1.200 1.500 1.800 1.540 +3º 30’
1-a 200º 20’ 1.300 1.540 1.780 1.600 +2º 10’ casa
1-2 69º 15’ 1.300 1.705 2.110 1.600 +6º 23’
2-b 205º 00’ 1.310 1.620 1.930 1.600 +3º 10’ poste
2-3 161º 20’ 1.240 1.667 2.094 1.600 +4º 00’
3-4 211º 20’ 1.300 1.672 2.044 1.650 -4º 40’
4-5 277o 25’ 1.000 1.575 2.150 1.620 -3º 00’
4-c 338º 40’ 1.280 1.540 1.800 1.620 +1º 00’ casa
5-0 357º 00’ 1.000 1.605 2.210 1.540 -2º 55’
dr = mg cos2
dr = distância reduzida (m)
m = leitura estadimétrica = FS - FI
g = constante do teodolito = 100
 = ângulo de inclinação da luneta

39
dn = mgsen2/2 + i - l
dn = diferença de nível
i = altura do instrumento
l = leitura do fio médio
dr(0-1) = (1,80 - 1,20) . 100 . (cos 3o 30’)2 = 59,78 m
dn(0-1) = (1,80 - 1,20) . 100 . [sen (2 . 3o 30’)]/2 + 1,54 - 1,50 = 3,70
O cálculo das cotas do terreno é feito a partir de um valor de cota arbitrário para o
ponto 0. A escolha do valor inicial deve ser feita de modo que ao calcular as demais cotas os
valores obtidos sejam positivos.
COTA 1 = COTA 0 + DIF. NÍVEL
COTA 1 = 20,00 + 3,70 = 23,70
Caderneta de Escritório
EST
AZIMUTES DIST. DIF. NÍVEL
COTAS
COTAS
OBS.
valor
CALC. RED. + - CORR.* corrigido
0- 1 109º 50’ 59. 78 3.7 0 23, 70 23, 67 Cota 0 = 20,00 -0, 03
1-a 200º 20’ 47.93 1.87 25,57 25,54 casa -0,03
1-2 69º 15’ 80.00 8.84 32,54 32,48 -0,06
2-b 205º 00’ 61.81 3.40 35,94 35,88 poste -0,06
2-3 161º 20’ 84.98 5.88 38,42 38,33 -0,09
3-4 201º 20’ 73.91 6,06 32,36 32,24 -0,12
4-5 277o 25’ 114.69 5,97 26,39 26,24 -0,15
4-c 338º 40’ 51.98 0.99 33,35 33,23 casa -0,12
5-0 357º 00’ 120.69 6,21 20,18 20,00 -0,18
*As cotas corrigidas são obtidas após a distribuição do erro altimétrico cometido no
levantamento.
Erro altimétrico:
A soma algébrica das diferenças de nível dos pontos da poligonal básica deve ser
igual a zero. Caso contrário, há erro que é denominado erro altimétrico. Esse erro pode,
também, ser obtido comparando-se o valor estipulado para a cota do ponto 0, no início dos
cálculos, com a cota calculada para o ponto 0 no fechamento do polígono.

40
No exemplo anterior observa-se :
erro altimétrico = 20,18 - 20,00 = 0,18 m
Tolerância:
T
d
n

 500 1
T = tolerância (m);
d = perímetro da poligonal base (m); e d = 534,05m
n = no de lados da poligonal base. n = 6 -----> T = 0,48m
O erro altimétrico deve ser distribuído nos vértices do polígono. A correção é
cumulativa e é efetuada a partir do vértice 1. Nesse exemplo, como temos 6 vértices, pode-se
distribuir 0,18m nos 6 vértices, isto é 0,03 m em cada um. Como a cota calculada do ponto
zero (20,18) foi superior ao valor arbitrado no início dos cálculos (20,00), a correção deve ser
negativa. Nas irradiações corrige-se o mesmo valor correspondente ao da estação em que foi
visado o ponto. Por exemplo, no ponto a, a correção a ser feita é 0,03m, isto é, igual àquela
que foi feita para a estação 1. (ver caderneta anterior)
A fase seguinte ao preparo da caderneta de escritório é a execução do desenho do
terreno levantado topograficamente.
Confecção da planta
Desenho topográfico:
É a reprodução geométrica dos dados de campo, em projeção horizontal, no plano do
papel.
Tipos de desenho: Planimétrico ---------> planta planimétrica
Altimétrico ------------> desenho do perfil
Plani-altimétrico -----> planta topográfica
Processos de execução do desenho:
Coordenadas Polares - Há transferência de ângulos e de distâncias para o papel.
Coordenadas Retangulares - Transferência de distâncias apenas. As distâncias
correspondem às projeções do alinhamento num sistema de eixos coordenados.

