1. ð NH TH C
A. Tóm t t lý thuy t:
I/ Tính ch t cơ b n c a ñ nh th c:
TC1: Phép chuy n v không làm thay ñ i ñ nh th c
TC2: N u ñ i ch hai dòng b t kỳ c a ma tr n vuông thì ñ nh th c ñ i d u
TC3: N u ñ nh th c có m t hàng ch g m toàn s không thì ñ nh th c b ng không.
TC4: M t ñ nh th c có hai hàng gi ng nhau thì b ng không.
TC5: N u nhân m i ph n t c a m t hàng nào ñó v i k thì ñ nh th c ñư c nhân lên
v ik
TC6: M t ñ nh th c có hai hàng t l thì b ng không
TC7: N u dòng th i nào ñó c a A có tính ch t: aij = λbj + µcj (j = 1, 2, ..., n) thì:
det(A) = λ det(B) + µ det (C)
Trong ñó các ph n t dòng th i trong B là b1, b2, b3..., bn, c a C là c1,...,cn
TC8: N u có m t hàng là t h p tuy n tính c a các hàng khác thì ñ nh th c b ng
không
TC9: ð nh th c không thay ñ i n u ta thêm vào m t hàng nào ñó t h p tuy n tính
c a các hàng khác.
II/ Tính ñ nh th c:
(1) ð i v i các ñ nh th c c p 3 có th dùng quy t c Sarrus ñ tính.
(2) Tính ñ nh th c b ng phép khai tri n theo dòng (hay c t)
n
det A = ∑aijAij ; i = 1, 2, ..., n
j =1
n
ho c det A = ∑aijAij ; j = 1, 2, ..., n
i =1
trong ñó: Aij = (-1)i+j detSij (v i Sij là ma tr n có ñư c t ma tr n A b ng cách xóa ñi
dòng i và c t j
(3) Tính ñ nh th c b ng các phép bi n ñ i sơ c p ñưa ñ nh th c v d ng tam giác.
(4) Phương pháp thay ñ i các ph n t c a ñ nh th c: D a vào tính ch t sau:
N u ta c ng vào m i ph n t c a ñ nh th c D v i cùng m t ph n t x thì ñ nh th c
s tăng m t lư ng b ng tích c a x v i t ng các ph n bù ñ i s c a m i ph n t trong D.
Biên so n: GV Nguy n Vũ Th Nhân – Dương Minh Thành – T b môn Toán - Lý

2. B/ Bài t p:
Bài 3.1 ð nh th c c a m t ma tr n thay ñ i th nào n u ta vi t các dòng c a ma tr n theo
th t ngư c l i
Bài 3.2 ð nh th c c p n thay ñ i như th nào, n u ta ñ i d u m i ph n t c a ñ nh th c
Bài 3.3 ð nh th c ph n ñ i x ng là ñ nh th c mà các ph n t n m ñ i x ng nhau qua
ñư ng chéo chính thì ñ i nhau, nghĩa là aik = - aki. Ch ng minh r ng: ñ nh th c ph n ñ i
x ng c p n b ng không n u n l .
Bài 3.4 Gi i các phương trình:
x2 ... xn-1
 
1 x
1 a1 a1 2 ... a1n-1
a/  1 a2 a2 2 ... a2n-1  =0 b/
 
. . . . . . . . . .
1 an an 2 ... ann-1
1 
1 1 1 ... 1
1-x 1 ... 1
 .1 . 1 2-x ... 1 =0
1 
. . . . . . . .
1 1 ... (n-1)-x
trong ñó a1, a2, ..., an ñôi m t khác nhau
 1 1 2 
Bài 3.5 Không tính ñ nh th c. Ch ng minh r ng: A =  1 8 5


 chia h t cho 13
 5 4 3 
Bài 3.6 Ch ng minh r ng:
 a+x b+y c+z   a b c  x0 x y z
 0 1 1 1

a/  x + u y+v z+w   x y z   0 y z = 1 0 z2 y2 
  =2  b/
y z 0 x  1 z2 0 x2 
 u+a   u v w 
v+b w+c
z y x 0  1 y2 x2 0 
Bài 3.7 Không khai tri n ñ nh th c, tính
 b 
a b c 1

