1. Teoria Elementar dos Conjuntos
Este cap´ıtulo visa oferecer uma breve revis˜o sobre teoria elementar dos conjuntos. Al´m de conceitos
a e
b´sicos importantes em matem´tica, a sua imprtˆncia reside no fato da ´lgebra dos conjuntos tratar-se
a a a a
de um exemplo de ´lgebra booleana. Como referˆncia bibliogr´fica, recomenda-se o livro [Filho, 1980].
a e a
Conjuntos e elementos
Conjuntos s˜o cole¸˜es de objetos, denominados elementos1
a co
Exemplos de conjuntos
O conjunto de todos os n´meros inteiros, o conjunto de todos os alunos de MAC0329 do
u
semestre corrente, o conjunto de todos os seres humanos vivos atualmente, o conjunto de
todos os n´meros reais maiores que zero e menores que 1, o conjunto de todos os jogadores
u
da atual sele¸˜o brasileira de futebol, o conjunto de todas as letras do alfabeto romano,
ca
etc.
Nota¸˜o
ca
Conjuntos ser˜o representados por letras mai´sculas: A, B, C, S, etc. Elementos de um
a u
conjunto ser˜o representados por letras min´sculas: a, b, x, y, etc.
a u
Em geral, podemos especificar um conjunto descrevendo os seus elementos via uma condi¸˜o,
ca
ou ent˜o enumerando os seus elementos. Por exemplo, o conjunto A de todos os n´meros
a u
inteiros pares pode ser expresso por:
A = {x ∈ Z | x ´ par}
e
e o conjunto B das cores da bandeira brasileira pode ser expresso por:
B = {verde, amarelo, azul, branco}
Conjuntos universo e vazio
Dois conjuntos especiais s˜o o conjunto universo, isto ´, o conjunto de todos os objetos
a e
em quest˜o, e o conjunto vazio, isto ´, o conjunto que n˜o cont´m nenhum elemento. Os
a e a e
conjuntos universo e vazio s˜o denotados, respectivamente, por U e ∅.
a
1
N˜o ´ objetivo fazermos uma defini¸˜o formal de conjunto. Basta utilizaremos a no¸˜o intuitiva que temos sobre
a e ca ca
conjuntos.
1

2. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 2
Conjunto unit´rio
a
Em ´lgebra de conjuntos, os objetos de interesse s˜o os conjuntos e n˜o os elementos
a a a
que pertencem a eles. Assim, as opera¸˜es devem ser definidas sobre ou entre conjuntos,
co
mas nunca sobre elementos isolados. Para tratar elementos, devemos considerar conjuntos
unit´rios. Por exemplo, se a ´ um elemento de U ent˜o {a} denota o conjunto unit´rio
a e a a
que cont´m apenas um unico elemento, o elemento a.
e ´
Rela¸˜o elemento × conjunto
ca
Se um elemento x pertence a um conjunto A, escrevemos x ∈ A. Diremos, alternativa-
mente, que x ´ membro de A. Se x n˜o pertence ao conjunto A, escrevemos x ∈ A.
e a
Rela¸˜o conjunto × conjunto
ca
Um conjunto A ´ igual a um conjunto B, denotado A = B, se eles contˆm exatamente os
e e
mesmos elementos. Se n˜o forem iguais, eles s˜o diferentes, e denotado por A = B.
a a
Um conjunto A est´ contido num conjunto B se todos os elementos de A pertencem
a
tamb´m ao conjunto B. Escrevemos A ⊆ B e dizemos tamb´m que A ´ um subconjunto
e e e
de B. Se, al´m disso, B possui pelo menos um elemento que n˜o pertence a A, ent˜o
e a a
dizemos que A est´ propriamente contido em B, ou que A ´ um subconjunto pr´prio
a e o
de B, e denotamos A ⊂ B.
Propriedades da rela¸˜o ⊆
ca
A rela¸˜o de inclus˜o de conjuntos ⊆ obedece `s seguintes propriedades. Para quaisquer X, Y e Z,
ca a a
I1. (reflexiva) X ⊆ X
I2. (transitiva) X ⊆ Y e Y ⊆ Z =⇒ X ⊆ Z
I3. (anti-sim´trica) X ⊆ Y e Y ⊆ X =⇒ X = Y
e
I4. (a) ∅ ⊆ X
(b) X ⊆ U
Conjunto potˆncia (power set) ou conjunto das partes de um conjunto
e
Dado um conjunto A, o conjunto potˆncia de A ´ denotado por P(A) e definido por
e e
P(A) = {X ⊆ U : X ⊆ A}, ou seja, P(A) ´ o conjunto de todos os subconjuntos de A.
e
ıcio: Seja A = {a, b, c}. Liste todos os elementos de P(A).