41
Coordenadas Polares
Transferência de ângulos - transferidores comuns, tecnígrafo.
Transferência de distâncias - é feita por meio de réguas comuns ou escalímetros.
Quando se utiliza réguas comuns, torna-se necessário reduzir as distâncias conforme a escala
do desenho.
Escalas:
* numéricas ---------> notação: 1 : n ou 1/n
exemplo ------------> 1 : 500 . Cada 0,2 cm no desenho corresponde a uma medida
real de 1m
* gráficas : (será visto em seguida)
Fases de execução do desenho:
Rascunho (papel opaco)
Original (papel vegetal)
Cópias
(Fazer o desenho correspondente à caderneta de escritório preparada anteriormente)
A distância 0'-0 da figura abaixo representa o erro gráfico de fechamento do polígono
0 2
0’
1
3
5
6

42
Erro gráfico de fechamento
Ocasionado pelo desvio da extremidade do último alinhamento transferido em relação
ao ponto de partida.
Correção do erro:
a - identificação do sentido do erro, unindo 0’ a 0);
b - traçar paralelas ao sentido do erro em cada vértice do polígono;
b - distribuir o erro nos últimos lados do polígono. A correção é acumulada;
c - deslocar os vértices paralelamente ao sentido do erro; e
d - unir os novos vértices
Após a correção do erro gráfico de fechamento são representados os pontos
levantados por processos auxiliares.
A fase seguinte corresponde à representação do relevo. O relevo normalmente é
representado por meio de curvas de nível.
Traçado de Curvas de Nível
Curva de nível: é uma linha que une os pontos de mesma cota ou altitude.
Traçado das curvas: Inicialmente são obtidos os pontos de passagem das curvas com
cotas inteiras.
Processos: - Interpolação
- A partir do desenho do perfil
Para obter os pontos de passagem das curvas é necessário definir o espaçamento
vertical (EV) a ser utilizado. EV corresponde à diferença de nível entre duas curvas de nível
consecutivas. O EV depende da finalidade da planta. Para fixar o EV pode-se tomar como
base a escala do desenho. A interpolação é realizada em uma planta aonde estão
representados os pontos cotados.
Exemplo:
Fazer o traçado das curvas de nível na planta a seguir, confeccionada na escala
1:1000. Utilizar espaçamento vertical de 1m.
alinhamento 0-1
distância gráfica 0-1 = 6,0cm (medida na planta)
diferença de nível = 23,67 - 20,00 = 3,67m

43
Obtenção da distância horizontal entre curvas no alinhamento 0-1
3,67m -----------------> 6,00cm
1,00m -----------------> x x = 1,63 cm
As curvas de nível com espaçamento de 1m estarão distanciadas de 1,63cm, considerando o
alinhamento 0-1.
2 (32,48)
0 (20,00)
1 (23,67)
* b (35,88)
* a (25,54)
3 (38,33)
* c (33,23)
5 (26,24)
4 (32,24)
alinhamento 1-2
8,81m ------------------> 8,00cm
1,00m ------------------> y y = 0,91 cm
O valor 0,91cm corresponde a distância horizontal para 1m de EV. No entanto, a
primeira curva que intercepta o alinhamento 1-2 é a de cota 24 m que tem um desnível de

44
0,33 m em relação ao ponto 1, nesse caso é necessário calcular a distância horizontal para
esse desnível.
1,00m ------------------> 0,91cm
0,33m ------------------> z z = 0,30 cm
A distância horizontal entre o ponto com cota 24,00 e o ponto 1 (23,67) será 0,30 cm.
As cotas inteiras seguintes estarão distanciadas de 0,91 cm.
Observa-se, no alinhamento 1-2, que o espaçamento entre curvas é menor,
consequentemente, esse alinhamento apresenta inclinação mais acentuada.
Cálculos semelhantes deverão ser feitos para os demais alinhamentos do polígono.
Deve-se considerar, também, alinhamentos internos para auxiliar no traçado das curvas.
Acabamento da Planta
Escala Gráfica
A escala gráfica corresponde ao desenho de uma escala numérica. A presença da
escala gráfica é importante principalmente quando se pretende fazer cópias ampliadas ou
reduzidas da planta. Nesse caso a escala numérica perde a sua função.
A escala gráfica vem apresentada logo abaixo da planta.
Construção da escala gráfica:
* Componentes:
Título - é a escala numérica que vai dar origem à escala gráfica
Divisão principal - é a maior graduação da escala (escolhida pelo desenhista)
Talão - é a divisão que fornecerá a precisão da escala.
Exemplo de construção:
Título -----------------> 1 : 1000
Divisão principal ---> 20m
|<---2cm----->|
20 0 20 40 60 80m
Orientação Magnética
Apresentada no canto superior esquerdo da planta. Às vezes vem acompanhada do
meridiano geográfico.