a/ 
n2 (n+1)2 (n+2)2 
(n+1)2 (n+2)2 (n+3)2  b/
 c c
a
a 1
b 1 



(n+2)2 (n+3)2 (n+4)2   b+c c+a a+b 
 2 2 2
1 
Bài 3.8 Không khai tri n ñ nh th c, ch ng minh r ng:
2
 1 a bc   1 a a 
a.  1 b ca 
b.  1 b b 
2
  = (b – a)(c – a)(c – b)  2  = (b – a)(c – a)(c – b)
 1 c ab   1 c c 
Biên so n: GV Nguy n Vũ Th Nhân – Dương Minh Thành – T b môn Toán - Lý

3.  1 1 1  1 1 1 1 
c.  a b c  = (a + b + c)(b – a)(c – a)(c – b) d.
r 1 1 1  = (1 – r)3
 3 3 3 
 a b c  r r 1 1 
r r r 1 
 1 1 1 
e.  a b c  = (ab + ac + bc)(b – a)(c – a)(c – b)
2 2 2
 3 3 3 
 a b c 
4
 1 a a 
f.  1 b b 
4 2 2 2
 4  = (a + b + c + ab + ac + bc)(b – a)(c – a)(c – b)
 1 c c 
 a +b + c a+b a a

g.
 a+b a +b + c a a  = c2(2b+c)(4a+2b+c)
 a a a+b+c a +b 
 a a a+b a +b + c 
 1+a a a a 
h.
 b 1+b b b =1+a+b+c+d
 c c 1+c c 
 d d d 1+d 
Bài 3.9 Tính
 246 427 327  1 3 5 7 2 
 13547 13647 
a.   b.  1014 543 443  c.
 2 3 4 
 28423 28523   
 -342 721 621   -2 -3 3 2 
1 3 5 4 
3 1 1 1
 1 2 3 4
  -2
1 2 3 4

d.
1 3 1 1  e.
2 3 4 1  f.
 1 -4 3 
1 1 3 1  3 4 1 2   3 -4 -1 2 
1 1 1 3  4 1 2 3  4 3 -2 -1 
1  1 
2 1 1 1 1 5 6 0 0 0
 4 99 83 1
 3 1 1 1 5 6 0 0
  h. 1  i.  0 
0 8 16 0
g. 1 4 1 1 1 5 6 0
 60 17 134 20 
 15 43 106 5  1
1 1
1
1
1
5
1
1
1  0
0 0
0
1
0
5
1
6
5 
Bài 3.10 Tính
0 x y z
 1 1 1 1

x
a. y
0 y z  1
b. 1
1 cosc cosb 
 z 0 x   cosc 1 cosa 
z y x 0  1 cosb cosa 1 
1  x 
1 1 1 ... 1 a1 x x ... x
0 1 ... 1 a2 x ... x
c.  1 1 0 ... 1  d.  x x a3 ... x 
1  x 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 ... 0 x x ... an
Biên so n: GV Nguy n Vũ Th Nhân – Dương Minh Thành – T b môn Toán - Lý

4. Baøi taäp Ñaïi Soá Tuyeán Tính – Naêm hoïc: 2003 - 2004 2
 -1  2 
1 2 3 ... n 1 2 2 ... 2
0 3 ... n 2 2 ... 2
e.  -1 -2 0 ... n  f.  2 2 3 ... 2 
 -1  2 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-2 -3 ... 0 2 2 ... n
 -1 
1 1 1 ... 1 1
 
1 1 1 ... 1
2 0 ... 0 0
g. 
x1 x2
x12 x22 x32
x3 ... xn
... xn2  h.
 0 -1 2 ... 0 0 

. . . . . . . . . .
  . 0. 0 -1 ... 0 0

 0 
. . . . . . . . . .
x1n-1 x2n-1 x3n-1 ... xnn-1
0 0 ... -1 2
Bài 3.11 Hãy xét xem các h phương trình bài 2.12, h phương trình nào là h Cramer.
Gi i h phương trình ñó theo phương pháp trên.
Bài 3.12 Gi i l i bài 2.15 và 2.16 b ng phương pháp ñ nh th c
Biên so n: GV Nguy n Vũ Th Nhân – Dương Minh Thành – T b môn Toán - Lý