Exerc´
ıcio: Mostre que se A cont´m n elementos ent˜o P(A) cont´m 2n elementos.
Exerc´ e a e

3. 3 Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)
Complemento, uni˜o e interse¸˜o
a ca
O complemento de um conjunto X, denotado X c , consiste de todos os elementos em U
que n˜o est˜o em X, ou seja, X c = {x ∈ U | x ∈ X}.
a a
Conjuntos podem ser combinados para gerar outros conjuntos. Para isso, podemos consi-
derar duas regras (opera¸˜es) que definem formas pelas quais conjuntos podem ser combi-
co
nados: a uni˜o e a interse¸˜o.
a ca
Dados dois conjuntos X e Y quaisquer, a uni˜o de X e Y ´ denotada X ∪ Y e definida
a e
como sendo o conjunto de elementos que pertencem ou a X, ou a Y ou a ambos, ou seja,
X ∪ Y = {x ∈ U | x ∈ X ou x ∈ Y }. A interse¸˜o de X e Y ´ denotada X ∩ Y e
ca e
definida como sendo o conjunto de elementos que pertencem tanto a X como a Y , ou seja,
X ∩ Y = {x ∈ U | x ∈ X e x ∈ Y }.
Se X ∩ Y = ∅ (conjunto vazio) ent˜o dizemos que X e Y s˜o disjuntos.
a a
Exemplos:
{1, 2, 3} ∪ {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6} {1, 2, 3} ∩ {2, 4, 6} = {2}
{a} ∪ {b} = {a, b} {a} ∩ {b} = ∅
Diagramas de Venn
Os diagramas de Venn s˜o uteis para refor¸ar a no¸˜o intuitiva sobre conjuntos, principal-
a ´ c ca
mente para analisar rela¸˜es entre os conjuntos e tamb´m seus membros. Para demonstrar
co e
propriedades dos conjuntos, uma prova estritamente alg´brica seria necess´ria. No en-
e a
tanto, para entender uma propriedade e, mais do que isso, para nos convencermos de sua
validade, os diagramas de Venn s˜o bastante uteis.
a ´
No diagrama de Venn o conjunto universo ´ representado por um retˆngulo, mais pre-
e a
cisamente, pelos pontos interiores ao retˆngulo. Qualquer conjunto ´ desenhado como
a e
sendo uma curva fechada, inteiramente contida no retˆngulo. Pontos interiores ` curva
a a
correspondem aos elementos do conjunto. No exemplo da figura 1, a uni˜o e interse¸˜o de
a ca
dois conjuntos gen´ricos est˜o representadas pelas regi˜es hachuradas das figuras 1a e 1b,
e a o
respectivamente. O complemento de um conjunto ´ representado no diagrama da figura 1c.
e
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X X 111111111111111111111
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Y Y 111111111111111111111
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X
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(a) X ∪ Y (b) X ∩ Y (c) X c
Figura 1: Diagramas de Venn (a) Uni˜o de dois conjuntos. (b) Interse¸˜o de dois conjuntos. (c)
a ca
Complemento de um conjunto.
Exerc´ıcio: Seja x um elemento no conjunto universo U e X e Y dois subconjuntos quaisquer de U .
Mostre que x ´ membro de apenas um dos conjuntos X ∩ Y , X ∩ Y c , X c ∩ Y e X c ∩ Y c .
e
Dica: Desenhe o diagrama de Venn e argumente.

4. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 4
Leis fundamentais
Dados conjuntos X, Y, Z quaisquer, utilize diagramas de Venn para convencer-se da validade das
seguintes leis.