45
Convenções Topográficas
São símbolos representativos dos acidentes naturais e artificiais contidos na planta.
Vêm listados num quadro localizado, geralmente, no canto inferior esquerdo.
A planta deve apresentar, também, nomes dos proprietários confinantes.
Legenda
- Identificação da propriedade
- Proprietário
- Localização
- Escalas
- Área da propriedade
- Responsável técnico

46
COORDENADAS RETANGULARES
Na execução do desenho por meio de coordenadas retangulares transfere-se, para o
papel, apenas distâncias. As distâncias a serem transferidas correspondem às projeções do
alinhamento num sistema de eixos coordenados originando as abscissas e ordenadas que são
as coordenadas plano-retangulares de cada ponto definido no campo.
Cálculo do caminhamento
Consiste em transformar coordenadas polares em coordenadas retangulares.
MM Y
b


d
a xb X
coordenadas polares coordenadas retangulares
sen  = x / d x = d sen  = rumo ou azimute calculado
d = distância reduzida
cos  = y / d y = d cos x = abscissa
y = ordenada
Observação:
Quando se utiliza rumos os sinais das abscissas e ordenadas dependem do quadrante
do rumo, como mostrado abaixo:
yb
N
x - x +
y + y +
O E
x - x +
y - y -
S
Exemplos:
alinhamento 0-1
rumo = 50º 20’ SE
distância = 90,00 m
x1 = 90,00 sen 50º 20’ = 69,28m
y1 = 90,00 cos 50º 20’ = -57,45m

47
Quando se utiliza azimutes, os sinais das coordenadas são dados diretamente nas
operações de cálculo.
Exemplo:
alinhamento a-b
azimute = 140º 30’
distância = 80,00m
xb = 80,00 sen 140º 30’ = 50,89m
yb = 80,00 cos 140º 30’ = - 61,73m
Observação:
As coordenadas obtidas são denominadas coordenadas relativas calculadas. Os
valores encontrados podem conter erros resultantes do levantamento.
Erro linear de fechamento (e)
A soma algébrica das projeções dos lados de um polígono regular sobre dois eixos
retangulares deve ser nula, caso contrário, há erro de fechamento do polígono.
ey
ex
O erro linear de fechamento é representado pela hipotenusa de um triângulo retângulo
que tem como catetos o erro das abscissas e o erro das ordenadas relativas.
e2 = ex
2 + ey
2 2
2  e = e  e x y
Tolerância:
T  t K
T = tolerância (m)
t = precisão do levantamento (depende de exigências cadastrais)
varia de 0,2 a 2,0 m
K = perímetro do polígono (km)
ex = soma algébrica das abscissas
ey = soma algébrica das ordenadas

48
EXEMPLO DE CÁLCULO DE COORDENADAS RETANGULARES
Na planilha abaixo estão representados os dados obtidos a partir de um levantamento
topográfico de um polígono com 6 lados e três pontos internos.
EST
AZIMUTES DISTÂNCIAS
CALCULADOS REDUZIDAS
0-1 109º 50’ 59,78
1-2 69º 15’ 80,00
1-a 200º 20’ 47,93
2-3 161º 20’ 84,98
2-b 205º 00’ 61,81
3-4 211º 20’ 73,91
4-c 338º 40’ 51,98
4-5 277º 25’ 114,69
5-0 357º 00’ 120,69
Cálculo das coordenadas relativas
x1 = 59,78 sen 109º 50’ = 56,23
y1 = 59,78 cos 109º 50’ = - 20,28
x2 = 80,00 sen 69º 15’ = 74,81
y2 = 80,00 cos 69º 15’ = 28,34
Determinação do erro linear de fechamento:
Erro das abscissas -----> ex = - 0,24m
Erro das ordenadas ----> ey = - 0,26m
Os valores das coordenadas dos outros pontos
encontram-se na planilha a seguir
2 2 2 2  e = (-0,24)  (0,26) = 0,35m
Erro linear  e = e  e x y
T  t K  T 1,0m 0,53405  T = 0,73m
Nesse caso, o erro é menor que a tolerância, portanto, deve ser corrigido. A correção
do erro linear é feita por meio de coeficientes de proporcionalidade obtidos a partir dos erros
das abscissas e das ordenadas relacionados ao perímetro do polígono ou à soma dos módulos
das coordenadas.
Método do Coeficiente de Proporcionalidade relacionado ao perímetro:
Consiste em distribuir os erros das abscissas e das ordenadas proporcionalmente ao
tamanho dos lados da poligonal base. Os lados maiores estarão sujeitos às correções maiores.

