O documento discute tensões em vigas sob flexão, incluindo a decomposição de tensões, unidades de tensão, ensaio de tração, mecanismo de deformação em vigas sob flexão, e hipóteses básicas da teoria da flexão.

1. Flexão em vigas

2. Tensões internas
S
x
y
z
F∆A∆
•Tensão média em :A∆
:
A
F
tm
∆
∆
=
→
•Tensão no ponto P:
dA
Fd
A
F
t
A
→
→∆
→
=
∆
∆
=
0
lim

3. S
x
y
z
F∆A∆
Decomposição segundo o referencial:
→→→→
++= zyx tttt
As tensões passam a ser conhecidas pelos valores algébricos:
xxt σ=
→
 tensão normal, tração (+) compressão (-)
xzz
xyy
t
t
τ
τ
=
=
→
→
 tensões tangenciais ou de cisalhamento (de
corte)
Quando não houver confusão os índices
podem ser abandonados.

4. Unidades de tensão:
Tensão é força por unidade de área (FL-2
)
No sistema técnico: (mkfs): kgf/cm2
No SI: 1Pa=1N/m2
1kPa=103
Pa
1MPa=106
Pa
1GPa =109
Pa
1 kgf/cm2
=0,0981 MPa e 1MPa = 10,2 kgf/cm2

5. L
ΔL
ε
A
F
==σ
FF
L
L + ∆L
A  área seção
transversal

6. Ensaio de tração
Lei de Hooke
Eε=σ

7. Flexão em vigas
P P
a ab
P P
+
-
P P
P P
0,0
// _ (Q)
P⋅a P⋅a
(M)
A B C D

8. Flexão em vigas
• Mecanismo de deformação
L
M
M Comprimento < L
Comprimento > L

9. Flexão em vigas
M
M Comprimento < L
Comprimento > L
b
h
σx
ε x
σmax
(compressão)
σmax (tração)
Os traços longitudinais dão uma idéia da deformação das fibras
longitudinais e do eixo. Como eles assumem um aspecto curvo, o mesmo
acontece com as fibras longitudinais e com o eixo.

10. Flexão em vigas
M
M Comprimento < L
Comprimento > L
Os traços transversais dão uma idéia da deformação das seções transversais.
Como eles permanecem retos e perpendiculares aos longitudinais, admite-se
que as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo. Elas sofrem
rotações em torno de um eixo perpendicular ao eixo de solicitação

11. A tensão normal σx e a deformação específica εx variam ao longo da
altura h da seção, sendo máximas nos bordos. Ao longo da dimensão b, σx
e εx são constantes. Observa-se que existe uma camada de fibras que
mantêm o comprimento L. Não são alongadas nem comprimidas, pois σx e
εx são nulos. No estado neutro estas fibras estão em um mesmo plano
horizontal conhecido como superfície neutra. A interseção da superfície
com uma seção é a linha neutra (LN).
Superficie neutra
b
h

12. Superficie neutra
b
h
Eixo de solicitação (ES): é a interseção do plano das cargas com a seção transversal
ES
M

13. Flexão em vigas
M
M Comprimento < L
Comprimento > L
Hipóteses básicas:
• Pequenas deformações
• É válida a Lei de Hooke – comportamento elástico linear (deformações
proporcionais às tensões) σ=Eε
•Os traços transversais dão uma idéia da deformação das seções
transversais. Como eles permanecem retos e perpendiculares aos
longitudinais, admite-se que as seções permanecem planas e
perpendiculares ao eixo. Elas sofrem rotações em torno de um eixo
perpendicular ao plano de solicitação.

14. x
Posição dos eixos
b
y
h
z
y
J
M
σ
z
⋅=

15. Exercícios
3 cm 3 cm 3cm
A C D
B
P P
2 cm
4 cm
x z
y
1 - Calcular as tensões máximas de tração e compressão da
viga, cuja seção transversal está representada ao lado. Dado
P=700 kgf.
50 cm 50 cm 50 cm

16. Exercícios
4 tf 10 tf 10 tf 4 tf
A B C D E F
200 200 400 200 200
(cm)
a
9a
3,6a3,6a
0,8a
2 - Dimensionar a viga abaixo
Dados:
2
2
/600
/1000
cmkgf
cmkgf
c
t
=
=
σ
σ

17. 3
Exercícios

18. Exercícios
4

19. Exercícios
5

20. Várias formas de seção transversal
• Maior eficiência
• Maior economia
σσ =max
di
J
M
ds
J
M
i
s
=
=
max
max
σ
σ
di
ds
i
s
=
σ
σ

21. • Caso 1   forma assimétrica da
distribuição das tensões em relação a LN  LN
mais próxima a fibra de menor
is σσ ≠
σ
Exemplo
5,05,0
0
=⇒=
>
di
ds
M
t
C
σ
σ

22. • Caso 2   forma simétrica da
distribuição das tensões em relação a LN 
ds=di=h/2
is σσ =

23. Seções simétricas a LN  seções I

24. D
4
125,0
832
2
3
D
A
AD
ADD
w
π
π
=
===
bhA
Ahbh
w
=
==
66
2
b
h
Seções retangulares de mesma
área  maior eficiência = maior h
L
AD
AL
w
DL
D
LA
148,0
6
886,0
4
2
2
==
=→==
π

28. 3