L1. Comutativa
(a) X ∩ Y = Y ∩ X
(b) X ∪ Y = Y ∪ X
L2. Associativa
(a) X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z
(b) X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z
L3. Distributiva
(a) X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)
(b) X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z)
L4. Idempotˆncia
e
(a) X ∩ X = X
(b) X ∪ X = X
L5. Absor¸˜o
ca
(a) X ∩ (X ∪ Y ) = X
(b) X ∪ (X ∩ Y ) = X
L6. Complementa¸˜o
ca
(a) X ∩ X c = ∅
(b) X ∪ X c = U
L7. Complementa¸˜o dupla
ca
(X c )c = X
L8. De Morgan
(a) (X ∩ Y )c = X c ∪ Y c
(b) (X ∪ Y )c = X c ∩ Y c
L9. Opera¸˜es com ∅ e U
co
(a) (Elemento neutro) U ∩ X = X e ∅ ∪ X = X
(b) ∅ ∩ X = ∅ e U ∪ X = U
(c) ∅c = U e U c = ∅

5. 5 Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)
As igualdades das leis acima podem ser entendidas com o aux´ de diagramas de Venn. Para provar
ılio
as igualdades podemos mostrar que o conjunto do lado esquerdo est´ contido no do lado direito e
a
vice-versa (propriedade de anti-simetria de ⊆), ou ainda via transforma¸˜es l´gicas (ver exemplo mais
co o
adiante).
Note que X ∪ Y = (X c ∩ Y c )c . Isto implica que o operador ∪ poderia ser dispensado. Maiores detalhes
sobre isso ser˜o vistos oportunamente. Enquanto isso, vale a pena mencionarmos que embora n˜o
a a
necess´rio, o uso dos trˆs operadores ´ conveniente.
a e e
Algumas leis s˜o semelhantes aos da ´lgebra dos n´meros. No entanto, na ´lgebra dos conjuntos n˜o
a a u a a
existem, como na ´lgebra usual, express˜es do tipo 2X ou X 2 e algumas leis como as de n´mero 3b,
a o u
4 e 5 n˜o s˜o v´lidas na ´lgebra dos n´meros.
a a a a u
Observe tamb´m que a maior parte das leis aparece aos pares. Iremos ver mais adiante que isso est´
e a
ligado ao princ´
ıpio da dualidade.
ıcio: Prove a validade das leis L3, L5 e L8 acima.
Exerc´
Como exemplo, vamos mostrar a validade da lei L3(a), isto ´, X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
e
Primeiramente utilizaremos o diagrama de Venn para nos convencermos da validade. O conjunto
X ∩(Y ∪Z) corresponde ` regi˜o hachurada pelas linhas verticais e pelas linhas horizontais na figura 2a.
a a
Esta coincide com a regi˜o hachurada no diagrama mais ` direita da figura 2b, que representa o
a a
conjunto (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Y
X
Y Y Y
X X X
Z
Z Z Z
Y ∪Z
X X Y X ∩Y X Z X ∩Z (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)
X ∩ (Y ∪ Z)
(b)
(a)
Figura 2: (a) X ∩ (Y ∪ Z) e (b) (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Para provar a igualdade, devemos mostrar que X ∩(Y ∪Z) ⊆ (X ∩Y )∪(X ∩Z) e que (X ∩Y )∪(X ∩Z) ⊆
X ∩ (Y ∪ Z).
Prova: Considere x ∈ X ∩ (Y ∪ Z). Ent˜o x ∈ X. Al´m disso, x ∈ Y ∪ Z. Logo, temos que ou x ∈ Y
a e
e/ou x ∈ Z. Se x ∈ Y , ent˜o x ∈ X ∩ Y . Se x ∈ Z, ent˜o x ∈ X ∩ Z. Logo, x ∈ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
a a
Por outro lado, considere y ∈ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z). Ent˜o, ou y ∈ (X ∩ Y ) e/ou y ∈ (X ∩ Z). Se
a
y ∈ (X ∩ Y ), ent˜o y ∈ X e y ∈ Y . Se y ∈ Y ent˜o y ∈ Y ∪ Z e portanto, y ∈ X ∩ (Y ∪ Z). De forma
a a
similar, se y ∈ (X ∩ Z), ent˜o y ∈ X e y ∈ Z, de modo que y ∈ Y ∪ Z e portanto, y ∈ X ∩ (Y ∪ Z).
a
Podemos utilizar o mesmo racioc´ acima, por´m expressando os conjuntos explicitamente, conforme
ınio e
a seguir:
X ∩ (Y ∪ Z) = {x | x ∈ X e x ∈ Y ∪ Z}

6. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 6
= {x | x ∈ X e (x ∈ Y ou x ∈ Z)}
= {x | (x ∈ X e x ∈ Y ) ou (x ∈ X e x ∈ Z)}
= {x | x ∈ X ∩ Y ou x ∈ X ∩ Z}
= (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)
Exerc´
ıcio: A seguintes generaliza¸˜es das leis de De Morgan s˜o v´lidas ? Explique sua resposta.