49
Coeficiente para correção das abscissas (Cx)
Cx = ex / d d = perímetro (m)
Coeficiente para correção das ordenadas (Cy)
Cy = ey / d
A correção a ser feita em cada vértice é igual ao coeficiente de correção das abscissas
ou das ordenadas multiplicado pela distância de cada alinhamento.
Obs.: Recomenda-se utilizar o máximo de dígitos do coeficiente ao fazer essa
multiplicação deixando as aproximações para quando apresentar o resultado.
Considerando os dados anteriores temos:
Cx = - 0,24m / 534,05m = - 0,0004494
Cy = - 0,26m / 534,05m = - 0,0004868
Correção do erro linear:
Abscissa corrigida = abscissa calculada – distância . Cx
Ordenada corrigida = ordenada calculada – distância . Cy
Abscissas corrigidas:
X1 = 56,23 - [ 59,78 (-0,0004494)] = 56,26
X2 = 74,81 - [ 80,00 (-0,0004494)] = 74,85
X3 = 27,20 - [ 84,98 (-0,0004494)] = 27,24
X4 = -38,43 - [ 73,91 (-0,0004494)] = -38,40
X5 = -113,73 - [114,69 (-0,0004494)] = -113,68
Xo = - 6,32 - [120,69 (-0,0004494)] = - 6,27
Ordenadas Corrigidas:
Y1 = -20,28 – [ 59,78 (- 0004868)] = -20,25
Y2 = 28,34 – [ 80,00 (- 0004868)] = 28,38
Y3 = -80,51 – [ 84,98 (- 0004868)] = -80,47
Y4 = -63,13 – [ 73,91 (- 0004868)] = -63,09
Y5 = 14,80 – [114,69 (- 0004868)] = 14,85
Yo = 120,52 - [120,49 (- 0004868)] = 120,58
Os pontos levantados por processos auxiliares, como é o caso dos pontos a, b e c, não
devem ser submetidos à correção do erro linear.
A partir das coordenadas corrigidas é feito o cálculo das abscissas e ordenadas
absolutas que serão utilizadas para a confecção da planta. As coordenadas absolutas serão
obtidas acumulando-se a partir de um valor inicial arbitrário as coordenadas corrigidas.

50
PLANILHA DE COORDENADAS RETANGULARES
EST
AZIMUT
ES
DIST. ABSC. RELATIVA ORD. RELATIVA ABSCISSA ORDENADA
CALC. RED. CALC. CORRIG. CALC. CORRIG. ABSOLUTA ABSOLUTA
0 200,00 200,00
1 109º 50’ 59,78 56,23 56,26 -20,28 -20,25 256,26 179,75
2 69º 15’ 80,00 74,81 74,85 28,34 28,38 331,11 208,13
3 161º 20’ 84,98 27,20 27,24 -80,51 -80,47 358,35 127,66
4 211º 20’
SO
73,91 -38,43 -38,40 -63,13 -63,09 319,95 64,57
5 277º 25’ 114,69 -113,73 -113,68 14,80 14,85 206,27 79,42
0 357º 00’ 120,69 -6,32 -6,27 120,52 120,58 200,00 200,00
SOMA 534,05 -0,24 0,00 -0,26 0,00
1-a 200º 20’ 47,93 -16,65 -44,94 239,61 134,81
2-b 205º 00’ 61,81 -26,12 -56,01 304,99 152,12
4-c 338º 40’ 51,98 -18,91 48,42 301,04 112,99
DESENHO
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
200 220 240 260 280 300 320 340 360 380

51
Método do Coeficiente de Proporcionalidade relacionado à soma das coordenadas:
Coeficiente para correção das abscissas (Cx)
Cx = ex / Sx Sx = Soma dos módulos das abscissas (m)
Coeficiente para correção das ordenadas (Cy)
Cy = ey / Sy Sy = Soma dos módulos das ordenadas (m)
A correção a ser feita em cada vértice é igual ao coeficiente de correção das abscissas
ou das ordenadas multiplicado pelo valor de cada coordenada.
Considerando os dados anteriores temos:
Cx = - 0,24m / 316,72m = - 0,0007577671
Cy = - 0,26m / 327,58m = - 0,0007936992
Correção do erro linear:
Abscissa corrigida = abscissa calculada – (abscissa calculada . Cx)
Ordenada corrigida = ordenada calculada – (ordenada calculada . Cy)
Abscissas corrigidas:
X1 = 56,23 - [ 56,23 (-0,0007577671)] = 56,27
X2 = 74,81 - [ 74,81 (-0,0007577671)] = 74,87
X3 = 27,20 - [ 27,20 (-0,0007577671)] = 27,22
X4 = -38,43 - [ -38,43 (-0,0007577671)] = -38,40
X5 = -113,73 - [-113,73 (-0,0007577671)] = -113,64
Xo = - 6,32 - [ -6,32 (-0,0007577671)] = - 6,32
Ordenadas Corrigidas:
Y1 = -20,28 - [ -20,28 (-0,0007936992)] = -20,26
Y2 = 28,34 - [ 28,34 (-0,0007936992)] = 28,36
Y3 = -80,51 - [ -80,51 (-0,0007936992)] = -80,45
Y4 = -63,13 - [ -63,13 (-0,0007936992)] = -63,08
Y5 = 14,80 - [ 14,80 (-0,0007936992)] = 14,81
Yo = 120,52 - [120,52 (-0,0007936992)] = 120,62
Vantagens do cálculo do caminhamento:
* Permite determinar a precisão do levantamento antes de executar o desenho;
* Para executar o desenho transfere-se apenas distâncias;
* Permite obter a área do terreno, analiticamente.