co a a
(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An )c = Ac ∩ Ac ∩ · · · ∩ Ac
1 2 n
(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An )c = Ac ∪ Ac ∪ · · · ∪ Ac
1 2 n
Exerc´ıcio: Desenhe a rela¸˜o X ⊆ Y num diagrama de Venn. Quais igualdades envolvendo os
ca
conjuntos X e Y s˜o verdadeiras quando X ⊆ Y ? Liste pelo menos trˆs.
a e
Outras propriedades
Para quaisquer conjuntos X, Y e Z, as seguintes propriedades s˜o verdadeiras:
a
P1. (a) X ∩ Y ⊆ X e X ∩ Y ⊆ Y
(b) X ⊆ X ∪ Y e Y ⊆ X ∪ Y
P2. (a) X ∩ Y = X sse X ⊆ Y
(b) X ∪ Y = Y sse X ⊆ Y
P3. (a) X = Y sse (X ⊆ Y e Y ⊆ X)
(b) X = Y sse X c = Y c
ıcio: Mostre que A ∩ (A ∪ B) = A.
Exerc´
Por P1(b), sabemos que A ⊆ A ∪ B. Mas ent˜o, por P2(a) A ⊆ A ∪ B implica que A ∩ (A ∪ B) = A.
a
Exerc´ ıcio: Dados dois conjuntos X e Y a diferen¸a deles ´ definida por X Y = {x ∈ U : x ∈
c e
X e x ∈ Y } e a diferen¸a sim´trica entre eles ´ definida por X∆Y = (X Y ) ∪ (Y X). Expresse
c e e
estes conjuntos em termos das opera¸˜es de complementa¸˜o, uni˜o e interse¸˜o (deduza a partir do
co ca a ca
diagrama de Venn).
Obs.: Na presen¸a dos operadores ∪, ∩ e
c c, n˜o h´ necessidade dos operadores e ∆. No entanto,
a a
estes operadores podem ser pr´ticos.
a
Simplifica¸˜o de express˜es
ca o
As opera¸˜es ∪, ∩ e c podem ser utilizadas para combinar conjuntos de v´rias formas.
co a
A combina¸˜o pode ser representada por uma express˜o que descreve como os conjuntos
ca a
foram combinados. Assim como a combina¸˜o de conjuntos resulta em um conjunto, uma
ca
express˜o que descreve uma combina¸˜o de conjuntos representa um conjunto (aquele que
a ca
resulta ap´s as combina¸˜es serem executadas).
o co

7. 7 Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)
Como vimos no caso de algumas leis, existem diferentes formas para se expressar um
mesmo conjunto. Por exemplo, vimos que X = X ∪ X. Ou ainda, (X ∪ Y )c = X c ∩
Y c . Assim sendo, surge a possibilidade de estudarmos diferentes formas de express˜o de
a
conjuntos. Express˜es podem ser expandidas, fatoradas ou simplificadas aplicando-se as
o
leis fundamentais.
Exemplo: Mostramos a simplifica¸˜o da express˜o [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )] ∩ (Ac ∪ B).
ca a
[(A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )] ∩ (Ac ∪ B) = [A ∩ (B ∪ B c )] ∩ (Ac ∪ B)
= (A ∩ U ) ∩ (Ac ∪ B)
= A ∩ (Ac ∪ B)
= (A ∩ Ac ) ∪ (A ∩ B)
= ∅ ∪ (A ∩ B)
= A∩B
Exerc´ ıcio: Simplifique as seguintes express˜es:
o
a) (A ∩ B c )c ∪ (B ∩ C)
b) [(A ∪ B) ∩ (A ∪ B c )] ∩ (A ∪ B)
c) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B c ∩ C c )
d) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B c ) ∩ (Ac ∪ B)
Exerc´ıcio: Verifique se as seguintes igualdades / afirma¸˜es s˜o v´lidas. Justifique (pode ser via
co a a
diagrama de Venn) ou mostre um contra-exemplo
a) (A ∩ B) ∪ B = B
b) (A ∩ C) ∩ (B ∪ C) = A ∩ C
c) Se A ∪ B = A ∪ C ent˜o B = C
a
d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ C
e) A ∪ B = (Ac ∩ B c )c
f) (A ∪ B c ) ∩ (Ac ∪ B) ∩ (Ac ∪ B c ) = Ac ∪ B c
g) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C)
h) A ∩ B = A (A B)
i) X X = ∅
j) X ∅ = X
k) ∅ X = ∅
l) (X Y ) Z = X (Y ∪ Z)
m) (X Y ) Z = (X Z) Y
n) X Y = X ∩ Y c
o) (A B)c = B ∪ Ac
p) (A B) ∩ C = (A ∩ C) B
q) X∆X = ∅
r) X∆Y = Y ∆X
s) X∆∅ = X
t) X∆Y = (X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y )
u) X ∩ (Y ∆Z) = (X ∩ Y )∆(X ∩ Z)
v) X ∪ (Y ∆Z) = (X ∪ Y )∆(X ∪ Z)
x) Se A ⊆ B e A ⊆ C ent˜o A ⊆ B ∩ C
a

8. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 8
Nos seguintes exemplos ilustramos como podemos utilizar a ´lgebra dos conjuntos para analisar
a
afirma¸˜es ou conjunto de afirma¸˜es.