52
ALTIMETRIA
É a parte da Topografia que trata dos métodos e instrumentos empregados no estudo e
representação do relevo.
Para o estudo do relevo torna-se necessário conhecer as alturas dos pontos que o
definem.
Altura de um ponto:
É a distância vertical que separa o ponto de um plano denominado superfície de nível
de comparação (SNC).
B E
A C D
ha = altura de A ha hb hc hd he
SNC
Quando a SNC é arbitrária as alturas dos pontos são denominadas COTAS.
Na análise do relevo o que importa é a comparação entre os valores de cotas e não o
valor absoluto da cota já que a SNC é arbitrária.
Quando a SNC corresponde ao nível médio dos mares, suposto prolongado pelos
continentes, as alturas dos pontos são denominadas ALTITUDES.
100 200 280
(SNC)
A SNC corresponde à forma da terra isenta de elevações e depressões, também
denominada superfície de nível verdadeira.

53
Superfície Física
da Terra
SNV
Nas operações topográficas, entretanto, não é possível obter a superfície de nível
verdadeira. Utiliza-se uma superfície de nível denominada aparente (SNA).
A SNA corresponde ao plano tangente à SNV e é materializada, na prática, pelo plano
horizontal de visada dos instrumentos de nivelamento.
Erro de Nível Aparente (ENA)
plano de visada
do instrumento,
paralelo à SNA
É o erro ocasionado pela substituição da SNV pela SNA
A M
B
R
R
O
Determinação do erro de nível aparente:
SNA
SNV
MIRA
SNA
B
SNV
Na figura anterior percebe-se que os pontos A e B pertencem à superfície de nível
verdadeira, portanto, entre eles, não deve existir diferença de altura. No entanto, o plano de
visada do instrumento intercepta a mira em M em vez de em B ocasionando, dessa forma, o
erro de nível aparente corresponde ao segmento MB.

54
Resolvendo o triângulo retângulo AÔM temos:
OM2 = AM2 + OA2 (1)
OM = OB + BM (2)
OB = Raio terrestre = R
BM = Erro de nível aparente = x
OM = R + x (3)
(R + x)2 = AM2 + OA2 (4)
AM = distância entre os pontos considerados = D
OA = Raio terrestre
(R + x)2 = D2 + R2
R2 + 2Rx + x2 = D2 + R2 R = 6.378.137m
x(2R + x) = D2
D
x =
D
 2R x
 2R
x =
2 2


Observações:
a) - O erro de nível aparente torna-se menor em razão do efeito da refração atmosférica que
desvia a linha de visada para baixo.
A M
B
O
MIRA
SNA
posição da linha
de visada devido
ao efeito de
refração

55
Valores de ENA em função da distância de visada:
D (m) ENA (mm)
40 0,10
60 0,23
80 0,42
100 0,66
120 0,95
140 1,29
160 1,69
180 2,14_____
b) - Nas operações topográficas comuns o erro de nível aparente inferior a 1 mm é
considerado insignificante. Por essa razão, em vez de corrigirmos o erro, limitamos a
distância de visada em 120m.
Processos e Instrumentos de Nivelamento
Nivelamento
É uma operação topográfica que consiste em determinar a diferença de nível entre dois
ou mais pontos topográficos.
Diferença de Nível
É a distância vertical que separa os pontos topográficos.
-
+ C
A
Processos de Nivelamento
Simples
a) Direto - Geométrico
Composto
B
Trigonométrico
b) Indireto Estadimétrico
Barométrico
D