co co
Exemplo:
Dado que S´crates ´ um homem e que todos os homens s˜o mortais, deseja-se mostrar que
o e a
S´crates ´ mortal.
o e
Vamos usar a propriedade de que X ⊆ Y e Y ⊆ Z implica X ⊆ Z.
Sejam
U : conjunto de todos os seres vivos
X: conjunto de todos os seres vivos humanos
Y : conjunto de todos os mortais
S: conjunto unit´rio cujo unico elemento ´ S´crates
a ´ e o
Utilizando esta nota¸˜o, temos que S ⊆ X (S´crates ´ um homem) e que X ⊆ Y (todos
ca o e
os homens s˜o mortais). Logo, S ⊆ Y (ou seja, S´crates ´ mortal).
a o e
Exemplo:
Considere as quatro afirma¸˜es a seguir:
co
a) Um homem infeliz n˜o ´ dono do seu pr´prio nariz.
a e o
b) Todos os homens casados tˆm responsabilidades
e
c) Todo homem ou ´ casado ou ´ dono do seu pr´prio nariz (ou ambos).
e e o
d) Nenhum homem com responsabilidades pode pescar todos os dias.
Sejam
U : conjunto de todos os homens
H: conjunto dos homens felizes
B: conjunto dos homens donos dos pr´prios narizes
o
M : conjunto dos homens casados
R: conjunto dos homens com responsabilidades
F : conjunto dos homens que pescam todo dia
Que tipo de conclus˜es podemos derivar a partir das afirma¸˜es acima?
o co
a) H c ⊆ B c ⇐⇒ B ⊆ H
b) M ⊆ R ⇐⇒ Rc ⊆ M c
c) M ∪ B = U ⇐⇒ M c ⊆ B (ou B c ⊆ M )
d) R ∩ F = ∅ ⇐⇒ F ⊆ Rc
Combinando (d) e (b) temos que F ⊆ Rc ⊆ M c (Todo homem que pesca todos os dias n˜o
a
s˜o casados).
a
Combinando F ⊆ M c e (c) temos que F ⊆ B (Todo homem que pesca todos os dias ´
e
dono do seu pr´prio nariz)
o
Combinando F ⊆ B e (a) temos que F ⊆ H (Todo homem que pesca todos os dias ´ feliz).
e
Exemplo: Trˆs colecionadores ingleses, A, B e C, de obras liter´rias antigas tˆm interesse pelas
e a e
seguintes obras:

9. 9 Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007)
A obras sobre pol´
ıtica em inglˆs e fic¸˜o em l´
e ca ıngua estrangeira.
B obras sobre pol´
ıtica, exceto fic¸˜o em inglˆs, e obras em inglˆs que n˜o sejam fic¸˜o
ca e e a ca
C obras que n˜o sejam fic¸˜o, e que sejam em inglˆs ou sobre pol´
a ca e ıtica em l´
ıngua estrangeira.
Pergunta-se quais s˜o as obras pelas quais mais de um colecionador tˆm interesse?
a e
Defina os conjuntos
A: todas as obras pelos quais A se interessa
B: todas as obras pelos quais B se interessa
C: todas as obras pelos quais C se interessa
E: todas as obras em inglˆs
e
F: todas as obras que s˜o fic¸˜o
a ca
P: todas as obras sobre pol´
ıtica
Podemos ent˜o expressar o conjunto Z de obras pelos quais pelo menos dois colecionadores possuem
a
interesse por:
Z = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (1)
Analogamente, podemos expressar os conjuntos A, B e C em termos dos conjuntos E, F e P da
seguinte forma:
A = (P ∩ E) ∪ (F ∩ E c )
B = (P ∩ (F ∩ E)c ) ∪ (E ∩ F c )
C = F c ∩ (E ∪ (P ∩ E c ))
Simplificando Z, ap´s substitu´
o ırmos A, B e C, temos que
Z = (E ∩ F c ) ∪ (P ∩ E c ) (2)
ou seja, que h´ pelo menos dois interessados em obras n˜o-fic¸˜o em inglˆs e obras sobre pol´
a a ca e ıtica em
l´
ıngua estrangeira.