56
Instrumentos de Nivelamento
Os instrumentos de nivelamento estão divididos em 2 categorias.
1) - Instrumentos cujo plano de visada é sempre horizontal
a) Princípio de equilíbrio dos líquidos em vasos comunicantes.
Ex. Nível de mangueira: tubo plástico transparente contendo líquido (água)
LA LB dn = LA - LB
b) Instrumentos com nível de bolha
Ex: Nível de pedreiro
Nível ótico
dn (A-B)
nível de pedreiro nível ótico
2) - Níveis cujo plano de visada tem movimento ascendente ou descendente em relação ao
plano horizontal
Estes instrumentos permitem a determinação do ângulo de inclinação e/ou a
declividade do terreno.
Exemplos:
- Clinômetros (apoiado na mão)
- Eclímetros (montados em tripé)
- Clisímetros (fornece declividades)
- Teodolitos.
B
dn dnA-B = dr tg
A  declividadeA-B = tg . 100
dr
régua
A
B

57
Aplicações dos Nivelamentos
- Projetos de Irrigação - canais e drenos
- Locação de curvas de nível
- Determinação de desníveis (altura de elevação de água para bombeamentos)
- Construções: aplainamento de áreas, nivelamento de pisos
- Determinação de declividades do terreno - estradas, conservação de solos.

58
Nivelamento Geométrico Simples
É o nivelamento executado a partir da instalação do instrumento em apenas uma
posição escolhida no terreno.
Nas operações de nivelamento, os pontos que definem o relevo são materializados no
terreno por meio de piquetes. Costuma-se utilizar estaqueamento com distâncias fixas de 5,
10, 20 ou 50m dependendo da finalidade do nivelamento.
A instalação do instrumento geralmente é afastada dos pontos para permitir as leituras
de mira dos mesmos.
Exemplo:
2,90 2,00 2,40 1,50 0,90 0,90
3
1 2
0
Caderneta de Campo
EST LEIT DIF. NÍVEL COTA
S
OBS
MIRA + -
0 2,90 - - 20,00 estacas a
1 2,00 0,90 20,90 cada 10m
2 2,40 0,50 20,50
3 1,50 1,40 21,40
3+4,6 0,90 2,00 22,00
4 0,90 2,00 22,00
3+4,6 4
mostrar cálculos
de cotas
usando diferença
de nível parcial
*Fazer o desenho do perfil e projetar uma linha concordando as estacas 0 e 4. Preparar a
caderneta de escritório.
Limitações:
- Em terrenos com diferença de nível superior ao comprimento da mira;
- Em eixos ou áreas muito extensos há limitações em razão do erro de nível aparente tornar-se
significativo e ainda problemas de focalização dos fios do retículo e mira.

59
Nivelamento Geométrico Composto
É uma sucessão de nivelamentos geométricos simples, interligados por estacas de
mudança.
Tipos:
- Visadas múltiplas de cada posição do nível (topográfico)
- Duas visadas por posição do nível (geodésico).
Exemplo: nivelamento com visadas múltiplas
ré
B
ré
3 ré C
3 4
A
4
1 2 5
6 7
0
SNC
1 2
0 6
Caderneta de Campo
10
EST
Ponto
Visado
VISADAS PLANO
5 7
COTAS OBS.
RÉ VANTE VISADA
A 0 2,10 12,10 10,00 estacas a
1 0,80 11,30 cada 20m
2 0,70 11,40
B 2 2,00 13,40 11,40
3 1,00 12,40
4 1,50 11,90
5 2,40 11,00
C 5 0,60 11,60 11,00
6 1,20 10,40
7 0,70 10,90
Verificação de erros nos cálculos das cotas
 RÉ -  VANTE p.d. = DnTOTAL
(2,10+2,00+0,60) – (0,70+2,40+0,70) = (10,90-10,00)
4,70 - 3,80 = 0,90
Caso a igualdade não se confirme, os cálculos deverão ser refeitos. Ressalta-se que um
eventual erro refere-se aos cálculos e não às leituras das operações de campo.

60
Exemplo: nivelamento com duas visadas por estação
(esquematizar)
Verificação do erro de nivelamento:
O erro cometido na operação de nivelamento é constatado com base em um outro
nivelamento realizado no mesmo eixo, porém, em sentido contrário ao anterior
(contranivelamento). Nesse caso, basta comparar a diferença de nível total do nivelamento
com a do contra-nivelamento.
erro = dn (nivelamento) - dn (contra-nivelamento)
Tolerância do erro de nivelamento:
k c2 T 
T = tolerância (mm)
c = grau de precisão do nivelamento (mm/km)
k = comprimento do eixo (km)
Classificação do Nivelamento Geométrico:
a) Alta precisão -----------> c = 1,5 a 2,5 mm/km
b) Nivelamento de precisão:
1a ordem ------> c = 5 mm/km
2a ordem ------> c = 10 mm/km
3a ordem ------> c = 15 mm/km
4a ordem ------> c = 20 mm/km
5a ordem ------> c = 20 a 50 mm/km
Correção do Erro de Nivelamento
Na caderneta de campo a seguir estão representadas as cotas obtidas das operações de
nivelamento e contranivelamento de um eixo. O erro de nivelamento é somado ou subtraído
às cotas do contranivelamento. As cotas compensadas são obtidas através da média entre as
cotas do contranivelamento corrigidas e as cotas do nivelamento.

61
Caderneta de Correção do Erro Altimétrico
EST.
COTAS COTAS COTAS COTAS
OBS.
NIVELAMENTO CONTRA-NIV. CORRIGIDAS COMPENSADAS
0 100.000 100.030 100.000 100.000 estacas a
1 101.200 101.170 101.140 101.170 cada 20 m.
1+7,00 101.270 101.300 101.270 101.270
2 99.000 99.010 98.980 98.990
2+13,0
0
98.500 98.520 98.490 98.495
3 98.000 98.010 97.980 97.990
4 100.500 100.500 100.470 100.485
RN 104.500 104.480 104.450 104.475
5 103.700 103.690 103.660 103.680
6 105.100 105.100 105.070 105.085
erro de nivelamento = 100,030 - 100,00 = 0,030m
T  2c n T  2 x50 0,120
T = 35 mm
e < T
Como o erro é menor que a tolerância, ele deve ser distribuído .
Procedimentos a serem adotados no nivelamento geométrico:
- Estaqueamento do eixo
distância horizontal
estacas intermediárias
- Evitar leituras no terceiro terço nas miras de encaixe (4m)
- Limitar as distâncias de visada a um máximo de 120m.
- Verificação do cálculo das cotas
- Determinar o erro de nivelamento
- Locar referências de nível nas proximidades do eixo nivelado.

62
Referências de Nível (RN)
É um marco deixado no terreno, nas proximidades do eixo nivelado, cuja cota ou
altitude vem registrada em caderneta de campo.
Finalidade:
Servir como ponto de partida para nivelamentos futuros em trabalhos de locação. É
uma referência segura e permanente no terreno.
Materialização:
- marcos de concreto ou madeira de lei.
- alicerces de construções (piso)
Utilização da Referência de Nível
a) - Locação de Obras
Partindo-se de uma RN com cota igual a 20,00m, calcular as alturas de cortes e aterros
para a construção de um galpão cujo piso deve ficar 1,5m abaixo da RN.
esboço da área
A (18,50) C (18,50) cotas do projeto
B (18,50) D (18,50)
RN (20,00)
Procedimento:
- Instalar o nível próximo à RN;
- Determinar as leituras de mira da RN e dos pontos do projeto;
- Calcular as leituras de mira da obra a partir da leitura de mira feita na RN.
Leituras de mira do terreno:
RN = 1,40
A = 3,40
B = 3,60
C = 2,70
D = 2,62

63
Como o piso do galpão deve ficar 1,5m abaixo da RN, a leitura de mira da obra deverá
ser igual à da RN acrescida de 1,5m. Nesse exemplo a leitura de mira na RN foi 1,40m
conseqüentemente a da obra deverá ser 2,90m.
As alturas de cortes e aterros são obtidas comparando-se as leituras de mira calculadas
com as do terreno, como apresentado abaixo.
Caderneta de Locação
EST
LEITURA DE MIRA ALTURAS
OBS
TERRENO CALC. CORTES ATERROS
RN 1,40
A 3,40 2,90 0,50
B 3,60 2,90 0,70
C 2,70 2,90 0,20
D 2,62 2,90 0,28
Exemplificar cálculos de leitura de mira considerando piso com declividade
b) Verificação de cortes e aterros
O esquema abaixo representa o projeto de uma rampa em um terreno irregular.
D
 RN C
A
B
Procedimento:
- Instalar o nível e visar a RN;
- Calcular a altura do plano de visada;
plano de visada = cota RN + visada na RN
- Visar os pontos do projeto e calcular as cotas
- Comparar os valores obtidos com aqueles projetados para o greide.

64
Nivelamento Trigonométrico
Esse processo de nivelamento tem por base o ângulo de inclinação do terreno. A
diferença de nível é obtida por meio da resolução de triângulos retângulos
 dn
dr
dn = dr tg
dr = distância reduzida determinada com trena
 = ângulo determinado com o clinômetro ou teodolito.
Exemplo:
a) Nivelamento com clinômetro
Usado em serviços de conservação de solos, nivelamento de seções transversais em
estradas, etc.
B E
C D
A 20o
30,00m
50,00m
SNC
Dn(A-B) = 30,00 tg 200 = 10,92m
EST. ANG/DIST
DIF. NÍVEL (m)
COTAS OBS.
+ -
A-B 20o / 30,00 10,92 60,92 cota A = 50,00m
B-C -18o / 11,00 3,57 57,35
C-D 0o / 15,00 - - 57,35
D-E 9o / 25,00 3,96 61,31