Vimos at´ aqui os principais conceitos relacionados a conjuntos. Em particular, note que conjuntos
e
juntamente com as opera¸˜es de uni˜o, interse¸˜o e complementa¸˜o podem ser vistos como um
co a ca ca
sistema alg´brico, onde express˜es podem ser escritas para representar uma s´rie de opera¸˜es sobre
e o e co
conjuntos e as mesmas podem ser, por exemplo, simplificadas aplicando-se manipula¸˜es alg´bricas
co e
baseadas nas leis b´sicas.
a
Produto cartesiano
Sejam A e B dois conjuntos n˜o vazios. O produto cartesiano de A e B, denotado A × B,
a
´ o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) tais que o primeiro elemento x pertence a
e
A e o segundo elemento y pertence a B.
A × B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}
Generalizando, dados n conjuntos A1 , A2 ,. . ., An , o produto cartesiano destes n conjuntos
´ dado por
e
A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) : a1 ∈ A1 e a2 ∈ A2 e . . . e an ∈ An }

10. Nina S. T. Hirata (DCC/IME-USP) — Notas de aula de MAC0329 (2007) 10
Quando Ai = Aj para quaisquer i e j, denota-se o produto cartesiano acima tamb´m por
e
An .
ıcio: Seja B = {0, 1}. Liste todos os elementos do produto cartesiano B × B × B.
Exerc´
Rela¸˜es bin´rias e fun¸˜es
co a co
Sejam A e B dois conjuntos n˜o vazios. Uma rela¸˜o bin´ria R sobre A e B ´ um subcon-
a ca a e
junto de A × B, isto ´, R ⊆ A × B.
e
Dizemos que y ´ correspondente de x pela rela¸˜o R se (x, y) ∈ R, e denotamos xRy (lˆ-se
e ca e
x-erre-y).
Se R ⊆ A × A, dizemos que R ´ uma rela¸˜o bin´ria sobre A. Se R ⊆ A1 × A2 × · · · An ,
e ca a
ent˜o R ´ uma rela¸˜o n-´ria.
a e ca a
Uma rela¸˜o bin´ria R sobre A ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia se para quaisquer trˆs
ca a e ca e e
elementos a, b e c de A vale as propriedades:
• (reflexiva) aRa
• (sim´trica) se aRb ent˜o bRa
e a
• (transitiva) se aRb e bRc ent˜o aRc
a
Uma rela¸˜o bin´ria f ⊆ A × B ´ uma fun¸˜o de A em B se para todo x ∈ A existe
ca a e ca
um unico y ∈ B tal que (x, y) ∈ f . A fun¸˜o ´ denotada f : A → B e em vez de xf y
´ ca e
denotamos f (x) = y. O elemento y = f (a) ∈ B ´ a imagem de a ∈ A.
e
Uma rela¸˜o f que associa um elemento b ∈ B para cada elemento do produto direto A1 × A2 × · · · An
ca
´ denominada uma fun¸˜o de n vari´veis.
e ca a
ıcio: Explique o que s˜o fun¸˜es sobrejetoras, injetoras e bijetoras.
Exerc´ a co
Opera¸˜es
co
Uma fun¸˜o de A em A ´ muitas vezes denominada uma opera¸˜o un´ria. Por exemplo,
ca e ca a
o complemento ·c ´ uma opera¸˜o un´ria. Uma fun¸˜o de duas vari´veis de A × A em A ´
e ca a ca a e
muitas vezes denominada uma opera¸˜o bin´ria. Por exemplo, na ´lgebra elementar a
ca a a
opera¸˜o + em 1 + 3 = 4 ´ uma fun¸˜o que associa ao par (1, 3) o elemento 4.
ca e ca

11. Referˆncias Bibliogr´ficas
e a
[Filho, 1980] Filho, E. A. (1980). Teoria Elementar dos Conjuntos. Livraria Nobel S.A., S˜o Paulo.
a
´
Ultima revis˜o em 27 de fevereiro de 2007.
a
11