65
b) - Nivelamento trigonométrico com teodolito
Esse tipo de nivelamento é útil quando se quer obter diferenças de nível para pontos de
difícil acesso ou distantes.
C
A  C’
dn = AC’. tg 
AC’ = distância reduzida entre os pontos A e C.
 = inclinação do terreno (teodolito)
A distância AC’ é determinada indiretamente pelo processo de interseção. Para tanto é
necessário materializar, no terreno, uma base (AB). O comprimento da base é medido com
uma trena.
Exemplo:
Determinar a diferença de nível entre um ponto A (acessível) e um ponto C
(inacessível)
A
C
Procedimento:
1) - Marcar no terreno uma base de comprimento conhecido conforme esquematizado a
seguir;
2) - Centralizar o teodolito em A e medir o ângulo horizontal a;

66
3) - Nessa posição, medir o ângulo vertical ;
3) - Centralizar o teodolito em B e medir o ângulo horizontal b
B
b
c C
A
sabe-se que:
AB
senc
AC'
senb
a
 c = 180º - (a+b)
AB
sen[180o - (a + b)]
AC'
senb
AC'
AB senb
sen[180o (a b)]
  
 
dn
AB sen b
(AC) o tg 
sen[180  (a 
b)]

Observação:
Para determinar o ângulo vertical, a visada é feita do eixo da luneta até a superfície do
terreno, portanto, deve-se acrescentar à diferença de nível, a altura do instrumento.
C
D
i
α
A E
dnA-C = CD + DE = CD + i
Obs.: Fazer um exemplo com dados numéricos

67
Nivelamento estadimétrico:
Neste processo a diferença de nível é obtida por meio da equação estadimétrica a
seguir:
dn mg
sen2
  i  l
2

(visto anteriormente)
Nivelamento Barométrico:
A diferença de nível é determinada a partir da relação que existe entre a altitude e a
pressão atmosférica.
Esta relação é determinada exprimindo-se a densidade do mercúrio em relação à do ar.
d
13 ,
6
 
1 ,
293 x
10 3
= 10.518 = fator altimétrico
Este valor indica que o mercúrio é 10.518 vezes mais denso que o ar. Assim, ao
posicionar o barômetro em duas posições distintas, cada variação de um milímetro na coluna
barométrica deverá corresponder a uma variação de 10.518 milímetros, na diferença de nível
entre os pontos considerados.
Os barômetros podem ser de mercúrio ou metálico, sendo este último denominado
aneróide ou altimetro.
Procedimento para determinar a diferença de nível entre dois pontos:
dn = fator altimétrico x dif. de leitura na coluna barométrica
Representação do Relevo
Feita a determinação das cotas ou altitudes dos pontos definidores da altimetria do
terreno passamos à representação de seu relevo.
Processos:
- Pontos Cotados
- Curvas de Nível
- Desenho do Perfil

68
Pontos Cotados
Cada ponto da planta vem acompanhado de seu valor de cota ou altitude. O
inconveniente desse tipo de representação é que a planta pode ficar sobrecarregada de
números, caso de terrenos acidentados.
Curvas de Nível
São linhas que representam pontos de mesma altura. (já visto)
Desenho do Perfil
Perfil é a representação, no plano vertical, das diferenças de nível, cotas ou altitudes
obtidas do nivelamento. Representa a interseção de planos verticais com a superfície do
terreno.
O perfil pode ser feito a partir das diferenças de nível ou cotas.
Exemplo:
EST
DIF, NÍVEL
COTAS OBS.
+ -
0 - - 100,000 estacas
1 1,170 101,170 a cada 10m
1+7,00 1,270 101,270
2 1,010 98,990
2+13,00 1,505 98,495
3 2,010 97,990
4 0,485 100,485
RN 4,475 104,475
5 3,680 103,680
6 5,085 105,085
ESCALAS:
Como o terreno apresenta distâncias horizontais geralmente maiores do que as
verticais, recomenda-se a utilização de duas escalas para o desenho. A relação entre escalas
normalmente é de 10 vezes, sendo a vertical de denominador menor.

69
Desenho pelas dif, de nível
dn +
0 1 2 3 4 5 6
dn -
Desenho pelas cotas:
106
104
COTAS 102
100
98
96
0 1 2 3 4 5 6
ESTACAS
ESC. H = 1:1000
ESC. V = 1:100

70
Apresentação da Planta:
106
104
102
COTAS
100
98
0 1 2 3 4 5 6
ESTACAS
CONVENÇÕES
Terreno: Projeto:
Greide: Local:
Corte: Escalas:
Aterro: Data:
Autor

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